精品解析：甘肃省嘉峪关市嘉峪关市第五中学2024-2025学年九年级上学期11月期中数学试题

嘉峪关市第五中学2024-2025学年第一学期期中考试 九年级数学试题 一、单项选择题（每题3分，共30分） 1. “一窗一姿容，一窗一景致”，古典园林中的窗户是中国传统建筑装饰的重要组成部分，下列园林窗户图案中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，把绕点O顺时针旋转得到，则旋转角是（ ） A. B. C. D. 4. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 5. 用配方法解方程时，配方结果正确的是（　　） A. B. C. D. 6. 对于抛物线，下列说法错误的是（ ） A. 抛物线开口向下 B. 当时， C. 抛物线与x轴有两个交点 D. 当时，y有最小值为10 7. 如图，在长为80cm，宽为60cm的矩形油画四周镶嵌同样宽的装饰，若装饰后的画面的面积为，求镶嵌的装饰部分的宽度？若设镶嵌的装饰部分的宽度为，则可列的一元二次方程是（　　） A. B. C. D. 8. 如图，在中，，，，将绕点旋转后得到，则点的坐标是（ ） A. B. 或 C. D. 或 9. 二次函数的图象如图所示，现有以下结论：①；②；③；④；⑤，其中正确结论的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 10. 如图，在等腰直角中，，，点从点出发沿方向向点匀速运动，同时点从点出发沿方向向点匀速运动，点，的运动速度均为每秒个单位长度，连接，设运动时间为秒，的面积为（当点与点或点重合时，规定），则与之间的函数关系的图象为（　　） A. B. C. D. 二、填空题（每题3分，共18分） 11. 在平面直角坐标系中，点关于原点的对称点的坐标为_______． 12. 关于x的一元二次方程 有一根为0，则________． 13. 化学课代表在老师的培训下，学会了高锰酸钾制取氧气的实验室制法，回到班上后，第一节课手把手教会了若干名同学，第二节课会做该实验的每个同学又手把手教会了同样多的同学，这样全班49人恰好都会做这个实验了．问一个人每节课手把手教会了多少名同学？假设一个人每节课手把手教会了名同学，可列方程为__________________． 14. 若A(-，)、B(-1，)、C(， )为二次函数图象上的三点，则、、的大小关系是________． 15. 如图，在中，，，．将绕点逆时针旋转，使点落在线段上的点处，点落在点处，则，两点间的距离为________． 16. 如图，将边长为1的正三角形沿x轴正方向作无滑动的连续反转，点P依次落在点、、…的位置，则点的坐标为______． 三、解答题（共38分） 17. 解下列关于x的一元二次方程： （1）； （2）； （3）． 18. 嘉嘉同学解一元二次方程的过程如下． 解：，① ，，，② ，③ 方程有两个相等的实数根④ （1）嘉嘉解方程的方法是______；他的求解过程从第______步开始出现错误． （2）请你写出这个方程正确的解题步骤，并求出方程的根． 19. 如图，△ABC在平面直角坐标系内，三个顶点的坐标分别为，，．（正方形网格中，每个小正方形的边长是1个单位长度） （1）作出绕点顺时针方向旋转后得到的； （2）作出关于原点成中心对称的． 20. 已知二次函数． （1）求图象的开口方向、对称轴、图象与x轴的交点坐标； （2）当x为何值时，y随x的增大而增大？ （3）直接写出抛物线向左平移4个单位长度，再向下平移3个单位长度后的解析式． 21. 已知关于x的一元二次方程． （1）若方程有实数根，求k的取值范围； （2）方程的一个根可以为1吗？如果可以，求k的值；如果不可以，说明理由． 22. 某校初三年级的一场篮球比赛中，如图队员甲正在投篮，已知球出手时离地面高，当球出手后水平距离为时到达最大高度，设篮球运行的轨迹为抛物线，建立如图的平面直角坐标系． （1）求出抛物线的解析式； （2）若队员与篮圈中心的水平距离为，篮圈距地面，问此球能否准确投中？ 四、解答题（共34分） 23. 如图，D为等边内一点，将线段绕点A逆时针旋转，得到线段，连接，． （1）求证：； （2）连接，若，求的度数． 24. 2024年巴黎奥运会顺利闭幕，吉祥物“弗里热”深受奥运迷的喜爱，某商场以20元1个的购进一批“弗里热”纪念品，以30元/个的价格售出，每周可以卖出500个，经过市场调查发现，每个价格每涨1元，就少卖10个．当售价定为多少时，商场获得最大利润？最大利润为多少？ 25. 在正方形中，E是边上一点． （1）将绕点A顺时针旋转得到，如图①所示，观察可知，与相等的线段是______，＝______． （2）如图2，在正方形中，P，Q分别是，边上的点，且，猜想线段，，的数量关系，并证明； （3）在图2中，连接分别交，于点M，N，请写出，，的数量关系． 26. 如图，二次函数的图象交x轴于A、B两点，交y轴于点D．已知抛物线的对称轴为，点D的坐标为，点B的坐标为． （1）求二次函数的解析式． （2）根据图象直接写出使一次函数值大于二次函数值x的取值范围． （3）P是线段上的一个动点，过P点作x轴的垂线，交抛物线于点M，当点P在第一象限内时，求线段长度的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 嘉峪关市第五中学2024-2025学年第一学期期中考试 九年级数学试题 一、单项选择题（每题3分，共30分） 1. “一窗一姿容，一窗一景致”，古典园林中的窗户是中国传统建筑装饰的重要组成部分，下列园林窗户图案中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形的识别．熟练掌握如果把一个图形绕某一点旋转后能与自身重合，这个图形是中心对称图形是解题的关键． 根据中心对称图形的定义进行判断即可． 【详解】解：由题意知，A、B、D不是中心对称图形，故不符合要求；C是中心对称图形，故符合要求； 故选：C． 2. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的定义，解题的关键是掌握一元二次方程的三个要素：①整式方程；②只含有一个未知数；③未知数的最高次数是．据此判断即可． 【详解】解：A．该方程是一元二次方程，故此选项符合题意； B．该方程未知数的最高次数是，不是一元二次方程，故此选项不符合题意； C．该方程含有两个未知数，不是一元二次方程，故此选项不符合题意； D．该方程不是整式方程，不是一元二次方程，故此选项不符合题意． 故选：A． 3. 如图，把绕点O顺时针旋转得到，则旋转角是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查旋转变换，旋转角等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考基础题．根据旋旋转角的定义即可判断； 【详解】解：如图，把绕点顺时针旋转得到， 旋转角是或， 故选：A． 4. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了顶点式的顶点坐标，根据的顶点为求解，即可解题． 【详解】解：抛物线的顶点坐标是， 故选：B． 5. 用配方法解方程时，配方结果正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用配方法，即可求解． 【详解】解：， 移项得：， 配方得：． 故选：D 【点睛】本题主要考查了解一元二次方程—配方法，熟练掌握配方法是解题的关键． 6. 对于抛物线，下列说法错误的是（ ） A. 抛物线开口向下 B. 当时， C. 抛物线与x轴有两个交点 D. 当时，y有最小值为10 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次函数的性质，二次函数图象与系数的关系，二次函数与方程及不等式的关系，根据二次函数解析式可得抛物线开口方向，抛物线与轴交点个数及二次函数的最值，从而确定正确的选项． 【详解】解：， 抛物线开口向下，顶点坐标为，时随增大而减小，当时，，当时有最大值为10， 选项A，B正确，D错误， 当时，，方程有两不等根，即抛物线与轴有2个交点，故C选项正确， 故选：D． 7. 如图，在长为80cm，宽为60cm的矩形油画四周镶嵌同样宽的装饰，若装饰后的画面的面积为，求镶嵌的装饰部分的宽度？若设镶嵌的装饰部分的宽度为，则可列的一元二次方程是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设镶嵌的装饰部分的宽度为，则装饰后的画面的长为，宽为，然后根据面积为得出方程． 【详解】解：设镶嵌的装饰部分的宽度为， 由题意得：， 故选：B． 【点睛】此题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，对于面积问题应熟记各种图形的面积公式，然后根据题意列出方程． 8. 如图，在中，，，，将绕点旋转后得到，则点的坐标是（ ） A. B. 或 C. D. 或 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了坐标与图形变化-旋转．把绕点O逆时针或顺时针旋转后得到时，根据点的位置得出坐标． 【详解】解：∵在中，，，， ∴绕点O逆时针旋转后得到，点在第二象限， ∴； 当绕点O顺时针旋转后得到，点在第四象限， ∴． 故选：B． 9. 二次函数的图象如图所示，现有以下结论：①；②；③；④；⑤，其中正确结论的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数与方程及不等式的关系．由抛物线开口方向，对称轴位置，抛物线与压轴交点位置可判断①④，由时可判断②，由抛物线对称性及时可判断③，由时取最大值可判断⑤． 【详解】解：抛物线开口向下， ， 抛物线对称轴为直线， ， ，④正确， 抛物线与轴交点在轴上方， ， ，①错误． 时，， ，②错误． 抛物线对称轴为直线，时， 时，，③正确． 时取最大值， ，即，⑤正确． 故选：C． 10. 如图，在等腰直角中，，，点从点出发沿方向向点匀速运动，同时点从点出发沿方向向点匀速运动，点，的运动速度均为每秒个单位长度，连接，设运动时间为秒，的面积为（当点与点或点重合时，规定），则与之间的函数关系的图象为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题是动点问题的函数图像，根据题意可得：，，，再由，可得出，运用二次函数的图像和性质即可判断答案．解题的关键是以动点问题为背景，研究三角形面积的变化，利用直角三角形面积等于两直角边乘积的一半求解即可． 【详解】解：∵在等腰直角中，，，点从点出发沿方向向点匀速运动，同时点从点出发沿方向向点匀速运动，点，的运动速度均为每秒个单位长度，运动时间为秒（当点与点或点重合时，规定）， ∴，，， ∴， ∴， ∴与之间的函数关系的图像为抛物线， ∵， ∴当时，． 故选：D． 二、填空题（每题3分，共18分） 11. 在平面直角坐标系中，点关于原点的对称点的坐标为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了关于原点对称的点的坐标，根据关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数列式求解即可． 【详解】解：点关于原点的对称点的坐标为 故答案为：． 12. 关于x的一元二次方程 有一根为0，则________． 【答案】 【解析】 【分析】把代入方程，得到关于的方程，结合一元二次方程的二次项系数不为0，进行求解即可. 【详解】解：由题意，且， 解得. 13. 化学课代表在老师的培训下，学会了高锰酸钾制取氧气的实验室制法，回到班上后，第一节课手把手教会了若干名同学，第二节课会做该实验的每个同学又手把手教会了同样多的同学，这样全班49人恰好都会做这个实验了．问一个人每节课手把手教会了多少名同学？假设一个人每节课手把手教会了名同学，可列方程为__________________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用．设一个人每节课手把手教会了名同学，根据第二节课后全班49人恰好都会做这个实验了，可列出关于的一元二次方程． 【详解】解：设一个人每节课手把手教会了名同学， 根据题意得：，即 故答案为：． 14. 若A(-，)、B(-1，)、C(， )为二次函数图象上的三点，则、、的大小关系是________． 【答案】 【解析】 【分析】先求出二次函数的对称轴，再通过比较三个点到对称轴的远近确定函数值的大小． 【详解】二次函数的开口向下，对称轴为直线， 点A(-，)关于直线的对称点是(，)， 当x>-2时y 随x的增大而减小 ∵， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了对二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质等知识点的理解和掌握，能熟练地运用二次函数的性质进行推理是解此题的关键． 15. 如图，在中，，，．将绕点逆时针旋转，使点落在线段上的点处，点落在点处，则，两点间的距离为________． 【答案】 【解析】 【分析】通过勾股定理计算出长度，利用旋转性质求出各对应线段长度，利用勾股定理求出，两点间的距离． 【详解】解：连接． ∵在中，，，， ∴， 将绕点逆时针旋转，使点落在线段上的点处，点落在点处， ∴，，， ∴， ， 在中，， ∴，两点间的距离为． 故答案为：． 【点睛】本题考查勾股定理和旋转的基本性质，解题的关键是掌握旋转的基本性质，特别是线段之间的关系． 16. 如图，将边长为1的正三角形沿x轴正方向作无滑动的连续反转，点P依次落在点、、…的位置，则点的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查翻折变换，等边三角形的性质及坐标与图形性质，根据题意得出、、的横坐标，得出规律是解答此题的关键．根据图形的翻转，分别得出、、的横坐标，再根据规律即可得出各个点的横坐标，进一步得出答案即可． 【详解】解：由题意可知、的横坐标是1，的横坐标是2.5，、的横坐标是4，的横坐标是 依此类推下去，、的横坐标是2023，纵坐标是0， 的坐标是， 故答案为：． 三、解答题（共38分） 17. 解下列关于x的一元二次方程： （1）； （2）； （3）． 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查的是一元二次方程的解法，掌握因式分解法，公式法，直接开平方法解一元二次方程是解本题的关键． （1）将化成，再由直接开平方法解方程即可； （2）将因式分解成，在求解即可； （3）直接用公式法求解即可． 【小问1详解】 ， ， ， 或， ，． 【小问2详解】 ， ， ， 或， ． 【小问3详解】 ， ， ， ， ． 18. 嘉嘉同学解一元二次方程的过程如下． 解：，① ，，，② ，③ 方程有两个相等的实数根④ （1）嘉嘉解方程的方法是______；他的求解过程从第______步开始出现错误． （2）请你写出这个方程正确的解题步骤，并求出方程的根． 【答案】（1）公式法，② （2） 解：， ，，， ， ， ，． 【解析】 【分析】本题考查了公式法解一元二次方程，熟练掌握公式法的解题步骤是解决本题的关键． （1）根据嘉嘉的解题过程可知，他采用的方法是公式法，因为表示系数时错误，从第②步开始出现错误； （2）利用公式法，先求出，再求出方程的根即可． 【小问1详解】 解：嘉嘉解方程的方法是公式法，求解过程中，，，他的表示系数时错误，所以，从第②步开始出现错误， 故答案为：公式法，②； 【小问2详解】 略 19. 如图，△ABC在平面直角坐标系内，三个顶点的坐标分别为，，．（正方形网格中，每个小正方形的边长是1个单位长度） （1）作出绕点顺时针方向旋转后得到的； （2）作出关于原点成中心对称的． 【答案】（1） 即为所求： （2） 即为所求： 【解析】 【分析】本题考查中心对称和性质作图，抓住中心对称和旋转的性质是关键． （1）分别找到点关于原点对称的点，连接三个点即可； （2）分别作线段绕原点顺时针旋转得到三个短点，连接三个点即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 20. 已知二次函数． （1）求图象的开口方向、对称轴、图象与x轴的交点坐标； （2）当x为何值时，y随x的增大而增大？ （3）直接写出抛物线向左平移4个单位长度，再向下平移3个单位长度后的解析式． 【答案】（1）开口向上，对称轴是直线，与轴交点的坐标是、 （2）当时，随增大而增大 （3） 【解析】 【分析】此题考查了二次函数的性质与图象，考查了通过配方法求顶点式，求对称轴，开口方向；还考查了二次函数的增减性及二次函数的平移． （1）根据的符号判断抛物线的开口方向；根据顶点式可求顶点坐标及对称轴；根据图象与轴和轴的相交的特点可求出坐标； （2）根据二次函数的增减性，当时，在对称轴的右侧，随的增大而增大； （3）根据二次函数图象平移的规律进行求解即可． 【小问1详解】 解：， 图象开口向上； ， 对称轴是直线， 由图象与轴相交则，代入得：， 解方程得或， 与轴交点的坐标是、； 【小问2详解】 解：对称轴，图象开口向上， 当时，随增大而增大； 【小问3详解】 解：抛物线向左平移4个单位长度，再向下平移3个单位长度， 平移后的解析式为， 即． 21. 已知关于x的一元二次方程． （1）若方程有实数根，求k的取值范围； （2）方程的一个根可以为1吗？如果可以，求k的值；如果不可以，说明理由． 【答案】（1）； （2）可以，k的值为1 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式和一元二次该方程的解． （1）根据根的判别式公式，令，得到关于的一元一次不等式，解之即可． （2）由于是方程的一个根，直接把它代入方程即可求出的值． 【小问1详解】 ∵方程有实数根， ∴， ∴， ∴k的取值范围为； 【小问2详解】 可以； 把代入原方程，得，解得， ∵， ∴方程的一个根可以为1，此时k的值为1． 22. 某校初三年级的一场篮球比赛中，如图队员甲正在投篮，已知球出手时离地面高，当球出手后水平距离为时到达最大高度，设篮球运行的轨迹为抛物线，建立如图的平面直角坐标系． （1）求出抛物线的解析式； （2）若队员与篮圈中心的水平距离为，篮圈距地面，问此球能否准确投中？ 【答案】（1）； （2）此球一定能投中． 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用． （1）根据抛物线的顶点坐标及球出手时的坐标，可确定抛物线的解析式； （2）令，求出的值，与比较即可作出判断． 【小问1详解】 解：根据题意，球出手点、最高点和篮圈的坐标分别为： ，， 设二次函数解析式为， 将点代入可得：， 解得：， 抛物线解析式为：； 【小问2详解】 解：将点坐标代入抛物线解析式得： ， 左边右边， 即点在抛物线上， 此球一定能投中． 四、解答题（共34分） 23. 如图，D为等边内一点，将线段绕点A逆时针旋转，得到线段，连接，． （1）求证：； （2）连接，若，求的度数． 【答案】（1） 证明：∵是等边三角形， ∴，， ∵线段绕点A逆时针旋转得到线段， ∴，， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴． （2） 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定及性质、旋转的性质及等边三角形的判定及性质，熟练掌握其判定及性质是解题的关键． （1）根据等边三角形的性质得，，根据旋转的性质得，，利用即可得出结论． （2）由（1）得，进而可得，根据旋转的性质可得，，进而可得是等边三角形，则可得，进而可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）得：， ∴， ∵线段绕点A逆时针旋转得到线段， ∴，， ∴是等边三角形， ∴， ∴． 24. 2024年巴黎奥运会顺利闭幕，吉祥物“弗里热”深受奥运迷的喜爱，某商场以20元1个的购进一批“弗里热”纪念品，以30元/个的价格售出，每周可以卖出500个，经过市场调查发现，每个价格每涨1元，就少卖10个．当售价定为多少时，商场获得最大利润？最大利润为多少？ 【答案】将售价定为每个50元时，商场获得最大利润是9000元 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的实际应用，解题的关键是理解题意，找到题目中蕴含的相等关系列出函数解析式并配方是解题的关键．根据总利润=每个商品利润×销售量即可得二次函数关系式，并配方成顶点式即可得． 【详解】解：设售价应定为元，商场获得最大利润为元． 由题意可得：， ， 当时，取得最大值9000， 将售价定为每个50元时，商场获得最大利润是9000元． 25. 在正方形中，E是边上一点． （1）将绕点A顺时针旋转得到，如图①所示，观察可知，与相等的线段是______，＝______． （2）如图2，在正方形中，P，Q分别是，边上的点，且，猜想线段，，的数量关系，并证明； （3）在图2中，连接分别交，于点M，N，请写出，，的数量关系． 【答案】（1）， （2） 解：．证明如下： 如图，将绕点A顺时针旋转得到，则． ， ， 点E，B，P共线． 由旋转的性质，知． ， ， ． 在和中， ， ， ， ． （3） 【解析】 【分析】（1）根据旋转的性质得到； （2）将绕点A顺时针旋转得到，证明，得到即可证明结论； （3）将绕点A按顺时针方向旋转得到，连接．根据题意证明，得到为直角三角形，根据勾股定理以及等量代换即可得到答案． 【小问1详解】 解：绕点A顺时针旋转得到，使重合， 故答案为：，． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：．理由如下： 如图，将绕点A按顺时针方向旋转得到，连接． 四边形为正方形， ． 由旋转的性质，得． ， ， ． 在和中， ， ． ， 为直角三角形， ， ． 【点睛】本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等；对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角．也考查了三角形全等的判定与性质、正方形的性质以及勾股定理． 26. 如图，二次函数的图象交x轴于A、B两点，交y轴于点D．已知抛物线的对称轴为，点D的坐标为，点B的坐标为． （1）求二次函数的解析式． （2）根据图象直接写出使一次函数值大于二次函数值x的取值范围． （3）P是线段上的一个动点，过P点作x轴的垂线，交抛物线于点M，当点P在第一象限内时，求线段长度的最大值． 【答案】（1） （2）或 （3） 【解析】 【分析】本题属于二次函数综合题，主要考查了待定系数法，二次函数的性质，方程思想等知识，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质． （1）可设抛物线解析式为，利用待定系数法求解即可； （2）根据图象即可求得使一次函数值大于二次函数值的的取值范围； （3）利用待定系数法可求得直线解析式，设出点坐标，从而可表示出的长度，利用二次函数的性质可求得其最大值． 【小问1详解】 解：设抛物线解析式为， 抛物线的对称轴为，且过点D ， B ． ，解得：， 抛物线解析式为； 【小问2详解】 解：，， 使一次函数值大于二次函数值的的取值范围是或， 故答案为：或； 【小问3详解】 解：点坐标为， 可设直线解析式为， 把点坐标代入可得， 解得， 直线解析式为， 设点横坐标为，则，， ， 当，长度的最大值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $