5.2 导数的运算（3种题型基础练+能力提升练）-【上好课】2024-2025学年高二数学同步精品课堂（沪教版2020选择性必修第二册）

5.2 导数的运算（三种题型基础练+能力提升练） 1． 基本初等函数的导数（共4小题） 1．下列求导运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据基本初等函数的导数公式计算可得. 【详解】对于A：，故A错误； 对于B：，故B错误； 对于C：，故C错误； 对于D：，故D正确； 故选：D． 2．点P是曲线上一个动点，则点P到直线的距离的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意分析可知，则点P到直线的距离的最小值即为点到直线的距离，运算求解即可. 【详解】因为的定义域为，且， 令，解得， 则，可得点， 且点到直线的距离， 所以点P到直线的距离的最小值是. 故选：A. 3．已知函数，则的导函数 . 【答案】 【分析】根据余弦函数的导数公式可得. 【详解】由余弦函数的导数公式得. 故答案为： 4．已知函数，则的值为 ． 【答案】 【分析】先求出的值，进而求出即可. 【详解】由题意知：，所以， 所以，所以， 所以. 故答案为: 2． 导数的四则运算（共5小题） 一、单选题 1．若曲线在处的切线方程为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出函数的导函数，依题意可得，且，解得即可. 【详解】因为，所以， 又函数处的切线方程为， 所以，且， 联立解得，； 故选：D. 二、多选题 2．下列说法中正确的是（    ） A． B． C．设函数，若，则 D．设函数的导函数为，且，则 【答案】BC 【分析】利用基本初等函数的导数公式及运算法则求解即可. 【详解】对于选项A:结合题意可得：,故选项A错误； 对于选项B:结合题意可得：,故选项B正确； 对于选项C: ,由， ，解得，故选项C正确； 对于选项D:结合题意可得：,， 解得，故选项D错误. 故选：BC. 3．下列命题正确的是（   ） A．若，则 B．设函数，且，则 C．已知函数，则 D． 【答案】BD 【分析】由基本函数的导数公式求出各项的导数后，再逐项代入判断即可. 【详解】A：，故A错误； B：，令，所以，故B正确； C：，所以，故C错误； D：，故D正确； 故选：BD. 三、填空题 4．若函数，则 . 【答案】2023！ 【分析】设，则，求出可得答案. 【详解】设， 则， ， . 故答案为： 5．设函数，若是函数的一个零点，则实数 ． 【答案】 【分析】根据导数的运算法则，求得，结合，即可求解. 【详解】由函数， 可得， 因为是函数的一个零点，所以，解得． 故答案为：. 3． 简单复合函数的导数（共6小题） 一、单选题 1．设定义在上的函数的导函数为，且，则（    ） A．4 B．8 C．16 D．32 【答案】D 【分析】两边求导，运用复合函数导数规则，再结合累乘计算即可. 【详解】两边对求导，得，即， 所以，累乘可得． 故选：D. 2．设函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】运用复合函数的求导规则计算即可. 【详解】． 故选：D. 3．下列求导运算不正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用导数运算法则及求导公式，逐项求导判断即可. 【详解】对于A：，A错误； 对于B，令，B正确； 对于C：，C正确； 对于D：，D正确. 故选：A 4．已知奇函数及其导函数的定义域均为，若，则（    ） A． B．0 C． D．1 【答案】C 【分析】对两边同时求导得，对，两边同时求导得，从而即可得，4为函数的周期，结合周期性求解即可． 【详解】因为函数及其导函数的定义域均为，且为奇函数， 所以， 两边同时求导得：，即， 又因为， 两边同时求导得：， 即，， 即， 所以， 两式相减得：， 所以为周期函数，4为最小正周期， 在中， 令，得,解得， 所以． 故选：C． 5．已知函数与它的导函数的定义域均为，现有下述两个命题： ①“为严格增函数”是“为严格增函数”的必要非充分条件. ②“为奇函数”是“为偶函数”的充分非必要条件； 则说法正确的选项是（    ） A．命题①和②均为真命题 B．命题①为真命题，命题②为假命题 C．命题①为假命题，命题②为真命题 D．命题①和②均为假命题 【答案】C 【分析】 可举例说明①中“为严格增函数”和“为严格增函数”之间的逻辑关系，即可判断其真假；结合复合函数的求导以及为奇函数可判断“为奇函数”和“为偶函数”之间的逻辑关系，即可判断②的真假，即得答案. 【详解】对于①，不妨取为R上严格增函数，其导函数在R上不是单调函数， 即“为严格增函数”推不出“为严格增函数”‘ 取，其导函数为R上严格增函数，但不是单调函数， 故“为严格增函数”推不出“为严格增函数”， 因此“为严格增函数”是“为严格增函数”的既不充分也不必要条件， 故①为假命题； 对于②，为奇函数，则， 故，即，即为偶函数； 当为偶函数时，不妨取，其导函数为偶函数， 但不是奇函数， 故“为奇函数”是“为偶函数”的充分非必要条件，②为真命题， 故选：C 6．若函数满足，则称函数为延展函数，已知延展函数和函数，满足当时，，．给定以下两个命题，则（    ） ①存在函数与有无穷多个交点； ②存在函数与有无穷多个交点． A．①真②真 B．①真②假 C．①假②真 D．①假②假 【答案】C 【分析】根据延展函数的定义，结合函数的图象判断即可得出结论. 【详解】对于①，当时，，此时，， 当时，，则， 由已知可得； 当时，，则， ，， 由上归纳可知，对任意的，，， 由图可知，对任意的非零实数以及，直线与函数图象的交点只有有限个，①错； 对于②，当时，， 则当时，，则，， 当时，，则，，， 以此类推可知，当时，， 则， 当，时，直线与函数在区间上的图象有无穷个公共点，②对. 故选：C. 、 一、单选题 1．（23-24高二下·上海·期末）已知函数的导函数为，且满足，则（    ） A．1 B． C． D．0 【答案】C 【分析】已知函数的导函数为，利用求导公式对进行求导，再把代入，即可求解． 【详解】函数的导函数为，且满足， ，把代入可得， 解得． 故选：C． 2．（22-23高二下·上海普陀·期末）下列求导运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据导数的运算法则求导后判断． 【详解】，A错； ，B错； ，C正确； ，D错． 故选：C． 3．（2023·上海浦东新·二模）已知函数，其导函数为，有以下两个命题： ①若为偶函数，则为奇函数； ②若为周期函数，则也为周期函数． 那么（    ）． A．①是真命题，②是假命题 B．①是假命题，②是真命题 C．①、②都是真命题 D．①、②都是假命题 【答案】D 【分析】取特殊函数，判断①、②的真假即可得解. 【详解】对①，取非奇函数，则为偶函数，故①为假命题； 对②，取函数，则函数不是周期函数，但是周期函数，故②为假命题. 故选：D 4．（23-24高二下·上海·期末）设的导函数是连续函数，则下面不正确的是（    ） A．如果是奇函数，则必是偶函数 B．如果是偶函数，则必是奇函数 C．如果是周期函数，则必是周期函数 D．如果是周期函数，则必是周期函数 【答案】D 【分析】根据导函数与原函数的关系、函数的奇偶性的性质，逐一分析选项，即可得出答案． 【详解】对于A：当是奇函数时，则，则有，故必是偶函数，故A正确； 对于B：是偶函数，则，则，故必是奇函数，故B正确； 对于C：是周期函数，则，则，故必是周期函数，故C正确； 对于D：设不是周期函数，， ，是周期函数，但不是周期函数，故D错误. 故选：D． 5．（23-24高二下·上海·期中）若曲线在点处的切线与直线垂直，则实数（   ） A．1 B． C．2 D． 【答案】B 【分析】利用导数的几何意义，求出切线斜率，再借助垂直关系求出值. 【详解】函数，求导得， 因此曲线在点处的切线斜率为， 而切线与直线垂直，所以. 故选：B 6．（23-24高三上·上海浦东新·期末）对于函数和，及区间，若存在实数，使得对任意恒成立，则称在区间上“优于”．有以下两个结论： ①在区间上优于； ②当时，在区间上优于． 那么（    ） A．①、②均正确 B．①正确，②错误 C．①错误，②正确 D．①、②均错误 【答案】B 【分析】在同一个平面直角坐标系作出函数在区间D上的图形，由题意给的定义，根据数形结合的数学思想依次判断即可求解. 【详解】①：当时，；当时，， 所以函数图象都经过点， 则直线的方程为，即， 在同一个平面直角坐标系作出函数在区间上的图形，如图， 由图可知，， 即存在使得在区间上恒成立， 所以在区间上优于，故①正确； ②：当时， 在同一个平面直角坐标系作出函数在区间上的图形，如图， 由图可得，，即， 所以直线的方程为，即. 设曲线在处且平行于直线的切线为， 由，，得，解得， 则切点， 所以，即， 由， 所以此时切线位于直线的下方，则当时存在实数使得. 所以当时，在区间上不一定优于，故②错误； 故选：B 【点睛】本题考查新定义的理解和应用，考查函数的综合性质，主要考查函数不等式恒成立问题和导数的几何意义，考查运算能力，注重培养数形结合的思想，属于难题. 二、多选题 7．（23-24高二下·四川广安·阶段练习）下列说法中正确的有（    ） A．已知，在函数图象上，若函数从到平均变化率为，则曲线的割线的倾斜角为 B．已知函数在上可导，且，则 C．一质点沿直线运动，位移（单位：m）与时间（单位：s）之间的关系为，则该质点在时的瞬时速度是 D．若，则 【答案】ABC 【分析】对于A，根据平均变化率的概念可以求解；对于B，根据导函数定义求解即可；对于C，根据导数和瞬时变化率的关系可求解；对于D，根据导数的四则运算可以判断. 【详解】对于A，根据平均变化率的概念可知：函数从到平均变化率即为割线的斜率， 即的斜率，所以割线的倾斜角为，故A正确； 对于B，由导函数定义可知， 故，B正确； 对于C，，故，故该质点在时的瞬时速度是，C正确； 对于D，若，则，D错误． 故选：ABC． 8．（23-24高二下·辽宁·期中）下列选项正确的是（    ） A．，则 B．，则 C． D．设函数且，则 【答案】AC 【分析】结合导数的求导法则依次求解． 【详解】对于A项，，则，故A项正确； 对于B项，，故B项错误； 对于C项，，故C项正确； 对于D项，，由，得，故D项错误； 故选：AC 9．（23-24高二下·江西南昌·阶段练习）已知曲线和直线，则（    ） A．曲线上与直线l平行的切线的切点为 B．曲线上与直线l平行的切线的切点为 C．曲线上的点到直线l的最短距离为 D．曲线上的点到直线l的最短距离为 【答案】BC 【分析】根据导数得出切线斜率求切点判断A,B,再结合点到直线距离求出最短距离判断C,D. 【详解】设与直线平行的直线和相切，则斜率为. 因为，所以，令，可得切点为，故A错误，B正确； 则点到直线的距离就是曲线上的点到直线的最短距离， 由点到直线的距离公式知最短距离为，故C正确，D错误. 故选：BC. 三、填空题 10．（23-24高二下·广东东莞·期中）已知，则 . 【答案】 【分析】由导数的运算求出，再求. 【详解】由，有， 所以. 故答案为： 11．（24-25高二上·全国·课后作业）设函数，则的最小值为 ． 【答案】8 【分析】求出函数导数，利用重要不等式求解. 【详解】的定义域为， 所以，当且仅当时等号成立， 故的最小值为8． 故答案为：8 四、解答题 12．（2024高三·全国·专题练习）已知函数． (1)求在区间上的平均变化率； (2)求曲线在点处的切线方程； (3)求曲线过点的切线方程． 【答案】(1)4047； (2)； (3)或 【分析】（1）由平均变化率的公式即可求解； （2）依次求出的值，利用导数的几何意义即可求切线方程； （3）首先设出切点坐标，利用可求出切点坐标，可得切线方程． 【详解】（1）在区间上的平均变化率为 ． （2）由，有，从而，， 则切点坐标为，切线斜率为4， 所以曲线在点处的切线方程为，即． （3）易知直线与曲线不相切， 故设切点为， 则由，可得，即，解得或， 当时，切点为，， 此时满足题意的切线方程为，显然它过点， 当时，切点为，， 此时满足题意的切线方程为，即，显然它过点， 综上所述，满足题意的切线方程为或． 13．（23-24高二下·广东潮州·期中）已知函数， (1)求； (2)若直线与曲线相切于点，求切点的坐标. 【答案】(1)(2) 【详解】（1）因为函数， 所以， 则， 解得. （2）由（1）易得 设切点，则 , 解得, 所以切点的坐标为. 14．（23-24高二下·北京·期中）已知函数，． (1)若曲线在点处的切线垂直于直线，求的值； (2)若，过点作曲线的切线，求此切线与坐标轴围成的三角形的面积． 【答案】(1)(2) 【详解】（1）直线的斜率为，所以切线斜率为， 由，，所以， 则，所以. （2） 如图：由题意知：，所以，定义域为， 由，则过点作曲线的切线斜率一定存在， 设切点为，设切线斜率为，则， 则， 又因为切线过两点，所以， 所以，解得，或（舍）， 所以，， 切线方程为，即， 令，，即切线横截距为，纵截距为， 所以此切线与坐标轴围成的三角形的面积为. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 5.2 导数的运算（三种题型基础练+能力提升练） 1． 基本初等函数的导数（共4小题） 1．下列求导运算正确的是（    ） A． B． C． D． 2．点P是曲线上一个动点，则点P到直线的距离的最小值是（    ） A． B． C． D． 3．已知函数，则的导函数 . 4．已知函数，则的值为 ． 2． 导数的四则运算（共5小题） 一、单选题 1．若曲线在处的切线方程为，则（    ） A． B． C． D． 二、多选题 2．下列说法中正确的是（    ） A． B． C．设函数，若，则 D．设函数的导函数为，且，则 3．下列命题正确的是（   ） A．若，则 B．设函数，且，则 C．已知函数，则 D． 三、填空题 4．若函数，则 . 5．设函数，若是函数的一个零点，则实数 ． 3． 简单复合函数的导数（共6小题） 一、单选题 1．设定义在上的函数的导函数为，且，则（    ） A．4 B．8 C．16 D．32 2．设函数，则（    ） A． B． C． D． 3．下列求导运算不正确的是（     ） A． B． C． D． 4．已知奇函数及其导函数的定义域均为，若，则（    ） A． B．0 C． D．1 5．已知函数与它的导函数的定义域均为，现有下述两个命题： ①“为严格增函数”是“为严格增函数”的必要非充分条件. ②“为奇函数”是“为偶函数”的充分非必要条件； 则说法正确的选项是（    ） A．命题①和②均为真命题 B．命题①为真命题，命题②为假命题 C．命题①为假命题，命题②为真命题 D．命题①和②均为假命题 6．若函数满足，则称函数为延展函数，已知延展函数和函数，满足当时，，．给定以下两个命题，则（    ） ①存在函数与有无穷多个交点； ②存在函数与有无穷多个交点． A．①真②真 B．①真②假 C．①假②真 D．①假②假 、 一、单选题 1．（23-24高二下·上海·期末）已知函数的导函数为，且满足，则（    ） A．1 B． C． D．0 2．（22-23高二下·上海普陀·期末）下列求导运算正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（2023·上海浦东新·二模）已知函数，其导函数为，有以下两个命题： ①若为偶函数，则为奇函数； ②若为周期函数，则也为周期函数． 那么（    ）． A．①是真命题，②是假命题 B．①是假命题，②是真命题 C．①、②都是真命题 D．①、②都是假命题 4．（23-24高二下·上海·期末）设的导函数是连续函数，则下面不正确的是（    ） A．如果是奇函数，则必是偶函数 B．如果是偶函数，则必是奇函数 C．如果是周期函数，则必是周期函数 D．如果是周期函数，则必是周期函数 5．（23-24高二下·上海·期中）若曲线在点处的切线与直线垂直，则实数（   ） A．1 B． C．2 D． 6．（23-24高三上·上海浦东新·期末）对于函数和，及区间，若存在实数，使得对任意恒成立，则称在区间上“优于”．有以下两个结论： ①在区间上优于； ②当时，在区间上优于． 那么（    ） A．①、②均正确 B．①正确，②错误 C．①错误，②正确 D．①、②均错误 二、多选题 7．（23-24高二下·四川广安·阶段练习）下列说法中正确的有（    ） A．已知，在函数图象上，若函数从到平均变化率为，则曲线的割线的倾斜角为 B．已知函数在上可导，且，则 C．一质点沿直线运动，位移（单位：m）与时间（单位：s）之间的关系为，则该质点在时的瞬时速度是 D．若，则 8．（23-24高二下·辽宁·期中）下列选项正确的是（    ） A．，则 B．，则 C． D．设函数且，则 9．（23-24高二下·江西南昌·阶段练习）已知曲线和直线，则（    ） A．曲线上与直线l平行的切线的切点为 B．曲线上与直线l平行的切线的切点为 C．曲线上的点到直线l的最短距离为 D．曲线上的点到直线l的最短距离为 三、填空题 10．（23-24高二下·广东东莞·期中）已知，则 . 11．（24-25高二上·全国·课后作业）设函数，则的最小值为 ． 四、解答题 12．（2024高三·全国·专题练习）已知函数． (1)求在区间上的平均变化率； (2)求曲线在点处的切线方程； (3)求曲线过点的切线方程． 13．（23-24高二下·广东潮州·期中）已知函数， (1)求； (2)若直线与曲线相切于点，求切点的坐标. 14．（23-24高二下·北京·期中）已知函数，． (1)若曲线在点处的切线垂直于直线，求的值； (2)若，过点作曲线的切线，求此切线与坐标轴围成的三角形的面积． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$