精品解析：北京市陈经纶中学2024-2025学年上学期八年级期中数学试卷

陈经纶中学2024-2025第一学期初二数学学科 期中监测试卷 一、选择题（本题共24分，每小题3分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个． 1. 下列四种图案是2024年巴黎奥运会中部分运动项目的示意图，其中是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列每组数分别表示三根木棒的长，将它们首尾连接后，能摆成三角形的一组是（　　） A. 1，2，3 B. 1，2，4 C. 2，3，4 D. 2，2，4 3. 画中边上的高，正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 在平面直角坐标系中，点关于轴对称的点是（ ） A. B. C. D. 5. 若一个多边形的内角和是它的外角和3倍，则这个多边形是（　　） A. 六边形 B. 七边形 C. 八边形 D. 九边形 6. 如图，，点E在边上，，则的度数为（ ） A. 30° B. 40° C. 45° D. 50° 7. 小丽与爸妈在公园里荡秋千．如图，小丽坐在秋千的起始位置A处，与地面垂直，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面1m高的B处接住她后用力一推，爸爸在C处接住她．若妈妈与爸爸到的水平距离、分别为和，．爸爸在C处接住小丽时，小丽距离地面的高度是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，中，、的角平分线、交于点，延长、，，，则下列结论中正确的个数（ ） ①平分；②；③；④． A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 二、填空题（本题共24分，每小题3分） 9. 如果等腰三角形的两边长分别是2、7，那么三角形的周长是________． 10. 在中，，，则____________． 11. 如图，在长方形中，是对角线，将沿直线折叠，点A落在点F处，交边于点E，若，则的度数为________． 12. 如图，是的角平分线，过点D作交于点E．若，，则______°． 13. 如图，在中，，，点D是的中点，过点D作交于点E，，则的长度为__________． 14. 如图，在等边中，D是的中点，于点E，于点F，已知，则的长为__________． 15. 如图1，用尺规作图的方法“过直线l外一点P作直线l的平行线”，现有如图2中的甲、乙两种方法，所用方法正确的是________．（填“只有甲”或“只有乙”或“甲乙都对”或“没有对的”） 16. 如图，做一个“”字形框架，其中，，足够长，于，于点，点从出发向运动，同时点从出发向运动，使运动的速度之比，当两点运动到某一瞬间同时停止，此时在射线上取点，使与全等，则线段的长为______． 三、解答题（本题共52分，第17－19题，第21－23题，每题5分；第20题，4分；第24题-26题，每题6分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 17. 小明发现，任意一个直角三角形都可以分割成两个等腰三角形． 已知：在中，． 求作：线段，使得线段将分割成两个等腰三角形． 下面是小明设计的尺规作图的作法： ①作直角边的垂直平分线，与斜边相交于点D； ②连接． 则线段为所求． 完成下面的证明． 证明：∵直线是线段的垂直平分线，点D在直线上， ∴．（  ）（填推理的依据） ∴ ． ∵， ∴ ． ∵． ∴． ∴．（  ）（填推理的依据） ∴和都是等腰三角形． 18. 如图，在中，，是角平分线，是高，，，求和的度数． 19. 如图，是的平分线，．试说明：． 20. 在的正方形网格中建立如图1、2所示的直角坐标系，其中格点A，B的坐标分别是． （1）请图1中添加一个格点，使得是轴对称图形，且对称轴经过点． （2）请图2中添加一个格点，使得也是轴对称图形，且对称轴经过点． 21. 已知，如图，在中，是的中点，于，于，且，求证：是等腰三角形． 22. 在平面直角坐标系中，的三个顶点的位置如图所示． （1）请画出关于轴对称的（其中，，分别是A、B、C的对应点，不写画法）； （2）点在坐标轴上，且满足是等腰三角形，则所有符合条件的点有 个． 23. 如图，A、B分别为、的中点， 于点A， 于点B．求的度数． 24. 如图，为中线，点E在上，交于点F，，求证：． 25. 为等边三角形，射线经过点A，，画点B关于射线的对称点D，连接、交直线于点E． （1）如图，当时 ①依题意补全图形； ②用等式表示线段、、的数量关系，并证明； （2）若为等腰三角形，直接写出的度数． 26. 如图，在平面直角坐标系中，直线l经过点，且平行于y轴．给出如下定义：点先关于y轴对称得点，再将点关于直线l对称得，则称点是点P关于y轴和直线l的二次反射点． （1）已知，则它关于y轴和直线l的二次反射点的坐标是 ； （2）若点D的坐标是，其中，点D关于y轴和直线l的二次反射点是点，求线段的长； （3）已知点，以线段为边在x轴上方作正方形，若点，关于y轴和直线l的二次反射点分别为，，且线段与正方形的边有公共点，直接写出a的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 陈经纶中学2024-2025第一学期初二数学学科 期中监测试卷 一、选择题（本题共24分，每小题3分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个． 1. 下列四种图案是2024年巴黎奥运会中部分运动项目的示意图，其中是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形．熟练掌握轴对称图形的概念，是解决问题的关键．轴对称图形：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形． 根据轴对称图形的概念逐一判断，即得． 【详解】解：A、该图形不是轴对称图形，本选项不符合题意； B、该图形不是轴对称图形，本选项不符合题意； C、该图形不是轴对称图形，本选项不符合题意； D、该图形是轴对称图形，本选项符合题意． 故选：D． 2. 下列每组数分别表示三根木棒的长，将它们首尾连接后，能摆成三角形的一组是（　　） A. 1，2，3 B. 1，2，4 C. 2，3，4 D. 2，2，4 【答案】C 【解析】 【分析】根据三角形的三边关系：三角形两边之和大于第三边，计算两个较小的边的和，看看是否大于第三边即可． 【详解】A、，不能组成三角形，故A选项错误； B、，不能组成三角形，故B选项错误； C、，能组成三角形，故C选项正确； D、，不能组成三角形，故D选项错误； 故选：C． 【点睛】此题主要考查了三角形的三边关系，关键是掌握三角形的三边关系． 3. 画中边上的高，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查三角形的高，熟练掌握三角形高的画法是解题的关键；根据三角形的高可进行排除选项． 【详解】解：由题意可知只有D选项符合的边上的高； 故选D． 4. 在平面直角坐标系中，点关于轴对称的点是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据“关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数”解答即可． 【详解】解：点关于x轴对称的点的坐标为． 故选：A． 【点睛】本题考查了关于x轴轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数． 5. 若一个多边形的内角和是它的外角和3倍，则这个多边形是（　　） A. 六边形 B. 七边形 C. 八边形 D. 九边形 【答案】C 【解析】 【分析】首先设此多边形是n边形，由多边形的外角和为，即可得方程，解此方程即可求得答案． 【详解】解：设此多边形是n边形， ∵多边形的外角和为， ∴， 解得：． ∴这个多边形是八边形． 故选：C． 【点睛】此题考查了多边形的内角和与外角和的知识．此题难度不大，注意多边形的外角和为，n边形的内角和等于． 6. 如图，，点E在边上，，则的度数为（ ） A. 30° B. 40° C. 45° D. 50° 【答案】B 【解析】 【分析】由全等三角形的性质推出，由等腰三角形的性质得到，求出，，即可得到． 【详解】， ， ， ， ， ． 故选： B ． 【点睛】本题考查全等三角形的性质，等腰三角形的性质，关键是由，得到，． 7. 小丽与爸妈在公园里荡秋千．如图，小丽坐在秋千的起始位置A处，与地面垂直，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面1m高的B处接住她后用力一推，爸爸在C处接住她．若妈妈与爸爸到的水平距离、分别为和，．爸爸在C处接住小丽时，小丽距离地面的高度是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用全等三角形判定，证得与全等，根据全等三角形性质可求出和的值，进而求出的值，最后根据，即可求出问题答案． 【详解】解：， ， ，， ，， ，， 又， ， ，， ． 故选：D． 【点睛】本题考查了利用三角形全等测距离的问题，理解题意及熟知三角形的性质与判定是解题关键． 8. 如图，中，、的角平分线、交于点，延长、，，，则下列结论中正确的个数（ ） ①平分；②；③；④． A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是角平分线的性质、全等三角形的判定和性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．过点作于，由角平分线的性质定理可得，即可判断①；证明（），得出，同理可得（），从而得出，进而可得，即可判断②；由角平分线的定义可以判断③；由全等三角形的性质可以判断④； 【详解】解：①过点作于， ∵平分，平分， ，，， ∴，， ∴， ∴平分，故①正确； ②∵，， ∴， ∴， 在和中， ∴（）， ∴， 同理可得：（）， ∴， ∴， ∴， ∵不一定等于， 故②错误； ③∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴，③正确； ④由②可知（）， （）， ∴，， ∴，④正确， 故选：C． 二、填空题（本题共24分，每小题3分） 9. 如果等腰三角形的两边长分别是2、7，那么三角形的周长是________． 【答案】16 【解析】 【分析】根据等腰三角形的性质，三角形三边关系，即两边之和大于第三边，两边之差小于第三边解答即可． 【详解】解：（1）当2为腰长时，三边分别为2、2、7，因为2+2=4＜7，根据三角形三边关系得，此三边不能组成三角形． （2）当7为腰长时，三边分别为2、7、7，根据三角形三边关系得，此三边能组成三角形．所以三角形的周长=7+7+2=16； 综上，此三角形的周长为16． 故答案为：16 【点睛】本题主要考查等腰三角形三边关系，解题的关键是先分类讨论确定腰长，再根据三角形任意两边之和大于第三边判断是否能组成三角形，最后算出周长即可． 10. 在中，，，则____________． 【答案】60° 【解析】 【分析】根据直角三角形两个锐角互余得出，解方程组即可． 【详解】解：在中，， ∴， 解方程组得， 故答案为：60°． 【点睛】本题考查了三角形内角和和解方程组，解题关键是熟练掌握三角形内角和定理，列出方程组． 11. 如图，在长方形中，是对角线，将沿直线折叠，点A落在点F处，交边于点E，若，则的度数为________． 【答案】##40度 【解析】 【分析】本题考查翻折的性质，长方形的性质，平行线的性质等知识，根据矩形的性质得到，从而得到，从而求出，再结合翻折的性质和角的和差关系求解即可． 【详解】解：在长方形中，， ∴，， 由翻折的性质可知：， ∴ 故答案为：． 12. 如图，是的角平分线，过点D作交于点E．若，，则______°． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了三角形的外角性质，平行线的性质，角平分线的定义，首先根据三角形的外角定理求出，再根据角平分线的定义得，然后根据平行线的性质即可得的度数． 【详解】解：∵，， ∴， 即， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 13. 如图，在中，，，点D是的中点，过点D作交于点E，，则的长度为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，垂直平分线的性质，含30度角的直角三角形，掌握30度角所对的直角边等于斜边一半是解题关键．连接，由等边对等角的性质和三角形内角和定理，得到，，进而得到，再证明垂直平分，得到，，结合30度角所对的直角边等于斜边一半求解即可． 【详解】解：如图，连接， ，， ，， ，， ， 点D是的中点， 垂直平分， ， ， ， ， 故答案为：． 14. 如图，在等边中，D是的中点，于点E，于点F，已知，则的长为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的性质，直角三角形两锐角互余，含30度的角的直角三角形，掌握30度角所对的直角等于斜边的一半是解题关键．根据等边三角形的性质和直角三角形两锐角互余，得到，，进而得出，，即可求出的长． 【详解】解：等边中，D是的中点，， ，，， ， ， ，， 在中，， ， 在中，， ， 故答案为：． 15. 如图1，用尺规作图的方法“过直线l外一点P作直线l的平行线”，现有如图2中的甲、乙两种方法，所用方法正确的是________．（填“只有甲”或“只有乙”或“甲乙都对”或“没有对的”） 【答案】甲乙都对 【解析】 【分析】本题考查了平行线的判定、尺规作图、等腰三角形的性质，熟练掌握尺规作图是解题关键．甲：根据同位角相等，两直线平行即可判断甲所用方法正确；乙：如图（见解析），先根据等腰三角形的性质可得，再根据角平分线的尺规作图可得，从而可得，然后根据同位角相等，两直线平行即可判断乙所用方法正确． 【详解】解：如图，甲所用方法正确． 由作图可知，， 则． 如图，乙所用方法正确． 由作图可知，，是角平分线， ∴，， 又∵， ∴， ∴， 综上，所用方法正确的是甲、乙， 故答案为：甲乙都对． 16. 如图，做一个“”字形框架，其中，，足够长，于，于点，点从出发向运动，同时点从出发向运动，使运动的速度之比，当两点运动到某一瞬间同时停止，此时在射线上取点，使与全等，则线段的长为______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的概念和性质，一元一次方程的应用，利用分类讨论的思想是解决问题的关键． 由题意得，设，，则，分两种情况讨论：①，，；②，，，分别列方程求解即可． 【详解】解：由题意得， 运动的速度之比， 设，， ， ， ①当，，， ， 解得：， ； ②当，，， ， 解得：， ； 故答案为：或． 三、解答题（本题共52分，第17－19题，第21－23题，每题5分；第20题，4分；第24题-26题，每题6分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 17. 小明发现，任意一个直角三角形都可以分割成两个等腰三角形． 已知：在中，． 求作：线段，使得线段将分割成两个等腰三角形． 下面是小明设计的尺规作图的作法： ①作直角边的垂直平分线，与斜边相交于点D； ②连接． 则线段为所求． 完成下面的证明． 证明：∵直线是线段的垂直平分线，点D在直线上， ∴．（  ）（填推理的依据） ∴ ． ∵， ∴ ． ∵． ∴． ∴．（  ）（填推理的依据） ∴和都是等腰三角形． 【答案】垂直平分线上的点到线段两端的距离相等 ；；；；等角对等边 【解析】 【分析】本题考查了垂直平分线的性质，等腰三角形的判定和性质，掌握垂直平分线上的点到线段两端距离相等是解题关键．由垂直平分线可得，进而得到，再结合余角，得出，由等角对等边可得，即可证明结论． 【详解】证明：∵直线是线段的垂直平分线，点D在直线上， ∴．（垂直平分线上的点到线段两端的距离相等 ）（填推理的依据） ∴． ∵， ∴． ∵． ∴． ∴．（等角对等边）（填推理的依据） ∴和都是等腰三角形， 故答案为：垂直平分线上的点到线段两端的距离相等 ；；；；等角对等边． 18. 如图，在中，，是角平分线，是高，，，求和的度数． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了三角形的高与角平分线、三角形的内角和定理、等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题关键．先根据等腰三角形的性质可得，从而可得，再根据角平分线的定义可得，然后根据三角形的内角和定理求解即可得． 【详解】解：∵在中，是高，， ∴， ∵， ∴， ∵在中，是角平分线， ∴， ∴． 19. 如图，是的平分线，．试说明：． 【答案】 证明： 是的平分线， ． 在和中， ， 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质以及角平分线的定义，解题的关键是利用角平分线的性质找到证明三角形全等的条件． 根据角平分线的定义得到，再结合已知的相等线段，利用全等三角形的判定定理证明，最后根据全等三角形的性质得出结论． 【详解】略 20. 在的正方形网格中建立如图1、2所示的直角坐标系，其中格点A，B的坐标分别是． （1）请图1中添加一个格点，使得是轴对称图形，且对称轴经过点． （2）请图2中添加一个格点，使得也是轴对称图形，且对称轴经过点． 【答案】（1） 如下图， （2） 如下图， 【解析】 【分析】（1）根据轴对称的性质作图即可； （2）根据轴对称的性质作图即可． 【小问1详解】 解：由对称轴的性质，可知点B的对称点是点C，点A的对称点还是点A，连接A、B、C可知是轴对称图形，且对称轴经过点，点C即为所求； 【小问2详解】 由对称轴的性质，可知点A的对称点是点D，点B的对称点还是点B，连接A、B、C可知是轴对称图形，且对称轴经过点，点D即为所求． 【点睛】本题考查了平面直角坐标系中轴对称图形的作图，熟练掌握掌握轴对称的作图方法是解题的关键． 21. 已知，如图，在中，是的中点，于，于，且，求证：是等腰三角形． 【答案】 证明：∵D是的中点， ∴， ∵于E，于点F， ∴在和中， ， ∴， ∴， ∴，即是等腰三角形． 【解析】 【分析】本题主要考查等腰三角形的判定，直角三角形全等的判定与性质，熟练掌握等腰三角形的判定，直角三角形全等的判定与性质是解题的关键． 先用证明，则有，即，是等腰三角形． 【详解】略 22. 在平面直角坐标系中，的三个顶点的位置如图所示． （1）请画出关于轴对称的（其中，，分别是A、B、C的对应点，不写画法）； （2）点在坐标轴上，且满足是等腰三角形，则所有符合条件的点有 个． 【答案】（1） 解：如图，即为所求． ． （2）10 【解析】 【分析】本题考查了画轴对称图形、等腰三角形的定义，熟练掌握轴对称图形的画法是解题关键． （1）先根据轴对称的定义分别画出点，，，再顺次连接即可得； （2）先以点为圆心、长为半径画圆得到与坐标轴的交点，再以点为圆心、长为半径画圆得到与坐标轴的交点，然后将两圆的交点连接可得的垂直平分线，从而可得到与坐标轴的交点，由此即可得出答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，以点为圆心、长为半径画圆，与坐标轴的交点有4个，则有4个以为腰的等腰； 以点为圆心、长为半径画圆，与坐标轴的交点有4个，则有4个以为腰的等腰； 将两圆的交点连接可得的垂直平分线，与坐标轴的交点有2个，则有2个以为底的等腰； 综上，所有符合条件的点有10个， 故答案为：10． ． 23. 如图，A、B分别为、的中点， 于点A， 于点B．求的度数． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了垂直平分线的性质，等边三角形的判定和性质，掌握垂直平分线上的点到线段两端的距离相等是解题关键．由垂直平分线的性质，得到，证明是等边三角形，即可求出的度数． 【详解】解：如图，连接， A、B分别为、的中点，，， 垂直平分，垂直平分， ，， ， 是等边三角形， ， ． 24. 如图，为中线，点E在上，交于点F，，求证：． 【答案】 证明：延长到点G，使，连接， 为中线， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ． 【解析】 【分析】此题重点考查全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键． 延长到点G，使，连接，可根据全等三角形的判定定理“”证明，得，，由，得，可推导出，得，所以． 【详解】略 25. 为等边三角形，射线经过点A，，画点B关于射线的对称点D，连接、交直线于点E． （1）如图，当时 ①依题意补全图形； ②用等式表示线段、、的数量关系，并证明； （2）若为等腰三角形，直接写出的度数． 【答案】（1）①如图： ②，证明如下： 在上截取，如图： ∵是等边三角形， ∴ 由对称可知： ， ∵， ∴，， ∵ ∴， 由对称可知：，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）或． 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的性质，线段垂直平分线的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． （1）①根据要求画出图形即可； ②在上截取，则是等边三角形，证明，推出，根据，即可得出； （2）①当时，②当时，③当时，根据等边三角形的性质，和线段垂直平分线的性质即可得到结论． 【小问1详解】 解：①过点作的垂线，交于点，截取，则点是点关于射线的对称点，连接、交直线于点E， ②略 【小问2详解】 解：当是等腰三角形， ①当时，如图： ∵垂直平分， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴； ②当时，如图： ∴垂直平分， ∵垂直平分， ， ③当时，如图： ∴垂直平分， ∴，，三点在同一条直线上， (不合题意，舍去)， 综上所述，是等腰三角形，的值为或． 26. 如图，在平面直角坐标系中，直线l经过点，且平行于y轴．给出如下定义：点先关于y轴对称得点，再将点关于直线l对称得，则称点是点P关于y轴和直线l的二次反射点． （1）已知，则它关于y轴和直线l的二次反射点的坐标是 ； （2）若点D的坐标是，其中，点D关于y轴和直线l的二次反射点是点，求线段的长； （3）已知点，以线段为边在x轴上方作正方形，若点，关于y轴和直线l的二次反射点分别为，，且线段与正方形的边有公共点，直接写出a的取值范围． 【答案】（1） （2）6 （3）或 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，轴对称性质，动点问题，新定义二次反射点的理解和运用；解题关键是对新定义二次反射点的正确理解． （1）根据二次反射点的定义直接得出答案； （2）根据二次反射点的定义得出，则可得出答案 （3）根据二次反射点的定义得出，由题意分两种情况列出不等式组，解不等式组可得出答案． 【小问1详解】 ∵， ∴点A关于y轴点的对称的坐标为， ∵关于直线l对称得点， ∴点关于y轴和直线l的二次反射点； 故答案为： 【小问2详解】 ∵点D的坐标是，， ∴点D关于y轴对称的点的坐标为， ∴关于直线l对称得点， ∴． 【小问3详解】 ∵点， ∴点关于y轴和直线l的二次反射点为， ∵， ∴关于y轴和直线l的二次反射点为， 当与有公共点时， ， ， 当与有公共点时， ， ， 或 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $