3.4二元一次方程组及其解法 导学案 2024-2025学年沪科版数学七年级上册

3.4 加减法解二元一次方程组 第3课时导学案 学习目标 1.熟练掌握加减消元法求二元一次方程组的解. 2.能对较为复杂的二元一次方程组进行化简，并选择适当的方法进行解题. 学习策略 1.要熟悉一元一次方程的解法，运用化归（消元）的数学思想学习方程组的解法，独立思考与小组合作相结合. 2.牢记加减消元解二元一次方程组的具体方法. 学习过程 一.复习回顾： 1.代入消元法解方程组的基本步骤是什么？ 2.化简： 5x+（-5x） 7y-7y = 3.用代入法解方程组： 思考：还有其它方法消去某个未知数吗？ 二.新课学习： 1.自学教材P102“思考”，回答以下问题： 1、观察分析：2x+（-2x）= ；5y-5y= .分析算式及其结果，字母怎样消失了？ 2、结合以上分析，你认为怎样可以实现二元一次方程组的消元？ 3、尝试把方程组中的方程相减从而把未知数y消去： 4、怎样再求出y的值？ 5、结合教材初步掌握二元一次方程组的加减消元法，自己总结整理： 2、自学课本P102-103“例2”“例3”，思考以下问题： 1、例2、例3中，两个方程中是否存在某一未知数的系数相等或相反？它们的系数有何特征？ 2、怎样变形实现某一未知数的系数相等或相反？ 3、求出方程组的解，尝试完善解题过程： 4、结合教材，，规范解答过程，你认为在解方程中要注意什么问题？ 3、自学课本P104“例4”，思考以下问题： 1、例4与例2、例3有何区别，怎样转化为基本形式？ 2、求出方程组的解，尝试完善解题过程： 3、结合教材，，规范解答过程，你认为在解方程中要注意什么问题？ 三.尝试应用： 1用加减法解二元一次方程组，下列步骤可以消去未知数x的是（　） A．①×5﹣②×5 B．①×5﹣②×2 C．①×2﹣②×5 D．①×5+②×2 2．已知方程组，那么x+y=　 　． 3．解下列方程组： ． ． 四.自主总结： 用加减法解二元一次方程组的步骤是： ①观察系数特征；②统一某一未知数的系数；③相加或相减进行消元求解；④回代求出另一个未知数的值；⑤写成方程组的解的形式. 五.达标测试 一．选择题（共4小题） 1．用加减法解二元一次方程组，下列步骤可以消去未知数x的是（　　） A．①×5﹣②×5 B．①×5﹣②×2 C．①×2﹣②×5 D．①×5+②×2 2．已知x，y满足方程组，则x﹣y的值为（　　） A．﹣1 B．1 C．﹣2 D．2 3．用加减消元法解方程组将两个方程相加，得（　　） A．3x=8 B．7x=2 C．10x=8 D．10x=10 4．方程组的解为（　　） A． B． C．无解 D．以上都不对 　 二．填空题（共4小题） 5．用加减法解方程组 ，（1）﹣（2）得　 　． 6．在方程组中，若要消x项，则①式乘以　 　得　 　③；②式可乘以　 　得　 　④；然后再③④两式　 　即可． 7．已知二元一次方程组，则x+y=　 　，2（x﹣y）=　 　． 8．若|x﹣2y+1|+（x+2y﹣3）2=0，则x，y的值为x=　 　，y=　 　． 　 三．解答题（共3小题） 9．解下列方程组：． 10．解方程组： 11．已知|3x+y﹣2|+（2x+3y+1）2=0，求x，y的值． 　 一．选择题（共4小题） 1． 【分析】观察两方程中x的系数，找出两系数的最小公倍数，即可做出判断． 【解答】解：以消去未知数x的是①×5﹣②×2． 故选：B． 　 2． 【分析】首先根据方程组的解的定义正确求出方程组的解，然后计算出x﹣y或直接让两个方程相减求解． 【解答】解：方法一：解方程组， 解得x=2，y=1， ∴x﹣y=1． 方法二：两个方程相减，得 x﹣y=1． 故选：B． 　 3． 【分析】用加减消元法解方程组时，要把两方程的左右两边分别相加． 【解答】解：①+②得，3x+7x=10， 即10x=10． 故选：D． 　 4． 【分析】把两个方程相加得到0=25，于是可判断原方程组无解． 【解答】解：， ①+②得0=25， 所以原方程组无解． 故选：C． 　 二．填空题（共4小题） 5． 【分析】两方程左右两边相减即可得到结果． 【解答】解：（1）﹣（2）得：6x=24， 故答案为：6x=24． 　 6． 【分析】由于两方程系数不同且不互为相反数，故根据系数特点，①×2+②×3即可消掉x． 【解答】解：①×2得，6x+8y=2③， ②×3得，6x﹣9y=18④， ③﹣④得，17y=6， 即可消去x． 故若要消x项，则①式乘以2得6x+8y=2③；②式可乘以3得x﹣9y=18④；然后再③④两式相减即可． 　 7． 【分析】本题①+②，可得3（x+y）=12，可求x+y的值；①﹣②，可得x﹣y=﹣2，可求2（x﹣y）的值． 【解答】解：， ①+②，得3（x+y）=12， 则x+y=4； ①﹣②，得x﹣y=﹣2， 则2（x﹣y）=﹣4． 故答案为：4；﹣4． 　 8． 【分析】已知任何数的绝对值一定是非负数，任何数的平方是一个非负数，根据已知中得到两个非负数的和是0，那么这两个非负数一定都是0，从而得到一个关于x、y的方程组，求出x、y的值即可． 【解答】解：∵|x﹣2y+1|+（x+2y﹣3）2=0， ∴， 解得． 　 三．解答题（共3小题） 9． 【分析】利用加减消元法求出方程组的解即可． 【解答】解：①×2﹣②得：7x=35，即x=5， 将x=5代入①得：25﹣2y=25，即y=0， 则方程组的解为． 　 10． 【分析】先将方程（1）去分母，方程（2）去掉%，然后用加减消元法解题． 【解答】解：由原方程组，得， 由（1）+（2）×5，得 27x=17550， 即x=650①， 把①代入（1）， 解得y=50， 所以原方程组的解为． 　 11． 【分析】利用非负数的性质列出方程组，求出方程组的解即可得到x与y的值． 【解答】解：∵|3x+y﹣2|+（2x+3y+1）2=0， ∴， ①×3﹣②得：7x=7，即x=1， 把x=1代入①得：y=﹣1， 则x，y的值分别为1，﹣1． 　 学科网（北京）股份有限公司 $$ 3.4 二元一次方程及二元一次方程组 第1课时导学案 学习目标 1.理解二元一次方程及二元一次方程组的定义，能准确识别它们. 2.初步掌握根据实际问题列出二元一次方程组. 学习策略 1.回顾一元一次方程的定义，运用类比的数学思想学习二元一次方程及二元一次方程组. 2. 熟记二元一次方程及二元一次方程组的定义. 学习过程 一.复习回顾： 1.解一元一次方程的步骤是什么？ 2.列方程解应用题的基本步骤有哪些？ 3. 小明的储钱罐有5角和1元的硬币共100枚，币值共有68元．求5角、1元硬币各有多少枚？①若设小明有5角硬币x枚，则一元硬币有多少枚？列方程解答. ②若设小明有5角硬币x枚，有1元硬币y枚，你能根据题中等量关系得出方程吗？能解决这个问题吗？ 二.新课学习： 1.自学教材P98“问题1”，回答以下问题： 1、问题1中主要涉及哪些量？它们之间有何关系？ 2、问题1中有几个未知数？尝试列一元一次方程求解： 3、如果设两个未知数，请确立两个等量关系，列出方程： 4、观察分析：所得方程含有几个未知数？未知项的次数是多少？类比一元一次方程的意义总结什么是“二元一次方程”？ 5、结合教材分析：二元一次方程组要满足哪些条件？ 2、自学课本P99“问题2”，思考以下问题： 1、问题2中主要涉及哪些量？它们之间有何关系？ 2、题中的等量关系有哪些？尝试设两个未知数，列出方程组： 3、对照教材分析，在相关问题中要注意哪些问题？总结思路方法： 三.尝试应用： 1．下列方程中，是二元一次方程的是（　　） A．x﹣3=2 B．xy+5=4 C．x+y﹣2=0 D．3x2+y2=89 2．下列方程组中，是二元一次方程组的是（　　） A． B． C． D． 3．某活动小组购买了4个篮球和5个足球，一共花费了435元，其中篮球的单价比足球的单价多3元，求篮球的单价和足球的单价．设篮球的单价为x元，足球的单价为y元，依题意，可列方程组为　 　． 四.自主总结： （1）二元一次方程：① 个未知数；②未知项次数是 ； （2）二元一次方程组：①两个 次方程；②含有 个未知数. 五.达标测试 一．选择题（共5小题） 1．下列是二元一次方程的是（　　） A．3x﹣6=x B．3x=2y C．x﹣y2=0 D．2x﹣3y=xy 2．在方程、、、、中，是二元一次方程组的有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 3．若关于x，y的方程xm+2﹣yn﹣1=5是二元一次方程，则m+n的值为（　　） A．1 B．﹣1 C．3 D．﹣3 4．我国古代数学名著《孙子算经》中记载了一道题，大意是：100匹马恰好拉了100片瓦，已知1匹大马能拉3片瓦，3匹小马能拉1片瓦，问有多少匹大马、多少匹小马？若设大马有x匹，小马有y匹，那么可列方程组为（　　） A． B． C． D． 5．一个长方形的长的2倍比宽的5倍还多1cm，宽的3倍又比长多1cm，求这个长方形的长与宽．设长为xcm，宽为ycm，则下列方程组中正确的是（　　） A． B． C． D． 　 二．填空题（共4小题） 6．4xa+2b﹣5﹣2y3a﹣b﹣3=8是二元一次方程，那么4a+b=　 　． 7．下列方程（组）中，①x+2=0 ②3x﹣2y=1 ③xy+1=0 ④2x﹣=1 ⑤⑥是一元一次方程的是　 　，是二元一次方程的是　 　，是二元一次方程组的是　 　． 8．请写出一个你所喜欢的二元一次方程组　 　． 9．某班共有学生45人，其中男生的2倍比女生的3倍少10人．设该班的男生有x人，女生有y人，请列出满足题意的方程组　 　． 　 三．解答题（共3小题） 10．已知方程（m﹣3）xn﹣1+=0是关于x、y的二元一次方程，求m、n的值． 11．判断下列方程组是否是二元一次方程组 （1）；（2）；（3）；（4）；（5）． 12．设出未知数列出方程组. 《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，其中有一段文字的大意是：甲、乙两人各有若干钱．如果甲得到乙所有钱的一半，那么甲共有钱48文；如果乙得到甲所有钱的，那么乙也共有钱48文．甲、乙两人原来各有多少钱？ 　 　 一．选择题（共5小题） 1． 【分析】二元一次方程就是含有两个未知数，并且未知数的项的最高次数是1的整式方程，依据定义即可判断． 【解答】解：A、是一元一次方程，故错误； B、正确； C、未知数的项的最高次数是2，故错误； D、未知数的项的最高次数是2，故错误． 故选：B． 　 2． 【分析】根据二元一次方程组的条件：1、只含有两个未知数；2、含未知数的项的最高次数是1；3、都是整式方程；逐一判断可得答案． 【解答】解：方程、、符合二元一次方程组的定义， 方程中xy是二次项，不符合二元一次方程组的定义， 方程中+=1是分式方程，不符合二元一次方程组的定义， 故以上方程中是二元一次方程组的有3个， 故选：B． 　 3． 【分析】（方法一）根据二元一次方程的定义，即可得出关于m、n的二元一次方程组，解之即可得出m、n的值，将其相加即可得出结论； （方法二）根据二元一次方程的定义，即可得出m+2=1、n﹣1=1，将其相加即可得出m+n的值． 【解答】解：（方法一）∵关于x，y的方程xm+2﹣yn﹣1=5是二元一次方程， ∴，解得：， ∴m+n=1． 故选A． （方法二）∵关于x，y的方程xm+2﹣yn﹣1=5是二元一次方程， ∴m+2=1，n﹣1=1， ∴m+2+n﹣1=2， ∴m+n=1． 故选：A． 　 4． 【分析】设大马有x匹，小马有y匹，根据题意可得等量关系：①大马数+小马数=100；②大马拉瓦数+小马拉瓦数=100，根据等量关系列出方程组即可． 【解答】解：设大马有x匹，小马有y匹，由题意得： ， 故选：C． 　 5． 【分析】由题意，得长的2倍比宽的5倍还多1cm可得方程2x﹣5y=1；宽的3倍又比长多1cm可得方程3y﹣x=1，即可得方程组． 【解答】解：根据题意，得方程组． 故选：C． 　 二．填空题（共4小题） 6． 【分析】根据二元一次方程的定义即可求出a与b的值． 【解答】解：由意义可知： 解得： ∴4a+b=10， 故答案为：10 　 7． 【分析】根据一元一次方程是整式方程中只含有一个未知数且未知数的最高次数是一次的方程，整式方程中含有两个未知数且未知数的次数是1次的方程，组成二元一次方程组的两个方程应共含有两个未知数，且未知数的项最高次数都应是一次的整式方程． 【解答】解：①x+2=0 ②3x﹣2y=1 ③xy+1=0 ④2x﹣=1 ⑤⑥是一元一次方程的是①，是二元一次方程的是②，是二元一次方程组的是⑤． 故答案为：①；②；⑤． 　 8． 【分析】根据二元一次方程组的定义：把具有相同未知数的两个二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组可得答案． 【解答】解：根据二元一次方程组的定义可得， 故答案为：． 　 9． 【分析】根据题意可得两个等量关系：①男生+女生=45，②男生的2倍=女生的3倍﹣10． 【解答】解：根据题意可得， 故答案为：． 　 三．解答题（共3小题） 10． 【分析】根据二元一次方程的定义，可得答案． 【解答】解：由题意，得 n﹣1=1，且m﹣3≠0，m2﹣8=1， 解得n=2，m=﹣3． 　 11． 【分析】组成二元一次方程组的两个方程应共含有两个未知数，且未知数的项最高次数都应是一次的整式方程． 【解答】解：（1）是二元一次方程组； （2）是二元一次方程组； （3）是二元一次方程组； （4）是三元一次方程组； （5）是分式方程，故（5）错误． 　 12． 【分析】根据甲、乙两人各有若干钱，如果甲得到乙所有钱的一半，那么甲共有钱48文；如果乙得到甲所有钱的，那么乙也共有钱48文，可以列出方程组，从而可以解答本题． 【解答】解：设甲原有x文钱，乙原有y文钱， 由题意可得，， 学科网（北京）股份有限公司 $$ 3.4 代入法解二元一次方程组 第2课时导学案 学习目标 1.了解二元一次方程组的解定义，能一组未知数的值是不是方程组的解. 2.熟练掌握代入消元法求二元一次方程组的解. 学习策略 1.要熟悉一元一次方程的解法，运用化归（消元）的数学思想学习方程组的解法. 2.牢记代入法解二元一次方程组的具体方法. 学习过程 一.复习回顾： 1.解一元一次方程的步骤是什么？ 2. 解方程： （1）3（2x﹣1）=15； （2）． 3. 判断下列方程组是不是二元一次方程组？说明理由. 　 若是二元一次方程组，你能求出它们的解吗？ 二.新课学习： 1.自学教材P99“思考”，回答以下问题： 1、观察分析：怎样把方程1化为用一个未知数表示另一个未知数的形式？ x+y=45 2、把所得方程代入方程2，观察结果是什么方程？怎样求解？ 3、当求出y的值后，怎样求出字母x的值？ 4、结合教材初步掌握二元一次方程组的解法，并了解二元一次方程组的解的概念. 总结整理： 2、自学课本P100“例1”，思考以下问题： 1、例1中，把哪一个方程变形更加便捷？怎样变形？ 2、把所得方程代入另一个方程并求解： 3、求出方程组的解，尝试完善解题过程： 4、结合教材，，规范解答过程，你认为在解方程中要注意什么问题？ 三.尝试应用： 1．已知方程3x﹣2y=5，把它变形为用含x的代数式表示y，正确的是（　　） A． B． C． D． 2．写一个以为解的二元一次方程组　 　． 3．用代入消元法解方程组 （1）；（2）；（3）； 四.自主总结： 用代入法解二元一次方程组的步骤是： （1）把方程组中的一个方程变形，写出　用一个未知数表示另一个未知数的代数式　的形式； （2）把它　代入到另一个方程中　中，得到一个一元一次方程； （3）解这个　一元一次方程　； （4）把求得的值代入到　变形的方程中，求得另一个未知数的值　，从而得到原方程组的解． 五.达标测试 一．选择题（共4小题） 1．二元一次方程组的解是（　　） A． B． C． D． 2．解方程组的最好方法是（　　） A．由①得m=，再代入② B．由②得m=，再代入① C．由①得3m=4n+7，再代入② D．由②得9m=10n﹣25，再代入① 3．方程组的解为（　　） A． B． C． D． 4．方程组的解是（　　） A． B． C． D． 　 二．填空题（共3小题） 5．已知x=﹣1，y=2是方程组的解，则ab=　 　． 6．判断：　 　（填“是”或“不是”）方程组的解． 7．在方程y=kx+b中，当x=2时，y=2；当x=﹣4时，y=﹣16，求当x=1时，y=　 　． 　 三．解答题（共3小题） 8．用代入法解下列方程组： （1）（2）（3）（4）． 9．若﹣3xa﹣2by7与2x8y5a+b是同类项，求a+b的值． 10．已知是方程组的解，求k和m的值． 　 　 一．选择题（共4小题） 1． 【分析】把四个选项分别代入原方程组，能是方程组中两个方程都成立的未知数的值，即是方程组的解． 【解答】解：A、把代入2x﹣y=﹣6≠5，所以A不是方程组的解； B、把代入3x+4y=﹣88≠2，所以B不是方程组的解； C、把代入原方程组，同时满足两个方程，是原方程组的解； D、把代入3x+4y=5≠2，所以D不是方程组的解． 故选：C． 　 2． 【分析】观察两方程中m系数关系，即可得到最好的解法． 【解答】解：解方程组的最好方法是由①得3m=4n+7，再代入②． 故选：C． 　 3． 【分析】由于方程①中未知数x的系数是方程②中未知数x的系数的3倍，所以可将②×3﹣①，消去x． 【解答】解：， ②×3﹣①，得7y=7， ∴y=1， 把y=1代入②，得x+1=3， ∴x=2． ∴方程组的解为． 故选：A． 　 4． 【分析】方程组利用加减消元法求出解即可． 【解答】解：， ①×2+②得：7x=14，即x=2， 将x=2代入①得：y=﹣1， 则方程组的解为， 故选：D． 　 二．填空题（共3小题） 5． 【分析】先把x、y的值代入方程即可得到一组关于a、b的方程组，然后再用加减消元法解方程组即可． 【解答】解：把x、y的值代入方程组，得 ， 由（2）×2，得 ﹣2b+4a=﹣22（3）， 由（1）+（3），得 a=﹣3， 把它代入（1），得 b=5， ∴ab=15． 　 6． 【分析】将代入到方程组中去检验即可． 【解答】解：把分别代入到两个方程中，看左、右两边的值是否相等即可，可发现它是方程①的解，不是方程②的解，所以它不是这个方程组的解． 　 7． 【分析】把x=2，y=2及x=﹣4，y=﹣（16分）别代入到y=kx+b中，组成一个二元一次方程组，求出k、b的值即可求出方程的解析式，再把x=1代入此解析式即可求出y的值． 【解答】解：把当x=2时，y=2；当x=﹣4时，y=﹣16代入方程y=kx+b，得 ， 解这个方程组得， 所以y=kx+b此时就化为y=3x﹣4， 当x=1时，y=3×1﹣4=﹣1． 　 三．解答题（共3小题） 8． 【分析】先找一个简单的方程，用一个未知数表示另一个未知数，再用代入法求解． 【解答】解：（1） 把（1）代入（2）得， 3x﹣2（2x﹣3）=8， ∴x=﹣2， 把x=﹣2代入（1）得， y=﹣7． ∴原方程组的解为； （2） 由（1），得x=y+3 （3）， 把（3）代入（2），得 3（y+3）﹣8y=14， 解，得y=﹣1， 把y=﹣1代入（3），得 x=2， ∴原方程组的解为； （3） 把（2）代入（1）得， ， 解得，t=2， 把t=2代入（2）得， s=3， ∴原方程组的解为； （4） 由（2）得， x=﹣4y﹣15 （3）， 把（3）代入（1）得， 3（﹣4y﹣15 ）+4y=﹣15， 解得y=﹣3， 把y=﹣3代入（3），得 x=﹣3， ∴原方程组的解为． 　 9． 【分析】根据同类项的定义得到，再利用加减消元法解方程组得到a与b的值，然后计算a+b． 【解答】解：根据题意得， ②×2+①得10a+a=14+8， 解得a=2， 把a=2代入②得10+b=7， 解得b=﹣3． 所以a+b=2﹣3=﹣1． 　 10． 【分析】将x=2，y=﹣1代入方程组计算即可求出k与m的值． 【解答】解：将x=2，y=﹣1代入方程组得：， 解得：k=4，m=2.5． 答：k，m别分为4，2.5． 　 学科网（北京）股份有限公司 $$