山东省烟台市烟台经济技术开发区烟台爱华高级中学有限公司2024-2025学年高二上学期11月月考数学试题

· 爱华高级中学2023级高二上10月月考数学测试卷 · 出卷人：孙泽洪 审核人：唐诗 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 2．如图，在四面体中，，，，，为线段的中点，则等于（    ） A． B． C． D． 3．在正方体中，和分别为和的中点，那么直线与所成角的余弦值是（    ） A． B． C． D． 4．已知点是直线上一点，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 5．直线与曲线有2个交点，则实数b的取值范围是（   ） A． B． C． D． 6．已知点P是直线上的动点，过点P引圆的两条切线PM，PN，M，N为切点，则PM的最小值为时，r的值为（    ） A．1 B．2 C． D． 7．已知点、在圆上，且的中点在圆上，则弦长的最小值为（    ） A． B． C． D． 8．定义：两条异面直线之间的距离是指其中一条直线上任意一点到另一条直线距离的最小值.在棱长为1的正方体中，直线AC与之间的距离是（    ） A． B． C． D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 9．下列命题说法正确的有（    ） A．已知直线与直线，若，则或 B．点关于直线的对称点的坐标为 C．原点到直线的距离的最大值为 D．过点且在x轴，y轴上的截距相等的直线方程为 10．数学著作《圆锥曲线论》中给出了圆的一种定义：平面内，到两个顶点，距离之比是常数的点的轨迹是圆.若两定点，，动点满足，则下列说法正确的是（    ） A．点的轨迹围成区域的面积为 B．面积的最大值为 C．点到直线距离的最大值为 D．若圆上存在满足条件的点，则半径的取值范围为 11．如图，在平行六面体中，已知，，E为棱上一点，且，则（    ） A． B．直线与所成角的余弦值为 C． 平面 D．直线与平面所成角为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．已知，则向量在上的投影向量的坐标是 ． 13．若圆与圆相切，则a的值为 . 14．已知在正四棱台中，，，，则异面直线与所成角的余弦值为 . 四、解答题：本题共6小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．已知空间三点、、，设，． (1)设，//，求． (2)若与互相垂直，求． 16．已知圆C过点，且圆心C在直线上． (1)求圆C的方程； (2)若从点发出的光线经过直线反射，反射光线恰好平分圆C的圆周，求反射光线的一般方程． 17．如图，在棱长为2的正方体中，，分别为线段，的中点. (1)求点到平面的距离； (2)求平面与平面夹角的余弦值. 18．如图，在梯形中，，四边形为矩形，且平面，. (1)求证：； (2)点在线段（不含端点）上运动，设直线与平面所成角为，求的取值范围. 19．已知圆分别与轴正半轴交于两点，为圆上的动点. (1)若线段AP上有一点，满足，求点的轨迹方程; (2)过点的直线截圆所得弦长为10，求直线的方程; (3)若为圆上异于的动点，直线AP与轴交于点，直线BP与轴交于点，求证:为定值. 第2页（共2页） 第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C D A D C B B D BC ABD 题号 11 答案 ABD 2．D 【详解】由已知 ， 4． D【详解】解析：设关于直线的对称点为，所以， 解得:，所以：， 当三点共线时有最小值：， 所以：的最小值等于.故D项正确. 5．C 【详解】由题意可作图如下： 当直线位于直线时，交点一定有两个， 由，则，易知， 设直线，由图可知为切线，则，解得， 由图可得：. 6．B 【详解】由题得，当时，最小时，最小. 由题得， 所以. 7．B 【详解】圆的圆心为，半径为， 因为点、在圆上，的中点为， 所以，其中， 即， 因为圆的圆心为，半径，点在圆上， 所以，故， 所以当时，取最小值，最小值为， 8．D 【详解】解法1：设是上任意一点，过作，垂足为， 设，， 则 ， ， 由题意可知：， 因为，则， 可得，则， 所以 ， 当且仅当时，等号成立， 所以直线与之间距离是； 解法2：以DA，DC，为x，y，z轴建立空间直角坐标系， 则，，，， 可得，， 设，且，，则， 取，则，，可得， 则在上的投影就是两异面直线间的距离. 9．BC 【详解】A：因为，所以，解得或， 当时，化简可得，所以重合，故A错误； B：设对称点为，所以，解得，所以对称点为，故B正确； C：因为即为， 令，解得，所以直线经过定点， 下面证明：当时，此时原点到直线的距离有最大值， 当转至任意位置且不垂直时，过点作，如下图所示： 此时显然为直角三角形，且为斜边，所以， 所以原点到直线距离的最大值即为原点到的距离，即为，故C正确； D：当直线的横纵截距均为时，设，代入，解得， 当直线的横纵截距均不为时，设，代入，解得， 由上可知，过点且在x轴，y轴上的截距相等的直线方程为或，故D错误； 10．ABD 【详解】由题意，设点， 又， 所以， 化简可得， 所以点的轨迹为以点为圆心，为半径的圆， 所以点的轨迹围成的区域面积为，A选项正确； 又点满足， 所以，B选项正确； 点到直线的距离， 所以直线与圆相离，所以点到直线距离的最大值为，C选项错误； 由D选项可知圆与圆有公共点，所以， 且， 即， 所以，D选项正确； 11．ABD 【详解】不妨设则. 对于A，因, 故 ，故，故A正确； 对于B，因，,则， ， 设直线与所成角为，则故B正确； 对于C，因 ， 即与不垂直，故不与平面垂直，故C错误； 对于D，因，, 因，， 则有因平面，故平面， 即平面的法向量可取为，又， 设直线与平面所成角为， 因，，， 则，因，故，故D正确. 12． 【详解】因为，， 所以，向量在上的投影向量是， 其坐标为. 13．或或 【详解】由的圆心为，半径为1；的圆心为，半径为5， ∴若两圆内切，则，即； 若两圆外切，则，即. 14． 【详解】， 所以， 所以异面直线与所成角的余弦值为. 15．(1)或 (2)或． 【详解】（1）由于，，则， 由于//，设，由，则，即有， 则或． （2）与互相垂直，则， 则，由（1），，即有， 解得或． 16．(1) (2) 【详解】（1）由，得直线AB的斜率为，线段中点 所以，直线CD的方程为，即， 联立，解得，即， 所以半径， 所以圆C的方程为； （2）由恰好平分圆C的圆周，得经过圆心， 设点M关于直线的对称点， 则直线MN与直线垂直，且线段MN的中点在上， 则有，解得，所以， 所以直线CN即为直线，且， 直线方程为，即.      17．(1)； (2). 【详解】（1）以为原点，为轴，为轴，为轴，建立如下图所示的空间直角坐标系. 由于正方体的棱长为2和，分别为线段，的中点知，.设平面的法向量为..则. .故点到平面的距离. （2）平面的法向量， 平面与平面夹角的余弦值. 18．(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）证明：由已知可得四边形是等腰梯形， 过作，垂足为，则， 在中，， 则，可得， 在中，由余弦定理可得， ， 则，， 又平面，平面， ， ，，平面， 平面， 又为矩形， ，则平面， 而平面， ； （2）平面，且， 以为坐标原点，分别以，，所在直线为，，轴建立空间直角坐标系， 则，，，， ，设， 则，又， 设平面的法向量为， 由， 取，得， 又， ， ，， 则. 19．(1) (3)证明见解析 【详解】（1）根据题意，，， 设，则， 由于，所以， 则，得， 故， 又为圆上， 所以，化简得， 故点的轨迹方程为； （3）设，则， 直线方程是，代入，得，即， 直线方程是，代入，得，即， 所以 ， 所以为定值． 答案第14页，共15页 答案第1页，共4页 学科网（北京）股份有限公司 $$