江苏省扬州市扬州大学附属中学东部分校2022-2023学年高二上学期第二次月考数学试卷

扬大附中东部分校2022-2023学年第一学期第二次模块学习效果调查高二年级数学学科试卷 一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分) 1．抛物线y2＝6x的焦点到准线的距离是(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 2．已知函数f(x)＝ln x，导函数为f′(x)，那么f′(2)等于(　　) A．－ B．－ C. D．1 3．圆被直线所截得的弦长为（     ） A． B． C． D． 4．以正弦曲线y＝sin x上一点P为切点的切线为直线l，则直线l的倾斜角的取值范围是(　　 ) A.∪ B．[0，π) C. D.∪ 5．等轴双曲线：（，）的焦距为4，则的一个焦点到一条渐近线的距离为（     ） A．1 B． C．2 D． 6．已知数列的前n项和为，，且，则下列说法中错误的是（     ） A． B． C．是等比数列 D．是等比数列 7．已知平面内两定点，，动点满足，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 8．若双曲线的渐近线与圆：相交，则此双曲线的离心率的取值范围是（     ） A． B． C． D． 二、多选题(本题共4小题，每小题5分．共20分，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分) 9．以直线2x－y－1＝0与坐标轴的交点为焦点的抛物线的标准方程为(　　 ) A．y2＝2x B．y2＝－4x C．x2＝－4y D．x2＝－2y 10．在数列中，如果对任意都有（为常数），则称为等差比数列，k称为公差比下列说法正确的是（     ） A．等差数列一定是等差比数列 B．等差比数列的公差比一定不为0 C．若，则数列是等差比数列 D．若等比数列是等差比数列，则其公比等于公差比 11．已知双曲线的左焦点与抛物线的焦点重合，是双曲线的右焦点，则下列说法正确的有（     ） A．抛物线的准线方程为 B．双曲线的实轴长为 C．双曲线的离心率为2 D．为双曲线上一点若，则 12．已知直线和曲线，点A是直线上的一个动点，点是曲线上的一个动点，过点A作曲线的两条切线，切点分别为､，则下列说法正确的是（    ） A．的最小值为 B．曲线上存在个点到直线的距离等于 C．若曲线上总存在点，使得，则A的横坐标的取值范围是 D．直线过定点 第II卷（非选择题） 三、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分) 13．已知点，，则直线的倾斜角为 . 14．若抛物线y2＝8x上一点P到其焦点的距离为10，则点P的坐标为 ． 15．若an＝(－1)n·(2n－1)，则数列{an}的前21项和S21＝________. 16．定义n个正数的“均倒数”为，若各项均为正数的数列的前n项的“均倒数”为，则的值为______ 四、解答题(本题共6小题，共70分) 17．(10分)已知数列{an}为等差数列，公差为d且a1＋a5＝－12，a4＋a8＝0. (1)求数列{an}的通项公式； (2)若等比数列{bn}满足b1＝－8，b2＝a1＋a2＋a3，求数列{bn}的通项公式． 18．(12分)已知圆C：（x﹣3）2+y2＝1与直线m：3x﹣y+6＝0，动直线l过定点A(0,1)． （1）若直线l与圆C相切，求直线l的方程； （2）若直线l与圆C相交于P、Q两点，点M是PQ的中点，直线l与直线m相交于点N．探索是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由． 19．(12分) 给出下列条件：①焦点在x轴上；②焦点在y轴上；③抛物线上横坐标为1的点A到其焦点F的距离等于2；④抛物线的准线方程是x＝－2. (1)对于顶点在原点O的抛物线C：从以上四个条件中选出两个适当的条件，使得抛物线C的方程是y2＝4x，并说明理由； (2)过点(4,0)的任意一条直线l与C：y2＝4x交于A，B两点，试探究是否总有⊥？请说明理由． 20．(12分)已知双曲线的渐近线为，焦点到渐近线的距离是． (1)求双曲线的方程； (2)已知直线与双曲线交于不同的两点A、B，且线段的中点在圆上，求实数的值． 21．(12分)己知等比数列的前项和为，且． (1)求数列的通项公式； (2)记，证明：． 22．(12分)已知椭圆的左､右焦点分别为，离心率，. (1)求椭圆的标准方程； (2)过点的直线与该椭圆交于两点，且，求直线的方程. 试卷第4页，共4页 试卷第3页，共4页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 扬大附中东部分校2022-2023学年第一学期第二次模块学习效果调查高二年级数学学科试卷 一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分) 1．抛物线y2＝6x的焦点到准线的距离是(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 答案　C 解析　抛物线的焦点到准线的距离为p＝3. 2．已知函数f(x)＝ln x，导函数为f′(x)，那么f′(2)等于(　　) A．－ B．－ C. D．1 答案　C 解析　因为f(x)＝ln x，则f′(x)＝，所以f′(2)＝. 3．圆被直线所截得的弦长为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将圆化为标准方程，得到圆心坐标及半径，求出圆心到直线的距离，利用几何法求出圆的弦长即可. 【详解】圆标准方程是，圆心坐标为，圆半径为2， 圆心到直线的距离是，所以弦长为． 故选：C. 4．以正弦曲线y＝sin x上一点P为切点的切线为直线l，则直线l的倾斜角的取值范围是(　　 ) A.∪ B．[0，π) C. D.∪ 答案　A 解析　y′＝cos x，∵cos x∈[－1,1]，∴切线的斜率的取值范围是[－1,1]，∴倾斜角的范围是∪. 5．等轴双曲线：（，）的焦距为4，则的一个焦点到一条渐近线的距离为（     ） A．1 B． C．2 D． 【答案】B 【详解】解：由题可知，双曲线为等轴双曲线， 故双曲线的半实轴长与半虚轴长相等，即，渐近线方程为， 又，所以，双曲线的焦点坐标为、， 一个焦点到一条渐近线的距离为． 故选：B． 6．已知数列的前n项和为，，且，则下列说法中错误的是（     ） A． B． C．是等比数列 D．是等比数列 【答案】C 【详解】由题意数列的前项和为，，且， 则，即，所以即选项A正确； 因为①，∴当 时，②， ①-②可得，，即，当时，，不满足 ， 故数列不是等比数列，故C错误， 由时，可得，则，故，故B正确； 由得：所以 令，则,所以 所以，即，故是首项为， 公比为4的等比数列，D正确， 故选：C. 7．已知平面内两定点，，动点满足，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设点坐标为，又，，则，即， 则点在以原点为圆心，半径为的圆上，则表示点到圆上一动点的距离，又，故点在圆内部，则最小值为. 故选：A. 8．若双曲线的渐近线与圆：相交，则此双曲线的离心率的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】双曲线的渐近线与圆相交，则圆心到渐近线的距离小于半径，解出的不等式代入离心率算式即可． 【详解】由圆化为标准方程，得到圆心，半径．双曲线的渐近线与圆相交， 则圆心到渐近线的距离小于半径，即，可得，∴，即，又∵， ．该双曲线的离心率的取值范围是． 故选：A． 二、多选题(本题共4小题，每小题5分．共20分，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分) 9．以直线2x－y－1＝0与坐标轴的交点为焦点的抛物线的标准方程为(　　 ) A．y2＝2x B．y2＝－4x C．x2＝－4y D．x2＝－2y 答案　AC 解析　直线2x－y－1＝0与x轴的交点坐标是，即抛物线的焦点坐标是， 此时抛物线的标准方程是y2＝2x， 与y轴的交点坐标是(0，－1)，抛物线的焦点坐标是(0，－1)，此时抛物线的标准方程是x2＝－4y. 10．在数列中，如果对任意都有（为常数），则称为等差比数列，k称为公差比下列说法正确的是（     ） A．等差数列一定是等差比数列 B．等差比数列的公差比一定不为0 C．若，则数列是等差比数列 D．若等比数列是等差比数列，则其公比等于公差比 【答案】BCD 【解析】考虑常数列可以判定A错误，利用反证法判定B正确，代入等差比数列公式判定CD正确. 【详解】对于数列，考虑，无意义，所以A选项错误； 若等差比数列的公差比为0，，则与题目矛盾，所以B选项说法正确； 若，，数列是等差比数列，所以C选项正确； 若等比数列是等差比数列，则， ，所以D选项正确. 【点睛】易错点睛：此题考查等差数列和等比数列相关的新定义问题.解决此类问题应该注意： （1）常数列作为特殊的等差数列公差为0； （2）非零常数列作为特殊等比数列公比为1. 11．已知双曲线的左焦点与抛物线的焦点重合，是双曲线的右焦点，则下列说法正确的有（     ） A．抛物线的准线方程为 B．双曲线的实轴长为 C．双曲线的离心率为2 D．为双曲线上一点若，则 【答案】BD 【详解】：对于A，抛物线的准线方程是，A选项错误； 对于B，抛物线的焦点是，所以，，， 在双曲线中，则，解得或（舍去）， 所以，双曲线的实轴长为，B选项正确； 对于C，双曲线的离心率，C选项错误； 对于D，由双曲线定义，即， 解得或（舍去），D选项正确； 12．已知直线和曲线，点A是直线上的一个动点，点是曲线上的一个动点，过点A作曲线的两条切线，切点分别为､，则下列说法正确的是（    ） A．的最小值为 B．曲线上存在个点到直线的距离等于 C．若曲线上总存在点，使得，则A的横坐标的取值范围是 D．直线过定点 【答案】ACD 【详解】对于A:因为，所以最小时，最小. 因为当是点到直线的距离时，最小，最小值为， 因此最小为，故A正确； 对于B：由选项A知：点到直线的距离为，而圆的半径为， 因此曲线上存在个点到直线的距离等于，故B错误； 对于C：因为点A是直线上的一个动点，所以设， 因为曲线上总存在点，使得，所以， 因此， 又因为在中，， 所以，即，解得， 因此点A的横坐标的取值范围是，故C正确； 对于D:由题意过点A作曲线的两条切线，切点分别为､， 可知､两点在以为直径的圆上， 设，则为直径的圆的方程为， 和相减可得直线的方程，即， 即，由于，故由，得， 所以直线恒过定点，故D正确. 第II卷（非选择题） 三、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分) 13．已知点，，则直线的倾斜角为 . 60° 14．若抛物线y2＝8x上一点P到其焦点的距离为10，则点P的坐标为 ． 【答案】（8,±8） 【详解】设P（xP,yP），∵点P到焦点的距离等于它到准线x＝﹣2的距离， 抛物线y2＝8x，xp+2＝10，∴xP＝8，yP＝±8， 故答案为：（8,±8）． 15．若an＝(－1)n·(2n－1)，则数列{an}的前21项和S21＝________. 答案　－21 解析　S21＝(－1＋3)＋(－5＋7)＋…－41＝2×10－41＝－21. 16．定义n个正数的“均倒数”为，若各项均为正数的数列的前n项的“均倒数”为，则的值为______ 【答案】8091 【详解】由已知可得数列的前项的“均倒数”为 可得,则时, ，当时,,满足, .故答案为: 8091 . 四、解答题(本题共6小题，共70分) 17．(10分)已知数列{an}为等差数列，且a1＋a5＝－12，a4＋a8＝0. (1)求数列{an}的通项公式； (2)若等比数列{bn}满足b1＝－8，b2＝a1＋a2＋a3，求数列{bn}的通项公式． 解　(1)设等差数列{an}的公差为d， 因为a1＋a5＝2a3＝－12，a4＋a8＝2a6＝0，所以所以 解得所以an＝－10＋2(n－1)＝2n－12，n∈N*. (2)设等比数列{bn}的公比为q，因为b2＝a1＋a2＋a3＝－24，b1＝－8， 所以－8q＝－24，即q＝3，因此bn＝b1·qn－1＝(－8)×3n－1，n∈N*. 18．(12分)已知圆C：（x﹣3）2+y2＝1与直线m：3x﹣y+6＝0，动直线l过定点A(0,1)． （1）若直线l与圆C相切，求直线l的方程； （2）若直线l与圆C相交于P、Q两点，点M是PQ的中点，直线l与直线m相交于点N．探索是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由． 【答案】（1）y＝1或；（2）是，-5. 【详解】（1）1°当直线l的斜率不存在时，l的方程为x＝0，与圆C不相切； 2°当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为，即， ∴，解得或，∴直线l的方程为y＝1或； （2）由题意可知直线l的斜率存在，设l的方程为y＝kx+1，M（x0，y0）， 由消去y得，（1+k2）x2﹣（6﹣2k）x+9＝0，∴， ∴，∴，由得，， ∴，∴， ∴， ∴为定值． 19．(12分) 给出下列条件：①焦点在x轴上；②焦点在y轴上；③抛物线上横坐标为1的点A到其焦点F的距离等于2；④抛物线的准线方程是x＝－2. (1)对于顶点在原点O的抛物线C：从以上四个条件中选出两个适当的条件，使得抛物线C的方程是y2＝4x，并说明理由； (2)过点(4,0)的任意一条直线l与C：y2＝4x交于A，B两点，试探究是否总有⊥？请说明理由． 解　(1)因为抛物线C：y2＝4x的焦点F(1,0)在x轴上，所以条件①适合，条件②不适合． 又因为抛物线C：y2＝4x的准线方程为x＝－1，所以条件④不适合题意． 当选择条件③时，AF＝xA＋1＝1＋1＝2，此时适合题意． 故选择条件①③时，可得抛物线C的方程是y2＝4x. (2)由题意得直线l的斜率不为0， 设直线l的方程为x＝ty＋4，A(x1，y1)，B(x2，y2)．由消x得， y2－4ty－16＝0，所以Δ>0恒成立，y1＋y2＝4t，y1y2＝－16， 则x1x2＝(ty1＋4)(ty2＋4)＝t2y1y2＋4t(y1＋y2)＋16＝－16t2＋16t2＋16＝16， 所以·＝x1x2＋y1y2＝16－16＝0，所以⊥. 综上所述，无论l如何变化，总有⊥. 20．(12分)已知双曲线的渐近线为，焦点到渐近线的距离是． (1)求双曲线的方程； (2)已知直线与双曲线交于不同的两点A、B，且线段的中点在圆上，求实数的值． 【答案】(1);(2) 【详解】（1）由题知，，设右焦点，取一条渐近线， 则焦点到渐近线的距离，，从而，所以双曲线的方程为. （2）解：设，，由，得， 则，，所以，则中点坐标为， 代入圆，得，所以． 21．(12分)己知等比数列的前项和为，且． (1)求数列的通项公式； (2)记，证明：． 【详解】（1）因为，则当时，， 当时，由可得，                       所以，即，          因为是等比数列，则该数列的公比为，则， 所以，即，所以数列的通项公式. （2）由（1）得，所以， 故 . 22．(12分)已知椭圆的左､右焦点分别为，离心率，. (1)求椭圆的标准方程； (2)过点的直线与该椭圆交于两点，且，求直线的方程. 【答案】(1);(2)或 【详解】（1）由已知得，解得，， 所求椭圆的方程为； （2）由（1）得. ①若直线的斜率不存在，则直线的方程为，由得. 设，，这与已知相矛盾. ②若直线的斜率存在，设直线直线的斜率为，则直线的方程为， 设，联立，消元得， ，， 又，， 化简得， 解得或（舍去） 所求直线的方程为或. 试卷第10页，共10页 试卷第9页，共10页 学科网（北京）股份有限公司 $$