3.2一元一次方程及其解法 导学案 2024-2025学年沪科版数学七年级上册

3.2 解一元一次方程 第2课时导学案 学习目标 1.理解移项的法则，会根据需要把方程中项进行移动. 2.掌握移项、合并同类项，把系数化为1的基本方法，熟练求出一元一次方程的解. 学习策略 1.要熟悉等式性质，运用化归的数学思想学习掌握方程解法. 2.牢记移项和合并同类项以及系数化为1的具体方法. 学习过程 一.复习回顾： 1.等式的基本性质有哪些?去括号法则是什么？ 2.下列各对等式，是根据等式的性质进行变形的，其中错误的是（　　） A．4y﹣1=5y+2→y=﹣3 B．2y=4→y=4﹣2 C．0.5y=﹣2→y=2×（﹣2）D．1﹣y=y→3﹣y=3y 3.利用等式的基本性质解方程: (1)2x+3= 4;(2)5x+4=5-3x 二.新课学习： 1.自学教材P87“观察”，回答以下问题： 1、观察分析：方程两边的项发生了什么变化？符号有何联系？ 2、移项的法则是什么？ 2、自学课本P87“例1”，思考以下问题： 1、例1中，都包含哪些项？其中哪些是同类项？ 2、运用移项法则把同类项移动到方程同一侧： 3、尝试求出方程的解： 4、结合教材，，规范解答过程，你认为在解方程中要注意什么问题？ 3、自学课本P86“例3”，思考以下问题： 1、观察例3与例2中方程的区别是什么？ 2、怎样转化为例2的形式？ 3、尝试求出方程的解： 4、结合教材，，规范解答过程，你认为在解方程中要注意什么问题？ 三.尝试应用： 1．方程3x﹣5=8﹣4x移项后，正确的是（　　） A．3x﹣4x=8+5 B．3x﹣4x=8﹣5 C．3x+4x=8﹣5 D．3x+4x=8+5 2．若代数式12﹣3（9﹣x）与5（x﹣4）的值相等，则x=　 　． 3．若单项式与﹣2abm+1是同类项，则m=　 　． 4．解方程： （1）7x+6=16﹣3x； （2）1﹣2（2x+3）=﹣3（2x+1）． 四.自主总结： （1）移项：把方程中的某一项改变 后，从方程的一边移到另一边. （2）解一元一次方程步骤：①去括号；②移项；③合并同类项；④系数化为1. 五.达标测试 一．选择题（共4小题） 1．通过移项将方程变形，下列各项错误的是（　　） A．由x+2=2x﹣7，得x﹣2x=﹣2﹣7 B．由x+3=2﹣4x，得x+4x=2﹣3 C．由2x﹣3=﹣x﹣4，得2x﹣x=3﹣4 D．由1﹣2x=3，得2x=1﹣3 2．方程3（x+1）=2x﹣1的解是（　　） A．x=﹣4 B．x=1 C．x=2 D．x=﹣2 3．将方程2x﹣3（4﹣2x）=5去括号，正确的是（　　） A．2x﹣12﹣2x=5 B．2x﹣12﹣6x=5 C．2x﹣12+6x=5 D．2x﹣3+6x=5 4．下列四组变形中，属于移项变形的是（　　） A．5x+4=0，则5x=﹣4 B．=5，则y=10 C．y﹣（3﹣2y）=4，则y﹣3+2y=4 D．3x=4，则x=2 二．填空题（共3小题） 5．方程7x+6=16﹣3x的解是　 　． 6．方程2（3x﹣4）+7（4﹣x）=4x的解为　 　． 7．若4x﹣1与2﹣3x互为相反数，则x=　 　． 三．解答题（共3小题） 8．12x+3=x﹣8． 9．解下列方程： （1）4x+3（2x+3）=﹣11； （2）3（4x﹣1）﹣7（2x﹣1）=10； 10．当x取何值时，多项式4（x﹣5）与7（5﹣2x）的值互为相反数？ 　 一．选择题（共4小题） 1．通过移项将方程变形，下列各项错误的是（　　） A．由x+2=2x﹣7，得x﹣2x=﹣2﹣7 B．由x+3=2﹣4x，得x+4x=2﹣3 C．由2x﹣3=﹣x﹣4，得2x﹣x=3﹣4 D．由1﹣2x=3，得2x=1﹣3 【分析】各项方程移项得到结果，即可做出判断． 【解答】解：A、由x+2=2x﹣7，得：x﹣2x=﹣2﹣7，正确； B、由x+3=2﹣4x，得x+4x=2﹣3，正确； C、由2x﹣3=﹣x﹣4，得2x+x=3﹣4，错误； D、由1﹣2x=3，得2x=1﹣3，正确， 故选：C． 　 2．方程3（x+1）=2x﹣1的解是（　　） A．x=﹣4 B．x=1 C．x=2 D．x=﹣2 【分析】方程去括号，移项合并，将x系数化为1，即可求出解． 【解答】解：方程去括号得：3x+3=2x﹣1， 移项合并得：x=﹣4． 故选：A． 　 3．将方程2x﹣3（4﹣2x）=5去括号，正确的是（　　） A．2x﹣12﹣2x=5 B．2x﹣12﹣6x=5 C．2x﹣12+6x=5 D．2x﹣3+6x=5 【分析】方程去括号得到结果，即可做出判断． 【解答】解：方程去括号得：2x﹣12+6x=5， 故选：C． 　 4．下列四组变形中，属于移项变形的是（　　） A．5x+4=0，则5x=﹣4 B．=5，则y=10 C．y﹣（3﹣2y）=4，则y﹣3+2y=4 D．3x=4，则x=2 【分析】利用移项定义判断即可． 【解答】解：A、5x+4=0，则5x=﹣4，属于移项，符合题意； B、=5，则y=10，属于系数化为1，不合题意； C、y﹣（3﹣2y）=4，则y﹣3+2y=4，属于去括号，不合题意； D、3x=4，则x=，不合题意， 故选：A． 　 二．填空题（共3小题） 5．方程7x+6=16﹣3x的解是　x=1　． 【分析】方程移项合并，将x系数化为1，即可求出解． 【解答】解：移项合并得：10x=10， 解得：x=1． 故答案为：x=1． 　 6．方程2（3x﹣4）+7（4﹣x）=4x的解为　x=4　． 【分析】方程去括号，移项合并，将x系数化为1，即可求出解． 【解答】解：方程去括号得：6x﹣8+28﹣7x=4x， 移项合并得：5x=20， 解得：x=4． 故答案为：x=4 　 7．若4x﹣1与2﹣3x互为相反数，则x=　﹣1　． 【分析】根据互为相反数两数之和为0列出方程，求出方程的解即可得到x的值． 【解答】解：根据题意得：4x﹣1+2﹣3x=0， 移项合并得：x=﹣1． 故答案为：﹣1． 　 三．解答题（共3小题） 8．12x+3=x﹣8． 【分析】首先移项，合并同类项，最后把系数化成1即可求解． 【解答】解：移项得：12x﹣x=﹣8﹣3， 合并同类项得：11x=﹣11， 解得：x=﹣1． 　 9．解下列方程： （1）4x+3（2x+3）=﹣11； （2）3（4x﹣1）﹣7（2x﹣1）=10； 解：（1）去括号得：4x+6x+9=﹣11， 移项合并得：10x=﹣20， 解得：x=﹣2； （2）去括号得：12x﹣3﹣14x+7=10， 移项合并得：﹣2x=6， 解得：x=﹣3； 　 10．当x取何值时，多项式4（x﹣5）与7（5﹣2x）的值互为相反数？ 【分析】根据互为相反数两数之和为0列出方程，求出方程的解即可得到结果． 【解答】解：根据题意得：4（x﹣5）+7（5﹣2x）=0， 去括号得：4x﹣20+35﹣14x=0， 移项合并得：10x=15， 解得：x=1.5． 　 学科网（北京）股份有限公司 $$ 3.2一元一次方程及等式的性质 第1课时导学案 学习目标 1.理解一元一次方程的概念，会区分哪些方程是一元一次方程. 2.掌握等式性质，会用等式性质解简单的一元一次方程. 学习策略 1.要熟悉实际问题中的数量关系，学会分类整理，归纳总结. 2.牢记一元一次方程的意义，以及等式的性质. 学习过程 一.复习回顾： 1.我们知道神舟六号在太空中运行了119小时，神舟五号在太空中运行的时间与神舟六号在太空中运行时间的平均数是70小时，问神舟五号在太空中运行了多少小时？若设神舟五号在太空中运行了x小时，则可列方程____________. 2.神舟六号的搭载物有64件，是神舟五号搭载物的9倍多1，求神舟五号搭载物有多少？若设神舟五号搭载物有x件，则可列方程__________. 3.小叶同学今年11岁，航天员聂海胜今年41岁，问经过几年聂海胜的年龄是小叶年龄的三倍？若设经过x年聂海胜的年龄是小叶年龄的三倍，则可列方程________. 4.解方程：x+5=6，3x=9 二.新课学习： 1.自学教材P85“问题1”，回答以下问题： 1、问题1中，涉及了哪些数量，它们之间有何关系？ 2、题中存在什么等量关系？ 3、根据题意列出方程： 2、自学课本P85“问题2”，思考以下问题： 1、问题2中，涉及了哪些数量，它们之间有何关系？ 2、题中存在什么等量关系？ 3、根据题意列出方程： 4、观察以上两个方程：分析①未知数的个数；②未知数的次数；有何特点？ 5、总结：什么是一元一次方程？ 3、自学课本P86，思考以下问题： 1、在等式两边都加上（或减去）同一个数或整式，结果怎样？ 2、在等式两边都乘以（或减去）同一个数（除数不能为0），结果怎样？ 3、交换等式的左右两边，结果是否仍然相等？ 4、若a=b，b=c，你认为a和c有何关系？ 5、运用等式性质解方程：2x-1=19 三.尝试应用： 1．如果a=b，则下列变形正确的是（　　） A．3a=3+b B． C．5﹣a=5+b D．a+b=0 2．下列方程是一元一次方程的是（　　） A．x2=25 B．x﹣5=6 C．x﹣y=6 D．=2 3．方程（a﹣2）x|a|﹣1+3=0是关于x的一元一次方程，则a=　 　． 4．解方程： （1）2x+3=x+5；（2）0.5x﹣1=6.5； 四.自主总结： 1.一元一次方程的定义：只含有 个未知数，未知数的次数是 ，且等式两边都是 的方程. 2、等式性质：性质①： ； 性质②： ； 性质③： ； 性质④： . 五.达标测试 一．选择题（共4小题） 1．下列方程是一元一次方程的是（　　） A．x2=25 B．x﹣5=6 C．x﹣y=6 D．=2 2．若（m﹣1）x|m|+5=0是一元一次方程，则m的值为（　　） A．1 B．﹣1 C．±1 D．不能确定 3．下列结论不成立的是（　　） A．若x=y，则m﹣x=m﹣y B．若x=y，则mx=my C．若mx=my，则x=y D．若，则mx=my 4．如果a=b，则下列变形正确的是（　　） A．3a=3+b B． C．5﹣a=5+b D．a+b=0 　 二．填空题（共3小题） 5．已知3x=4y，则=　 　． 6．若3x4n﹣7+5=0是一元一次方程，则n=　 　． 7．若3x=﹣，则4x=　 　． 　 三．解答题（共2小题） 8．用等式性质解下列方程： （1）4x﹣7=13 （2）3x+2=x+1． 9．已知关于x的方程（m+5）x|m|﹣4+18=0是一元一次方程．试求： （1）m的值； （2）3（4m﹣1）﹣2（3m+2）的值． 　 一．选择题（共4小题） 1．下列方程是一元一次方程的是（　　） A．x2=25 B．x﹣5=6 C．x﹣y=6 D．=2 【分析】根据一元一次方程的定义求解即可． 【解答】解：A、是一元二次方程，故A不符合题意； B、是一元一次方程，故B符合题意； C、是二元一次方程，故C不符合题意； D、是分式方程，故D不符合题意； 故选：B． 　 2．若（m﹣1）x|m|+5=0是一元一次方程，则m的值为（　　） A．1 B．﹣1 C．±1 D．不能确定 【分析】若一个整式方程经过化简变形后，只含有一个未知数，并且未知数的次数都是1，系数不为0，则这个方程是一元一次方程．据此列出关于m的关系式，进而求出m的值． 【解答】解：由题意，得， 解得：m=﹣1． 故选：B． 　 3．下列结论不成立的是（　　） A．若x=y，则m﹣x=m﹣y B．若x=y，则mx=my C．若mx=my，则x=y D．若，则mx=my 【分析】根据等式的性质：等式两边加同一个数（或式子）结果仍得等式；等式两边乘同一个数或除以一个不为零的数，结果仍得等式进行分析即可． 【解答】解：A、若x=y，则m﹣x=m﹣y成立； B、若x=y，则mx=my成立； C、若mx=my，则x=y不一定成立，应说明m≠0； D、若，则mx=my成立； 故选：C． 　 4．如果a=b，则下列变形正确的是（　　） A．3a=3+b B． C．5﹣a=5+b D．a+b=0 【分析】根据等式的基本性质1：等式的两边都加上或者减去同一个数或同一个整式，所得结果仍是等式；等式性质2：等式的两边都乘以或者除以同一个数（除数不为零），所得结果仍是等式，针对每一个选项进行判断即可解决． 【解答】解：A、根据等式的性质，3a=3b，错误； B、根据等式的性质，，正确； C、根据等式的性质，5﹣a=5﹣b，错误； D、根据等式的性质，a﹣b=0，错误； 故选：B． 　 二．填空题（共3小题） 5．已知3x=4y，则=　　． 【分析】根据等式的性质2可得出答案． 【解答】解：根据等式性质2，等式3x=4y两边同时除以3y， 得：=． 故答案为：． 　 6．若3x4n﹣7+5=0是一元一次方程，则n=　2　． 【分析】只含有一个未知数（元），并且未知数的指数是1（次）的方程叫做一元一次方程，它的一般形式是ax+b=0（a，b是常数且a≠0）． 【解答】解：由一元一次方程的特点得：4n﹣7=1， 解得：n=2． 故填：2． 　 7．若3x=﹣，则4x=　﹣　． 【分析】根据系数化为1，可得答案． 【解答】解：系数化为1，得 x=﹣， 4x=﹣×4=﹣， 故答案为：﹣． 　 三．解答题（共2小题） 8．用等式性质解下列方程： （1）4x﹣7=13 （2）3x+2=x+1． 【分析】（1）利用等式的基本性质分别化简得出即可； （2）利用等式的基本性质分别化简得出即可． 【解答】解：（1）4x﹣7=13 移项得：4x=20， 方程两边同时除以4得： x=5； （2）3x+2=x+1 移项得：3x﹣x=﹣2+1， 合并同类项得： 2x=﹣1， 解得：x=﹣． 　 9．已知关于x的方程（m+5）x|m|﹣4+18=0是一元一次方程．试求： （1）m的值； （2）3（4m﹣1）﹣2（3m+2）的值． 【分析】（1）根据题意得出|m|﹣4|=1且m+5≠0，求出即可； （2）先算乘法，合并同类项，最后代入求出即可． 【解答】解：（1）依题意有|m|﹣4=1且m+5≠0，解之得m=5， 故m=5； （2）3（4m﹣1）﹣2（3m+2）=12m﹣3﹣6m﹣4=6m﹣7， 当m=5时，原式=6×5﹣7=23． 　 学科网（北京）股份有限公司 $$ 3.2第3课时 解一元一次方程（2）导学案 学习目标 1.会解含分母的一元一次方程. 2.掌握解一元一次方程的基本步骤和方法,能根据方程的特点灵活地选择解法. 学习策略 1.运用化归的数学思想学习掌握方程解法. 2.牢记去分母、去括号、移项和合并同类项以及系数化为1的具体方法. 学习过程 一.复习回顾： 1.移项的法则是什么？ 2.在下列方程的变形中，移项正确的是（　　） A．从5x+7=4x，得5x﹣4x=7 B．从2x=3x﹣5，得3x+2x=5 C．从10x﹣2=4﹣2x，得10x+2x=4+2 D．从8+x=12，得x=12+8 3.解方程： （1）x+1=3﹣x （2）4（x+1）=5（2x+1） 4. “某幼儿园给小朋友分苹果，若每个小朋友分3个则剩1个；若每个小朋友分4个则少2个，问苹果有多少个？”若设共有x个苹果，你能列出方程，并求出方程的解吗？ 二.新课学习： 1.自学教材P89“例4”，回答以下问题： 1、观察分析：例4中的方程与前面的方程有什么区别？ 2、怎样把例4中的方程转化为例3的形式？ 3、尝试求出方程的解： 4、结合教材，，规范解答过程，你认为在解方程中要注意什么问题？ 2、补充：解方程 1、观察以上方程与例4中方程的区别是什么？ 2、怎样转化为例4的形式？ 3、尝试求出方程的解： 4、你认为在解方程中要注意什么问题？ 三.尝试应用： 1．解方程=x﹣时，去分母正确的是（　　） A．3（x+1）=x﹣（5x﹣1） B．3（x+1）=12x﹣5x﹣1 C．3（x+1）=12x﹣（5x﹣1） D．3x+1=12x﹣5x+1 2．若与互为相反数，则a的值是　 　． 3.解下列方程： （1）．（2）+1=． 四.自主总结： 解一元一次方程步骤：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤系数化为1. 五.达标测试 一．选择题（共4小题） 1．解方程=x﹣时，去分母正确的是（　　） A．3（x+1）=x﹣（5x﹣1） B．3（x+1）=12x﹣5x﹣1 C．3（x+1）=12x﹣（5x﹣1） D．3x+1=12x﹣5x+1 2．下列变形中： ①由方程=2去分母，得x﹣12=10； ②由方程x=两边同除以，得x=1； ③由方程6x﹣4=x+4移项，得7x=0； ④由方程2﹣两边同乘以6，得12﹣x﹣5=3（x+3）． 错误变形的个数是（　　）个． A．4 B．3 C．2 D．1 3．解方程的步骤如下，发生错误的步骤是（　　） A．2（x﹣1）﹣（x+2）=3（4﹣x） B．2x﹣2﹣x+2=12﹣3x C．4x=12 D．x=3 4．把方程的分母化为整数，以下变形正确的是（　　） A． B． C． D． 　 二．填空题（共3小题） 5．阅读下面解方程的步骤，在后面的横线上填写此步骤的依据： 解：去分母，得 3（3x+1）=2（x﹣2）．①依据　 　 去括号，得 9x+3=2x﹣4． 移项，得 9x﹣2x=﹣4﹣3．②依据　 　 合并同类项，得 7x=﹣7． 系数化为1，得 x=﹣1． ∴x=﹣1是原方程的解． 6．方程1﹣=去分母后为　 　． 7．小明解方程=﹣3去分母时，方程右边的﹣3忘记乘6，因而求出的解为x=2，则原方程正确的解为　 　． 　 三．解答题（共3小题） 8．解方程：﹣=1． 9．解方程： （1） （2）． 10．a，b，c，d为有理数，现规定一种运算：=ad﹣bc，求=18时x的值． 　 一．选择题（共4小题） 1．解方程=x﹣时，去分母正确的是（　　） A．3（x+1）=x﹣（5x﹣1） B．3（x+1）=12x﹣5x﹣1 C．3（x+1）=12x﹣（5x﹣1） D．3x+1=12x﹣5x+1 【分析】根据解一元一次方程的方法，方程两边都乘以分母的最小公倍数12即可． 【解答】解：方程两边都乘以12，去分母得，3（x+1）=12x﹣（5x﹣1）． 故选：C． 　 2．下列变形中： ①由方程=2去分母，得x﹣12=10； ②由方程x=两边同除以，得x=1； ③由方程6x﹣4=x+4移项，得7x=0； ④由方程2﹣两边同乘以6，得12﹣x﹣5=3（x+3）． 错误变形的个数是（　　）个． A．4 B．3 C．2 D．1 【分析】根据方程的不同特点，从计算过程是否正确、方法应用是否得当等方面加以分析． 【解答】解：①方程=2去分母，两边同时乘以5，得x﹣12=10． ②方程x=，两边同除以，得x=；要注意除以一个数等于乘以这个数的倒数． ③方程6x﹣4=x+4移项，得5x=8；要注意移项要变号． ④方程2﹣两边同乘以6，得12﹣（x﹣5）=3（x+3）；要注意去分母后，要把是多项式的分子作为一个整体加上括号． 故②③④变形错误 故选：B． 　 3．解方程的步骤如下，发生错误的步骤是（　　） A．2（x﹣1）﹣（x+2）=3（4﹣x） B．2x﹣2﹣x+2=12﹣3x C．4x=12 D．x=3 【分析】根据一元一次方程的解法，先去分母，再去括号，最后移项，合并同类项，系数化为1，然后选择答案即可． 【解答】解：去分母得，2（x﹣1）﹣（x+2）=3（4﹣x）， 去括号得，2x﹣2﹣x﹣2=12﹣3x， 移项、合并得，4x=16， 系数化为1得，x=4． 所以，发生错误的步骤是去括号一步． 故选：B． 　 4．把方程的分母化为整数，以下变形正确的是（　　） A． B． C． D． 【分析】把方程中的分子与分母同时乘以一个数，使分母变为整数即可． 【解答】解：把的分子分母同时乘以10，的分子分母同时乘以100得， =﹣1，即=﹣1． 故选：A． 　 二．填空题（共3小题） 5．阅读下面解方程的步骤，在后面的横线上填写此步骤的依据： 解：去分母，得 3（3x+1）=2（x﹣2）．①依据　依据等式的基本性质2：等式的两边都乘以同一个数，所得的等式仍然成立　 去括号，得 9x+3=2x﹣4． 移项，得 9x﹣2x=﹣4﹣3．②依据　等式的基本性质1：等式的两边都加上（或减去）同一个数或整式，所得的等式仍然成立　 合并同类项，得 7x=﹣7． 系数化为1，得 x=﹣1． ∴x=﹣1是原方程的解． 【分析】利用等式的基本性质判断即可． 【解答】解：去分母，得 3（3x+1）=2（x﹣2）．①依据等式的基本性质2：等式的两边都乘以同一个数，所得的等式仍然成立， 去括号，得 9x+3=2x﹣4． 移项，得 9x﹣2x=﹣4﹣3．②依据等式的基本性质1：等式的两边都加上（或减去）同一个数或整式，所得的等式仍然成立， 合并同类项，得 7x=﹣7． 系数化为1，得 x=﹣1． ∴x=﹣1是原方程的解． 故答案为：①等式的基本性质2：等式的两边都乘以同一个数，所得的等式仍然成立；②等式的基本性质1：等式的两边都加上（或减去）同一个数或整式，所得的等式仍然成立． 　 6．方程1﹣=去分母后为　6﹣2（3﹣5x）=3（2x﹣5）　． 【分析】方程两边乘以6去分母得到结果即可． 【解答】解：方程去分母得：6﹣2（3﹣5x）=3（2x﹣5）， 故答案为：6﹣2（3﹣5x）=3（2x﹣5） 　 7．小明解方程=﹣3去分母时，方程右边的﹣3忘记乘6，因而求出的解为x=2，则原方程正确的解为　x=﹣13　． 【分析】根据错误的结果，确定出a的值，进而求出正确的解即可． 【解答】解：根据小明的错误解法得：4x﹣2=3x+3a﹣3， 把x=2代入得：6=3a+3， 解得：a=1， 正确方程为：=﹣3， 去分母得：4x﹣2=3x+3﹣18， 解得：x=﹣13， 故答案为：x=﹣13 　 三．解答题（共3小题） 8．解方程：﹣=1． 【分析】根据解一元一次方程的一般步骤解出方程． 【解答】解：去分母，得2（2x﹣1）﹣3（x+1）=6 去括号，得4x﹣2﹣3x﹣3=6 移项，得4x﹣3x=6+2+3 合并同类项，得x=11． 　 9．解方程： （1） （2）． 【分析】方程去分母，去括号，移项合并，把x系数化为1，即可求出解． 【解答】解：（1）6x﹣（2x+5）=6﹣3（2x﹣3） 6x﹣2x﹣5=6﹣6x+9 6x﹣2x+6x=6+9+5 10x=20 x=2 （2）5（x﹣2）﹣2（x+1）=3 5x﹣10﹣2x﹣2=3 5x﹣2x=3+10+2 3x=15 x=5 　 10．a，b，c，d为有理数，现规定一种运算：=ad﹣bc，求=18时x的值． 【分析】按照规定的运算代入所求的等式中，然后化简求得未知数的值即可． 【解答】解：∵=ad﹣bc， ∴=10﹣4（1﹣x）=18， 即10﹣4（1﹣x）=18， 解得：x=3 　 学科网（北京）股份有限公司 $$