精品解析：北京市昌平区回龙观学校2024-2025学年八年级上学期期中考试数学试卷

2024—2025学年第一学期北京市昌平区回龙观东西学区 期中考试试卷 初二数学 2024.10 本试卷共6页，共三部分，28个小题，满分100分．考试时间120分钟．考生务必将答案填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后，请交回答题卡． 一、选择题（共8道小题，每小题2分，共16分，第1－8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个） 1. 若代数式在实数范围内有意义，则的取值范围是　　 A. x<1 B. x≤1 C. x>1 D. x≥1 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件列出关于x 的不等式，求出x的取值范围即可． 【详解】解：由题意得，x－1≥0， 解得x≥1． 故选：D． 【点睛】本题主要考查二次根式有意义的条件，解题的关键是掌握要使二次根式有意义，其被开方数应为非负数． 2. 2的平方根为（ ） A. 4 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平方根的定义．注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．根据平方根的定义，求数a的平方根，也就是求一个数x，使得则x就是a的平方根，由此即可解决问题． 【详解】解：2的平方根是， 故选：D． 3. 如果把分式中的，都扩大3倍，那么分式的值（ ） A. 扩大3倍 B. 不变 C. 缩小3倍 D. 扩大9倍 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的性质，熟练掌握分式的性质是解题的关键．根据分式的分子分母都乘以或除以一个不为的整数，分式的值不变，即可得到答案． 【详解】解：． 故选：B． 4. 下列实数①；②；③；④，其中是无理数的是（ ） A. ① B. ② C. ③ D. ④ 【答案】D 【解析】 【分析】根据无理数的定义“无限不循环小数，不能写作两整数之比”求解即可. 【详解】①，小数点后是无限循环的，因此是有理数；②，2是整数；③是有限小数；④无限不循环小数，是无理数 故选：D. 【点睛】本题考查了无理数的定义，熟记定义是解题关键. 5. 若，则的值为（　　　） A. -6 B. 6 C. -1 D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】利用非负性求出和的值即可求解． 【详解】解：∵ ∴， ∴， ∴ 故选：A． 【点睛】本题主要考查了平方和绝对值的非负性，利用非负性的特点求值是解题的关键． 6. 实数在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. ＞ 【答案】D 【解析】 【分析】根据各点在数轴上的位置得出a、b两点到原点距离的大小，把选项中需要比较的项中的数在数轴上表示出来，进而逐一判断即可． 【详解】解：∵由图可知a＜0，b＞0，|a|＞|b|， A．a＜b，错误； B．先将-a在数轴上表示出来，可知-a在b点右侧，所-a＞b，错误； C．∵ |a|＞|b|，∴，错误； D．∵=|a|， =|b|， 又|a|＞|b|，∴＞，正确． 故选：D． 【点睛】本题考查利用数轴比较大小，理解数轴右边的点表示的数比左边的点表示的数大是解答此题的关键． 7. 九年级学生去距学校10 km的博物馆参观，一部分学生骑自行车先走，过了20 min后，其余学生乘汽车出发，结果他们同时到达.已知汽车的速度是骑车学生速度的2倍，求骑车学生的速度.设骑车学生的速度为x km/h，则所列方程正确的是( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】试题分析：设骑车学生的速度为xkm/h，则汽车的速度为2xkm/h，由题意得，．故选C． 考点：由实际问题抽象出分式方程． 8. 已知分式（m，n为常数）满足表格中的信息，则下列结论中错误的是（ ） x的取值 －4 2 a 0 分式的值 无意义 0 1 b A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查分式有无意义的条件，分式值为0的条件，以及解分式方程，理解基本定义，以及解分式方程后注意检验是解题关键． 首先根据已知条件分别确定和的值，然后确定出分式，最后根据时，原分式值为1，通过解分式方程确定，即可得出结论． 【详解】解：∵时，原分式无意义， ∴，解得：，B选项正确，不符合题意； ∴此分式为， ∵当时，原分式值为0， ∴，解得：， A选项正确，不符合题意； 由上分析，原分式为， 当时，原分式值为，D选项正确，不符合题意； 当时，解得：， 经检验，是原分式方程的解，C选项错误，符合题意； 故选：C． 二、填空题（共8道小题，每小题2分，共16分） 9. 27的立方根为_____． 【答案】3 【解析】 【分析】找到立方等于27的数即可． 【详解】解：∵33=27， ∴27的立方根是3， 故答案为：3． 10. 若，且，则分式中的值为______． 【答案】2 【解析】 【分析】直接利用已知代入分式化简得出答案． 【详解】解：∵a−3b＝0，且a≠0， ∴a＝3b， 则分式＝＝＝2． 故答案为：2． 【点睛】此题主要考查了分式化简求值，正确对式子进行变形，化简求值是解决本题的关键．在解题过程中要注意思考已知条件的作用． 11. 写出一个比大且比小的整数_______________． 【答案】3（或4） 【解析】 【分析】先分别求出与在哪两个相邻的整数之间，依此即可得到答案． 【详解】∵，， ∴比大且比小的整数是3或4， 故答案为：3（或4）． 【点睛】本题主要考查了实数的大小比较，也考查了无理数估算的知识，分别求出与在哪两个相邻的整数之间是解答此题的关键． 12. 计算：______． 【答案】1 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的加减运算．直接按同分母分式加减运算法则计算即可． 【详解】解：． 故选：1． 13. 化简：＝_____． 【答案】a+1 【解析】 【分析】先对代数式中能因式分解的部分进行因式分解，在边除为乘，进行化简、计算即可. 【详解】解：原式＝ ＝a+1， 故答案为a+1 【点睛】本题考查分式的化简，其中对能因式分解的部分进行因式分解和变除为乘是解答本题的关键. 14. 方程无解，那么的值为________． 【答案】3 【解析】 【分析】先将分式方程转化为整式方程，根据分式方程无解，可得，进而求得的值． 【详解】解：， ， ， ， 方程无解， ， ， ， 故答案为：3． 【点睛】本题考查了解分式方程，掌握分式方程的计算是解题的关键． 15. 若的整数部分为x，小数部分为y，则的值是________． 【答案】1 【解析】 【详解】∵的整数部分为1,小数部分为−1， ∴x=1,y=−1， ∴x−y=−(−1)=1. 故答案为1. 16. 我们知道，整式，分式，二次根式等都是代数式，代数式是用基本运算符号连接起来的式子，而当被除数是一个二次根式，除数是一个整式时，求得的商就会出现类似这样的形式，我们称形如这种形式的式子称为根分式，例如都是根分式，已知两个根分式与，则下列说法： ①根分式中的取值范围为：； ②存在实数，使得； ③存在实数，使得是一个整数； 上述说法中正确的是____________． 【答案】①③##③① 【解析】 【分析】本题考查定义新概念，二次根式的性质，二次根式和分式有意义的条件，分式的加法运算等，对于①，根据二次根式和分式的性质判断即可；对于②，将，代入，再求出分式方程的解，判断即可；对于③，将，代入再整理，讨论得出答案．理解新定义是解题的关键． 【详解】解：①根据题意可知且， 解得：，故结论①正确； ②∵，，， ∴， 解得：（不符合题意，舍去）， ∴不存在实数，使得，故结论②错误； ③∵，， ∴． ∵是一个整数， ∴， 解得：或， 当时，，故不符合题意， ∴，故结论③正确． 故答案为：①③． 三、解答题（本题共12道小题，第17－22题，每小题5分，第23－26题，每小题6分，第27、28题，每小题7分，共68分） 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是分式的除法运算，掌握把分式的除法运算转化为乘法运算是解本题的关键． 先把除法转化为乘法，再约分，即可得到答案． 【详解】解： ． 18. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查分式的减法，熟练掌握运算法则是关键． 同分母分式相减，分母不变，分子相减，再化简即可． 【详解】解： ． 19. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】首先通分，然后进行分式的减法运算即可求解． 【详解】原式 = = = =． = =． 【点睛】本题考查了分式的加减法．通分和因式分解是解答的关键． 20. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式的混合运算，完全平方公式，平方差公式的运用，先将括号里的式子通分化简，再将除法变为乘法约分化简即可． 【详解】解： ． 21. 解方程：． 【答案】 【解析】 【分析】观察可得最简公分母是，方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解． 【详解】解：方程两边同乘以，得 解得 检验：将代入知， 所以是原方程的根． 【点睛】本题考查解分式方程，注意分式方程的结果要检验． 22. 解方程： 【答案】x＝1 【解析】 【分析】先去分母求出整式方程的解，再检验即可． 【详解】解：去分母得：x﹣3+x﹣2＝﹣3， 解得：x＝1， 检验：当x＝1时，x﹣2＝﹣1≠0， ∴x＝1是分式方程的解． 【点睛】此题考查了解分式方程，正确掌握解分式方程的步骤及法则是解题的关键，不要忘记检验． 23. 已知，求代数式的值． 【答案】，1 【解析】 【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，约分得到最简结果，把已知等式变形后代入计算即可求出值． 【详解】解： ． ∵， ∴． ∴原式． 【点睛】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 24. 下面是小明同学的一篇回顾与反思，请认真阅读并完成相应的任务． 异分母的分式加减法回顾与反思 【回顾】 今天我们学习了异分母的分式加减法，在课堂小结环节我的总结如下： 下面是我在课堂上化简分式 的过程： 解：原式          第一步 第二步 第三步               第四步         第五步 【反思】 总之，在学习中我们要善于思考与反思，总结与归纳，在总结中收获经验，为今后的学习奠定坚实的基础． 任务： （1）在探究异分母的分式加减法法则时主要体现的数学思想是______； A．方程思想       B．数形结合思想     C．转化思想     D．统计思想 （2）以上化简过程中，第______步是分式的通分，通分的依据是______； （3）我们在做题时一定要养成认真检查的好习惯，由于小明的马虎，解题过程出现了错误，从第_____步开始出现错误，化简的正确结果应该是______． 【答案】（1）C （2）三，分式的基本性质 （3）四， 【解析】 【分析】本题主要考查了分式加减运算，解题的关键是熟练掌握分式加减运算法则． （1）根据分式加减运算进行解答即可； （2）根据通分的定义进行解答即可； （3）根据分式加减运算法则，进行计算得出正确答案即可． 【小问1详解】 解：在探究异分母的分式加减法法则时主要体现的数学思想是转化思想，故C正确； 故选：C． 【小问2详解】 解：以上化简过程中，第三步是分式的通分，通分的依据是分式的基本性质． 故答案为：三；分式的基本性质； 【小问3详解】 解：从第四步开始出现错误， ． 因此正确结果为：． 25. 随着网络技术的发展，市场对产品的需求越来越大．为满足市场需求，某大型产品生产厂家更新技术后，加快了生产速度．现在平均每天比更新技术前多生产30万件产品，现在生产500万件产品所需的时间与更新技术前生产400万件产品所需时间相同，求该厂家更新技术前每天生产多少万件产品？ 【答案】120万件 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用，理解题意，找出正确的等量关系列出方程是解题的关键． 设更新技术前每天生产x万件产品，则更新技术后每天生产万件产品，根据题意列方程求解即可． 【详解】解：设更新技术前每天生产x万件产品，则更新技术后每天生产万件产品， 依题意，得：． 解得：． 经检验，是原方程的解且符合实际意义． 答：更新技术前每天生产120万件产品． 26. 我们知道是二次根式的一条重要性质．请利用该性质解答以下问题： （1）化简： ， ； （2）若，则x的取值范围为 ； （3）已知实数a，b，c在数轴上的对应点如图所示，化简． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的性质； （1）根据化简即可； （2）根据可知，解不等式即可； （3）先根据数轴判断出，，再根据二次根式和绝对值的性质化简． 【小问1详解】 解：，， 故答案为：2，； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， 故答案为：； 【小问3详解】 解：由数轴得：， ∴，， ∴． 27. 【生活观察】数学来源于生活，众所周知“糖水加糖会变甜”．人们常用糖水中糖与糖水的比表示糖水的甜度． （1）若a克糖水中含b克糖（），则该糖水的甜度为，若再加入m克（）糖，此时糖水的甜度为________，充分搅匀后，感觉糖水更甜了．由此我们可以得到一个不等式_______________；（请用含a、b、m的式子表示）请用分式的相关知识验证所得不等式； 【数学思考】（2）若，，则（1）中的不等式是否依然成立？若不成立，请写出正确的式子并证明． 【知识迁移】（3）已知甲、乙两船同时从A港出发航行，设甲、乙两船在静水中的速度分别为、，水流速度为，两船同向顺流航行1小时后立即返航，甲、乙两船返航所用时间分别为、，利用（1）（2）中探究的结论，比较、的大小，可判断出先返回A港的是_____________．（填所选序号即可） ①甲 ②乙 ③甲乙同时 ④无法判断 【答案】（1），； （2）（1）中的不等式不成立，正确式子为：，理由如下： ∵ ， ∵，， ∴，，， ∴， ∴； （3）① 【解析】 【分析】本题考查的是列代数式，分式的加减运算，分式的值的大小比较，理解题意，选择合适的方法解题是关键． （1）用糖水中糖与糖水的比表示即可；再利用作差法比较与的大小即可； （2）利用作差法比较与的大小即可； （3）根据题意分别表示出、，然后比较大小求解即可． 【详解】解：（1）∵a克糖水中含b克糖（），则该糖水的甜度为， ∴再加入m克（）糖，此时糖水的甜度为，充分搅匀后，感觉糖水更甜了． ∵ ， ∵，， ∴，，， ∴， ∴， ∴由此我们可以得到一个不等式， 故答案为：，； （2）略 （3）∵， ∴，， 由（2）得，， ∴， ∴， ∵，， ∴甲船先返回A港． 故答案为：①． 28. 定义：如果两个分式A与B的差为常数，且这个常数为正数，则称A是B的“差常分式”，这个常数称为A关于B的“差常值”．如分式，，，则A是B的“差常分式”，A关于B的“差常值”为2． （1）已知分式，，判断C是否是D的“差常分式”，若不是，请说明理由，若是，请证明并求出C关于D的“差常值”． （2）已知分式，，其中E是F的“差常分式”，E关于F的“差常值”为2，求的值； （3）已知分式，，其中M是N的“差常分式”，M关于N的“差常值”为1．若x为整数，且M的值也为整数，求满足条件的x的值． 【答案】（1）不是的“差常分式”； （2） （3）所有符合条件的的值为0，2，4，6． 【解析】 【分析】本题考查了分式的加减法，理解新定义和掌握分式的运算是解题的关键． （1）根据新定义进行判断； （2）根据新定义，列出方程求解； （3）根据新定义列出方程，再根据整除的意义求解． 【小问1详解】 解：不是的“差常分式”； 理由：， 不是的“差常分式”； 【小问2详解】 解：由题意得：， ， ， ， 解得：，， ； 【小问3详解】 解：由题意得：， ， ， 为整数，为整数， 的值为：或， 的值为：0，2，4，6， 所以所有符合条件的的值为0，2，4，6． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024—2025学年第一学期北京市昌平区回龙观东西学区 期中考试试卷 初二数学 2024.10 本试卷共6页，共三部分，28个小题，满分100分．考试时间120分钟．考生务必将答案填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后，请交回答题卡． 一、选择题（共8道小题，每小题2分，共16分，第1－8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个） 1. 若代数式在实数范围内有意义，则的取值范围是　　 A. x<1 B. x≤1 C. x>1 D. x≥1 2. 2的平方根为（ ） A. 4 B. C. D. 3. 如果把分式中的，都扩大3倍，那么分式的值（ ） A. 扩大3倍 B. 不变 C. 缩小3倍 D. 扩大9倍 4. 下列实数①；②；③；④，其中是无理数的是（ ） A. ① B. ② C. ③ D. ④ 5. 若，则的值为（　　　） A. -6 B. 6 C. -1 D. 1 6. 实数在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. ＞ 7. 九年级学生去距学校10 km的博物馆参观，一部分学生骑自行车先走，过了20 min后，其余学生乘汽车出发，结果他们同时到达.已知汽车的速度是骑车学生速度的2倍，求骑车学生的速度.设骑车学生的速度为x km/h，则所列方程正确的是( ) A. B. C. D. 8. 已知分式（m，n为常数）满足表格中的信息，则下列结论中错误的是（ ） x的取值 －4 2 a 0 分式的值 无意义 0 1 b A. B. C. D. 二、填空题（共8道小题，每小题2分，共16分） 9. 27的立方根为_____． 10. 若，且，则分式中的值为______． 11. 写出一个比大且比小的整数_______________． 12. 计算：______． 13. 化简：＝_____． 14. 方程无解，那么的值为________． 15. 若的整数部分为x，小数部分为y，则的值是________． 16. 我们知道，整式，分式，二次根式等都是代数式，代数式是用基本运算符号连接起来的式子，而当被除数是一个二次根式，除数是一个整式时，求得的商就会出现类似这样的形式，我们称形如这种形式的式子称为根分式，例如都是根分式，已知两个根分式与，则下列说法： ①根分式中的取值范围为：； ②存在实数，使得； ③存在实数，使得是一个整数； 上述说法中正确的是____________． 三、解答题（本题共12道小题，第17－22题，每小题5分，第23－26题，每小题6分，第27、28题，每小题7分，共68分） 17. 计算：． 18. 计算：． 19. 计算： 20. 计算：． 21. 解方程：． 22. 解方程： 23. 已知，求代数式的值． 24. 下面是小明同学的一篇回顾与反思，请认真阅读并完成相应的任务． 异分母的分式加减法回顾与反思 【回顾】 今天我们学习了异分母的分式加减法，在课堂小结环节我的总结如下： 下面是我在课堂上化简分式 的过程： 解：原式          第一步 第二步 第三步               第四步         第五步 【反思】 总之，在学习中我们要善于思考与反思，总结与归纳，在总结中收获经验，为今后的学习奠定坚实的基础． 任务： （1）在探究异分母的分式加减法法则时主要体现的数学思想是______； A．方程思想       B．数形结合思想     C．转化思想     D．统计思想 （2）以上化简过程中，第______步是分式的通分，通分的依据是______； （3）我们在做题时一定要养成认真检查的好习惯，由于小明的马虎，解题过程出现了错误，从第_____步开始出现错误，化简的正确结果应该是______． 25. 随着网络技术的发展，市场对产品的需求越来越大．为满足市场需求，某大型产品生产厂家更新技术后，加快了生产速度．现在平均每天比更新技术前多生产30万件产品，现在生产500万件产品所需的时间与更新技术前生产400万件产品所需时间相同，求该厂家更新技术前每天生产多少万件产品？ 26. 我们知道是二次根式的一条重要性质．请利用该性质解答以下问题： （1）化简： ， ； （2）若，则x的取值范围为 ； （3）已知实数a，b，c在数轴上的对应点如图所示，化简． 27. 【生活观察】数学来源于生活，众所周知“糖水加糖会变甜”．人们常用糖水中糖与糖水的比表示糖水的甜度． （1）若a克糖水中含b克糖（），则该糖水的甜度为，若再加入m克（）糖，此时糖水的甜度为________，充分搅匀后，感觉糖水更甜了．由此我们可以得到一个不等式_______________；（请用含a、b、m的式子表示）请用分式的相关知识验证所得不等式； 【数学思考】（2）若，，则（1）中的不等式是否依然成立？若不成立，请写出正确的式子并证明． 【知识迁移】（3）已知甲、乙两船同时从A港出发航行，设甲、乙两船在静水中的速度分别为、，水流速度为，两船同向顺流航行1小时后立即返航，甲、乙两船返航所用时间分别为、，利用（1）（2）中探究的结论，比较、的大小，可判断出先返回A港的是_____________．（填所选序号即可） ①甲 ②乙 ③甲乙同时 ④无法判断 28. 定义：如果两个分式A与B的差为常数，且这个常数为正数，则称A是B的“差常分式”，这个常数称为A关于B的“差常值”．如分式，，，则A是B的“差常分式”，A关于B的“差常值”为2． （1）已知分式，，判断C是否是D的“差常分式”，若不是，请说明理由，若是，请证明并求出C关于D的“差常值”． （2）已知分式，，其中E是F的“差常分式”，E关于F的“差常值”为2，求的值； （3）已知分式，，其中M是N的“差常分式”，M关于N的“差常值”为1．若x为整数，且M的值也为整数，求满足条件的x的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $