2025年九年级数学中考复习专题训练 二次函数与不等式

中考专题训练——二次函数与不等式 1．已知抛物线经过点(1，0)和点(0，3)． (1)求此抛物线的解析式； (2)当自变量x满足时，求函数值y的取值范围； (3)将此抛物线沿x轴平移m个单位长度后，当自变量x满足时，y的最小值为5，求m的值． 2．已知二次函数y＝x2﹣2x﹣3． (1)用配方法将y＝x2﹣2x﹣3化成y＝a（x﹣h）2+k的形式．并写出对称轴和顶点坐标； (2)在平面直角坐标系中，画出这个二次函数的简图； (3)当y随x的增大而减小时，求x的范围． 3．如图，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过点和点． (1)求抛物线的解析式； (2)结合图象直接写出不等式的解集； (3)若点，都在抛物线上，当时，求的取值范围． 4．如图，在平面直角坐标系中，直线y=x+2与坐标轴交于A，B两点，点A在x轴上，点B在y轴上，C点的坐标为（1，0），抛物线y=ax2+bx+c经过点A，B，C． (1)求抛物线的解析式； (2)根据图象写出不等式ax2+（b-1）x+c＞2的解集； (3)点P是抛物线上直线AB上方的一动点，过点P作直线AB的垂线段，垂足为Q点．当PQ=时，求P点的坐标． 5．在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2+bx+c的图象过（﹣2，0），（4，0）． (1)求二次函数解析式； (2)求当﹣1≤x≤5时函数值的取值范围； (3)一次函数y＝（3+m）x+6+2m的图象与y＝x2+bx+c的交点的横坐标分别是x1，x2，且x1＜5＜x2，求m的取值范围． 6．在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与直线：交于点、两点． (1)求抛物线解析式及顶点的坐标． (2)求点的坐标，并结合图象写出不等式的解集． (3)将直线向下平移，在平移过程中与抛物线部分图象有交点时包含，端点，请直接写出的取值范围． 7．在平面直角坐标系xOy中，点A（x1，y1），B（x2，y2）在抛物线y＝﹣x2+（2a﹣2）x﹣a2+2a上，其中x1＜x2． (1)求抛物线的对称轴（用含a的式子表示）； (2)①当x＝a时，求y的值； ②若y1＝y2＝0，求x1的值（用含a的式子表示）． (3)若对于x1+x2＜﹣4，都有y1＜y2，求a的取值范围． 8．如图二次函数的图象与轴交于点A(－3，0)，B(1，0)两点，与轴交于点C(0，3)，点C，D是二次函数图象上的一对对称点，一次函数的图象经过B，D (1)求二次函数的解析式； (2)写出使一次函数值大于二次函数值的的取值范围； (3)若直线与轴的交点为点，连结，，求的面积 9．如图，已知抛物线y1＝ax2＋c过点（﹣4，5），（1，），直线y2＝kx＋2与y轴交于C点，与抛物线交于A，B两点，点B在点A的右侧． (1)求抛物线的解析式； (2)点P为第一象限抛物线上一个动点，以点P为圆心，PC为半径画圆，求证：x轴是⊙P的切线； (3)我们规定：当x取任意一个值时，x对应的函数值分别为y1和y2，若y1≠y2，取y1和y2中较大者为M；若y1＝y2，记M＝y1＝y2． ①k＝2时，求使M＞y2的x的取值范围； ②当k＝﹣1时，求使M＝5的x的值． 10．已知二次函数y＝x2+mx+n的图象经过点A（1，0）和D（4，3），与x轴的另一个交点为B，与y轴交于点C． （1）求二次函数的表达式及顶点坐标； （2）将二次函数y＝x2+mx+n的图象在点B、C之间的部分（包含点B、C）记为图象G．已知直线l：y＝kx﹣2k+2总位于图象G的上方，请直接写出k的取值范围； （3）如果点P（x1，c）和点Q（x2，c）在函数y＝x2+mx+n的图象上，且x1＜x2，PQ＝2a，求x12﹣ax2+6a+4的值． 11．已知抛物线． （1）该抛物线的对称轴为______； （2）若该抛物线的顶点在轴上，求抛物线的函数表达式； （3）设点、在该抛物线上，若，求的取值范围． 12．如图，抛物线与轴交于点A（0，3），与轴交于B（-1，0），两点． （1）求抛物线的解析式； （2） 连接,点为抛物线上一点，且，求点的坐标； （3），是抛物线上两点，当， 时，总有，请直接写出的取值范围． 13．在初中阶段的函数学习中，我们经历了列表、描点、连线、画函数图象，并结合图象研究函数性质的过程．以下是我们研究函数的过程． （1已知函数过点，则这个函数的解析式为：______． （2）在（1）的条件下，在平面直角坐标系中，若函数的图象与轴有两个交点，请画出该函数的图象，并写出函数图象的性质：_______（写出一条即可）． （3）结合（2）中你所画的函数图象，求不等式的解集． 14．在平面直角坐标系中，已知抛物线与直线有且只有一个公共点． （1）直接写出抛物线的顶点的坐标，并求出与的关系式； （2）若点为抛物线上一点，当时，均满足，求的取值范围； （3）过抛物线上动点（其中）作轴的垂线，设与直线交于点，若、两点间的距离恒大于等于1，求的取值范围． 15．在平面直角坐标系中，已知抛物线C：y＝ax2＋2x﹣1（a≠0）和直线l：y＝kx＋b，点A（﹣3，﹣3），B（1，﹣1）均在直线l上． （1）求出直线l的解析式； （2）当a＝﹣1，二次函数y＝ax2＋2x﹣1的自变量x满足m≤x≤m＋2时，函数y的最大值为﹣4，求m的值； （3）若抛物线C与线段AB有两个不同的交点，求a的取值范围． 16．根据我们学习函数的过程与方法，对函数y＝x2＋bx＋2﹣c|x﹣1|的图像和性质进行探究，已知该函数图像经过（﹣1，﹣2）与（2，1）两点， （1）该函数的解析式为　 　，补全下表： x ⋯ ﹣4 ﹣3 ﹣2 ﹣1 1 2 3 ⋯ y ⋯ 2 ﹣1 ﹣2 2 1 2 ⋯ （2）描点、连线，在所给的平面直角坐标系中画出该函数的图象，写出这个函数的一条性质：　 　． （3）结合你所画的图象与函数y＝x的图象，直接写出x2＋bx＋2﹣c|x﹣1|≤x的解集　 　． 17．已知抛物线． （1）该抛物线的对称轴是______ ，顶点坐标______ ； （2）选取适当的数据填入如表，并在如图的直角坐标系内描点画出该抛物线的图象； x y （3）根据图象，直接写出当时，x的取值范围． 18．在平面直角坐标系中，二次函数与图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧）． （1）若点B的坐标为， ①求此时二次函数的解析式； ②当时，函数值y的取值范围是，求n的值； （2）将该二次函数图象在x轴上方的部分沿x轴翻折，其他部分保持不变，得到一个新的函数图象，若当时，这个新函数的函数值y随x的增大而增大，结合函数图象，求m的取值范围． 19．已知函数，某兴趣小组对其图像与性质进行了探究，请补充完整探究过程． … －3 －2 －1 1 2 3 4 5 … … －6 －2 2 －2 －1 －2 … （1）请根据给定条件直接写出的值； （2）如图已经画出了该函数的部分图像，请你根据上表中的数据在平面直角坐标系中描点、连线，补充该函数图像，并写出该函数的一条性质； （3）若，结合图像，直接写出的取值范围． 20．已知函数，请根据已学知识探究该函数的图像和性质． （1）列表，写出表中、、的值：______，______，______． … 0 1 2 3 … … 3 3 … （2）描点、连线，在下面的平面直角坐标系中画出该函数的图像，并写出该函数的一条性质：______． （3）已知函数的图像如图所示，结合你所画的函数图像，直接写出不等式的解集：______． 参考答案 1．(1)； (2)； (3)m的值为3+或1+． 【分析】（1）利用待定系数法求解； （2）先求出x=-1及x=3时的函数值，结合函数的性质得到答案； （3）设此抛物线沿x轴向右平移m个单位后抛物线解析式为y= (x-2-m) 2- l，利用二次函数的性质，当2+m>5， 此时x=5时，y=5，即(5-2-m) 2- 1=5，设此抛物线沿x轴向左平移m个单位后抛物线解析式为y= (x- 2+m) 2- 1,利用二次函数的性质得到2 - m<l，此时x=1时，y=5，即(1-2-m) 2- 1=5，然后分别解关于m的方程即可． (1) 解：∵抛物线经过点(1，0)和点(0，3)， ∴，解得， ∴此抛物线的解析式为； (2) 当x=-1时，y=1+4+3=8， 当x=3时，y=9-12+3=0， ∵， ∴函数图象的顶点坐标为（2，-1）， ∴当时， y的取值范围是； (3) 设此抛物线x轴向右平移m个单位后抛物线解析式为y= (x-2-m) 2- 1， ∵当自变量x满足 1≤x≤5时，y的最小值为 5， ∴2+m>5，即m>3， 此时x=5时，y=5，即(5-2-m) 2-1=5，解得m1=3+，m2=3- (舍去)； 设此抛物线沿x轴向左平移m个单位后抛物线解析式为y= (x- 2+m) 2- 1， ∵当自变量x满足1≤x≤5时，y的最小值为5， ∴2-m<1，即m>1， 此时x=1时，y=5， 即(1-2-m) 2-1=5，解得m1=-1+，m2=-1- (舍去)， 综上所述，m的值为3+或1+． 【点评】题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式，也考查了二次函数的性质． 2．(1)，对称轴为直线x＝1，顶点坐标为（1，﹣4）； (2)见解析； (3) 【分析】（1）配方成顶点式可得； （2）先确定抛物线与x和y轴的交点坐标，再确定抛物线的顶点坐标，然后描点得到二次函数的图象； （3）利用函数图象可得； (1) ∴对称轴为直线x＝1，顶点坐标为（1，﹣4）； (2) 抛物线的顶点坐标为（1，﹣4）， 当x＝0时，，则抛物线与y轴的交点坐标为（0，﹣3）； 当y＝0时，，解得x1＝﹣1，x2＝3， 则抛物线与x轴的交点坐标为（﹣1，0），（3，0）； 如图所示： (3) 由题（2）图象知，当x＜1时，y随x的增大而减小． 【点评】本题考查二次函数的三种形式及二次函数的性质，熟练掌握二次函数的顶点式及函数性质是解题的关键． 3．(1) (2)或 (3)或 【分析】（1）先通过直线解析式得到A、B的坐标，再代入二次函数解析式进行求解即可； （2）根据图象解答即可； （3）先将代入抛物线解析式，得出的值，再解出当时，方程的解，结合图象，求解即可． (1) 令，则 令，则 将A、B分别代入得    解得 抛物线的解析式为； (2) 直线与抛物线交于A、B两点 或时，； (3) 将代入抛物线解析式，得 将代入抛物线解析式，得 解得 根据图象，当时，或． 【点评】本题考查了一次函数与二次函数的综合问题，涉及一次函数图象与坐标轴的交点、待定系数法求二次函数解析式、图像法解一元一次不等式、图像法解一元二次不等式、解一元二次方程，熟练掌握知识点是解题的关键． 4．(1)y=-x2-x+2 (2)-2＜x＜0 (3)（-1，2） 【分析】（1）先求出A、B两点坐标，再代入抛物线中即可求出解析式； （2）将不等式变形为,进而得到二次函数图象在一次函数图象上方即可求解； （3）先证明△PDQ为等腰直角三角形，利用勾股定理进而求出 ，表示PD的长度列方程求解即可． （1） 解：当x=0，y=0+2=2， 当y=0时，x+2=0， 解得x=-2， ∴A（-2，0），B（0，2）， 把A（-2，0），C（1，0），B（0，2）代入抛物线解析式， 得， 解得， ∴该抛物线的解析式为：y=-x2-x+2； （2） 解：由不等式， 得， 由图象可知，二次函数图象在一次函数图象上方，结合图象可得： 不等式的解集为； （3） 解：作PE⊥x轴于点E，交AB于点D，作PQ⊥AB于Q， 在Rt△OAB中， ∵OA=OB=2， ∴∠OAB=45°， ∴∠PDQ=∠ADE=45°， 在Rt△PDQ中，∠DPQ=∠PDQ=45°， ∴PQ=DQ=， ∴PD=， 设点P（x，-x2-x+2），则点D（x，x+2）， ∴PD=-x2-x+2-（x+2）=-x2-2x， 即-x2-2x=1， 解得x=-1， ∴此时P点的坐标为（-1，2）， 【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，图象法解不等式、点坐标表示线段以及等腰直角三角形的性质等，求出解析式是解题的关键． 5．(1)y＝x2﹣2x﹣8； (2)﹣9≤y≤7 (3)m＞﹣2 【分析】（1）根据待定系数法即可求得； （2）求得抛物线的对称轴，根据图象即可得出当x＝1，函数有最小值﹣9；当x＝5时函数有最大值7，进而求得当﹣1≤x≤5时函数值的取值范围； （3）由题意得x2﹣2x﹣8＝（3+m）x+6+2m，整理得x2﹣（m+5）x﹣2（m+7）＝0，解方程求得x1＝﹣2，x2＝m+7，根据题意得到m+7＞5，解得m＞﹣2． (1) 解：∵二次函数y＝x2+bx+c的图象过（﹣2，0），（4，0）． ∴， 解得：， ∴二次函数解析式为y＝x2﹣2x﹣8； (2) ∵y＝x2﹣2x﹣8＝（x﹣1）2﹣9， ∴抛物线开口向上，当x＝1时，函数有最小值﹣9， 把x＝5代入y＝x2﹣2x﹣8得，y＝25﹣10﹣8＝7， ∴当﹣1≤x≤5时函数值的取值范围为﹣9≤y≤7； (3) ∵一次函数y＝（3+m）x+6+2m的图象与y＝x2﹣2x﹣8的交点的横坐标分别是x1，x2， ∴x2﹣2x﹣8＝（3+m）x+6+2m，整理得x2﹣（m+5）x﹣2（m+7）＝0， 解得：x1＝﹣2，x2＝m+7， ∵x1＜5＜x2， ∴m+7＞5， 解得m＞﹣2，即m的取值范围是m＞﹣2． 【点评】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数化为顶点式，根据自变量的取值范围求得函数值的范围，一次函数与二次函数交点问题，解一元二次方程，掌握二次函数图象与性质是解题的关键． 6．(1)，的坐标为； (2)点，或； (3) 【分析】（1）根据待定系数法求得二次函数的解析式，把一般式化成顶点式，即可求得顶点的坐标； （2）利用抛物线的解析式求得A的坐标，然后根据图象即可求得； （3）先利用待定系数法求得直线的解析式，即可得到平移后的解析式为，分别代入、点的坐标，求得的值，求得平移后的直线与抛物线有一个交点时的的值，结合图象即可求得． （1） 点、M（4，5）是抛物线图象上的点， 解得 抛物线解析式为， 抛物线顶点的坐标为； （2） 对于抛物线， 当时，即， 解得， 点A（-1，0） 观察函数图象可知，不等式的解集为或； （3） 点A（-1，0）和点M（4，5）在直线AM：的图象上， 解得， 直线的解析式为． 当直线向下平移经过点时，直线的解析式为， 则十，解得， 当直线平移经过点C（1，-4）时，则 解得， 当直线平移后与抛物线有一个交点时，联立 化简得则 解得， 的取值范围是． 【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，求一次函数的解析式，二次函数图象与几何变换，函数与不等式的关系，抛物线与轴的交点，二次函数图象上点的坐标特征，数形结合是解题的关键． 7．(1)对称轴为直线x＝a﹣1 (2)①y=0；②x1＝a﹣2 (3)a≥﹣1 【分析】（1）根据抛物线的对称轴x＝﹣求解即可； （2）①将x＝a代入y＝﹣x2+（2a﹣2）x﹣a2+2a求解即可；②若y1＝y2＝0，则﹣x2+（2a﹣2）x﹣a2+2a＝0，解方程并根据x1＜x2，求出x1的值． （3）由题意得出x1＜﹣2，则只需讨论x1＜a﹣1的情况，分两种情况：①当a≥﹣1时，又有两种情况：x1＜x2＜a﹣1，x1＜a﹣1＜x2，分别结合二次函数的性质及x1+x2＜﹣4计算即可；②当a＜﹣1时，令x1＝a﹣1，x2＝﹣2，此时x1+x2＜﹣4，但y1＞y2，不符合题意． 【解析】（1）解：抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝a﹣1； （2）解：①当x＝a时，y＝﹣a2+（2a﹣2）a﹣a2+2a ＝﹣a2+2a2﹣2a﹣a2+2a ＝0； ②当y1＝y2＝0时，﹣x2+（2a﹣2）x﹣a2+2a＝0， ∴x2﹣（2a﹣2）x+a2﹣2a＝0， ∴（x﹣a+2）（x﹣a）＝0， ∵x1＜x2， ∴x1＝a﹣2； （3） 解：①当a≥﹣1时， ∵x1＜x2，x1+x2＜﹣4， ∴x1＜﹣2，只需讨论x1＜a﹣1的情况． 若x1＜x2＜a﹣1， ∵x＜a﹣1时，y随着x的增大而增大， ∴y1＜y2，符合题意； 若x1＜a﹣1＜x2， ∵a﹣1≥﹣2， ∴2（a﹣1）≥﹣4， ∵x1+x2＜﹣4， ∴x1+x2＜2（a﹣1）． ∴x1＜2（a﹣1）﹣x2． ∵x＝2（a﹣1）﹣x2时，y1＝y2，x＜a﹣1时，y随着x的增大而增大， ∴y1＜y2，符合题意． ②当a＜﹣1时，令x1＝a﹣1，x2＝﹣2，此时x1+x2＜﹣4，但y1＞y2，不符合题意； 综上所述，a的取值范围是a≥﹣1． 【点评】本题属于二次函数的综合题，涉及二次函数的性质、求函数值、运用二次函数求不等式等知识点，灵活运用二次函数的性质成为解答本题的关键． 8．(1) (2)或 (3)4 【分析】（1）根据题意可以设出二次函数解析式，根据函数过点A、B、C，即可解答本题； （2）根据题意可以求得点D的坐标，再根据函数图象即可解答本题； （3）根据题意作出辅助线，即可求得△ADE的面积． 【解析】（1）∵二次函数 过， ∴ 解得 所以解析式为： （2） ∴该函数的对称轴是直线x=-1， ∵点C（0，3），点C、D是二次函数图象上的一对对称点， ∴点D（-2，3）， ∴一次函数值大于二次函数值的x的取值范围是x＜-2或x＞1 （3）连结AE， 设直线BD：y＝mx＋n， 代入B（1，0），D（−2，3）得， 解得：， 故直线BD的解析式为：y＝−x＋1 把x＝0代入y＝−x＋1得，y=1， 所以E（0，1）， ∴OE＝1， 又∵AB＝4    【点评】本题考查待定系数法求二次函数解析式、抛物线与x轴的交点，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用二次函数的性质解答． 9．(1)y1 (2)见解析 (3)①x＜4﹣2或x＞4＋2；②﹣3或4 【分析】（1）利用待定系数法将已知点的坐标代入解析式求得a，c的值即可得出结论； （2）过点P作PE⊥x中于点E，PD⊥y轴于点D，利用到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线，证明PE=PC即可；设P（t，t2＋1），利用勾股定理求出线段PC的长即可； （3）①当k=2时，将两个解析式联立求出交点坐标，利用函数图象判定出使M＞y2的值即为y1＞y2的取值范围； ②将两个解析式联立求出交点坐标，利用函数图象利用分类讨论的方法得到M与x的关系式，将M=5代入解析式即可求得结论． (1) 解：∵抛物线y1＝ax2＋c过点（﹣4，5），（1，）， ∴，解得：． ∴抛物线的解析式为：y1． (2) 解：过点P作PE⊥x中于点E，PD⊥y轴于点D，如图， ∵直线y2＝kx＋2与y轴交于C点， 令x＝0，则y＝2， ∴C（0，2）．∴OC＝2． ∵点P为第一象限抛物线上一个动点， ∴P（t，t2＋1）， ∴PE＝OD，PD＝t， ∴CD＝OD﹣OC． ∴PC1． ∴PE＝PC．∵PE⊥x轴， ∴x轴是⊙P的切线． (3) 解：①当k＝2时，直线y2＝2x＋2．∴． 解得：，． ∴y1与y＝2x＋2的交点为（4＋2，10＋4）和（4﹣2，10﹣4）． 由图象可知：当x＜4﹣2或x＞4＋2时，y1＞y2． ∵M＞y2，∴y1＞y2． ∴使M＞y2的x的取值范围为x＜4﹣2或x＞4＋2； ②当k＝﹣1时，y＝﹣x＋2．∴． 解得：，． 结合图象可知：当﹣2＋2x≤﹣2﹣2时，M＝﹣x＋2； 当x＞﹣2＋2或x＜﹣2﹣2时，M． ∵M＝5，∴﹣x＋2＝5， ∴x＝﹣3．∴， ∴x＝±4（﹣4不合题意，舍去）． 综上，使M＝5的x的值为﹣3或4． 【点评】本题主要考查了二次函数的图象的性质，待定系数法求函数的关系式，二次函数与一次函数图象上点的坐标的特征，利用数形结合法判定函数值的大小，利用交点坐标结合图象判定函数值的大小是解题的关键． 10．（1）y＝x2﹣4x+3，（2，﹣1）；（2）﹣2＜k＜﹣；（3）8． 【分析】（1）代入点A(1,0)和D(4,3)，可求得m、n的值，从而可得二次函数的表达式，将表达式化为顶点式，即可求得顶点坐标． （2）由l；y=kx−2k+2=k（x−2）+2可得，过定点（2，2），再分别代入点B、C的坐标，可求得k的值，要使直线l；y=kx−2k+2总位于图象G的上方，则k的取值范围，即为分别代入点B、C的坐标所求得的k的值之间的部分． （3）由二次函数的对称轴是直线x=2，点P(x1，c)和点Q(x2，c)在函数的图象上，且x1＜x2，可得x1=2−a，x2=2+a，代入即可求解． 【解析】解：（1）根据题意得：，解得． 故二次函数的表达式为y＝x2﹣4x+3， 则函数的对称轴为x＝﹣＝2， 当x＝2时，y＝x2﹣4x+3＝﹣1， 故顶点坐标为：（2，﹣1）； （2）在y＝x2﹣4x+3中， 令x＝0，解得y＝3，令y＝x2﹣4x+3＝0，解得x＝1或3， 则C的坐标是（0，3），点B（3，0）， ∵y＝kx﹣2k+2＝k（x﹣2）+2，即直线故点（2，2），设该点为M， 当直线过点C、M或过B、M时，都符合要求， 将点C的坐标代入y＝kx﹣2k+2，即3＝﹣2k+2，解得k＝﹣； 将点B的坐标代入3＝kx﹣2k+2，即0＝3k﹣2k+2，解得k＝﹣2； 故﹣2＜k＜﹣， 故答案为：﹣2＜k＜﹣； （3）∵P（x1，c）和点Q（x2，c）在函数y＝x2﹣4x+3的图象上， ∴PQ//x轴， ∵二次函数y＝x2﹣4x+3的对称轴是直线x＝2， 又∵x1＜x2，PQ＝2a， ∴x1＝2﹣a，x2＝2+a， ∴x12﹣2x2+6a+4＝（2﹣a）2﹣a（2+a）+6a+4＝8． 【点评】本题考查二次函数的图像和性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质． 11．（1）直线；（2）或；（3）当时，或；当时，． 【分析】（1）利用二次函数的对称轴公式即可求得． （2）根据题意可知顶点坐标，再利用待定系数法即可求出二次函数解析式． （3）分类讨论当m＞0时和m＜0时二次函数的性质，即可求出n的取值范围． 【解析】解：（1）利用二次函数的对称轴公式可知对称轴． 故答案为：． （2）∵抛物线顶点在x轴上，对称轴为， ∴顶点坐标为(-1，0)． 将顶点坐标代入二次函数解析式得：， 整理得：， 解得：或． ∴抛物线解析式为或； （3）∵对称轴为直线， ∴点关于直线的对称点为， 根据二次函数的性质分类讨论． （ⅰ）当m＞0时，抛物线开口向上，若y1＞y2，即点M在点N或的上方，两点NN′外侧，则或； （ⅱ）当m＜0时，抛物线开口向下，若y1＞y2，即点M在点N或的上方，两点内部，则． 【点评】本题为二次函数综合题，二次函数对称轴，待定系数法求二次函数解析式，比较函数值大小，掌握二次函数的性质是解答本题的关键． 12．（1）y=-x2+2x+3；（2）点P坐标为（，）；（3）m的取值范围为． 【分析】（1）将点A（0，3）、B（-1，0）代入抛物线y=-x2+bx+c中即可求得b、c的值，进而得到解析式； （2）过点A作AM⊥BP于点M，过点M作MN⊥y轴于点N，构造等腰直角三角形，利用“一线三垂直模型”证明△ABO≌△MAN．继而得到点M坐标，求出直线BM解析式，联立BM解析式与抛物线解析式即可得交点P的坐标； （3）结合抛物线图象，可直观看到当x2≥2时，y2≤3．要使y1≥y2恒成立，则y1≥3，得0≤x1≤2，从而0≤m−≤x1≤m+≤2，解不等式组即可． 【解析】解：（1）将点A（0，3）、B（-1，0）代入抛物线y=-x2+bx+c中，得： ，解得：， ∴该抛物线解析式为：y=-x2+2x+3； （2）过点A作AM⊥AB交BP于点M，过点M作MN⊥y轴于点N． 又∠ABP=45°， 则△ABM为等腰直角三角形，AM=AB， ∵∠BAO+∠PAO=∠BAM=90°，∠MAO+∠AMN=90°， ∴∠BAO=∠AMN， 在△ABO和△MAN中， ， ∴△ABO≌△MAN（AAS）， ∴AN=BO=1，ON=OA-AN=3-1=2，MN=AO=3， ∴点M坐标为（3，2）． 设直线BM解析式为y=kx+n， 代入点B（-1，0）、M（3，2）得： ，解得：． 故直线BM解析式为y=x+． 解方程x+-x2+2x+3得：， 当时，y=+=， 故点P坐标为（，）； （3）由图可知，当x=2时，y=-x2+2x+3=-4+4+3=3， 当x2≥2时，y2≤3． 要使y1≥y2恒成立，则y1≥3，即-x2+2x+3≥3， 解得：0≤x≤2，即0≤x1≤2， ∴0≤m−≤x1≤m+≤2， 解不等式0≤m−得：， 解不等式m+≤2得：， ∴m的取值范围为． 【点评】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求解析式、全等三角形判定与性质、解不等式组等知识，根据题意作出合理辅助线以及数形结合思考问题是解题的关键． 13．（1）或；（2）图见解析，性质：（写出一条即可）①关于对称；②或时有最小值为0；③，，随的增大而减小；，，随的增大而增大；（3）或 【分析】（1）由函数过点，代入，求出或，可得函数； （2）用描点法画图，列表、描点、连线，性质：①关于对称；②或时有最小值为0；③，，随的增大而减小；，，随的增大而增大， （3）利用图像解法不等式在图像上表现为永远在图像上方，或图像在图像上方；由交点（2,3）的左侧和交点（4,5）的右侧即可得出答案 【解析】解：（1）∵函数过点， ∴， ∴， ∴或， ∴或； 故答案为：或； （2）列表 x -2 -1 0 1 2 3 4 y=|x+1| 1 0 1 2 3 4 5 y= 5 0 3 4 3 0 5 描点连线 性质：（写出一条即可） ①关于对称； ②或时有最小值为0； ③，，随的增大而减小；，，随的增大而增大， 故答案为①关于对称；②或时有最小值为0；③，，随的增大而减小；，，随的增大而增大; （3）， ， ， 都无解， 或， ， 或， 解得x=-1，x=2，x=4， 不等式在图像上表现为永远在图像上方，或图像在图像上方；由交点（2,3）的左侧和交点（4,5）的右侧， 即不等式或的解集为或． ． 【点评】本题考查待定系数法求函数解析式，用描点法画函数解析式，观察函数图像写函数性质，利用函数图像求不等式的解集，掌握待定系数法求函数解析式，用描点法画函数解析式，观察函数图像写函数性质，利用函数图像求不等式的解集是解题关键． 14．（1），；（2）；（3）或 【分析】（1）由题意可得D在直线y=-3上且D在二次数对称轴上，由此可以得到D点坐标并求出c与a的关系式； （2）分a>0与a<0两种情况，根据二次函数的增减性进行求解； （3）把MN用a表示出来可以得到关于a的不等式，解不等式即可得到a的取值范围． 【解析】解：（1）由题意得D在直线y=-3上且D在二次数对称轴x=1上， ∴D(1-3)，将其代入得-3=a-2a+c，化简得c=a-3； （2）当a>0时，二次函数图象开口向上， 如图，抛物线的开口向上，当，即， 此时：当时，满足， 当时，函数值最大，则 解得：，不合题意，舍去 当＜＜时，则＜＜，如图， 此时：当时，满足， 当时，函数值最大，则 解得：，不合题意，舍去 当时，则，如图， 此时：当时，满足， 当时，函数值最大， 则 恒成立， 当a<0时，二次函数图象开口向下，此时函数有最大值，不满足，此情况不存在； 综上； （3）|MN|≥1即，即 ①(x≥3恒成立要求a＞0，其对称轴为x， 只需要求x=3时即9a-3a-a≥1， 解得； ②(x≥3恒成立要求a﹤0)， 只需要求x=3时即9a-3a-a≤-1， 解得． 【点评】本题考查二次函数的综合应用，熟练掌握二次函数的图象与性质及二次函数、一次函数与不等式的关系是解题关键． 15．（1）；（2）m=-3或m=3；（3）≤a＜或a≤-2； 【分析】（1）用待定系数法直接将点A和B代入直线l中然后得到关于k和b的二元一次方程没然后解方程即可得到k和b的值，然后得到l的解析式； （2）根据题意可得，y=-x2+2x-1，当y=-4时，有-x2+2x-1=-4，x=-1或x=3； ①在x=1左侧，y随x的增大而增大，x=m+2=-1时，y有最大值-4，m=-3； ②在对称轴x=1右侧，y随x增大而减小，x=m=3时，y有最大值-4； （3）①a＜0时，x=1时，y≤-1，即a≤-2； ②a＞0时，x=-3时，y≥-3，即a≥，直线AB的解析式为y=x-，抛物线与直线联立：ax2+2x-1=x-，△=-2a＞0，则a＜，即可求a的范围； 【解析】解：（1）点A（-3，-3），B（1，-1）代入y=kx+b可得： 解得： ∴l的解析式为：； （2）根据题意可得，y=-x2+2x-1， ∵a＜0， ∴抛物线开口向下，对称轴为直线x=1， ∵m≤x≤m+2时，y有最大值-4， ∴当y=-4时，有-x2+2x-1=-4， ∴x=-1或x=3， ①在对称轴直线x=1左侧，y随x的增大而增大， ∴x=m+2=-1时，y有最大值-4， ∴m=-3； ②在对称轴直线x=1右侧，y随x增大而减小， ∴x=m=3时，y有最大值-4； 综上所述：m=-3或m=3； （3）①a＜0时，x=1时，y≤-1， 即a≤-2； ②a＞0时，x=-3时，y≥-3， 即a≥， 直线AB的解析式为y=x-， 抛物线与直线联立：ax2+2x-1=x-， ∴ax2+x+=0， △=-2a＞0， ∴a＜， ∴a的取值范围为≤a＜或a≤-2． 【点评】本题考查二次函数的图象及性质，一次函数的图象及性质；熟练掌握待定系数法求解析式，数形结合，分类讨论函数在给定范围内的最大值是解题的关键． 16．(1) y＝x2﹣x+2﹣3|x﹣1|，补全表格见解析，(2) 函数图像见解析，当x=-1时，函数有最小值，最小值为-2；(3) ≤x≤或≤x≤． 【分析】（1）将点（﹣1，﹣2）与（2，1）代入解析式即可； （2）画出函数图象，观察图象得到一条性质即可 （3）根据图象，求出两个函数图象的交点坐标，通过观察可确定解解集． 【解析】解：（1）∵该函数图象经过（﹣1，﹣2）与（2，1）两点， ∴， ∴， ∴y＝x2﹣x+2﹣3|x﹣1|， 故答案为：y＝x2﹣x+2﹣3|x﹣1|； 当x=-4时，y=7；当x=0时，y=-1； 补全表格如图， x ⋯ ﹣4 ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 ⋯ y ⋯ 7 2 ﹣1 ﹣2 -1 2 1 2 ⋯ （2）函数图像如图所示，当x=-1时，函数有最小值，最小值为-2； （3）当x≥1时，x2﹣x+2﹣3x+3=x， 解得，，，观察图象可知不等式的解集为：≤x≤； 当x＜1时，x2﹣x+2+3x﹣3=x， 解得，，，观察图象可知不等式的解集为：≤x≤； ∴不等式x2+bx+2﹣c|x﹣1|≤x的解集为≤x≤或≤x≤． 【点评】本题考查二次函数与不等式的关系；掌握描点法画函数图象，利用数形结合解不等式是解题的关键． 17．（1）x=2，(2,-1)；（2）答案见解析；（3）x<1或x>3 【分析】（1）根据对称轴是，顶点坐标是，可得答案； （2）根据对称轴，可在对称轴的左边选两个，右边选两个，它们要关于对称轴对称，可填上表格，根据描点法，可得函数图象； （3）根据函数与不等式的关系，可得答案． 【解析】解：（1）抛物线的对称轴是， ， ∴顶点坐标是(2,-1)， 故答案为x=2，(2,-1)； （2）列表： 连线： （3）观察图象，函数图象在x轴上方的部分的相应的自变量的取值范围为x<1或x>3， 即当x<1或x>3时，． 【点评】本题考查了二次函数图象与性质，函数与不等式的关系．熟悉掌握二次函数的对称轴是，顶点坐标是是解（1）题的关键，会用描点法画函数图象是解（2）题的关键；了解函数与不等式的关系是解（3）题的关键． 18．（1）①，②；（2）或 【分析】（1）①令x=3，则y=−x2+2mx+4−m2=0，解方程即可得到m的值，从而得到二次函数的解析式；②由①可得二次函数的对称轴为x=1，然后根据二次函数的增减性可以得解； （2）令y=0，可以得到二次函数图象与x轴交点，然后根据二次函数的增减性可以得解．　 【解析】（1）①二次函数为，对称轴为． 令有：，解得：或．             ∵为该二次函数图象与x轴靠右侧的交点， ∴点B在对称轴右侧， ∴，故． ∴二次函数解析式为． ②由于二次函数开口向下，且对称轴为． ∴时，函数值y随x的增大而减小； ∴当时，函数取得最大值3； 当时，函数取得最小值，             ∴在范围内解得． （2）令，得，解得，， 将函数图象在x轴上方的部分向下翻折后，新的函数图象增减性情况为： 当时，y随x的增大而增大， 当时，y随x的增大而减小， 当时，y随ⅹ的增大而增大， 当时，y随x的增大而减小． 因此，若当时，y随x的增大而增大，结合图象有： ①，即时符合题意； ②且，即时符合题意． 综上，m的取值范围是或．             【点评】本题考查二次函数的综合应用，熟练掌握二次函数解析式的求法、二次函数的对称轴与增减性是解题关键 ． 19．（1），，；（2）见解析；（3）x的取值范围是：3≤x＜0或1≤x≤2． 【分析】（1）先将（-1，2）和（1，-2）代入函数y=a（x-1）2++1中，列方程组解出可得a和b的值，写出函数解析式，计算当x=4时m的值即可； （2）描点并连线画图，根据图象写出一条性质即可； （3）画y=x-3的图象，根据图象可得结论． 【解析】解：（1）把（-1，2）和（1，-2）代入函数y=a（x-1）2++1中得： ，解得：， ∴y=（a≠0）， 当x=4时，m=； （2）如图所示， 性质：当x＞2时，y随x的增大而减小（答案不唯一）； （3）∵a（x1）2+≥x4， ∴a（x1）2++1≥x3， 如图所示， 由图象得：x的取值范围是：3≤x＜0或1≤x≤2． 【点评】本题考查了待定系数法求函数解析式，描点，画函数图象，以及二次函数的性质，解题的关键是掌握二次函数的性质，利用了数形结合思想进行分析． 20．（1）1.2；6；0.6；（2）画图见解析；函数关于y轴对称（答案不唯一）；（3）x≤1． 【解析】（1）分别将x的值代入函数y=中，可得结论； （2）根据表中的数据，描点连线、画出函数的图象，并直接说性质； （3）由图象：函数y=的图象在y=x+2的图象的上方对应的x值取值范围可得 ． 【解析】解：（1）当x=-2时，a==1.2， 当x=0时，b=6， 当x=3时，c==0.6， 故答案为：1.2，6，0.6； （2）如图所示： 性质：函数关于y轴对称；（答案不唯一：或函数有最大值是6）； 故答案为：函数关于y轴对称； （3）由图象得：不等式≥x+2的解集是：x≤1； 故答案为：x≤1． 【点评】本题考查了一次函数的图象与性质，一次函数与一元一次不等式，利用数形结合思想，正确画出函数的图象是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $$