3.5二元一次方程组的应用 导学案2024-2025学年沪科版数学七年级上册

3.5二元一次方程组的应用（1）导学案 学习目标 1.会分析积分和行程问题中所体现的数量关系，正确的列出二元一次方程组. 2.进一步掌握列二元一次方程组解决实际问题的基本步骤. 学习策略 1.以一元一次方程应用中的数量关系作为基础，自主探究与小组合作相结合. 2.牢记常见的数量关系，会分析题中的等量关系. 学习过程 一.复习回顾： 1.解二元一次方程组的方法有哪些？ 2.分别用代入法和加减法解下列方程组： 3.已知甲、乙之和等于20，又知甲是乙的3倍，若设乙为x，怎样表示甲？列出一元一次方程解决；若设甲为x，乙为y，根据题意可以得到什么方程？你能解决吗？ 二.新课学习： 1.自学教材P107 “例1”，回答以下问题： 1、观察分析：例1中涉及了哪些基本元素？它们之间有何关系？ 2、题中有几个未知量？若设出一个未知量，你怎样表示另外一个？ 3、确立一个等量关系，把已知与未知量代入关系列出一元一次方程并尝试解答： 4、若设出两个未知数，找出题中两个等量关系，并列出二元一次方程组并求解. 5、对比两种方法，体会它们的区别与联系，分析列方程组解应用题的优越性. 6、结合教材，规范解答过程，你认为在积分应用问题中要注意什么问题？ 2、自学教材P108“例2”，回答以下问题： 1、观察分析：例2中涉及了哪些基本数量？它们之间有何关系？ 2、行程相遇的等量关系是什么？行程追及的等量关系是什么？ 3、把已知与未知量代入关系列出方程组并尝试解答： 4、结合教材，体会线段示意图的好处，规范解答过程，你认为在行程应用问题中要注意什么问题？ 三.尝试应用： 1．某校组织学生进行了禁毒知识竞赛，竞赛结束后，菁菁和彬彬两个人的对话如下： 根据以上信息，设单选题有x道，多选题有y道，则可列方程组为（　　） A． B．C． D． 2某班学生去看演出，甲种票每张30元，乙种票每张20元，如果36名学生购票恰好用去860元，设甲种票买了x张，乙种票买了y张，依据题意，可列方程组为　 ． 3．黄玉骑自行车去香山，她先以8千米/时的速度走平路，而后又以4千米/时的速度上坡到达香山，共用了1.5小时，返回时，先以12千米/时的速度下坡，而后以9千米/时的速度度过平路，回到原出发点，共用去55分钟，求从出发点到香山的路程是多少千米？ 四.自主总结： 列方程组解应用题的步骤： ①理清数量关系；②找出两个等量关系；③列出方程；④解方程组；⑤进行合理分析，写出答案. 五.达标测试 一．选择题（共4小题） 1．《九章算术》是我国古代第一部数学专著，其中有这样一道名题：“今有善行者行一百步，不善行者行六十步，今不善行者先行一百步，善行者追之，问几步及之？”意思是说：走路快的人走100步的时候，走路慢的才走了60步，走路慢的人先走100步，然后走路快的人去追赶，问走路快的人要走多少部才能追上？若设走路快的人要走x步才能追上走路慢的人，此时走路慢的人又走了y步，根据题意可列方程组为（　　） A． B． C． D． 2．甲乙两人在相距18千米的两地，若同时出发相向而行，经2小时相遇；若同向而行，且甲比乙先出发1小时追击乙，那么在乙出发后经4小时两人相遇，求甲、乙两人的速度．设甲的速度为x千米/小时，乙的速度为y千米/小时，则可列方程组为（　　） A． B． C． D． 3．小明到商店购买“五四青年节”活动奖品，购买20只铅笔和10本笔记本共需110元，但购买30支铅笔和5本笔记本只需85元，设每支铅笔x元，每本笔记本y元，则可列方程组（　　） A． B． C． D． 4．在全国足球甲级A组的前11轮比赛中，某队保持不败，共积累23分．按比赛规则，胜一场得3分，平一场得1分，那么该队胜的场数是（　　） A．4 B．5 C．6 D．7 　 二．填空题（共4小题） 5．一只轮船顺水航行每小时为40千米，逆水航行为每小时28千米，则轮船在静水中行走100千米用时　 　小时． 6．小红买书需用48元，付款时小红恰好用了1元和5元的纸币共12张，则小红所用的5元纸币为　 　张． 7．小明骑自行车上学，中途因道路施工步行一段路，到学校共用时15min．他骑自行车的平均速度是250m/min，步行的平均速度是80m/min，小明家与学校的距离是2900m．设小明骑车、步行的时间分别为xmin、ymin，可列方程组为：　 　． 8．某同学家离学校12千米，每天骑自行车上学和放学，有一天上学时顺风，从家到学校共用30分钟，放学时逆风，从学校回家共用时40分钟，已知该同学在无风时骑自行车的速度为x千米/时，风速为y千米/时，则根据题意可列方程组　 　． 　 三．解答题（共3小题） 9．一辆汽车从A地驶往B地，前路为普通公路，其余路段为高速公路，已知汽车在普通公路上行驶的速度为60km/h，在高速路上行驶的速度为100km/h，汽车从A地到B地一共行驶了2.2h，普通公路和高速公路各是多少km？ 10．甲、乙两人相距50千米，若同向而行，乙10小时追上甲；若相向而行，2小时两人相遇．求甲、乙两人每小时各行多少千米？ 11．某校组织“大手拉小手，义卖献爱心”活动，购买了黑白两种颜色的文化衫共140件，进行手绘设计后出售，所获利润全部捐给山区困难孩子．每件文化衫的批发价和零售价如下表： 批发价（元） 零售价（元） 黑色文化衫 10 25 白色文化衫 8 20 假设文化衫全部售出，共获利1860元，求黑白两种文化衫各多少件？ 　 　 一．选择题（共4小题） 1． 【分析】设设走路快的人要走x步才能追上走路慢的人，此时走路慢的人又走了y步，根据走路快的人走100步的时候，走路慢的才走了60步可得走路快的人与走路慢的人速度比为100：60，利用走路快的人追上走路慢的人时，两人所走的步数相等列出方程组，然后根据等式的性质变形即可求解． 【解答】解：设走路快的人要走x步才能追上走路慢的人，此时走路慢的人又走了y步， 根据题意，得． 故选：A． 　 2． 【分析】根据题意可得等量关系：①甲2小时的路程+乙2小时的路程=18千米；②甲5小时的路程﹣乙4小时的路程=18千米，根据等量关系列出方程组即可． 【解答】解：设甲的速度为x千米/小时，乙的速度为y千米/小时， 由题意得：， 故选：B． 　 3． 【分析】设每支铅笔x元，每本笔记本y元，根据购买20只铅笔和10本笔记本共需110元，但购买30支铅笔和5本笔记本只需85元可列出方程组． 【解答】解：设每支铅笔x元，每本笔记本y元， 根据题意得． 故选：B． 　 4． 【分析】“某队保持连续不败，”则说明该队每场比赛只有胜、平两种结果，设该队胜的场数是x，平了y场，根据题意可得等量关系：胜场数+平场数=11场，胜场得分+平场得分=23分，根据等量关系列出方程组，再解即可． 【解答】解：设该队胜的场数是x，平了y场，由题意得： ， 解得：， 故选：C． 　 二．填空题（共4小题） 5． 【分析】首先设静水速度为xkm/时，水速为ykm/时，根据题意可得等量关系：静水速度+水速=顺水速度；静水速度﹣水速=逆水速度，根据等量关系列出方程组，算出静水速度，然后可得答案． 【解答】解：设静水速度为xkm/时，水速为ykm/时，由题意得： ， 解得：， 100÷34=（小时）， 故答案为：． 　 6． 【分析】设小红所用的1元纸币为x张，小红所用的5元纸币为y张，根据“买书需用48元，用了1元和5元的纸币共12张”列方程组，解方程组即可得． 【解答】解：设小红所用的1元纸币为x张，小红所用的5元纸币为y张， 根据题意，得：， 解得：， ∴小红所用的1元纸币为3张，小红所用的5元纸币为9张， 故答案为：9． 　 7． 【分析】根据题意可得等量关系：①骑车时间+步行时间=15分钟；②步行路程+骑车路程=2900米，根据等量关系列出方程组解答即可． 【解答】解：设小明骑车、步行的时间分别为xmin、ymin，由题意得： ， 故答案为：． 　 8． 【分析】由题意可知：顺风速度=无风时速度+风速，逆风速度=无风时速度﹣风速，根据家与学校之间的距离=顺风速度×顺风时间=逆风速度×逆风时间，列出方程组解答即可． 【解答】解：30分钟=小时 40分钟=小时 设该同学在无风时骑自行车的速度为x千米/时，风速为y千米/时，则该同学在顺风时骑自行车的速度为（x+y）千米/小时，逆风时骑自行车的速度为（x﹣y）千米/小时，由题意得． 故答案为：． 　 三．解答题（共3小题） 9． 【分析】由题意得：从A地驶往B地，前路段为普通公路，其余路段为高速公路．得到：高速公路的长度=普通公路长度的两倍；汽车从A地到B地一共行驶了2.2h．最简单的是根据在普通公路的时间和在高速公路的时间提出问题，再设未知数，列方程组，解答问题． 【解答】解：设普通公路长为x（km），高速公路长为y（km）． 根据题意，得 ， 解得， 答：普通公路长为60km，高速公路长为120km． 　 10． 【分析】根据题目中的关键句子：“同向而行，乙10小时可追上甲；若相向而行，2小时两人相遇”找到两个等量关系后列出方程组即可． 【解答】解：设甲每小时行x千米，乙每小时行y千米， 则可列方程组为， 解得， 答：甲每小时行10千米，乙每小时行15千米． 　 11． 【分析】设黑色文化衫x件，白色文化衫y件，依据黑白两种颜色的文化衫共140件，文化衫全部售出共获利1860元，列二元一次方程组进行求解． 【解答】解：设黑色文化衫x件，白色文化衫y件，依题意得 ， 解得， 答：黑色文化衫60件，白色文化衫80件． 　 学科网（北京）股份有限公司 $$ 3.5 二元一次方程组的应用（2）导学案 学习目标 1.会分析配比和配套问题中所体现的数量关系，正确的列出二元一次方程组. 2.进一步掌握列二元一次方程组解决实际问题的基本步骤. 学习策略 1.以一元一次方程应用中的数量关系作为基础，会熟练求出二元一次方程的解. 2.自主探究与小组谈论相结合. 学习过程 一.复习回顾： 1.列二元一次方程组解应用题的基本思路是什么？ 2.解下列方程组： 3.已知甲、乙之和等于20，又知甲的10%与乙的30%一共是0.4，若设甲为x，乙为y，根据题意可以得到什么方程组？你能求出它的解吗？ 二.新课学习： 1.自学教材P109 “例3”，回答以下问题： 1、观察分析：例3中涉及了哪些基本元素？它们之间有何关系？ 2、题中有几个未知量？若设出两个未知数，找出题中两个等量关系，并列出二元一次方程组并求解. 3、结合教材，规范解答过程，体会列表对于问题分析的意义？ 2、自学教材P110“例4”，回答以下问题： 1、观察分析：例4中涉及了哪些基本数量？它们之间有何关系？ 2、设出未知数，并参照例3列表表示相关数量关系. 3、把已知与未知量代入关系列出方程组并尝试解答： 4、结合教材，规范解答过程. 三.尝试应用： 1．用白铁皮做罐头盒，每张铁皮可制盒身25个，或制盒底40个，一个盒身与两个盒底配成一套罐头盒．现在又有36张白铁皮．设用x张制作盒身，y张制作盒底可以使盒身和盒底正好配套，则所列方程组正确的（　　） A． B． C． D． 2．某公司销售甲、乙两种球鞋，去年卖出12200双，今年甲种鞋卖出的量比去年去年增加6%，乙种球鞋卖出的数量比去年减少5%，两种球鞋的总销量增加了50双．求去年甲，乙两种球鞋各卖出多少双？若设去年甲种球鞋卖了x双，乙两种球鞋卖了y双，则根据题意可列方程组为　 　． 3．用白铁皮做罐头盒，每张铁皮可制盒身25个，或制盒底40个，一个盒身与两个盒底组成一套罐头盒，现有18张白铁皮，问能做多少个罐头盒？ 四.自主总结： 列方程组解应用题的步骤： ①理清数量关系；②找出两个等量关系；③列出方程；④解方程组；⑤进行合理分析，写出答案. 五.达标测试 一．选择题（共4小题） 1．玩具车间每天能生产甲种玩具零件24个或乙种玩具零件12个，若甲种玩具零件一个与乙种玩具零件2个能组成一个完整的玩具，怎样安排生产才能在60天内组装出最多的玩具设生产甲种玩具零件x天，乙种玩具零件y天，则有（　　） A． B． C． D． 2．小李家去年节余50000元，今年可节余95000元，并且今年收入比去年高15%，支出比去年低10%，今年的收入与支出各是多少？设去年的收入为x元，支出为y元，则可列方程组为（　　） A． B． C． D． 3．已知A种盐水含盐15%，B种盐水含盐40%，现在要配制500克含盐25%的盐水，需要A、B两种盐水各多少克？若设需要A种盐水x克，B种盐水y克，根据题意可列方程组为（　　） A． B． C． D． 4．某服装店用6000元购进A，B两种新式服装，按标价售出后可获毛利润3800元（毛利润=售价﹣进价），这两种服装的进价、标价如表所示，则A，B两种服装的购进的数量分别是（　　） 　A种 　B种 　进价（元/件） 　60 　100 　标价（元/件） 　100 　160 A．50件，30件 B．30件，50件 C．60件，40件 D．40件，60件 　 二．填空题（共2小题） 5．工人甲一分钟可生产螺丝3个或螺丝帽9个，工人乙一分钟可生产螺丝2个或螺丝帽6个．现在两人各花了20分钟，共生产螺丝和螺丝帽134个．生产的螺丝比螺丝帽多　 　个． 6．某服装厂要生产一批同样型号的运动服，已知每3米长的某种布料可做2件上衣或3条裤子，现有此种布料600米，请你帮助设计一下，用　 　米布料做上衣，才能使生产的运动服成套而不致于浪费． 　 三．解答题（共3小题） 7．机械厂加工车间有85名工人，平均每人每天加工大齿轮16个或小齿轮10个，2个大齿轮和3个小齿轮配成一套，问需分别安排多少名工人加工大、小齿轮，才能使每天加工的大小齿轮刚好配套？ 8．我县为加快美丽乡村建设，建设秀美幸福岐山，对A、B两类村庄进行了全面改建．根据预算，建设一个A类美丽村庄和一个B类美丽村庄共需资金300万元；甲镇建设了2个A类美丽村庄和5个B类美丽村庄共投入资金1140万元． （1）建设一个A类美丽村庄和一个B类美丽村庄所需的资金分别是多少万元？ （2）乙镇3个A类美丽村庄和4个B类美丽村庄改建共需资金多少万元？ 9．某商店将某种碳酸饮料每瓶的价格上调了10%，将某种果汁饮料每瓶价格下调了5%，已知调价前买这两种饮料各一瓶共花费7元，调价后买上述碳酸饮料3瓶和果汁饮料2瓶共花费17.5元，问这两种饮料调价前每瓶各多少元？ 　 　 一．选择题（共4小题） 1． 【分析】根据每天能生产甲种玩具零件24个或乙种玩具零件12个，则x天能够生产24x个甲种零件，y天能够生产12y个乙种零件． 此题中的等量关系有： ①总天数是60天； ②根据甲种玩具零件一个与乙种玩具零件2个能组成一个完整的玩具，则乙种零件应是甲种零件的2倍，可列方程为2×24x=12y． 【解答】解：根据总天数是60天，可得x+y=60；根据乙种零件应是甲种零件的2倍，可列方程为2×24x=12y． 则可列方程组为． 故选：C． 　 2． 【分析】根据题意可得等量关系：①去年的收入﹣支出=50000元；②今年的收入﹣支出=95000元，根据等量关系列出方程组即可． 【解答】解：设去年的收入为x元，支出为y元，由题意得： ， 故选：B． 　 3． 【分析】设需要A种盐水x克，B种盐水y克，根据混合前后盐的质量不变，列方程组即可． 【解答】解：设需要A种盐水x克，B种盐水y克，可得：， 故选：C． 　 4． 【分析】设A种服装购进x件，B种服装购进y件，根据总价=单价×购进数量结合总利润=单件利润×购进数量，即可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出结论． 【解答】解：设A种服装购进x件，B种服装购进y件， 根据题意得：， 解得：． 答：A种服装购进50件，B种服装购进30件． 故选：A． 　 二．填空题（共2小题） 5． 【分析】设甲用x分钟生产螺丝，（20﹣x）分钟生产螺丝帽，乙用y分钟生产螺丝，（20﹣y）分钟生产螺丝帽，根据共生产螺丝和螺丝帽134个，列二元一次方程求解． 【解答】解：设甲用x分钟生产螺丝，（20﹣x）分钟生产螺丝帽，乙用y分钟生产螺丝，（20﹣y）分钟生产螺丝帽， 由题意得，3x+9（20﹣x）+2y+6（20﹣y）=134， 整理得：3x+2y=83， 则生产的螺丝比螺丝帽多：3x﹣9（20﹣x）+2y﹣6（20﹣y）=12x+8y﹣300， ∵3x+2y=83， ∴12x+8y﹣300=4×83﹣300=32（个）． 故答案为：32． 　 6． 【分析】设做上衣的布料用xm，做裤子的布料用ym，根据3m长的某种布料可做上衣2件或裤子3条，得出做上衣与裤子所用的布料关系，进而得出等式求出即可． 【解答】解：设做上衣的布料用xm，做裤子的布料用ym， 由题意得，， 解得：． 答：做上衣的布料用360m，做裤子的布料用240m， 故答案为：360 　 三．解答题（共3小题） 7． 【分析】设需安排x名工人加工大齿轮，安排y名工人加工小齿轮，根据平均每人每天加工大齿轮16个或小齿轮10个，2个大齿轮和3个小齿轮配成一套，可列成方程组求解． 【解答】解：设需安排x名工人加工大齿轮，安排y名工人加工小齿轮， ， 解得：． 答：需安排25名工人加工大齿轮，安排60名工人加工小齿轮． 　 8． 【分析】（1）设建设一个A类美丽村庄和一个B类美丽村庄所需的资金分别是x、y万元，根据建设一个A类美丽村庄和一个B类美丽村庄共需资金300万元，甲镇建设了2个A类村庄和5个B类村庄共投入资金1140万元，列方程组求解； （2）将x和y的值代入求解． 【解答】解：（1）设建设一个A类美丽村庄和一个B类美丽村庄所需的资金分别是x、y万元， 由题意得，， 解得：． 答：建设一个A类美丽村庄需120万元，建设一个B类美丽村庄需180万元； （2）3x+4y=3×120+4×180=1080（万元）． 答：共需资金1080万元． 　 9． 【分析】设碳酸饮料在调价前每瓶的价格为x元，果汁饮料调价前每瓶的价格为y元，根据“调价前买这两种饮料各一瓶共花费7元，调价后买上述碳酸饮料3瓶和果汁饮料2瓶共花费17.5元”，即可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出结论． 【解答】解：设碳酸饮料在调价前每瓶的价格为x元，果汁饮料调价前每瓶的价格为y元， 根据题意得：， 解得：． 答：调价前碳酸饮料每瓶的价格为3元，果汁饮料每瓶的价格为4元． 　 学科网（北京）股份有限公司 $$