小专题培优7 与中点相关的四大常见模型-【众相原创·赋能中考】2025年中考数学课堂精讲册（广西专用）

小专题培优7 与中点相关的四大常见模型 (2024.24,2023.18,北部湾5年2考) 模型1线段双中点模型 L.如图，点C在线段AB上，点M,N分别是AC,BC的中点，设AC+BC= 【模型特点】 a,则MN的长度是 ( 两条线段在同一直线上且 A M C N B 有一个共同的端点，求两 中点的距离。 A.2a B.a C.za 【解题策略】 2.如图，已知点C为线段AB上一点，AC=12cm,CB=8cm,D,E分别是 1.根据线段中点的定义得 AC,AB的中点. 到线段之间的数量关系， (1)AD的长度为 cm; D EC 求出待求线段的长度： (2)DE的长度为 cm; 2.当没有明确给出点的位 (3)若点M在直线AB上，且MB=6cm,求AM的长度 置时，通常需要分类讨论， 避免漏解」 模型2中位线模型 3.如图，在△ABC中，点D,E,F分别是BC,AB,AC的中点.如果△ABC 【模型特点】 的周长为20，那么△DEF的周长是 ( ) 如图，D,E 分别是AB, A.5 B.10 C.15 D.20 AC的中点， B 连接DE,则DE∥BC,且 DE-BG. 【解题策略】 1,当已知三角形两边的中 第3题图 第4题图 点时，连接两中点（构造 4.如图，在四边形ABCD中，E,F分别是DC,AD的中点，EF⊥AB.若 辅助线)： BC=13,AB=5,则EF的长度为 ( 2.根据三角形的中位线定 A.6 B.5 C.4 D.3 理进行相关计算。 模型3中线模型 5.如图，在△ABC中，AB=AC=5,BC=6,点M为BC边的中点，MN⊥AC 【模型特点】 于点N,则MN的长度为 如图1，△ABC为等腰三 角形，D是底边BC的中 点，连接AD,则：(1)AD平 分∠BAC:(2)AD⊥BC: 84 众相原创赋能中考广西数学 6.如图，在△BCD和△BCE中，∠BDC=∠BEC=90°，O为BC的(3)BD=CD. 中点，BD,CE相交于点A,∠BAC=120°.求证：DE=OE. D 图1 图2 如图2，在Rt△ACB中，∠ACB= 90°，D是斜边AB的中，点，连接 CD,则CD=AD=BD=1 【解题策略】 1,当已知等腰三角形底边的中 点时，连接顶角顶点与该中点 (构造辅助线)： 2.当已知直角三角形斜边的中 点时，连接直角顶点与该中点 (构造辅助线)； 3.根据等腰三角形“三线合 一”、直角三角形的斜边中线定 理进行相关计算、证明， 模型4倍长中线模型 7.如图，在△ABC中，AB=5,AC=3,则中线AD的取值范围为 【模型特点】 将三角形的中线延长一倍，构造 全等三角形. 【解题策略】 1,当题中已知中线，且所要求的 B 线段或角与题中已知的线段和 8.如图，已知CD=AB,∠BDA=∠BAD,AE是△ABD的中线.求证： 角无法转化到同一个三角形中 ∠C=∠BAE. 时，通常需要构造“倍长中线" (作辅助线)： 2.根据三角形中线的定义、对顶 角相等及所作的等线段，证明三 角形全等，进而求解. 第四单元三角形85$. 2=/E.BD=DE. . BAD= CAD=30*MAB= CAD=30 . 3=/F= 2. ABM=60*} AMB=90$ 2.BD平分乙ABC. . 乙AMN=30$$MN=AN=B$ 第四节 等腰三角形和直角三角形 ①相等 ②相等 ③相互重合 ④1 相等 相等 60 ⑧轴 3 600190 90 当NP1AM时.NP有最小值. 在R△APN中,NP-AV= 2: 一半 一半8{}6 ^90 . NP的最小值为 2互余 ②^}+6=^}②相等 ②相等$ 答②45。 小专题培优7 与中点相关的四大常见模型 1. C 1. (1)4 (2)36*(3)12 (4)3 2. C 3. A 2.(1)6(2)4 4.(1)82.5。 (3)解:当点M在点B的右侧时,AM=AB+MB=12+ (2)解: BAC=50*,AB=AC. 8+6=26(cm); , 当点M在点B的左侧时,AM=AB-MB=12+8-6 = .乙C x(180°-50°)=650。 14(cm). ·△DEC为等腰三角形, .AM的长度为26cm或14cm .分三种情况讨论: 3. B 4. A 5. 2 ①当ED=EC时, EDC= C=65*; ②当DC=DE时. DEC= C=65$ 6. 证明:如解图,连接0D. $. EDC=180*-265*=50;$ BBDC= BEC=90*$0为 BC的中点, ③当EC=DC时,2 CDE=2 CED=x(180*-65°)= :.0D=OE=0B=0C 57.5°. . CBA= BDO. BCA= CEO 综上所述,当△DEC为等腰三角形时,乙EDC的度数 “. BAC=120*. 为65或50或57.5*; . CBA+ B[CA=180*-120*=60*$$$ (3)解:·AB=AC,AD为BC边上的中线 BOE= BCA+CEO=2 BCACOD=CBA+ BC5. :.AD1BC,BD-CD= BD0=2/CBA. '. 乙BOE+ C0D=120*2D0E=60$ .在R△ADC中$AD=AC-CD=13-$=$ $$ '. △DOE是等边三角形.:DE=OE. 过点D作DF1AE于点F 7. 1<AD<4【解析】如解图,延长 . SAn-AD·cD-4c·DF, AD到点E.使AD=DE,连接BE .AD是△ABC的中线,:.BD= CD,在△ADC和△EDB中, 13' AD-ED. 乙ADC=乙EDB,. △ADC DC-DB. (4)①证明::AB=AC':乙C=乙ABC. △EDB(SAS).:.AC=BE=3.在△ABE中,AB-BE .乙BAC=乙DAM. AE<AB+BE 2<2AD<8..1<AD4. . BAC- BAD= DAM- BAD 8. 证明:如解图,延长AE到点F.使EF=AE,连接DF 即_CAD=/BAM. .AE是△ABD的中线. 在△ABM和△ACD中. .BE=ED. AB=AC. 在△ABE和△FDE中. 乙BAM=乙CAD..:△ABM△ACD(SAS). BE=DE. AM.AD. CAEB=/FED. .ABM=乙C.乙ABM= ABC LAE-FE. ·MN/BC.. MNB= ABC 1.△ABE△FDE(SAS), 1. 乙MNB=乙ABM..△BMN是等腰三角形 $.AB=DF, BAE= DFE ②解:由①可知,△ABM△△ACD. ·乙ADB是△ADC的外角, △ABC为等边三角形.:.乙MBA= C=60 . DAC+ACD= ADB= BAD 由①可知,△BMN是等腰三角形, . BAE+ EAD= BAD, BAE= EFD 2.△BMN是等边三角形..MV=BN . 乙EFD+ EAD= DAC+乙ACD. ·D为BC边的中点...AD平分乙BAC. 广西数学 13 . 乙ADF= ADC AD=DE. A= DEC .AB=DC .DF=DC A=2 B DEC=2 B.$ AD=AD. DEC= B+$ EDB. $ B=$ EDB. 在△ADF和△ADC中,乙ADF=乙ADC. $. △BDE是等腰三角形..AD=DE=BE=2. FD=CD. ·EC=AC=3$BC=BE+CE=2+3= $$$ . △ADF△ADC(SAS).' C= AFD= BAE 9. 证明:如解图,在BC上截取BF=AB.连接DF. 小专题培优8 与角平分线相关的五大常见模型 0 ·BD是乙ABC的平分线. 1. 120 2.15* '. 乙ABD=乙FBD 3. 证明:如解图, 乙ABC+ACB=180*-A= 在△ABD和△FBD中. 180。-m. AB=FB. _ABD=/FBD. '. DBC + BCE =360*- IBD=BD. (ABC+ ACB)=180*}+m. 又·△ABC的两个外角的平分 .△ABD△FBD(SAS). 线相交于点0. $. DF=DA=DE$ DFB= A. 'A=100^{*,$ ABC=40*$BD平分 ABC$$$$ .OBC+乙OCB=- $. DFBE= 100^$, ABD= 0$,$ ACB=4 0$$$$ DFC=180*- DFB=80*。 乙BCE)=90。+ . 乙FDC=60。 . BOC=180*-(0BC+0CB)=90- EDC= ADB=18 0*- ABBD- A=6 0$$$$$ :. 乙FDC=/EDC. 4. 又·DC=DC.:.△DCE△DCF(SAS). $. CE=CF .BC=BF+CF=AB+CE 5. 证明:如解图,过点P分别作 10. A PQ1AB于点Q.PV1BC于点 11. 证明:(1):AD//BC. V. PM1AC于点M. . 乙ABC+ BAD=180. 乙1= 2.3=4 ·AE平分乙BAD,BE平分乙ABC. :.PO-PV.PN-PM. . ABE= ABC BAE- BAD, .PQ-PM ·PO1AB,PM1AC.:.AP平分乙BAC. .乙AEB=180*-(ABE +BAE) =180*- 6. 证明:如解图,延长CD交AB 1(L ABC+ BAD)=90”.: AE1BE; 于点E. 在△FAD和△CAD中. (2)过点E作EF/AD交AB于点F,如解图 r乙EAD=乙CAD. '. 乙DAE=乙AEF AD-AD. AE平分/BAD. I乙ADE=/ADC . _DAE=乙BAE. .△EAD△CAD(ASA). ._BAE=_AEF. '.AE=AC.ED-DC / .AF=EF. 又::BH-HC. 同理可得BF=FF. .DH=BE.v. DH=(AB-AE)(AB-AC). 8.AF=BF,.点F是AB的中点 ·AD//BC.:.EF/BC. 7. 证明:如解图,延长AD交BC .点E是CD的中点.:.DE=CE. 于点F. 第五节 相似三角形(含位似) ·BE是角平分线,AD1BE. #③④##相等 . △ABF是等腰三角形,且 2=乙AFB. ⑧成比例 相似比 相似比 相似比的平方 又:AFB=/1+乙C 成比例 夹角 相等 位似中心 相似比 .乙2=乙1+乙C (lkx,ky)或(-,-ky) 8. 解:如解图,在BC边上取一点E.使EC=AC,连接DE. 过①1. 352. B 3. △ABC)3603 在△ACD和△ECD中. ,AC=EC. 4. D 5. D LACD-/ECD. 6.(1)证明: AFFE·BE. FEAE ICD=CD. 2.△ACD△ECD(SAS). :AEF=LBEA. △AEF△BEA. (2)证明::AB=AD. ABD=乙ADB 1乙 众相原创 赋能中考