3.2 等式的基本性质 （第1课时 等式的基本性质）（教学课件）-2024-2025学年七年级数学上册考试满分全攻略同步备课备考系列（湘教版2024）

湘教版（2024）七年级数学上册 第三章 一次方程（组） 3.2.1 等式的基本性质 3.2 等式的基本性质 目录/CONTENTS 新知探究 情景导入 学习目标 课堂反馈 分层练习 课堂小结 学习目标 1.理解并掌握等式的基本性质. 2.会用等式的基本性质将等式作简单的变形. 情景导入 前面我们经历了估计方程的解的过程，可以发现这一过程比较复杂，因此，需要寻找一种求方程的解的一般方法. 在小学，已经学习了等式的基本性质，即 等式的基本性质I 等式两边都加上或减去同一个数，等式两边仍然相等. 等式的基本性质II 等式两边都乘同一个数，或除以同一个不为0的数，等式两边仍然相等. 方程是含有未知数的等式，那么对于含有未知数的等式，上述基本性质还成立吗？下面来研究. 新知探究 （1）方程 5x=4x+2的解是多少？ 设数a是方程 5x=4x+2的解，则5a=4a+2. 5a=4a+2 a= 2 两边同时减去4a 因此，2是方程5x=4x+2的唯一解. 思 考 5x=4x+2 x=2 两边都减去4x 等式的基本性质1： 等式两边都加上或减去同一个数（或整式），等式两边仍然相等. 又 新知探究 （2）方程 的解是多少？ 设数b是方程 的解，则 . 两边都乘3 因此，15是方程的唯一解. x=15 两边同乘3或除以 等式的基本性质2： 等式两边都乘同一个数，或除以同一个不为0的数，等式两边仍然相等. 又 课本例题 例1 填空，并说明理由. (1)如果 x+2=y+7，那么 x =________； (2)如果3x=9y，那么 x =________； (3)如果-x= y，那么3x =________. (1) 由等式的基本性质1可知，等式两边都减去2， y+5 得 x+2-2=y+7-2 即 x = y+5 . 解： (2)如果3x=9y，那么 x =________； (3)如果-x= y，那么3x =________. (2) 由等式的基本性质2可知，等式两边都除以3， 即 x = 3y . 得 = (3) 由等式的基本性质2可知，等式两边都乘 -6， 即 3x = -2y . 得 - -2y 3y 例2 判断下列等式变形是否正确，并说明理由. (1) 如果2m-3n=7，那么2m =7-3n； (2) 如果 = ，那么5(2x-1)= 4(4x-2). (1) 错误. 解： 由等式的基本性质1可知， 2m-3n+3n=7+3n 即 2m=7+3n . 等式两边都加上3n，得 (2) 如果 = ，那么5(2x-1)= 4(4x-2). (2) 正确. 由等式的基本性质2可知， 即 5(2x-1)= 4(4x-2) . ×20 = ×20 等式两边都乘20，得 课堂练习 1.请在括号中写出下列等式变形的理由. (1)如果 x+y=2y+7，那么 x=y+7 ； (2)如果 3x=2y，那么 x= y； (3)如果，那么 x=2y； (4)如果2x+3=3y -1，那么2x-6=3y-10. （等式的基本性质1） （等式的基本性质2） （等式的基本性质2） （等式的基本性质1） 2.判断下列等式变形是否正确，并说明理由. (1)若 x+3=y-1，则 x+3=3y-3 ； (2)若 2x-6=4y-2，则-x+3=-2y+2. 解：(1)错误. 由等式的基本性质2可知， 即 x+9=3y-3 (x+3)×3=(y-1)×3 (2)错误. 由等式的基本性质2可知， 即 -x+3=-2y+1 (2x-6)×(-)=(4y-2)×(-) 3.下列说法中正确的是( ) (A) 若 ac=bc，则 a=b (B) 若 ，则 a=-b (C) 若 x-3=4，则 x=3-4 (D) 若-x=6，则 x=-2 B 分层练习-基础 知识点1　等式的基本性质1 1. 已知 m ＋ a ＝ n ＋ b ，如果根据等式的基本性质可变形为 m ＝ n ，那么 a ， b 必须符合的条件是(　C　) A. a ＝2 b B. － a ＝ b C. a ＝ b D. a ， b 可以是任意数或式子 C 2. 若代数式 x ＋2的值为7，则 x 等于(　C　) A. 9 B. －9 C. 5 D. －5 C 知识点2　等式的基本性质2 3. 若等式 x ＝ y 可以变形为 ＝ ，则有(　C　) A. a ＞0 B. a ＜0 C. a ≠0 D. a 为任意有理数 【点拨】 　　根据等式的基本性质2，等式两边同时除以一个数， 该数不能为0，故选C. C 4. 如果 a ＝ b ，那么下列等式不一定成立的是(　D　) A. a ＋ c ＝ b ＋ c B. a － c ＝ b － c C. ac ＝ bc D. ＝ 【点拨】 　　根据等式的基本性质2，可知D选项中的等式当 c ＝0 时不成立，故选D. D 5. 下列等式变形中，正确的是(　B　) A. 若－2 x ＝4，则 x ＝－ B. 若 x ＋2＝ x －1，则 x ＋6＝3 x －3 C. 若5 x －6＝2 x ＋8，则5 x ＋2 x ＝8＋6 D. 若 ＋ ＝2，则3 x ＋2(2 x －1)＝2 　　A选项，等式两边同时除以－2，得 x ＝－2，故A选 项错误；B选项，等式两边同时乘3，得 x ＋6＝3 x －3， 故B选项正确；C选项，等式两边同时加－2 x ＋6，得5 x －2 x ＝8＋6，故C选项错误；D选项，等式两边同时乘 6，得3 x ＋2(2 x －1)＝12，故D选项错误. 【答案】 B 【点拨】 6. [新趋势·跨学科综合]在物理学中，导体中的电流 I 跟导体两端的电压 U 、导体的电阻 R 之间有以下关系： I ＝ ，去分母得 IR ＝ U ，那么其变形的依据是 ⁠ 等式的基本性质2　 知识点3　等式基本性质的应用 7. [2024衡水志臻中学月考]下列利用等式的基本性质变形 中，正确的是(　D　) A. 由 x －5＝6，得 x ＝1 B. 由5 x ＝6，得 x ＝ C. 由－5 x ＝10，得 x ＝2 D. 由 x ＋3＝4，得 x ＝1 D 8. 关于 x 的一元一次方程2 x ＋ m ＝5的解为 x ＝1，则 m 的值为(　A　) A. 3 B. －3 C. 7 D. －7 A 9. 已知 m －3 n ＝－2，可利用等式的基本性质 得到2 m －6 n ＋1的值是(　B　) A. －5 B. －3 C. －1 D. 3 B 10. [新视角·规律探究题]如图，用若干根相同的小木棒拼成图形，拼第1个图形需要6根小木棒，拼第2个图形需要14根小木棒，拼第3个图形需要22根小木棒……若按照这样的方法拼成的第 n 个图形需要2 030根小木棒，则 n 的值为(　B　) A. 253 B. 254 C. 337 D. 338 【点拨】 　　由题意知，第1个图形需要6根小木棒， 第2个图形需要6×2＋2＝14(根)小木棒， 第3个图形需要6×3＋2×2＝22(根)小木棒…… 按此规律，第 n 个图形需要6 n ＋2( n －1)＝(8 n －2)根小 木棒. 当8 n －2＝2 030时，解得 n ＝254. B 【答案】 易错点　因忽视除式不为0而错用等式的基本性质 11. 根据等式的基本性质，下列各式变形正确的是(　A　) A. 若 ＝ ，则 a ＝ b B. 若 ac ＝ bc ，则 a ＝ b C. 若 a2＝ b2，则 a ＝ b D. 若－ x ＝6，则 x ＝－2 A 分层练习-巩固 利用等式的基本性质辨析等式的变形 12. [新考法·过程辨析法]阅读理解题： 下面是小明将等式 x －4＝3 x －4进行变形的过程. x －4＋4＝3 x －4＋4，① x ＝3 x ，② 1＝3.③ (1)①的依据是 ⁠. (2)小明出错的步骤是 (填序号)，错误的原因 是 ⁠. 等式的基本性质1　 ③　 没有确定 x 是否为0，就在等式的两边除以 x 　 (3) 给出正确的变形过程. 【解】 x －4＝3 x －4， x －4＋4＝3 x －4＋4， x ＝3 x ， x －3 x ＝3 x －3 x ， －2 x ＝0， x ＝0. 13. [2024怀化二中模拟]能不能从( a ＋3) x ＝ b －1得到 x ＝ ，为什么？反之，能不能从 x ＝ 得到等式( a ＋3) x ＝ b －1，为什么？ 【解】不能从( a ＋3) x ＝ b －1得到 x ＝ ， 因为 a ＋3可能为0，而0不能为除数. 能从 x ＝ 得到等式( a ＋3) x ＝ b －1， 因为等式的两边乘同一个整式，结果仍相等. 利用等式的基本性质比较大小 14. 已知 m －1＝ n ，试用等式的基本性质比较 m 与 n 的大小. 【解】根据等式的基本性质2，等式两边都乘4，得3 m － 4＝3 n . 根据等式的基本性质1，等式两边都加上－3 n ＋4，得3 m －3 n ＝4，即3( m － n )＝4. 根据等式的基本性质2，等式两边都除以3， 得 m － n ＝ .因为 ＞0，所以 m ＞ n . 分层练习-拓展 利用等式的基本性质探究天平平衡条件 15. [新考法·图文信息法] a ， b ， c 三种物体之间的质量关系 如图所示. 根据图中信息，回答问题： (1) a ， b ， c 三种物体就单个而言，最重的是 ⁠. 【点拨】 　　根据题图，知2 a ＝3 b ，2 b ＝3 c ， 所以 a ＝ b ， b ＝ c .所以 a ＝ c . 因为 c ＞ c ＞ c ，所以 a ＞ b ＞ c . 所以 a ， b ， c 三种物体就单个而言， a 最重. a 　 (2)若天平一边放一些物体 a ，另一边放一些物体 c ，要使天平平衡，天平两边至少应该分别放几个物体 a 和物体 c ？ 【解】由(1)知 a ＝ c ，所以4 a ＝9 c . 所以若天平一边放一些物体 a ，另一边放一些物体 c ，要使天平平衡，天平两边至少应该分别放4个物体 a 和9个物体 c . 利用等式的基本性质探究化纯循环小数为分数的方法 16. [新考法·类比探究法]小明课后利用方程的知识探索发 现，所有纯循环小数都可以化为分数，例如：化0. 为 分数，解决方法是：设 x ＝0. ，即 x ＝0.333…，将方 程两边都乘10，得10 x ＝3.333…，即10 x ＝3＋ 0.333…. 因为 x ＝0.333…，所以10 x ＝3＋ x ， 所以9 x ＝3，所以 x ＝ ，所以0. ＝ . 尝试解决下列问题： (1)把0. 化成分数为 ⁠； 【点拨】 　　设 x ＝0. ，即 x ＝0.111…， 将方程两边都乘10，得10 x ＝1.111…， 即10 x ＝1＋0.111…. 因为 x ＝0.111…，所以10 x ＝1＋ x ， 所以9 x ＝1，即 x ＝ ，所以0. ＝ . 　 (2)请利用小明的方法，把纯循环小数0. 化成分数. 【解】设 x ＝0. ，即 x ＝0.161 6…， 将方程两边都乘100，得100 x ＝16.161 6…， 即100 x ＝16＋0.161 6…. 因为 x ＝0.161 6…，所以100 x ＝16＋ x ， 所以99 x ＝16，所以 x ＝ ，所以0. ＝ . 课堂小结 等式的 基本性质 基本性质1 基本性质2 如果 a = b，那么 a±c = b±c. 如果 a = b，那么 ac = bc； 如果 a = b ，那么 (d ≠ 0). $$