甘肃省靖远县第二中学2024-2025学年高三上学期11月期中考试数学试题

高考模拟卷·数学 (120分钟150分) 考生须知： 1.本卷侧重：高考评价体系之综合性 2.本卷怎么考：①考查同一层面、横向的交互融合的综合能力（题18）：②考查不同层面之间，纵向 的融会贯通的综合能力（题11）. 3.本卷典型情境题：题3、16. 弥 4.本卷测试范围：高考全部内容 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的. 1.已知集合A={1,2,4,7,9},B={x|1<x<9},则集合A∩B= A.[1,9] B.{2,4,7} C.{2,4,7,9} 封 D.{1,2,4,7,9} 2.若抛物线x2=2y(p>0)的焦点到准线的距离为2，则该抛物线的焦点坐标为 A.(0,1) B.(0,2) C.(1,0) D.(2,0) 3.某餐饮店在网络平台推出一些团购活动后，每天团购券的核销量X~N(100,256) (单位：张)，则200天中团购券的核销量在84到132张的天数大约是 (若随机变量X~N(4,a2),则P(μ-≤X≤十o)≈0.6827，P(μ一2a≤X≤μ十2a) ≈0.9545，P(4-3≤X≤4十3a)≈0.9973) A.191 B.137 C.159 D.164 4函数f)二的图象在点(2，f(2)处的切线方程为 A.x-y=0 B.x+y-2=0 C.x+y-4=0 D.x-y十2=0 数学 第1页（共8页） [25新高考·数学-Y] 5.在等比数列{an}中，a2十a4=1,a6十ag=9,则a2= A.3 B.4 c Di 6.如图所示，ABCD-A1B1CD1是棱长为3的正方体，M,N分别是下底面的棱A1B1, B,C的中点，P是上底面的棱AD上的一点，2AP=DP,过点P,M,N的平面交上 底面于PQ,点Q在CD上，则PQ= B3 D A.√2 2 A C.2√2 D.2 7.函数fx)=anx+是的图象大致为 6-53-2-12345 -6-5-4-3-2-1o1234561 B. 6-5-4-2-1o1245 8-5-4-32-10123456 0 8在平面直角坐标系0y中，设F,R是双曲线爱-芳-1(a>0,6>0)的左，右焦 点，过点F1的直线与双曲线的两支分别交于点A,B,若△ABF2为正三角形，则该 双曲线的离心率为 A√3 B.2 C.√5 D.7 第2页（共8页） 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项 符合题目要求.全部选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. ,对于二项式（丘一），下列说法正确的是 A展开式中的常数项为9 以展开式中的常数项为受 C.展开式中的有理项有3项 D.展开式中的有理项有4项 10.若(2+i)·x=3+ai(a∈N),则 A.≈有可能为实数 B.之不可能为纯虚数 C1的最小值为35 5 D.若|z=3,则a=6 11.某校数学兴趣小组的成员在研究一组数字，已知该组数字均为正整数，总个数为 M,其中最大的数字为E(E≥4)，且在[1，E]内的每一个整数均出现在该组数字 中，该组数字满足如下规律：对该组数字中的任意正整数a(a<E),数字a的个数 是所有不小于a的数字的个数的10%.现在从这组数字中任取一个数字，记“数字 为n”为事件An,“数字不小于n”为事件B.,其中n<E,则下列结论一定正确的是 A.P(A:10 BP(B.)=(0) CPAe)=(号) D.P(Bn+1)=10P(An+1) 题序 1 2 3 5 6 2 8 9 10 11 答案 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.已知向量a=(2m,3),b=(1,一1)，且a∥b,则m= 13.函数f(x)=3cosx一4sinx,若“x=a”是“f(x)取得最大值”的充分条件，则sina 1以已知心>0>0，则+y的最大值是 第3页（共8页） 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.(13分) 已知函数f(x)=2x-1-6lnx (1)求函数f(x)的极值. (2若关于x的方程了飞)=气2(a∈R)有两个不同的解，求a的取值范围. 16.(15分) 2024年6月4日，“嫦娥六号”携带月球样品，自月球背面起飞，完成世界首次月球 背面采样和起飞。为了了解某中学高三学生对此新闻事件的关注程度，现从该校高 三学生中随机抽取100名学生进行调查，调查样本中有40名女生.如图，这是根据 样本的调查结果绘制的等高条形图（阴影区域表示关注“嫦娥六号”的部分）. 性别 关注度 关注 没关注 合计 男 女 合计 附： 0.150 0.100 0.050 0.010 0.005 Ta 2.072 2.706 3.841 6.635 7.879 t=1 n(ad-bc)2 a+b)(c十d)(a+c)(6+D,其中n=a十b+c+d. (1)完成上面的2×2列联表，并计算回答根据小概率值α=0.05的独立性检验，分 析“性别是否影响学生对“嫦娥六号’的关注程度”； (2)若将频率视为概率，现从该中学高三的女生中随机抽取3人，记被抽取的3名 女生中对嫦娥六号”新闻关注的人数为随机变量X,求X的分布列及数学 期望. 第5页（共8页） 17.(15分) 如图，在直三棱柱ABC-A,BC,中，D是CC,的中点，AC=BC,AA=AB. (1)证明：AB,⊥平面A1BD. (2)若BC⊥AC,AB=2,求平面A,BD与平面ABD的夹角的余弦值. C 第6页（共8页） 18.(17分) 已知椭圆C:系+学-1(>0)的离心率为号，P是直线1：x=4上的一动点，点Q 在椭圆C上. (1)求n的值. (2)若PQ的最小值小于号，且直线OQ,PQ的斜率之积为一是，0为坐标原点，请 问平面内是否存在定点T,满足PT⊥QT恒成立？若存在，求出点T的坐标， 若不存在，请说明理由. 19.(17分) 在平面直角坐标系xOy中，利用公式 工=ax+'其中a,bc,d为常数 y=cx+dy, ①，将 点P(x,y)的坐标变换为点P(x',y)的坐标，我们称该变换为线性变换，也称① 为坐标变换公式，该变换公式①可由a,b,c,d组成的正方形数表 a 唯一确定， a b 我们将 称为二阶矩阵，矩阵通常用大写英文字母A,B,…表示。 弥 (1)在平面直角坐标系xOy中，将点P(3,4)绕原点O按逆时针方向旋转5得到点 P'(到原点距离不变)，求点P的坐标； (2)如图，在平面直角坐标系xOy中，将点P(x,y)绕原点O按逆时针方向旋转α 角得到点P'(x',y)(到原点距离不变)，求坐标变换公式及对应的二阶矩阵； (3)向量O庐=(x,y)(行向量形式)，也可以写成 ,这种形式的向量称为列向量， 封 线性变换坐标公式①可以表示为 门-门，则春是=价矩阵 的与向 的乘积，设A是一个二阶矩阵，m,n是平面上的任意两个向 量，求证：A(m十n)=Am十An. p(y) ● 线 P(x,y） 第8页（共8页）高考模拟卷·数学 参考答案 题序12 34567 8910 11 答案 B A DC D C A D AD BCD BC 1.客率B 解题分析由题意，A∩B={2,4,7}. 2.A 解题分析由题意知p=2,故该抛物线的焦点坐标为(0,1). 3.答系D 解题分析由题可知4=100，a=16, P(84≤X<132)=P-≤X≤士O)+PL-2X≤+2a2≈0.8186. 2 故200天内团购券的核销量在84到132张的天数大约是200×0.8186=163.72≈164. 4.C 器题分损由f（)=一(x-,知f(2)=一1，又f2)=2,故所求切线方程为y一2=一1X(x一2)，即x+y 4=0. 5.答至D 醒题分析因为a十a4=1,au十as=(a十a,)g=9,所以=3. 因为a十a,=a1十)=1.所以a= 6.要C 解分析·'MN∥平面ABCD,平面PMNQ∩平面ABCD=PQ,MNC平面PQNM, .MN∥PQ,易知DP=DQ=2, 故PQ=PD+IDQ=√2PD=22. 7.图A 爵题给预函数)=amx+子，其中x≠受+k,且x≠0，由定义域可以排除且该面数为奇函数，所以C错 误.f(1)=tan1十1>0，所以A正确. 8.南D 解题分析不妨设点A在双曲线的右支上，则|AB卧=AF:|=BF:|=m, 又，1AF|-|AF2=2a, 则|AB+|BF-AF4=2a,∴.BF,|=2a,|BF,|=4a,∠ABF2=60°，∠FBF2=120°， .lFF2|P=1BF,P+|BF212-2|BF|·|BF2|cos120,.4c2=4a2+16a-2·2a· 4a(-2）=28a, 即2=7a2,由>1，知e=√7. 9.客罩AD 验（匠-）”的展开式的第r+1项T=C(丘)(-左）广-C+(-)x c(-号)x,常数项为C(-名)广-15×-与，有理项有4项 10.系BCD 数学 参考答案第1页（共4页） [25新高考·数学-Y] 眉分由题意知-岩-士a十g二》以，：=五，其中aEN若：为实数，则a-昌，不合周 5 意，故A不正确；若之为纯虚数，则a=一6，不合题意，即：不可能为纯虚数，故B正确：当a=0时，|：取得最小 值，且最小值为25，故C正确：若1：=3，则五=3，即a=6(负值已含去)，放D正确 5 11.答图BC 解题分析设正整数i(i<E)的个数为m, 由题意，M-(m+m+…+m-)0 则m=M-(m十m十十m=]10m十m十m十…十m-=M①， 10m+1十m1十m+…十m-1十m:=M②， @-①得10m1=9m→PA)=易PA)→PA)=(品). 脚PA)=品)，故PA)=品×（号）=0.09，故A错误： 由m=M-(m+座十+m]pPA,)=PB). 款PB)=10PA)=(0),故B正确： 由题意知PA)=1故PAe)1pUA)=1六·1（品） -=() ”,故C正确： 1- 当n=E-1时，P(B.+)=P(Aw+1),故D不正确. 12圈-号 解题纷强由a/6,知一2m一3=0，解得n=一号， 18圈题-青 圆)=3os一4n=5(号as一音血)-5osx+g,共中osg号血g寺，由周意知 cos(a十g)=1,则a十g=2km(k∈D,此时sima=im(一g)=一青 16墨号 2xy 2 41 胆霸年4行x十y正+yE+义'度文>0) 所以原式=2 人412王 1=3(+21) 3(+2) 帝南 令4=1+号>0.所以>2区.又语数y=+女在[2E,十e0止单调递增 所以厚式=。斗 3 3 322 1 3 十 22+ 22 15.園()/(x)=2+4-6=2x-6z+4_2x-1Dx-2) 当x∈(1,2)时，(x)<0,f(x)为减函数：当x∈(2，+∞)和x∈(0,1)时，∫(x)>0,f(x)为增函数. 故函数f(x)的极大值为f(1)=一2，极小值为f八2)=2一6l如2.…7分 （2)由f)-,可知2r-6+a=0.又由宽意知面数0的定义减为0，十eo,故方程22-6r十a=0 参考答案第2页（共4页） 在(0，十∞)上有两个不相等的根，则有。0。 136-8a>0即0<a<2 -9 13分 16.解题分析(1)完成2×2列联表如下： 关注度 性别 合计 关注 没关注 男 30 30 60 女 12 28 40 合计 42 58 100 n(ad-bc) 零假设为H:性别与关注度之间无关联.X=(a+b)(C十d)(a十r)(b十d 100×(30×28-12×30)2_800 42X58×40×60 203 3.941>3.841. 所以根据小概率值α=0.05的独立性检验，我们推断H不成立，即认为“性别会影响学生对“嫦娥六号'的关注 程度”7分 12-3 (2)因为随机选一个高三的女生，她对此事关注的概率为p=”可， 而XB(3 ,所以随机变量X的分布列为 X 2 3 P 343 441 189 27 1000 1000 1000 1000 9 故E(X)=n中=1 …15分 17.解题分标(1)如图1，记AB与AB,的交点为O,连接OD, A C 因为三棱柱ABC-A,BC是直三棱柱， 所以∠AAB=∠DCA=∠B,CD=90°， 因为AA-AB,所以四边形AABB是正方形，故AB,⊥A1B. 因为AC=BC,BC=BC,所以AC=BC. 又因为D是CC,的中点，所以CD=CD, 所以AD=√CD+AC=√CD+BG=BD. 因为四边形AA:BB是正方形，所以O是AB,的中点， 图1 所以AB⊥OD. 又因为AB,ODC平面A:BD,AB∩OD=O, 所以AB⊥平面ABD.…6分 (2)因为BC⊥AC,AB=AA=2,所以AC=BC=V2. 如图2，以C为原点，分别以CA,CB,CC所在直线为x,y,:轴建立空间直角坐标系， 则A(W2,0,0),B(02,0),B1(0,√2,2)，D(0,0,1) 所以AB=(-√22,0)，BD=(0,-2,1).AB=(-22,2). 因为AB⊥平面A,BD,所以平面ABD的一个法向量为AB=(一√2,2,2). 设平面ABD的法向量为n=(x,y,), 则/n·访-0 即 n.Bb=0, 一2+2y=0解得 取y=1 -2y+x=0. z=2y, 得n=(1,12). 图2 设平面A1BD与平面ABD的夹角为0， 则os0=n·A=221 nABT2×222 所以平面ABD与平面ABD的夹角的余弦值为 …15分 参考答案第3页（共4页） 18分面(1考猫置C的焦点在r轴上，由题意知-号，解得以=2区：若椭圈C的焦点在y垫上，由 题意知写立_号，解得m=2. 2 2 …5分 (2)当蒲圈C的焦点在r轴上时，PQ的最小值为4一2厄<号，当精圆C的焦点在y轴上时，PQ的最小债 为4一巨>号（不合题意）.放腾圆C的方程为写+号-1 设Q)P代4，则o二60一兰，因为直线0Q,PQ的斜率之积为一言， 所以青·尝=一合·所以一坊十号成-2根据对称性可如定点T若存在，则一定在士轴上， 设T(m,0).则PT=(m-4,-t),Qf=(m-xo,一h), 因为PT⊥QT恒成立，所以(m一4)(m一o)十1%=0恒成立， 所以(m一4)m一)十+号后一2=0恒成立.因为爱+平=1，所以坊+受=4， 所以(m-4)(m一)十4一2xo=0恒成立，所以m2-4m十4+(2-m)x=0恒成立， 所以m=2,即存在定点T(2,0),满足PT⊥QT恒成立，4…17分 19.爵分预)由商可求得OP=OP'=5,设∠POr=0,期cos0=号，sin0=号， 设点P(xg)∠P'0x=0+号， 放=5a(0叶吾）=5(3ms0-号m0）=号-25， y=5sim(0叶晋）=5（合sim0叶9s0）-2+35 21 所以P'(是-252+3) +444444444……4小…444小小0…5分 (2)设OP=OP'=r,∠POx=0,则x=reos 0,y=rsin,∠P'Ox=0+a, =rcos(0-a)=rcos 0cos a-rsin Osin a=rcos a-ysin a. y'=rsin(0+a)=rsin Ocos a+rcos @sin a=xsin a+ycos a. 所以坐标变换公式为 r'=rcos a-ysin a, y'=rsin a十ycos a, 该变换所对应的二阶矩阵为 cosa-sina7 …10分 Lsin a cos a (3)设矩阵A=[，向量m=]n[,则m十m 「0十27 L」 Ly十 A(m十n)= 「厂ab厂x+x7_Ta(+x)+b(y+)7 Lcd儿”十Lc(x+n)+d(y+)」' 对应变换公式为 Jx'=a(xi+x)+b(y+y:), ly'=c(n+x:)+d(s+y), PAn-fa ] a.十by Lc十dw 所以Am十An= Ta+by+「a+by= a(x+r)+b(1+) Lca+dy」Lcn+dh」 Le(n+z)+d(y+)' 故对应变换公式同样为 x'=a(+)+(y+), y'=c(m+x2）+d(y+业)， 所以A(m十n）=Am十An,… …17分 参考答案第4页（共4页）