河北省邯郸市三龙育华中学2024-2025学年高二上学期第二次月考（实验班）数学试卷

试卷第 1页，共 4页 2024-2025 学年度第一学期第二次月考数学卷（实验班） 考试时间：120 分钟；满分：150 分 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第 I卷（选择题） 一、单选题：本题共 8小题,每小题 5分,共 40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求. 1．过点 P(2,3),且与直线3 4 5 0x y   垂直的直线方程为（ ） A．3 4 1 0x y   B．3 4 1 0x y   C． 4 3 1 0x y   D． 4 3 1 0x y   2．椭圆� 2 25 + � 2 16 = 1 的焦点为 1 2, ,F F P为椭圆上一点，若 1 3PF  ，则 2PF （ ） A． 4 B．3 C．5 D．7 3．已知椭圆C：   2 2 1 0 4 x y m m    的离心率为 2 2 ，且焦点在 x轴，则m （ ） A． 2 2 B． 2 2 或 2 C．8或 2 D．8 4．已知 (1, 2, 1), ( 1, ,1)a b x     ，且 a  与b  夹角为锐角，则实数 x的取值范围是（ ） A． ( 2,1) B． ( ,1) C． ( , 2) ( 2,1)    D． (1, ) 5．若方程 2 2 1 1 2 x y m m     表示椭圆，则 m的取值范围为（ ） A．  1,2 B．  2,1 C． 3 31, ,2 2 2             D． 1 11, , 2 2 2             6．已知 P是椭圆 2 2 2 2 1( 0) x y a b a b     上的一动点，且 P与椭圆长轴两顶点连线的斜率之积 1 2  ，则椭圆的离心率为（ ） A． 3 2 B． 2 2 C．1 2 D． 3 3 7．已知椭圆 2 2 : 1 9 3 x yE   的左、右焦点分别为 1 2,F F ，点 P为 E上一点，若 1 2PF PF ，则 1 2F PF 的面积为（ ） A．3 2 B．5 2 C．3 D．5 8．已知点 1F 、 2F 分别是椭圆的   2 2 2 2 1 0    x y a b a b 左、右焦点，过 2F 的直线交椭圆于A、 B两点，且满足 1AF AB ， 1 4 3 AF AB  ，则该椭圆的离心率是（ ） A． 2 3 B． 5 3 C． 3 3 D． 6 3 试卷第 2页，共 4页 二、多选题:本题共 3小题,每小题 6分,共 18分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目 要求. 9．点 P在圆 2 21 : 1C x y  上，点 Q在圆 2 2 2 : 6 8 24 0C x y x y     上，则（ ） A． PQ 的最小值为 0 B． PQ 的最大值为 7 C．两个圆心的位置关系是外离 D．两个圆的公共弦所在直线的方程为6 8 25 0x y   10．已知直线 l的斜率� =− 3，且 l经过点  2,0 ，则下列结论中正确的是（ ） A． l与直线 3 3 1 0x y   垂直 B． l的倾斜角等于150 C．l在 y轴上的截距为 2 3 D．圆 2 2 1x y  上存在两个点到直线 l的距离等于1 11．已知 A为椭圆   2 2 2 2: 1 0 x yE a b a b     的上顶点，以 A为圆心，a为半径的圆与 E的长 轴相交于 B，C两点，与 E相交于 M，N两点.下列说法正确的是（ ） A． 2 22BC a b  B． BM BN AB AC   C．若 90BAC  ，则椭圆的离心率为 2 2 D．若 120BAC  ，且 2b  ，则 NBC 的面积为 2 3 3 第 II 卷（非选择题） 三、填空题:本题共 3小题,每小题 5分,共 15分. 12．已知椭圆 2 2 1 4 3 x y   的左、右焦点分别为 1F ， 2F ，椭圆上一点 P满足 2 1 2PF F F ，则线 段 2PF  ． 13．已知  2,5M ，  2,4N  ，动点 P在直线 : 2 3 0l x y   上.则 PM PN 的最小值 为 . 14．已知动圆M 与圆 2 21 : ( 1) 1M x y   ，圆 2 22 : ( 1) 25M x y   均相切，则动圆圆心M 的轨 迹方程是 ． 试卷第 3页，共 4页 四、解答题 15．（13分）已知直线 1 : 4 0l x y   与直线 2 : 2 7 0l x y   的交点为 P，圆 2 2: 2 4 1 0C x y x y     . （1）求过 1 2,l l 的交点 P，且在两坐标轴上截距相等的直线方程； （2）过 P点作圆C的切线，求切线方程． 16．（15分）已知椭圆   2 2 2 2: 1 0 x yC a b a b     上的点到其焦点的距离的最大值为 10，最小 值为 2 . (1)求椭圆C的方程； (2)直线 l与椭圆C相交于 ,A B两点，若线段 AB的中点坐标为 −3,2 ，求直线 l的方程． 17．（15分）已知椭圆   2 2 2 2: 1 0 x yC a b a b     的右焦点为� 1,0 ，且经过点 62, 2 Q        (1)求椭圆 C的标准方程； (2)经过椭圆 C的右焦点作倾斜角为45的直线 l，直线 l与椭圆相交于 M，N两点，求线段 MN的长． 试卷第 4页，共 4页 18．（17分）已知椭圆   2 2 2 2: 1 0 x yC a b a b     的左，右焦点分别为 1F ， 2F ，上顶点为A， 且 1 2 0AF AF    ． (1)求C的离心率； (2)射线 1AF 与C交于点 B，且 8 3 AB  ，求 2ABF△ 的周长． 19．（17分）设 ,A B两点的坐标分别为  5,0 ， 5,0 ．直线 ,AM BM相交于点M ，且它 们的斜率之积是 1 5  ． (1)求点M 的轨迹方程； (2)若  0,1P ，在M 的轨迹上任取一点Q（异于点 P），求线段 PQ长的最大值． 1. D 【详解】因为 2, 3x y  又直线3 4 5 0x y   斜率为 3 4  ， 所以要求直线斜率为 4 3 ，故直线方程为  43 2 3 y x   ，即 4 3 1 0x y   . 故选：D 2．D 【详解】椭圆 �2 25 + � 2 16 = 1 的长半轴长 5a  ，依题意， 1 2| | | | 2 10PF PF a   ，而 1 3PF  ， 所以 2 7PF  . 故选：D 3．D 【详解】椭圆C：   2 2 1 0 4 x y m m    的离心率为 2 2 ， 椭圆焦点在 x轴上， 4 2 2 m m   ，解得 8m  . 故选：D. 4．D 【详解】 (1, 2, 1), ( 1, ,1)a b x     ， 当 //a b  时，有 1 1 1 2 1 x    ，解得 2x   ，此时b a    ，a  与b  夹角为180， 所以 a  与b  夹角不可能为0， a  与b  夹角为锐角时，有    1 1 2 1 1 0a b x          ，解得 1x  ， 则实数 x的取值范围是 (1, ) . 故选：D. 5．D 【详解】因为方程 2 2 1 1 2 x y m m     表示椭圆， 所以 1 0 2 0 1 2 m m m m          ，解得 1 11, , 2 2 2 m              ， 故选：D. 6．B 【详解】椭圆长轴的两顶点为    ,0 , ,0a a ， 设  ,P m n ，则由题设可得 1 2 n n m a m a      即 2 2 2 1 2 n m a    ， 故 2 2 2 2 2 1 1 2 mb a m a          ，故 2 2 1 2 b a  即 2 2 2 1 2 a c a   ，故 2 2 c a  ， 故选：B 7．C 【详解】由椭圆的定义可知， 1 2 6PF PF  且 1 2 2 6F F  ， 由椭圆的定义可知， 1 2 6PF PF  且 1 2 2 6F F  ， 因为 1 2PF PF ，所以 2 2 2 1 2 1 2 24PF PF F F   ， 又  21 2 36PF PF  ，故 1 2 6PF PF  ， 所以 1 2 1 2 1 3 2F PF S PF PF   ． 故选：C 实验班 8．B 【分析】设 1 4AF x ，则 3AB x ，利用勾股定理可求得 1BF ，再利用椭圆的定义可得出 3 ax  ，求出 1AF 、 2AF ，利用勾股定理结合离心率公式可求得结果. 【详解】如下图所示： 设 1 4AF x ，则 3AB x ，因为 1AF AB ，则 2 2 1 1 5BF AB AF x   ， 由椭圆的定义可得    1 1 1 2 2 1 4 12AF AB BF AF AF BF BF a x        ，则 3 ax  ， 所以， 1 44 3 aAF x  ，则 2 4 22 3 3 a aAF a   ， 由勾股定理可得 2 2 2 1 2 1 2AF AF F F  ，则 2 2 24 2 4 3 3 a a c            ，则 5 3 c a ， 因此，该椭圆的离心率为 5 3 ce a   . 故选：B. 普通班 8.B 【详解】由题可知椭圆的焦点在 x轴上， 3b  ， 因为椭圆的离心率为 1 2 ，所以 2 2 2 3 11 1 2 be a a      ，解得 2 4a  ， 所以 2 21 2 2 2FF a b   ， 如图所示，当点 A与椭圆的上顶点或下顶点重合时， 1 2AF F△ 的面积最大， 此时 1 2AF F△ 的最大面积为 1 2 1 1 2 3 3 2 2 F F b      ， 故选：B. 9.BC 【详解】圆 2 2 1 : 1C x y  ，圆心 1(0,0)C ，半径 1r  . 圆 2C 的一般方程化成标准方程，得 2 2( 3) ( 4) 1x y    ，则圆心 2 (3, 4)C  ，半径 1R  ， 两圆圆心距 2 21 2 3 ( 4) 5CC     ， min| | 5 1 1 3PQ     ， max| | 5 1 1 7PQ     ， A选项错误，B选项正确. 1 2C C R r  ，所以两圆外离，C选项正确. 又 1 2C C R r  ，所以两圆外离，不相交，没有公共弦， D选项错误. 故选：BC. 10．AD 【详解】因为直线 l的斜率 3k   ， 又直线 l经过点  2,0 ， 代入点斜式方程可得，  0 3 2y x    ，即直线 l的方程为： 3 2 3 0x y   . 对于 A，将直线 3 3 1 0x y   化为斜截式方程可得， 3 1 3 3 y x  ，斜率为 3 3 ， 又直线 l的斜率 3k   ， 因为  3 3 13     ，所以直线 l与直线 3 3 1 0x y   垂直，故 A正确； 对于 B，由直线 l的斜率为 3k   ， 设直线 l的倾斜角为 ， 0 ,180     ，则 tan 3   ， 所以 120  ，故 B不正确； 对于 C，令 0x  ，代入直线 l的方程 3 2 3 0x y   ，得 2 3y   ， 即直线 l在 y轴上的截距等于 2 3 ，故 C不正确； 对于 D，圆 2 2 1x y  的圆心  0,0 到直线 l的距离  2 2 2 3 3 1 3 1 d r     ， 因此直线 l与圆 2 2 1x y  相离， 又圆 2 2 1x y  上点到直线 l的最近距离为 3 1 1d r    ， 因此可得圆 2 2 1x y  上存在两个点到直线 l的距离等于1，故 D正确； 故选：AD. 实验班 11．ABC 【分析】对 A，先求出圆的方程，进而令 y=0求出 x，然后解得答案； 对 B，根据椭圆的定义即可判断； 对 C，根据题意求出 b,c间的关系，进而求出答案； 对 D，联立圆和椭圆的方程进而解出 N的纵坐标，进而求得答案. 【详解】如图 1： 对 A，易知圆  22 2:A x y b a   ，令 0y  ，得： 2 2x a b   ，则 2 2| | 2BC a b  ，A正 确； 对 B，由题意， 2 2 2 2 2 2| | | | | |OB AB OA a b c     ，则 B,C分别是椭圆的左右焦点，由对称 性及椭圆定义可知， | | | | | | | | 2BM BN MB MC a    ， | | | | 2AB AC a  ，B正确； 对 C，若 90BAC  ，易得 2 2 22 c cb c e a c      ，C正确； 对 D， 120BAC  ，易得 3c b，由 2b  ，则 2 3 | | 4 3, 4c BC a    ，联立  22 2 2 2 16 1 16 4 x y x y          2y   或 2 3 y  ，如图 2： 当 2y   时， ,M N重合（图形中标注为 ,M N  ）， 1 4 3 2 4 3 2NBC S     ； 当 2 3 y  时， 1 2 4 34 3 2 3 3NBC S     .D错误. 故选：ABC. 普通班 11.ABC 【分析】A选项，求出 1 2 c a  ；B选项，由对称性和椭圆定义可判断， C先设  ,B m n ，计 算出 2 4 3 3 nOB    ，从而得到 2 2 3 3AB OB   即可判断；D选项，由三角形面积 求出A点坐标，得到 2 1,AF AF ，即可判断. 【详解】对于 A，椭圆 2 2 : 1 4 3 x yC   中， 2, 3, 1a b c   ，离心率为 1 2 c a  ，A正确； 对于 B，由对称性可得 2 1BF AF ，所以 2 2 2 1 2 4AF BF AF AF a     ，B正确； 对于 C，不妨设A在第一象限，� �0, �0 ，则 1 2 0 1 32 2 2AF F S c y    ，得 0 3 2 y ，则 31, 2 A     ， 则 2 1 3 3 5, 4 2 2 2 AF AF    ，故 1 2 15 4 AF AF  ，故 C正确; 对于 D，设  , , 3 3B m n n   且 0n  ，则 2 2 1 4 3 m n   ， 故   2 2 2 2 244 4 3,2 3 3 n nOB m n n        ，所以  2 2 3,4 ,AB OB  D错误 . 故选：ABC. 12.3 2 /1.5 【分析】由已知可得 P点的横坐标为 1x  ，代入椭圆方程即可求得 P点坐标，得出结果. 【详解】因为椭圆 2 2 1 4 3 x y   ，则 2, 3, 1a b c   ，所以  1 1,0F  ，  2 1,0F ， 因为 2 1 2PF F F , 所以 P点的横坐标为 1x  ，代入求得纵坐标为 3 2  ，即 2 3 2 PF  ． 故答案为： 3 2 13．3 5 【分析】借助线段和的几何意义求解即可. 【详解】设  2,5M 关于直线 l对称对称点坐标为  ,M x y ， 则 2 52 3 0 2 2 5 1 1 2 2 x y y x              ，解得 4 1 x y    ，即  4,1M  ，    2 24 2 1 4 3 5PM PN PM PN MN          ， 所以 PM PN 的最小值为3 5 . 故答案为：3 5 . 实验班 14. 2 2 1 4 3 x y   或 2 2 1 9 8 x y   【分析】相切分两种情况讨论，再由动圆圆心到两个定圆圆心的距离之和为常数，且大于两 个定点的距离，故轨迹为椭圆，根据条件计算得到答案． 【详解】由题意可知，共有两种情况，设动圆M 半径为 r， 1 2MM  ， 动圆M 与圆 1M 内切，与圆 2M 内切，所以 1 21, 5 ,MM r MM r    所以 1 1 1 24MM MM M M   ，此时动圆圆心M 的轨迹是椭圆， 2, 1a c  ， 所以动圆圆心M 的轨迹方程为 2 2 1 4 3 x y   ； 动圆M 与圆 1M 外切，与圆 2M 内切，所以 1 21, 5MM r MM r    ， 所以 1 1 1 26MM MM M M   ，此时动圆圆心M 的轨迹为椭圆， 3, 1a c  ， 动圆圆心M 的轨迹方程为 2 2 1 9 8 x y   ， 故答案为： 2 2 1 4 3 x y   或 2 2 1 9 8 x y   ． 普通班 14.13或19 【分析】利用椭圆焦距的定义和性质即可求解. 【详解】因为椭圆 2 2 1 16 x y m   的焦距是 2 3， 所以 2 16 2 3m  或2 16 2 3m  ， 解得 13m  或 19m  . 故答案为：13或19 . 15.（1）5 0x y  或 4 0x y   ；（2） 1x   或5 12 55 0x y   . 【分析】（1）直线方程联立可求得  1,5P  ，分别讨论直线过原点和不过原点两种情况，从 而求得直线方程； （2）由圆的方程可确定圆心和半径；分别讨论过 P的切线斜率存在和不存在两种情况，可 知当斜率不存在时满足题意；当切线斜率存在时，利用圆心到直线距离等于半径可构造方程 求得斜率，进而得到切线方程. 【详解】（1）由 4 0 2 7 0 x y x y        得：  1,5P  ， ①直线过原点，则方程为：5 0x y  ； ②若直线不过原点，设方程为  0x y a a   ， 将点 ( 1,5)P  代入该方程得： 4a  ，故直线方程为 4 0x y   . 综上所述：直线方程为5 0x y  或 4 0x y   . （2）圆C方程可整理为：    2 21 2 4x y    ，则圆心  1,2C ，半径 2r  ①当斜率不存在时，直线方程为 1x   ，为圆C的切线，满足题意； ②当切线斜率存在时，设方程为  5 1y k x   ，即 5 0kx y k    ， 圆心到直线的距离 2 2 5 2 1 k k d k       ，解得： 5 12 k   ， 切线方程为5 12 55 0x y   . 综上所述：切线方程为 1x   或5 12 55 0x y   . 【点睛】本题考查在坐标轴截距相等的直线方程的求解、过圆外一点圆的切线方程的求解问 题；易错点是在忽略截距为零、直线斜率不存在的情况，造成丢根的情况. 16.(1) 2 2 1 36 20 x y   ； (2)5 6 27 0x y   . 【分析】（1）根据椭圆几何性质列方程组求解可得； （2）利用点差法即可得解. 【详解】（1）由题意可知 10 2 a c a c      ，则 6 4 a c    . 因为 2 2 2 20b a c   ， 所以椭圆C的方程为 2 2 1 36 20 x y   . （2）设� �1, �1 , � �2, �2 ，则 2 2 1 1 2 2 2 2 1, 36 20 1, 36 20 x y x y        两式相减得 2 2 2 2 1 2 1 2 0 36 20 x x y y    ， 整理可得 1 2 1 2 1 2 1 2 5 9 y y x x x x y y        . 因为线段 AB的中点坐标为 −3,2 ，所以 1 2 1 26, 4x x y y     ， 所以直线 l的斜率 1 2 1 2 1 2 1 2 5 5 6 5 9 9 4 6 y y x xk x x y y              ， 故直线 l的方程为  52 3 6 y x   ，即5 6 27 0x y   . 直线5 6 27 0x y   和 x轴的交点为 27 ,0 5      ， 该点在椭圆C内，故直线5 6 27 0x y   和椭圆相交，满足条件. 17．(1) 2 2 1 4 3 x y   (2) 24 7 【分析】（1）根据椭圆右焦点  1,0F ，且过点 62, 2 Q        ，从而可求解. （2）根据题意求出直线方程为 1y x  ，与椭圆方程联立后，利用根与系数关系从而可求 解. 【详解】（1）由题意得 2 2 2 2 1 2 6 1 4 a b a b        ， 解得 2 2 4 3 a b     ， 利用椭圆定义解a,再利用ac求b也可以 故椭圆的标准方程为 2 2 1 4 3 x y   ． （2）由题意可得直线 l的方程为 1y x  ， 与椭圆方程联立 2 2 1 1 4 3 y x x y       ，得 27 8 8 0x x   ， 设� �1, �1 ，� �2, �2 ，则 1 2 1 2 8 8, 7 7 x x x x    ， 故  22 21 2 1 2 1 21 1 4MN k x x k x x x x       2 2 8 8 241 1 4 ( ) 7 7 7           ． 18.(1) 2 2 (2)8 【分析】（1）由 1 2 0AF AF    ，可得 a， c的关系，进而求出椭圆的离心率； （2）由（1）可得 a与 c，b与 c的关系，设直线 1AF 的方程，与椭圆的方程联立，可得点 B 的坐标，求出 �� 的表达式，由题意可得 c，a的值，由椭圆的性质可得 2ABF△ 的周长为 4a， 即求出三角形的周长． 【详解】（1）依题意可得上顶点  0,A b ，左，右焦点分别为�1 −�, 0 ，  2 ,0F c ， 所以  1 ,AF c b    ，  2 ,AF c b   ， 又 1 2 0AF AF    ， 所以  221 2 0AF AF c b        ，即 2 2b c ，即 2 2 2a c c  ， 所以 2 22a c ，所以离心率 2 2 ce a   ； （2）由（1）可得b c ， 2a c ，则椭圆方程为 2 2 2 2 12 x y c c   ， 射线 1AF 的方程为 by x b x c c     ， 联立 2 2 2 2 12 y x c x y c c       ，整理可得 23 4 0x cx  ， 解得 0x  或 43B x c  ，则 1 3B y c  ，即 4 1, 3 3 B c c      ， 所以 2 24 1 4 82 3 3 3 3 AB c c c c               ，解得 2c  ，则 2a  ， 所以 2ABF△ 的周长 2 2 2 1 1 2 2 4 8ABFC AB AF BF AF BF AF BF a         ． 19.(1) 2 2 1 5 x y   5x   (2) 5 2 【分析】（1）利用两点间的斜率公式的坐标表示，由斜率之积是 1 5  化简可得结果； （2）将  0 0,Q x y 满足椭圆方程并利用两点间距离公式可得 2 2 0 1 254 4 4 PQ y        ，再由 椭圆范围即可求得结果. 【详解】（1）设点 ( )M x y， ，因为  5,0A  ，如下图所示： 所以直线 AM 的斜率 5AM yk x    5x   ， 同理直线 BM 的斜率 5BM yk x    5x  ； 由已知可得 1 55 5 y y x x       5x   ，化简可得   2 2 1 5 5 x y x    ； 即点M 的轨迹方程为   2 2 1 5 5 x y x    ，即点 M的轨迹是除去  5,0 ，  5,0 两点的 椭圆． （2）设  0 0,Q x y ，则 2 20 0 15 x y  ， 所以    2 22 2 20 0 0 01 5 5 1PQ x y y y       ， 即 2 2 2 0 0 0 1 254 2 6 4 4 4 PQ y y y            ， 根据椭圆范围可得 01 1y   ， 所以 0 1 4 y   时， 2PQ 最大为 25 4 ， 所以线段 PQ长的最大值为 5 2 ．