专题4：整式的加减重点题型-2024-2025学年七年级数学上学期专题精讲精练（全国通用）

2024-2025学年七年级上学期专题精讲精练（全国通用版） 专题四：整式的加减重点题型（原卷版） 目录 重点知识突破 2 一、整式的基本概念: 2 （一）单项式 2 （二）多项式 2 （三）：整式 3 二、整式的加减运算： 3 （一）同类项： 3 （二）：去括号法则 3 （三）：整式的加减 3 题型大全概览 4 经典题型，举一反四 4 题型一：整式的化简问题 4 题型二：整式的求值问题 5 题型三：绝对值的非负性与整式的化简求值 6 题型四：整式的加减无关性问题 8 题型五：整体思想在整式化简中的应用 9 题型六：整式加减与绝对值的综合问题 12 题型七：整式加减与新定义问题 14 题型八：整式的大小比较问题 16 题型九：整式加减与找规律问题 18 题型10：整式加减与图形面积问题 21 题型11：整式加减与购物问题 24 题型12：整式加减与行程问题 27 · 重点知识突破 一、整式的基本概念: （一）单项式 1.单项式的概念：数与字母的乘积，叫作单项式； 名师点拨 单独的一个数或单独一个字母也是单项式； 2.单项式的系数：单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数． 名师点拨 · 圆周率π是常数．单项式中出现π时，算作系数； · 当一个单项式的系数是1或-1时，“1”通常省略不写； · 单项式的系数是带分数时，通常写成假分数，如：写成． 3.单项式的次数：单项式中，所有字母的指数和叫做这个单项式的次数． 名师点拨 · 没有写指数的字母，实际上指数是1，请勿遗漏； · 计算单项式的次数时，数字上的指数不能算． （二）多项式 1.多项式的概念：几个单项式的和叫做多项式． 2. 多项式的项：每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项． 3. 多项式的次数：多项式里次数最高项的次数，叫做这个多项式的次数． （三）：整式 1.单项式与多项式统称为整式． 名师点拨 · 整式包括单项式、多项式两种，也就是说一个式子如果时整式，那它要么是单项式，要么时多项式；如果一个式子是单项式，或是多项式，那它一定是整式． · 分母中含有字母的式子一定不是整式，更不可能是单项式或多项式． 二、整式的加减运算： （一）同类项： 1． 同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项． 2． 名师点拨 · 正确理解同类项的概念，要深入理解“两相同，两无关”： · “两相同”是指：①所含字母相同；②相同字母的指数相同； · “两无关”是指：①与系数无关； ②与字母的顺序无关． · 所有的常数项都是同类项． 2．合并同类项法则：系数相加减，其它都不变． （二）：去括号法则 1． 去括号法则： （1） 括号前面是“+”，把括号和它前面的“+”去掉后，原括号里各项的符号都不改变； （2） 括号前面是“-”，把括号和它前面的“-”号去掉后，原括号里各项的符号都要改变． （三）：整式的加减 整式的加减运算法则：几个整式相加减，如果有括号就先去括号，然后再合并同类项． · 题型大全概览 · 经典题型，举一反四 题型一：整式的化简问题 【经典例题1】化简： (1)； (2)． 【强化训练】 1．化简 (1) (2) 2．化简： (1)； (2)． 3．化简： (1)； (2)． 4．化简： (1)； (2)． 题型二：整式的求值问题 【经典例题2】．先化简，再求值：，其中． 【强化训练】 1． 先化简，再求值，，其中． 2． 先化简，再求值：，其中，． 3． 化简并求值：，其中，． 4．先化简，再求值：其中，． 题型三：绝对值的非负性与整式的化简求值 【经典例题3】．已知整式．整式，． (1)求整式； (2)若满足，求整式的值． 【强化训练】 1． 先化简，再求值：，其中x，y满足． 2． 已知，求的值． 3． 先化简，再求值：，其中． 4． 先化简，再求值：已知：，求 的值． 题型四：整式的加减无关性问题 【经典例题4】．已知代数式， (1)若，求的值； (2)若的值与的取值无关，求的值； 【强化训练】 1．已知多项式． (1)先化简，再求的值，其中，； (2)若多项式与字母的取值无关，求的值． 2．已知，． (1)若，求的值； (2)若的值与的值无关，求的值． 3．已知，， (1)当的值与的取值无关，求的值； (2)在（1）的条件下，求多项式的值． 4．已知：，． (1)的代数式的值与字母x的取值无关，求a、b的值； (2)在（1）的条件下，求出多项式的值． 题型五：整体思想在整式化简中的应用 【经典例题5】．【阅读理解】 根据合并同类项法则，得；类似地，如果把看成一个整体，那么；这种解决问题的思想方法被称为“整体思想”，在多项式的化简与求值中，整体思想的应用极为广泛． (1)把看成一个整体，合并的结果是______； (2)已知，求的值； (3)已知，求的值． 【强化训练】 1．阅读材料∶我们知道，，类似地，我们把( 看成一个整体，则．“整体思想”是中学数学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛． 尝试应用： (1)把 看成一个整体，化简 的结果是 (2)已知 求的值． (3)若 求的值． 2．数学中，运用整体思想方法在求代数式的值中非常重要． 例如：已知，则代数式， 请你根据以上材料解答以下问题： (1)若，则___________； (2)已知，，求代数式的值； (3)当，时，代数式的值为8，则当，时，求代数式的值． 3．我们知道：，类似地，若我们把看成一个整体，则有．这种解决问题的方法渗透了数学中的“整体思想”，“整体思想”是中学数学解题中的一种重要的思想方法，其应用极为广泛．请运用“整体思想”解答下面的问题： (1)把看成一个整体，合并； (2)已知：，求代数式的值； (3)已知，，，求的值． 4．有这样一道题“如果代数式的值为，那么代数式的值是多少？”，爱动脑筋的汤同学解题过程如下： 原式． 汤同学把作为一个整体求解．整体思想是中学数学解题中的一种重要思想方法，请仿照上面的解题方法，完成下面的问题： 【简单应用】 (1)已知，则 ． (2)已知，求的值； 【拓展提高】 (3)已知，，求代数式的值． 题型六：整式加减与绝对值的综合问题 【经典例题6】． 已知有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示，且． (1)填空：______，______；______； (2)若数轴上有一点P表示的数为，将点P向左移动2025个单位长度，再向右移动个单位长度到点Q，求点Q表示的数及P，Q两点间的距离； (3)化简：． 【强化训练】 1．有理数在数轴上表示如图所示： (1)填空：_______，_______，_______ (2)化简； 2．如图，数轴上的点，，分别表示有理数，，． (1)比较大小：　　0，　　（填“”、“ ”或“” ； (2)化简：． 3．有理数a、b、c在数轴上的对应点如图，回答下面问题： (1) ， ， ； (2)化简：． 4．有理数、、再数轴上的位置如图所示，且与互为相反数． (1)比较与0的大小． (2)化简． 题型七：整式加减与新定义问题 【经典例题7】． 给出如下定义：我们把有序实数对叫做关于x的二次多项式的特征系数对，把关于x的二次多项式叫做有序实数对的特征多项式． (1)关于x的二次多项式的特征系数对为______； (2)若有序实数对的特征多项式与的和为N，当，时，求N的值． 【强化训练】 1．定义一种新运算，规律如下： (1)直接写出：______；（用含a、b的代数式表示） (2)化简：； (3)若定义的新运算满足交换律，则a、b的数量关系是（ ） A．    B．    C．     D． 2．定义新运算：满足 (1)当，化简； (2)如果化简的结果与无关，求的值． 3．给出如下定义：我们把有序实数对叫做关于的二次多项式的特征系数对，把关于的二次多项式叫做有序实数对的特征多项式．回答下列问题： (1)关于的二次多项式的特征系数对为______； (2)求有序实数对的特征多项式与有序实数对的特征多项式的和． 4．定义一种新运算：观察下列式子：，， (1)请你想一想： ；若，则 （填入“”或“”）； (2)计算：． 题型八：整式的大小比较问题 【经典例题8】． 阅读与思考：在某些数学问题中，我们经常要比较两个数或代数式的大小，解决问题的方法一般都是进行一定的转化，其中“作差法”就是常用的转化方法之一． 作差法：通过作差、变形，利用差的符号确定它们的大小． 对于任意的两个代数式A、B要比较大小，只要计算A-B的值，即若，则； 若，则；若，则．反过来也成立． 解决问题：例如比较和的大小，我们可以用，即． 依据上面的方法，完成下列问题： (1)若，则________；（填“”“”或“”） (2)比较与的大小； (3)已知，若，用作差法比较代数式A与B的大小． 【强化训练】 1． 已知，，．若，试比较m，q的大小关系． 2．我们知道，作差法是比较两个数大小的常用方法．例如：比较与的大小，， ．请根据以上材料，解答下列问题： (1)比段与的大小； (2)比较与的大小． 3．已知， ， ． (1)求； (2)求，当时，比较与的大小，写出简单的过程． 4．通常用“作差法”可以比较两个数或者两个式子的大小． (1)如果，则______；如果，则______；如果，则______． (2)已知，请用作差法比较与的大小． 题型九：整式加减与找规律问题 【经典例题9】． 定义一种新运算，观察下列式子： ； ； ； … 若符合上面式子的规律． (1)_______（用含的代数式表示）； (2)已知，求的值． 【强化训练】 1．观察下列表格中两个代数式及其相应的值，回答问题： x … 0 1 2 … … m 1 4 … … 7 4 1 n … (1)【初步感知】根据表中信息可知：______；______． (2)【归纳规律】表中值的变化规律是：x的值每增加1，的值就增加3；类似地，值的变化规律是：x的值每增加1，的值就______． (3)【计算验证】当x的值从a增加到时，猜想关于x的代数式（k为一次项的系数，且）的值会怎样变化，并通过计算加以说明． 2．观察下面的三行单项式 ，，，，… ，，，，… ，，，，… 根据你发现的规律，完成以下各题： (1)第行第个单项式为 ；第行第个单项式为 ． (2)第行第个单项式为 ． (3)取每行的第个单项式，令这三个单项式的和为．计算当时，的值． 3．新定义：符号“f”表示一种新运算．它对一些数的运算结果如下： ， ， ， ， ， …… 新定义：符号“g”表示一种新运算，它对一些数的运算结果如下： ， ， ， ， …… 利用以上规律计算： (1)___________，___________． (2)___________． (3)计算：． 4．如图是年月份的日历，小明在其中画出一个的方框（粗线框），框住九个数，计算其中位置如图所示的四个数“”的值，探索其运算结果的规律． (1)初步分析：计算图中的结果为______；将的方框移动到图中的其他位置，通过计算可以发现的值为______； (2)数学思考：小明探索（1）中运算的规律，其过程如下，请你将其补充完整． 解：设，则，，______． （   ）______． 的值均为______． (3)拓广探究：同学们利用小明的方法，借助图中的日历，继续进行如下探究． 在日历中用“型框”框住位置如图所示的四个数，探究“”的值的规律，写出你的结论，并说明理由． 题型10：整式加减与图形面积问题 【经典例题10】． 某建筑物的地面结构如图所示（图中各图形均为长方形或正方形），请根据图中的数据（单位：米），解答下列问题： (1)用含，的代数式表示阴影面积； (2)图中阴影部分需要铺设地砖，铺地砖每平方米的平均费用为100元，若，，则铺地砖的总费用为多少元？ 【强化训练】 1．如图，一个长方形中剪下两个大小相同的正方形（有关线段的长如图所示，单位：米）留下一个“”型图形（阴影部分）． (1)用含的代数式表示“”型图形的周长； (2)若此图作为某施工图，“”型图形的周边需围上单价为每米20元的栅栏，原长方形周边的其余部分需围上单价为每米15元的栅栏．若，请计算整个施工所需的造价． 2．如图，长为，宽为的长方形被分割成7部分，除阴影部分外，其余5部分为形状和大小完全相同的小长方形，其中小长方形的宽为3． (1)求小长方形的长（用含的代数式表示）． (2)若，你能否求出阴影图形与阴影图形的周长之和，若能，请求出来，若不能，请说明理由． 3．将图①中的长方形纸片剪成1号，2号，3号，4号正方形和5号长方形． (1)设3号正方形的边长为x，4号正方形的边长为y，求1号，2号正方形的边长分别是多少？（用x，y的代数式表示） (2)若图①中长方形的周长为48，试求3号正方形的边长； (3)在（2）的情况下，若将这五个图形按图②的方式放入周长为100的长方形中，求阴影部分的周长． 4．在剪拼中我们可以发现很多有趣的数学规律，小明有长为a，宽为b长方形纸片如图1，边长为a正方形纸片如图2和边长为b的正方形纸片如图3若干张，他发现利用2张图1的纸片、1张图2和1张图3的纸片可以拼成无缝隙的边长为的正方形． (1)请画出拼接图并标出每个图形的位置； (2)拼接后正方形与4个组成图形之间有何等量关系？请用含a、b的整式表示； (3)要无缝隙地拼出一个长为，宽为的长方形，你需要用到几张长方形纸片和几张正方形纸片（正方形边长可为a或b）?请你画出示意图并写出蕴含其中的等式； (4)请推测要拼出长为，宽为的长方形，各需要几张长为a宽为b长方形，边长为a的正方形，边长为b的正方形纸片？ 题型11：整式加减与购物问题 【经典例题11】． 某超市在双十一期间对顾客实行优惠，规定如下： 一次性购物的原价 优惠办法 低于元 不予优惠 低于元但不低于元 七折优惠 元或超过元 其中元部分给予钱七优惠，超过元部分给予六折优惠 (1)若王老师一次性购物的原价是元，他实际付款 元．若王老师实际付款元，那么王老师一次性购物的原价是 元； (2)若顾客在该超市一次购物的原价是元，当小于但不小于时，他实际付款多少元？当等于或大于时，他实际付款多少元？（用含的代数式表示并化简） (3)如果王老师有两天去该超市购物的原价合计是元（每天只购物一次），第一天购物的原价为元（），用含的代数式表示这两天购物王老师实际一共付款多少元？当时，王老师两天一共节省了多少元？ 【强化训练】 1．超市某品牌的洗衣液一组定价200元（10袋为一组），一袋定价20元．双十一期间进行促销，活动期间向客户提供两种优惠方案，方案一：买一组该品牌洗衣液送一袋洗衣液；方案二：洗衣液按照定价的九五折付款；某公司要采购洗衣液30组，x袋． (1)若客户按方案一，需要付款______元；若客户按方案二，需要付款______元．（用含x的代数式表示） (2)若，试通过计算说明此时哪种购买方案比较合适． (3)当，能否找到一种更为省钱的方案，如果能，写出你的方案，并计算出此方案应付钱数；如果不能，说明理由． 2．某超市在春节期间对顾客实行优惠，规定如下： 一次性购物 优惠办法 低于200元 不予优惠 低于元但不低于200元 九折优惠 元或超过元 其中不超过元部分给予九折优惠， 超过元部分给予八折优惠 (1)若王老师一次性购物400元，则他实际付款______元；若一次性购物元，则他实际付款______元． (2)若顾客在该超市一次性购物x元，当x小于元但不小于200时，他实际付款______元；当x大于或等于时，他实际付款______（用含x的式子表示） (3)如果王老师两次购物的货款合计元，第一次购物的货款为a元（），用含a的代数式表示王老师两次购物实际付款的钱数． 3．某超市在元旦期间对顾客实行优惠，规定如下： 一次性购物 优惠办法 低于200元 不予优惠 低于500元但不低于200元 九折优惠，折后可使用30元优惠券 不低于500元 其中500元部分给予九折优惠，超过500元部分给予八折优惠，折后可使用40元优惠券 (1)王老师一次性购物600元，他实际付款______元． (2)若顾客在该超市一次性购物元，当低于500元但不低于200元时，他实际付款______元，当不低于500元时，他实际付款______元．（用含的代数式表示） (3)如果王老师两次购物货款合计820元，第一次购物的货款为元，用含的代数式表示；两次购物王老师实际共付款多少元？ 4．某商场销售一款运动鞋和运动袜，运动鞋每双定价180元，运动袜每双定价30元，活动期间向客户提供两种优惠方案，方案一：买一双运动鞋送一双运动袜，方案二：运动鞋和运动袜都按定价的付款.现某客户要到该商场购买运动鞋6双和运动袜x双（）． (1)若该客户按方案一购买，需付款 元；若该客户按方案二购买，需付款 元；（需化简） (2)按方案二购买比按方案一购买省多少钱？ (3)当时，通过计算说明，上面的两种购买方案哪种省钱？ 题型12：整式加减与行程问题 【经典例题12． 我国出租车收费标准因地而异．甲市为：起步价（行驶路程不超过3千米）6元，3千米后每千米（不足1千米，按1千米计算）价格1.5元；乙市为：起步价10元，3千米后每千米价格1.2元． (1)试问在甲、乙两市乘坐出租车千米的价差是多少元？ (2)如果在甲、乙两市乘坐出租车的路程都是10千米，那么哪个市的收费标准高？高多少？ 【强化训练】 1．我国出租车收费标准因地而异．A市为：行程不超过3千米收起步价10元，超过3千米后每千米增收元；B市为：行程不超过3千米收起步价8元，超过3千米后每千米增收元． (1)填空：某天在A市，张三乘坐出租车2千米，需车费______元； (2)分别计算在A、B两市乘坐出租车千米的车费； (3)试问在A、B两市乘坐出租车20千米，哪市的车费相对较低？ 2．学校组织同学到博物馆参观，小明因事没有和同学同时出发，于是准备在学校门口搭乘出租车赶去与同学们会合，出租车的收费标准是：起步价为7元，3千米后每千米收元，不足1千米的按1千米计算．请你回答下列问题： (1)小明乘车千米，应付费______元． (2)小明乘车 (是大于3的整数千米，应付费多少钱？ (3)小明身上仅有元钱，乘出租车到距学校9千米远的博物馆的车费够不够？请说明理由． 3．一辆出租车从A地出发，在一条东西走向的街道上往返，每次行驶的路程（记向东为正）记录如下（，单位：km） 第一次 第二次 第三次 第四次 x x-5 2（9-x） (1)求经过连续4次行驶后，这辆出租车所在的位置．（用含x的式子表示） (2)若每千米耗油0.5L，则该出租车4次行驶共耗油多少升？（用含x的式子表示） 4．举世瞩目的青藏铁路现已通车，实现了几代中国人梦寐以求的愿望，它是世界上海拔最高，线路最长的高原铁路.青藏铁路线上，在西宁、格尔木到拉萨之间有一段很长的冻土地段，列车在冻土地段的行驶速度是100千米/小时，在非冻土地段的行驶速度是120千米/小时． (1)列车在冻土地段行驶3小时的路程为_____千米，行驶小时的路程为_____千米（用含的代数式表示）； (2)在西宁到拉萨路段，列车通过非冻土地段所需时间是通过冻土地段所需时间的2.1倍，如果通过冻土地段需要小时，西宁到拉萨路这段铁路的长为多少千米？ (3)在格尔木到拉萨路段，列车通过冻土地段比通过非冻土地段多用0.5小时，如果通过冻土地段需要小时，在（2）的条件下，若，，西宁到格尔木这段铁路长约多少千米（结果保留整数）？ 学科网··★数学梦工厂出品·，第2页，共44页 学科网（北京）股份有限公司 $$2024-2025学年七年级上学期专题精讲精练（全国通用版） 专题四：整式的加减重点题型（原卷版） 目录 重点知识突破 2 一、整式的基本概念: 2 （一）单项式 2 （二）多项式 2 （三）：整式 2 二、整式的加减运算： 3 （一）同类项： 3 （二）：去括号法则 3 （三）：整式的加减 3 题型大全概览 3 经典题型，举一反四 4 题型一：整式的化简问题 4 题型二：整式的求值问题 6 题型三：绝对值的非负性与整式的化简求值 8 题型四：整式的加减无关性问题 12 题型五：整体思想在整式化简中的应用 15 题型六：整式加减与绝对值的综合问题 20 题型七：整式加减与新定义问题 24 题型八：整式的大小比较问题 28 题型九：整式加减与找规律问题 33 题型10：整式加减与图形面积问题 40 题型11：整式加减与购物问题 47 题型12：整式加减与行程问题 53 · 重点知识突破 一、整式的基本概念: （一）单项式 1.单项式的概念：数与字母的乘积，叫作单项式； 名师点拨 单独的一个数或单独一个字母也是单项式； 2.单项式的系数：单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数． 名师点拨 · 圆周率π是常数．单项式中出现π时，算作系数； · 当一个单项式的系数是1或-1时，“1”通常省略不写； · 单项式的系数是带分数时，通常写成假分数，如：写成． 3.单项式的次数：单项式中，所有字母的指数和叫做这个单项式的次数． 名师点拨 · 没有写指数的字母，实际上指数是1，请勿遗漏； · 计算单项式的次数时，数字上的指数不能算． （二）多项式 1.多项式的概念：几个单项式的和叫做多项式． 2. 多项式的项：每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项． 3. 多项式的次数：多项式里次数最高项的次数，叫做这个多项式的次数． （三）：整式 1.单项式与多项式统称为整式． 名师点拨 · 整式包括单项式、多项式两种，也就是说一个式子如果时整式，那它要么是单项式，要么时多项式；如果一个式子是单项式，或是多项式，那它一定是整式． · 分母中含有字母的式子一定不是整式，更不可能是单项式或多项式． 二、整式的加减运算： （一）同类项： 1． 同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项． 2． 名师点拨 · 正确理解同类项的概念，要深入理解“两相同，两无关”： · “两相同”是指：①所含字母相同；②相同字母的指数相同； · “两无关”是指：①与系数无关； ②与字母的顺序无关． · 所有的常数项都是同类项． 2．合并同类项法则：系数相加减，其它都不变． （二）：去括号法则 1． 去括号法则： （1） 括号前面是“+”，把括号和它前面的“+”去掉后，原括号里各项的符号都不改变； （2） 括号前面是“-”，把括号和它前面的“-”号去掉后，原括号里各项的符号都要改变． （三）：整式的加减 整式的加减运算法则：几个整式相加减，如果有括号就先去括号，然后再合并同类项． · 题型大全概览 · 经典题型，举一反四 题型一：整式的化简问题 【经典例题1】化简： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查整式的加减，解答本题的关键是明确去括号法则和合并同类项的方法． （1）先去括号，再合并同类项求解即可； （2）先去括号，再合并同类项求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【强化训练】 1．化简 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了整式的加减，去括号时注意括号前是负号的，括号内符号的变化． （1）合并同类项即可； （2）去括号，然后合并同类项即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 2．化简： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了整式化简求值，解题的关键是熟练掌握去括号法则和合并同类项法则，注意括号前面为负号时，将负号和括号去掉后，括号里每一项的符号要发生改变． （1）先去括号，再合并同类项即可； （2）先去括号，再合并同类项即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 3．化简： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了合并同类项，整式的加减计算： （1）合并同类项时，只对同类项的系数进行加减计算，字母和字母的指数保持不变，据此求解即可； （2）先去括号，然后合并同类项即可得到答案． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 4．化简： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（）直接合并同类项即可； （）先去括号，然后合并同类项即可； 本题主要考查了整式的加减，熟练掌握去括号法则和合并同类项法则是解题的关键． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 题型二：整式的求值问题 【经典例题2】．先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，先去括号，然后合并同类项化简，最后代值计算即可得到答案． 【详解】解： ， 当时，原式． 【强化训练】 1． 先化简，再求值，，其中． 【答案】，7 【分析】本题考查了整式加减的化简求值，掌握合并同类项法则和去括号法则是解题关键．先去括号，再合并同类项化简，然后将代入求值即可． 【详解】解： ， 当时，原式． 2.先化简，再求值：，其中，． 【答案】，． 【分析】本题考查了整式的加减—化简求值，先去括号，再合并同类项，最后代入求值即可得． 【详解】解：原式 ， 当，时， 原式 ． 3.化简并求值：，其中，． 【答案】， 【分析】本题主要考查整式的加减化简求值，熟练掌握运算法则是解题的关键． 原式去括号合并得到最简结果，把，代入计算即可求出值． 【详解】原式＝ ＝ ＝ 当，时， 原式＝． 4．先化简，再求值：其中，． 【答案】，． 【分析】本题考查的知识点是整式的加减—化简求值、含乘方的有理数混合运算，解题关键是熟练掌握合并同类项． 去括号，合并同类项把所求式子化简，再将，的值代入计算即可． 【详解】解：， ， ， 将，代入可得原式． 题型三：绝对值的非负性与整式的化简求值 【经典例题3】．已知整式．整式，． (1)求整式； (2)若满足，求整式的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查整式的加减运算，熟练掌握整式的加减运算法则是解题的关键． （1）将，代入中，先去括号，再合并同类项化简即可得； （2）根据绝对值和平方的非负性先求得的值，再代入原式求解即可． 【详解】（1），， 且， ． （2）由（1）可得， ， ， ， ． 【强化训练】 1． 先化简，再求值：，其中x，y满足． 【答案】； 【分析】本题主要考查了整式化简求值，解题的关键是熟练掌握去括号法则和合并同类项法则，注意括号前面为负号时，将负号和括号去掉后，括号里每一项的符号要发生改变．先根据整式加减运算法则进行化简，然后根据非负数的性质求出，，再把数据代入求值即可． 【详解】解： ， ∵， ∴，， 解得：，， ∴原式． 2． 已知，求的值． 【答案】，16 【分析】本题主要考查整式的化简求值．由可得，，然后对所求代数式进行化简，最后代值求解即可． 【详解】解： ， ∵， ，， 把，代入得： 原式． 3． 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】此题主要考查了整式的加减运算和非负数性质，去括号是解题关键． 直接去括号利用整式的加减运算法则化简整式，根据非负数的性质求得m，n的值，然后把m，n的值代入即可得出答案． 【详解】解： = = = =， ∵， ∴，即 解得：， 故原式 = ． 4． 先化简，再求值：已知：，求 的值． 【答案】， 【分析】本题考查了非负数的性质，整式加减的化简求值，掌握相关运算法则是解题关键．先去括号，再合并同类项化简，然后根据平方和绝对值的非负性，求出、的值，再代入计算即可． 【详解】解： ， ， ，， ，， 原式． 题型四：整式的加减无关性问题 【经典例题4】．已知代数式， (1)若，求的值； (2)若的值与的取值无关，求的值； 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了整式的化简求值运算，熟练掌握整式的加减运算法则是解题的关键； （1）先化简，然后再代入，求值即可； （2）将变形为，然后根据结果与的取值无关得到进而求解． 【详解】（1）解： ， 原式 （2）解： 的值与的取值无关， 解得： 【强化训练】 1．已知多项式． (1)先化简，再求的值，其中，； (2)若多项式与字母的取值无关，求的值． 【答案】(1) (2)2 【分析】本题考查了整式的化简求值以及无关型题型： （1）先去括号，合并同类项，再将，代入求值； （2）将多项式变形为，若多项式与字母的取值无关，则，由此可解． 【详解】（1）解： ， 将，代入，得： ； （2）解：由（1）得， 若多项式与字母的取值无关，则， 解得． 2．已知，． (1)若，求的值； (2)若的值与的值无关，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了整式的加减、绝对值的非负性； （1）根据去括号，合并同类项，化简成最简形式，再根据非负数的和为，每一个非负数都是，求出的值，最后可得答案； （2）根据多项式的值与无关，可得的系数等于零，根据解方程，可得答案． 【详解】（1）解： ． ∵， ∴． ∴ ． （2）解：∵的值与的值无关， ∴与的值无关， ∴，解得． 3．已知，， (1)当的值与的取值无关，求的值； (2)在（1）的条件下，求多项式的值． 【答案】(1)，； (2)1 【分析】本题主要考查整式的混合运算，掌握整式的加减法法则，整式的化简求值是解题的关键． （1）根据整式的混合运算先计算出，与的取值无关，则的系数为零，由此即可求解； （2）将根据整式的加减法先化简，再将（1）中、的值代入计算即可求解． 【详解】（1）解：∵，， ∴，， ∴，与的取值无关， ∴，， ∴，； （2）解： ， ∵，， ∴原始 ． 4．已知：，． (1)的代数式的值与字母x的取值无关，求a、b的值； (2)在（1）的条件下，求出多项式的值． 【答案】(1)， (2)11 【分析】此题考查了整式的加减，涉及的知识有：去括号法则，以及合并同类项法则，熟练掌握运算法则是解本题的关键． （1）已知多项式相减列出关系式，去括号合并得到最简结果，根据结果与x无关求出a与b的值； （2）把a、b的值代入整理后的代数式． 【详解】（1） ， ， 该多项式的值与字母x的值无关， ，， 解得：， ， （2）由（1）得：， ， 则， ， ， 当， 时， 原式， ， ． 题型五：整体思想在整式化简中的应用 【经典例题5】．【阅读理解】 根据合并同类项法则，得；类似地，如果把看成一个整体，那么；这种解决问题的思想方法被称为“整体思想”，在多项式的化简与求值中，整体思想的应用极为广泛． (1)把看成一个整体，合并的结果是______； (2)已知，求的值； (3)已知，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了合并同类项，求代数式的值，熟练掌握整体思想是解题的关键． （1）利用合并同类项计算即可． （2）变形，代入计算即可． （3）把已知左右分别相加，计算出，化简被求代数式，计算即可． 【详解】（1）， 故答案为：． （2）∵， ∴． （3）∵，，， ∴， ∴， ∴． 【强化训练】 1．阅读材料∶我们知道，，类似地，我们把( 看成一个整体，则．“整体思想”是中学数学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛． 尝试应用： (1)把 看成一个整体，化简 的结果是 (2)已知 求的值． (3)若 求的值． 【答案】(1) (2) (3)2 【分析】本题考查了整式的加减，整体代入是解答本题的关键． （1）把看成一个整体，合并同类项即可； （2）整体代入计算即可； （3）将后一个等式乘2，再两式相减，整理即可． 【详解】（1）， 故答案为：； （2）， ， 原式． （3）， ①， ②， ②①得：， 即． 2．数学中，运用整体思想方法在求代数式的值中非常重要． 例如：已知，则代数式， 请你根据以上材料解答以下问题： (1)若，则___________； (2)已知，，求代数式的值； (3)当，时，代数式的值为8，则当，时，求代数式的值． 【答案】(1) (2)42 (3) 【分析】本题主要考查代数式求值，整式的加减运算，掌握整体代入法是解题的关键． （1）将变形为，再将代入即可； （2）先计算出，再将的值代入即可； （3）将，代入求出，再利用整体代入法即可求解． 【详解】（1）解：若，则， 故答案为：； （2）解：，， ， ， ； （3）解：将，代入， 得：， ， 当，时， ． 3．我们知道：，类似地，若我们把看成一个整体，则有．这种解决问题的方法渗透了数学中的“整体思想”，“整体思想”是中学数学解题中的一种重要的思想方法，其应用极为广泛．请运用“整体思想”解答下面的问题： (1)把看成一个整体，合并； (2)已知：，求代数式的值； (3)已知，，，求的值． 【答案】(1)； (2)；(3)． 【分析】（1）根据阅读提供的解法解答即可． （2）把看成整体，利用整体代入计算，求代数式的值即可． （3）根据题意，，，先求出的值，后整体代入计算代数式的值即可． 本题考查了合并同类项，整体思想应用，根据式子的值，求代数式的值，熟练掌握整体思想，求代数式的值是解题的关键． 【详解】（1）解：． （2）解：∵， ∴ ． （3）解：，，， ，， ． 4．有这样一道题“如果代数式的值为，那么代数式的值是多少？”，爱动脑筋的汤同学解题过程如下： 原式． 汤同学把作为一个整体求解．整体思想是中学数学解题中的一种重要思想方法，请仿照上面的解题方法，完成下面的问题： 【简单应用】 (1)已知，则 ． (2)已知，求的值； 【拓展提高】 (3)已知，，求代数式的值． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】（1）利用整体代入的思想代入计算即可； （）首先把整式去括号，合并同类项进行化简，然后利用整体思想代入计算即可； （）首先把代数式进行变形，然后再代入计算即可． 【详解】（1）∵， ∴， 故答案为：； （2）∵， ∴原式， ， ， ， ， ； （3）∵， 原式， ， ， ， ． 题型六：整式加减与绝对值的综合问题 【经典例题6】． 已知有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示，且． (1)填空：______，______；______； (2)若数轴上有一点P表示的数为，将点P向左移动2025个单位长度，再向右移动个单位长度到点Q，求点Q表示的数及P，Q两点间的距离； (3)化简：． 【答案】(1)0，，0 (2)点Q表示的数是；P，Q两点间的距离是 (3) 【分析】本题主要考查了有理数与数轴，整式的加减计算，化简绝对值： （1）根据数轴上点的位置及，得到a与b互为相反数，利用相反数性质计算即可得到结果； （2）根据两点间的距离列出算式，计算即可得到结果； （3）根据数轴上点的位置判断出的正负，然后利用绝对值的代数意义化简，去括号合并即可得到结果． 【详解】（1）解：由题意可得：， ∴，， ∴ ∴； 故答案为：0，，0； （2）解：， ； ∴点Q表示的数是，P，Q两点间的距离为； （3）解：由数轴可得：， ∴， ∴ ． 【强化训练】 1．有理数在数轴上表示如图所示： (1)填空：_______，_______，_______ (2)化简； 【答案】(1)，， (2) 【分析】本题考查了绝对值和数轴，整式的加减运算；注意数轴上的位置，以及他们与原点的距离远近． （1）判断题干绝对值符号里面的符号； （2）根据有理数的加减运算，判断的符号，再去绝对值化简，合并同类项即可． 【详解】（1）解：根据数轴可得， ∴，，， 故答案为：，，． （2）解：根据数轴可得， ∴， ∴ ． 2．如图，数轴上的点，，分别表示有理数，，． (1)比较大小：　　0，　　（填“”、“ ”或“” ； (2)化简：． 【答案】(1)； (2) 【分析】此题主要考查了有理数大小的比较，数轴和绝对值的性质，整式的加减运算，解题的关键是掌握以上知识点． （1）根据数轴求解即可； （2）首先由数轴得到，然后推出，，然后化简绝对值合并即可． 【详解】（1）解：由题意可知，，； 故答案为：；； （2）解：， ，， ∴ ． 3．有理数a、b、c在数轴上的对应点如图，回答下面问题： (1) ， ， ； (2)化简：． 【答案】(1)；； (2) 【分析】本题主要考查了整式的加减计算，化简绝对值，有理数与数轴： （1）根据数轴可得，再根据有理数减法计算法则即可得到答案； （2）根据（1）所求先去绝对值，再利用整式的加减计算法则求解即可． 【详解】（1）解：由数轴可知， ∴， ∴ 故答案为：；；； （2）解：∵， ∴ ． 4．有理数、、再数轴上的位置如图所示，且与互为相反数． (1)比较与0的大小． (2)化简． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了利用数轴判断式子正负，绝对值与相反数，整式的加减运算，掌握相关运算法则是解题关键． （1）由数轴可知，，即可求解； （2）由数轴可知，，再根据相反数的定义，得到，，进而推出，，，然后去绝对值符号化简即可． 【详解】（1）解：由数轴可知，， ； （2）解：由数轴可知，， 与互为相反数， ，， ，，， ． 题型七：整式加减与新定义问题 【经典例题7】． 给出如下定义：我们把有序实数对叫做关于x的二次多项式的特征系数对，把关于x的二次多项式叫做有序实数对的特征多项式． (1)关于x的二次多项式的特征系数对为______； (2)若有序实数对的特征多项式与的和为N，当，时，求N的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了新定义，整式加减运算，求代数式的值，理解新定义，能根据特征数对写出对应的二次多项式是解题的关键． （1）由特征数对的定义可得即可求解； （2）由特征数对的定义分别得到对应的二次多项式，求出和的结果，将，代入求值即可． 【详解】（1）中， 二次多项式的特征系数对为． （2）因为有序实数对的特征多项式为， 所以， 当，时，． 【强化训练】 1．定义一种新运算，规律如下： (1)直接写出：______；（用含a、b的代数式表示） (2)化简：； (3)若定义的新运算满足交换律，则a、b的数量关系是（ ） A．    B．    C．     D． 【答案】(1) (2) (3)B 【分析】本题以新运算为载体，主要考查了对运算法则的探求和整式的加减运算． （1）根据题意可得新运算法则为； （2）先计算，再计算，据此计算即可； （3）根据题意，根据新运算法则和整式的加减运算法则计算即可． 【详解】（1）解：∵， ， ， ， ∴， 故答案为：； （2）解： ； （3）解：∵，且定义的新运算满足交换律， ∴， 整理得， ∴． 故选：B． 2．定义新运算：满足 (1)当，化简； (2)如果化简的结果与无关，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，非负数的性质，熟知整式的加减计算法则是解题的关键． （1）根据所给的新定义结合整式的加减计算法则进行求解即可； （2）根据化简的结果与y的取值无关，得出，求出x的值，然后代入（1）中所求的式子中求解即可． 【详解】（1）解： ， ； （2）解：原式 ， 化简的结果与无关 ， ， 当时，原式． 3．给出如下定义：我们把有序实数对叫做关于的二次多项式的特征系数对，把关于的二次多项式叫做有序实数对的特征多项式．回答下列问题： (1)关于的二次多项式的特征系数对为______； (2)求有序实数对的特征多项式与有序实数对的特征多项式的和． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查多项式，整式的加减运算，掌握题干中给定的定义，是解题的关键． （1）根据特征系数对的定义，进行求解即可； （2）先根据题意写出多项式，再进行整式的加法运算即可． 【详解】（1）解：由题意，得二次多项式的特征系数对为； 故答案为：； （2）由题意，得：有序实数对的特征多项式为，有序实数对的特征多项式为， ∴． 4．定义一种新运算：观察下列式子：，， (1)请你想一想： ；若，则 （填入“”或“”）； (2)计算：． 【答案】(1)， (2) 【分析】此题考查了整式的加减运算，熟练掌握新定义的运算法则是解本题的关键． （1）根据已知等式得出新运算的法则为第一个数的两倍与第二个数的和，据此可得计算公式；分别列出、，再利用作差法求解可得； （2）利用（1）中所得运算法则自左至右依次计算可得． 【详解】（1）由题意知，， ，， ， 由知， ， 故答案为：，； （2） ． 题型八：整式的大小比较问题 【经典例题8】． 阅读与思考：在某些数学问题中，我们经常要比较两个数或代数式的大小，解决问题的方法一般都是进行一定的转化，其中“作差法”就是常用的转化方法之一． 作差法：通过作差、变形，利用差的符号确定它们的大小． 对于任意的两个代数式A、B要比较大小，只要计算A-B的值，即若，则； 若，则；若，则．反过来也成立． 解决问题：例如比较和的大小，我们可以用，即． 依据上面的方法，完成下列问题： (1)若，则________；（填“”“”或“”） (2)比较与的大小； (3)已知，若，用作差法比较代数式A与B的大小． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了整式的加减计算： （1）利用作差法得到，再根据即可得到答案； （2）利用作差法得到，再由即可得到答案； （3）利用作差法得到，再由即可得到答案． 【详解】（1）解： ， ∵， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解： ， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵， ∴ ， ∵， ∴， ∴． 【强化训练】 1． 已知，，．若，试比较m，q的大小关系． 【答案】 【分析】本题考查了整式的加减，解答本题的关键是掌握去括号法则和合并同类项法则； 把p、m、q代入中，去括号合并得到最简结果，根据即可做出判断． 【详解】由题意得： ∵ ∴ ∴ 2．我们知道，作差法是比较两个数大小的常用方法．例如：比较与的大小，， ．请根据以上材料，解答下列问题： (1)比段与的大小； (2)比较与的大小． 【答案】(1) (2)当时，；当旳，；当时，． 【分析】本题考查了整式的加减运算，整式的大小比较． （1）直接利用作差法即可比较； （2）先作差，再根据的情况分情况讨论即可． 【详解】（1）解：， ； （2）解：， 若，则， 当时，； 若，则， 当旳，； 若，则， 当时，． 3．已知， ， ． (1)求； (2)求，当时，比较与的大小，写出简单的过程． 【答案】(1) (2)当时，；当时，；当时， 【分析】本题考查整式的加减，解题的关键是掌握整式的加减，分情况讨论a的大小． （1）根据整式的加减运算即可求解； （2）先求出的值，然后讨论的大小即可得出答案； 【详解】（1）解：， ； （2）解：， ， ， 当时，，；． 当时，，； 当时，，． 4．通常用“作差法”可以比较两个数或者两个式子的大小． (1)如果，则______；如果，则______；如果，则______． (2)已知，请用作差法比较与的大小． 【答案】(1)；； (2) 【分析】此题考查了整式的加减，熟练掌握运算法则是解本题的关键． （1）根据题意，利用整式的加减法法则判断即可； （2）利用作差法判断即可． 【详解】（1）解：， ； ， ； ， ； 故答案为：；；； （2）解： ， ， ， ． 题型九：整式加减与找规律问题 【经典例题9】． 定义一种新运算，观察下列式子： ； ； ； … 若符合上面式子的规律． (1)_______（用含的代数式表示）； (2)已知，求的值． 【答案】(1) (2)6 【分析】本题主要考查了规律探究，代数式求值，整式加减运算，解题的关键是理解题意，得出运算规律． （1）根据已知给出的式子，即可猜想出结果； （2）根据，得出，根据新定义化简，再整体代入求值即可． 【详解】（1）解：∵； ； ； ∴． （2）解：∵， ∴， ∴ ． 【强化训练】 1．观察下列表格中两个代数式及其相应的值，回答问题： x … 0 1 2 … … m 1 4 … … 7 4 1 n … (1)【初步感知】根据表中信息可知：______；______． (2)【归纳规律】表中值的变化规律是：x的值每增加1，的值就增加3；类似地，值的变化规律是：x的值每增加1，的值就______． (3)【计算验证】当x的值从a增加到时，猜想关于x的代数式（k为一次项的系数，且）的值会怎样变化，并通过计算加以说明． 【答案】(1) (2)减少3 (3)，说明见解析 【分析】此题考查整式的加减计算，已知字母的值求代数式的值： （1）将x值分别代入求出式子的值即可； （2）将与的值相减即可判断变化情况； （3）当时，；当时，，得到，由此得到结论． 【详解】（1）当时，； 当时，； 故答案为：； （2）， ∴x的值每增加1，的值就减少3， 故答案为：减少3； （3）当时，x的值每增加1，代数式的值就增加k． 当时，x的值每增加1，代数式的值减少 理由如下：当时，， 当时，， ． 2．观察下面的三行单项式 ，，，，… ，，，，… ，，，，… 根据你发现的规律，完成以下各题： (1)第行第个单项式为 ；第行第个单项式为 ． (2)第行第个单项式为 ． (3)取每行的第个单项式，令这三个单项式的和为．计算当时，的值． 【答案】(1)； (2) (3) 【分析】本题考查数字的变化规律，能够通过所给例子，找到式子的规律，利用有理数的混合运算解题是关键． （1）观察所给的与式子可得的特点，第个数是，的特点，第个数是； （2）观察式子的特点，可得第个数是，即可求出解； （3）先求出，再将代入求出，最后再求即可． 【详解】（1）解：的特点，第个数是， 第个单项式是； 的特点，第个数是， 第个单项式是， 故答案为：，． （2）解：的特点，第个数是， 故答案为：． （3）解：的第个单项式是，的第个单项式是，的第个单项式是， ， 当时，， ． 3．新定义：符号“f”表示一种新运算．它对一些数的运算结果如下： ， ， ， ， ， …… 新定义：符号“g”表示一种新运算，它对一些数的运算结果如下： ， ， ， ， …… 利用以上规律计算： (1)___________，___________． (2)___________． (3)计算：． 【答案】(1)，； (2)0 (3)2 【分析】本题主要考查了新定义运算、数字规律、整式的加减混合运算等知识点，根据新定义运算发现规律成为解题的关键． （1）根据题中给出的例子进行计算即可； （2）先根据题中给的新定义化简，然后再进行计算即可； （3）先根据题中给的新定义化简，然后再根据整式的加减混合运算法则计算即可． 【详解】（1）解：，． 故答案为：，； （2）解： ． 故答案为：0． （3）解： ． 4．如图是年月份的日历，小明在其中画出一个的方框（粗线框），框住九个数，计算其中位置如图所示的四个数“”的值，探索其运算结果的规律． (1)初步分析：计算图中的结果为______；将的方框移动到图中的其他位置，通过计算可以发现的值为______； (2)数学思考：小明探索（1）中运算的规律，其过程如下，请你将其补充完整． 解：设，则，，______． （   ）______． 的值均为______． (3)拓广探究：同学们利用小明的方法，借助图中的日历，继续进行如下探究． 在日历中用“型框”框住位置如图所示的四个数，探究“”的值的规律，写出你的结论，并说明理由． 【答案】(1)， (2)，，， (3)的值均为，理由见解析 【分析】（1）根据有理数的加减混合运算法则即可求出的结果；根据日历的排序规律即可求出的值； （2）根据日历的排序规律：每一行相邻数字之间相差，每一列相邻数字之间相差，设，将、、都用含的代数式表示，然后代入，即可计算出结果并得出结论； （3）根据日历的排序规律可发现规律，在日历中用“型框”框住位置如图所示的四个数，设，将、、都用含的代数式表示，然后代入，即可计算出结果并得出结论． 【详解】（1）解： ， 日历中，每一行相邻数字之间相差，每一列相邻数字之间相差， 将的方框移动到图中的其他位置，总有： ，，， ， 故答案为：，； （2）解：设，则，，， ， 的值均为， 故答案为：，，，； （3）解：的值均为，理由如下： 在日历中用“型框”框住位置如图所示的四个数， 设，则，，， ， 的值均为． 题型10：整式加减与图形面积问题 【经典例题10】． 某建筑物的地面结构如图所示（图中各图形均为长方形或正方形），请根据图中的数据（单位：米），解答下列问题： (1)用含，的代数式表示阴影面积； (2)图中阴影部分需要铺设地砖，铺地砖每平方米的平均费用为100元，若，，则铺地砖的总费用为多少元？ 【答案】(1) (2)铺地砖的总费用为8400元． 【分析】本题主要考查了列代数式，求代数式的值、整式的加减，利用图示数据表示出相应的长方形的边长是解题的关键． （1）利用长方形和正方形的面积公式分别表示出四个图形的面积，再相加即可； （2）利用代数式分别表示出两部分阴影面积之和，将，代入计算得出阴影部分的面积，再乘以铺地砖每平方米的平均费用为100元，即可得出结论． 【详解】（1）解：阴影面积的面积为：； （2）阴影部分的面积为：， 当，时， 阴影部分的面积为：． ∵铺地砖每平方米的平均费用为100元， ∴铺地砖的总费用为：（元）． 答：铺地砖的总费用为8400元． 【强化训练】 1．如图，一个长方形中剪下两个大小相同的正方形（有关线段的长如图所示，单位：米）留下一个“”型图形（阴影部分）． (1)用含的代数式表示“”型图形的周长； (2)若此图作为某施工图，“”型图形的周边需围上单价为每米20元的栅栏，原长方形周边的其余部分需围上单价为每米15元的栅栏．若，请计算整个施工所需的造价． 【答案】(1) (2)整个施工所需的造价为660元 【分析】本题主要考查整式的加减与图形的问题；由此问题： （1）根据图形所给数据及长方形、正方形面积公式可进行求解； （2）由（1）及题意可进行求解． 【详解】（1）解：（1）由图可得“”型图形的周长为： ； （2）解：由图可得： ； ∵， ∴（元）； 答：整个施工所需的造价为660元． 2．如图，长为，宽为的长方形被分割成7部分，除阴影部分外，其余5部分为形状和大小完全相同的小长方形，其中小长方形的宽为3． (1)求小长方形的长（用含的代数式表示）． (2)若，你能否求出阴影图形与阴影图形的周长之和，若能，请求出来，若不能，请说明理由． 【答案】(1)小长方形的长为 (2)能；当时，阴影图形与阴影图形的周长之和为 【分析】本题考查了根据几何图形列代数式，整式的混合运算等知识点，确定各几何图形的长和宽是解题关键． （1）由图可知：小长方形的宽小长方形的长，据此即可求解； （2）由图可得阴影图形的长为,宽为，阴影图形的长为9，宽为，故阴影图形和阴影图形的周长之和为，据此即可求解． 【详解】（1）解：∵小长方形的宽为3， ∴小长方形的长为, 答：小长方形的长为； （2）解：由图可得阴影图形的长为,宽为, 阴影图形的长为9，宽为, 阴影图形和阴影图形的周长之和为 , ∴阴影图形与阴影图形的周长之和与值无关，                 当时，． 答：当时，阴影图形与阴影图形的周长之和为46． 3．将图①中的长方形纸片剪成1号，2号，3号，4号正方形和5号长方形． (1)设3号正方形的边长为x，4号正方形的边长为y，求1号，2号正方形的边长分别是多少？（用x，y的代数式表示） (2)若图①中长方形的周长为48，试求3号正方形的边长； (3)在（2）的情况下，若将这五个图形按图②的方式放入周长为100的长方形中，求阴影部分的周长． 【答案】(1)，； (2)6； (3)88． 【分析】（1）观察图形，易知1号正方形的边长为4号正方形的边长减去3号正方形的边长，同理易知2号正方形的边长为3号正方形的边长减去1号正方形的边长； （2）根据观察，可知图①中大长方形的长为3号正方形的边长与4号正方形的边长和，即：，宽为2号正方形的边长与3号正方形的边长和，即：，又知长方形的周长，即可求出x的值，从而得出3号正方形的边长； （3）要求阴影部分的周长，可根据平移的性质得出阴影部分的周长即为长方形的周长，再利用大长方形的周长和大长方形的宽，进而可求出的长，从而解得阴影部分的周长． 【详解】（1）解：号正方形的边长为x，4号正方形的边长为y， 1号正方形的边长为， 2号正方形的边长为， （2）解：长方形的长为：，宽为：， 长方形的周长为48，即， ， 号正方形的边长为x， 号正方形的边长为6； （3）解：如图：由平移知识可得阴影部分的周长为长方形的周长， 由（2）可知号正方形的边长为， 4号正方形的边长为y， 5号长方形的宽为2号正方形的边长减去1号正方形的边长的差即：， ， 周长为100的长方形的长为：，宽为， ， ， 则长方形的周长为： ， 即阴影部分的周长为88． 4．在剪拼中我们可以发现很多有趣的数学规律，小明有长为a，宽为b长方形纸片如图1，边长为a正方形纸片如图2和边长为b的正方形纸片如图3若干张，他发现利用2张图1的纸片、1张图2和1张图3的纸片可以拼成无缝隙的边长为的正方形． (1)请画出拼接图并标出每个图形的位置； (2)拼接后正方形与4个组成图形之间有何等量关系？请用含a、b的整式表示； (3)要无缝隙地拼出一个长为，宽为的长方形，你需要用到几张长方形纸片和几张正方形纸片（正方形边长可为a或b）?请你画出示意图并写出蕴含其中的等式； (4)请推测要拼出长为，宽为的长方形，各需要几张长为a宽为b长方形，边长为a的正方形，边长为b的正方形纸片？ 【答案】(1)答案见详解； (2)； (3)3，3；； (4)，，1． 【分析】（1）如图下图4拼接即可； （2）由图4可知：拼接后的正方形面积等于4个组成图形的面积之和，由此可得答案； （3）如图5所示，可知需要的长方形与正方形纸片的张数，根据面积相等的关系写出相应的等式即可； （4）根据（3）中结论可以推测，要拼出长为，宽为的长方形，各需要的长为a宽为b长方形，边长为a的正方形，边长为b的正方形纸片的张数． 【详解】（1）解：用2张图1的纸片、1张图2和1张图3的纸片的拼接图，如图4所示： （2）解：如图4，拼接后正方形的面积为：； 四个图形的面积之和为：； 拼接后正方形与四个图形的面积之和相等， ； （3）解：如图5所示， 要无缝隙地拼出一个长为，宽为的长方形， 需要用到3张长方形纸片和2张边长为正方形纸片和1张边长为的正方形纸片； 即：需要用到3张长方形纸片和3张正方形纸片； 其中，图形中蕴含的等式为：； （4）解：要拼出长为，宽为的长方形， 则各需要张长为a宽为b的长方形，张边长为a的正方形，1张边长为b的正方形纸片． 题型11：整式加减与购物问题 【经典例题11】． 某超市在双十一期间对顾客实行优惠，规定如下： 一次性购物的原价 优惠办法 低于元 不予优惠 低于元但不低于元 七折优惠 元或超过元 其中元部分给予钱七优惠，超过元部分给予六折优惠 (1)若王老师一次性购物的原价是元，他实际付款 元．若王老师实际付款元，那么王老师一次性购物的原价是 元； (2)若顾客在该超市一次购物的原价是元，当小于但不小于时，他实际付款多少元？当等于或大于时，他实际付款多少元？（用含的代数式表示并化简） (3)如果王老师有两天去该超市购物的原价合计是元（每天只购物一次），第一天购物的原价为元（），用含的代数式表示这两天购物王老师实际一共付款多少元？当时，王老师两天一共节省了多少元？ 【答案】(1)， (2)， (3)， 【分析】本题考查了代数式求值、列代数式，只有分清数量之间的关系，表示超出的部分，才能正确列出代数式． （1）①原价为元，则按第三种方案给予优惠，其中的元按七折优惠计算，超出的元则按六折计算即可； ②由实际付款元可得原价小于但不小于，根据方案二计算即可； （2）当小于但不小于时，实际付款按七折优惠计算；当等于或大于时，其中的元按七折优惠计算，超出的按六折计算即可； （3）由第一天购物的原价为元（）可知，第一天的实际付款按七折算，第二天的实际付款按方案三计算，最后求和即可． 【详解】（1）①， 实际付款为：(元)； ②实际付款元， 原价小于但不小于，用方案二计算， 原价为：(元)； （2）当小于但不小于时，他实际付款元； 当等于或大于时，他实际付款元； （3）这两天实际一共付款： 元； 当时，元，两天一共节省了元． 【强化训练】 1．超市某品牌的洗衣液一组定价200元（10袋为一组），一袋定价20元．双十一期间进行促销，活动期间向客户提供两种优惠方案，方案一：买一组该品牌洗衣液送一袋洗衣液；方案二：洗衣液按照定价的九五折付款；某公司要采购洗衣液30组，x袋． (1)若客户按方案一，需要付款______元；若客户按方案二，需要付款______元．（用含x的代数式表示） (2)若，试通过计算说明此时哪种购买方案比较合适． (3)当，能否找到一种更为省钱的方案，如果能，写出你的方案，并计算出此方案应付钱数；如果不能，说明理由． 【答案】(1)； (2)方案一更合适，详见解析 (3)能，见解析，6190元 【分析】本题考查了列代数式、代数式求值和整式加减的应用，得到两种优惠方案付费的关系式是解答本题的关键． （1）由题意分别求出两种方案购买的费用即可； （2）将分别代入（1）中所求的代数式，再比较哪个更优惠即可； （3）两种方案一起购买，按方案一购买30套洗衣液和30袋洗衣液，按方案二购买剩余10袋洗衣液，依此计算即可求解． 【详解】（1）解：客户按方案一，需要付款元； 若客户按方案二，需要付款元； 故答案为：；． （2）解：当时， 方案一：（元）， 方案二：（元）， 因为，所以方案一更合适； （3）解：可以有更合适的购买方式． 按方案一购买30组洗衣液和30袋洗衣液，需要（元）， 按方案二购买剩余10袋洗衣液，需要（元）， 共计（元）． 答：此方案应付钱数为6190元 2．某超市在春节期间对顾客实行优惠，规定如下： 一次性购物 优惠办法 低于200元 不予优惠 低于元但不低于200元 九折优惠 元或超过元 其中不超过元部分给予九折优惠， 超过元部分给予八折优惠 (1)若王老师一次性购物400元，则他实际付款______元；若一次性购物元，则他实际付款______元． (2)若顾客在该超市一次性购物x元，当x小于元但不小于200时，他实际付款______元；当x大于或等于时，他实际付款______（用含x的式子表示） (3)如果王老师两次购物的货款合计元，第一次购物的货款为a元（），用含a的代数式表示王老师两次购物实际付款的钱数． 【答案】(1)； (2)；元 (3)元 【分析】本题考查了有理数的混合运算，列代数式，整式加减．理解题意，根据题意正确的列代数式是解题的关键． （1）根据和，计算求解即可； （2）由题意知，当x小于元但不小于元时，他实际付款元，当x大于或等于元时，他实际付款元，计算求解即可； （3）由题意知，第二次购物的货款为元，，则第一次购物的实际货款为元，第二次购物的实际货款为元，然后求和并计算即可． 【详解】（1）解：由题意知，（元）， 元， 故答案为：； （2）解：由题意知，当x小于元但不小于元时，他实际付款元， 当x大于或等于元时，他实际付款元 故答案为：，； （3）解：第一次购物的货款为a元，第二次购物的货款为元，， ∴第一次购物的实际货款为元，第二次购物的实际货款为元， ∴， ∴两次购物王老师实际付款元． 3．某超市在元旦期间对顾客实行优惠，规定如下： 一次性购物 优惠办法 低于200元 不予优惠 低于500元但不低于200元 九折优惠，折后可使用30元优惠券 不低于500元 其中500元部分给予九折优惠，超过500元部分给予八折优惠，折后可使用40元优惠券 (1)王老师一次性购物600元，他实际付款______元． (2)若顾客在该超市一次性购物元，当低于500元但不低于200元时，他实际付款______元，当不低于500元时，他实际付款______元．（用含的代数式表示） (3)如果王老师两次购物货款合计820元，第一次购物的货款为元，用含的代数式表示；两次购物王老师实际共付款多少元？ 【答案】(1) (2)， (3)元 【分析】本题考查列代数式，解答此类问题的关键是明确题意，列出形应的代数式. （1）根据题意可以求得甲顾客一次性购物元实际付款额； （2）根据题意可以用相应的代数式表示出题目中的问题； （3）根据题意可以求得丙顾客两次购物实际付款额. 【详解】（1）由题意可得： (元) ， 故答案为:； （2）由题意可得，当 时, 他实际付款: 元， 当时，他实际付款：元， 故答案为: ，； （3）由题意可得,元 , 即丙顾客两次购物实际付款合计元. 4．某商场销售一款运动鞋和运动袜，运动鞋每双定价180元，运动袜每双定价30元，活动期间向客户提供两种优惠方案，方案一：买一双运动鞋送一双运动袜，方案二：运动鞋和运动袜都按定价的付款.现某客户要到该商场购买运动鞋6双和运动袜x双（）． (1)若该客户按方案一购买，需付款 元；若该客户按方案二购买，需付款 元；（需化简） (2)按方案二购买比按方案一购买省多少钱？ (3)当时，通过计算说明，上面的两种购买方案哪种省钱？ 【答案】(1)； (2)方案二购买比按方案一购买省元； (3)方案二更省钱． 【分析】本题考查列代数式，代数式求值，解题的关键是根据题意正确列出方案一与方案二的付款数． （1）方案一：买完6双鞋子后送6双袜子，即袜子只需要买双，再进行计算即可，方案二：先将鞋子和袜子的定价计算出来，再按进行计算即可； （2）利用（1）求出的结果直接计算即可； （3）将代入（1）中的式子，再进行比较即可． 【详解】（1）解：方案一：， 方案二：， 故答案为：； （2）解：， ∴方案二购买比按方案一购买省元； （3）解：当时， 方案一：元， 方案二：元， ∵， ∴方案二更省钱． 题型12：整式加减与行程问题 【经典例题12】． 我国出租车收费标准因地而异．甲市为：起步价（行驶路程不超过3千米）6元，3千米后每千米（不足1千米，按1千米计算）价格1.5元；乙市为：起步价10元，3千米后每千米价格1.2元． (1)试问在甲、乙两市乘坐出租车千米的价差是多少元？ (2)如果在甲、乙两市乘坐出租车的路程都是10千米，那么哪个市的收费标准高？高多少？ 【答案】(1)元； (2)乙市出租车收费标准高，高1.9元． 【分析】（1）根据出租车付费为：起步价超过起步路程的费用，列出代数式即可； （2）根据（1）所列的式子把得数代入即可求出答案． 本题主要考查了列代数式；解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出所求量的合适的等量关系． 【详解】（1）解：依题意，在甲市乘出租车，超过3千米后不足1千米按1千米算）千米的价钱为：元； 在乙市乘出租车，超过3千米后不足1千米按1千米算）千米的价钱为：元． 故两市乘坐出租车千米的价差是：元； （2）解：甲市出租车收费：当时， （元）， 乙市出租车收费：当时， （元）， 元． 答：乙市出租车收费标准高，高1.9元． 【强化训练】 1．我国出租车收费标准因地而异．A市为：行程不超过3千米收起步价10元，超过3千米后每千米增收元；B市为：行程不超过3千米收起步价8元，超过3千米后每千米增收元． (1)填空：某天在A市，张三乘坐出租车2千米，需车费______元； (2)分别计算在A、B两市乘坐出租车千米的车费； (3)试问在A、B两市乘坐出租车20千米，哪市的车费相对较低？ 【答案】(1)10 (2)在A市：元，在B市：元 (3)在A、B两市乘坐出租车20千米，A市的车费相对较低． 【分析】本题考查代数式求值、列代数式、有理数的大小比较等知识． （1）根据在A市行程不超过3千米收起步价10元即可解答； （2）根据两地的收费标准分别用代数式表示出两地的收费即可， （3）根据（2）得出两市的收费代数式，代入20计算并比较大小即可． 【详解】（1）解：因为在A市张三乘坐出租车2千米，且 故按照行程不超过3千米收起步价10元， 故答案为：10． （2）乘坐出租车千米时， 在A市的车费为：元， 在B市的车费为：元， （3）由（2）知在A市：元，在B市：元， 当千米时， 在A市：元， 在B市：元， ∵， ∴在A、B两市乘坐出租车20千米，A市的车费相对较低． 2．学校组织同学到博物馆参观，小明因事没有和同学同时出发，于是准备在学校门口搭乘出租车赶去与同学们会合，出租车的收费标准是：起步价为7元，3千米后每千米收元，不足1千米的按1千米计算．请你回答下列问题： (1)小明乘车千米，应付费______元． (2)小明乘车 (是大于3的整数千米，应付费多少钱？ (3)小明身上仅有元钱，乘出租车到距学校9千米远的博物馆的车费够不够？请说明理由． 【答案】(1) (2)（元）， (3)不够，见解析 【分析】（1）根据收费方法列式计算即可得解； （2）根据收费标准列式整理即可得解； （3）把代入关系式求出所需要的车费，然后与比较即可得解． 【详解】（1）解：小明乘车千米，小于3千米，就是起步价7元， 故答案为7； （2）解：由题意得：应付费（元）； （3）解：时，应付费（元）（元）， 答：元钱不够． 3．一辆出租车从A地出发，在一条东西走向的街道上往返，每次行驶的路程（记向东为正）记录如下（，单位：km） 第一次 第二次 第三次 第四次 x x-5 2（9-x） (1)求经过连续4次行驶后，这辆出租车所在的位置．（用含x的式子表示） (2)若每千米耗油0.5L，则该出租车4次行驶共耗油多少升？（用含x的式子表示） 【答案】(1)这辆出租车所在的位置是向东（13）km； (2)该出租车4次行驶共耗油（x﹣）升． 【分析】（1）把路程相加，求出结果，看结果的符号即可判断出答案； （2）求出每次记录的路程的绝对值，相加求和，再用所得的和乘以每千米耗油量即可得到答案． 【详解】（1）解：x+（）+（x﹣5）+2（9﹣x）＝13， ∵9＜x＜26， ∴13＞0， ∴经过连续4次行驶后，这辆出租车所在的位置是向东（13）km． （2）解：∵9＜x＜26， ∴这4次行驶的路程之和为|x|+|﹣x|+|x﹣5|+|2（9﹣x）| ＝x＋＋x－5＋2（x－9） ＝x﹣23， （x﹣23）×0.5＝（x﹣）（升）． 答：该出租车4次行驶共耗油（x﹣）升． 4．举世瞩目的青藏铁路现已通车，实现了几代中国人梦寐以求的愿望，它是世界上海拔最高，线路最长的高原铁路.青藏铁路线上，在西宁、格尔木到拉萨之间有一段很长的冻土地段，列车在冻土地段的行驶速度是100千米/小时，在非冻土地段的行驶速度是120千米/小时． (1)列车在冻土地段行驶3小时的路程为_____千米，行驶小时的路程为_____千米（用含的代数式表示）； (2)在西宁到拉萨路段，列车通过非冻土地段所需时间是通过冻土地段所需时间的2.1倍，如果通过冻土地段需要小时，西宁到拉萨路这段铁路的长为多少千米？ (3)在格尔木到拉萨路段，列车通过冻土地段比通过非冻土地段多用0.5小时，如果通过冻土地段需要小时，在（2）的条件下，若，，西宁到格尔木这段铁路长约多少千米（结果保留整数）？ 【答案】(1)300；； (2) (3)816千米 【分析】（1）根据路程=速度×时间，列出代数式即可； （2）根据路程=速度×时间求出结果即可； （3）根据路程、速度和时间之间的关系分别求出格尔木到拉萨的铁路长，西宁到格尔木的铁路长，根据，，代入求出结果即可． 【详解】（1）解：列车在冻土地段行驶3小时的路程为（千米）， 行驶小时的路程为千米； 故答案为：300；． （2）解：西宁到拉萨这段铁路的长为： （千米）． （3）解：格尔木到拉萨这段铁路的长为： （千米） 西宁到格尔木这段铁路的长为： 因为，， 原式 （千米） 即西宁到格尔木这段铁路的长约为816千米． 学科网··★数学梦工厂出品·，第2页，共44页 学科网（北京）股份有限公司 $$