第6节 锐角三角函数及其应用-【众相原创·赋能中考】2025年中考数学课堂精讲册（广西专用）

第六节 锐角三角函数及其应用 【版本导航】人教:九下P60~P85:湘教:九上P108~P139:泸科:七上P45~P48,九上P111~P139 教材知识全梳理 考点1锐角三角函数及解直角三角形(重点) 1. 相关概念 如图,在Rt△ABC中, C=90{,乙A. B,ZC所对的边分别为a.b.c. 斜边 乙A的余弦:cosd-乙4的邻边-① 斜边 .乙A的对边-② 乙A的正切:tanA= 乙A的邻边 2. 特殊角的三角函数值 锐角 300 5回 60j{ 锐角三角函数 B_30 1 -2 1 sino 1 coso ④ tang 45 3. 解直角三角形 如图,在Rt△ABC中,乙C为直角,乙A.B.之C所对的边分别为a.b.c.那么除直角乙C外的五 个元素之间有如下关系: (1)三边关系: (勾股定理); (2)两锐角关系:/A+乙B= 利用这些关系,知道其中的两个元素(至少有一个是边),就可以求出其余三个未知元素 考点 锐角三角函数的实际应用(重点) 类型 概念 -般指以观测者的位置为中心,将正北或正南方向作为起始方 向,旋转到目标的方向所成的角(一般指锐角),通常表达成北 (南)偏东(西)几度.如图: 方向角 点A位于点0的 方向; → 点B位于点0的 方向; 点C位于点0的 方向,也称为西北方向 第四单元 三角形 97 续表 __视线 如图,在视线与水平线所成的锐角中,视线在水平线 仰角、俯角 角 的角叫做仰角,视线在水平线 的角叫做俯角 ■视线 如图,坡面的铅直高度h与水平宽度/的比叫做坡度(坡比). 坡面 坡度(坡比)、 用字母i表示;坡面与水平面的夹角a叫做坡角,i=tana= 坡角 水乎宽度 二阶 rP追本溯源练考点 教材·真题·课标 考点1 锐角三角函数及解直角三角形 救援队从B处出发沿着哪个方向航行到达事 (必考,常与其他知识点结合考查,2024.17,2024 故地点航程最短,最短航程是多少?(结果保 24.2024.26,2023.23,2023. 24) 留根号) 1. 教材(人教九下P63例1改编)如图,在 Rt△ABC中. ACB=90*$BC=$2.AC=6.则$ (1)tanB= __,乙B= (2)AB= (3)sinA=__,cosA= sin2A+cos?A= (4) sinB·cosBtanB sinA (5)过点C作CD1AB于点D.下列关于线段 CD的表示:①BC·sinB;②AC·sinA; ③4C.BC AB .④AC·cos/ACD:BD·sin/BCD 其中不正确的是 __.(填序号)一题多点 6考点2 锐角三角函数的实际应用 (除2024年外,每年必考,2023.17) 2. 真题(2020北部湾23题8分)如图,一艘渔 船位于小岛B的北偏东30*}方向,距离小岛 40.nmile的点A处,它沿着点A的南偏东15 的方向航行. (1)渔船航行多远距离小岛B最近?(结果保 留根号) (2)渔船到达距离小岛B最近点后,按原航向 继续航行206nmile到点C处时突然发生 事故,渔船马上向小岛B上的救援队求救,问 98 众相原创 赋能中考 广西数学 P分层设问攻重难 三T 基础·能力·培优 D重难点 锐角三角函数的实际应用 3. 交通安全心系千万家,高速公路管理局在某隧道内安装了测速仪,如图是该段隧道的截面示意 图.测速仪C和测速仪E到路面的距离CD=EF=7m,测速仪C和E之间的距离CE=750m, 辆小汽车在水平的公路上由西向东匀速行驶,在测速仪C处测得小汽车在隧道入口A点的俯角 为25{*},在测速仪E处测得小汽车在B点的俯角为60{},小汽车在隧道中从点A行驶到点B所用 的时间为38s.(图中所有点都在同一平面内,参考数据:3~1.7,sin25*~0.4,cos25*~0.9. tan25*~0.5.sin65*~0.9.cos65*~0.4.tan65*~2.1) 基础层》 60 (1)乙CAD= o,乙EBF= (2)四边形CEFD是 形,DF= m. B 遂道入口 能力层》 (3)求A,B两点之间的距离;(结果精确到1m) (4)若该隧道限速80km/h,判断小汽车从点A行驶到点B是否超速?通过计算说明理由 培优层》 (5)当小汽车在A处时,有一大货车刚好在M处,测速仪C正下方1m处有一测速仪N.测速仪A 测得V点的俯角为45,求小汽车与大货车之间的距离 温警提示 请完成分层进阶练习册P46~P48习题 第四单元 三角形:99C为BD的中点BC=DCBC-CE AB AC 2.解：(1)如解图，过点B作BD⊥AC 于点D,由垂线段最短可知，当渔 又.∠B=∠ACE,∴△ABC∽△ACE, 船位于点D时距离小岛B最近， 2-长AC=AB:北 由题意，得∠PBA=30°，AB= 40 n mile,∠DAF=l5°. 6.解：在Rt△ABC中，由勾股定 ,∠BAF=∠PBA=30 理，得AC=√AB+BC=5. .∠BAD=∠BAF+∠DAF=45. 如解图，作PQ⊥AB于点Q, 在R△ABD中，AD=AB· PR⊥BC于点R cos∠BAD=40×ce45°=20,2(n mile). ∠POB=∠QBR=∠BRP= 答：渔船航行202 n mile时距离小岛B最近： 90°，.四边形PQBR是矩形， (2)由(1)易知，△ABD是等腰直角三角形， ∴.PR=BQ,PQ∥BC,∠QPR=90°=∠MPN. ∠ABD=45°，BD=AD=202 n mile. ∴∠QPE=∠RPF,△QPE∽△RPF 景-得-2m=2R=20 在Ri△BCD中，anLCBD=CD-206-5 BD20,2 .PQ//BC...AQ:QP:AP AB:BC:AC=3:4:5. .∠CBD=60. 设PQ=4x,则AQ=3x,AP=5x,BQ=2x,.2x+3x=3, .LC=90°-∠CBD=30%. =号AP=5=3 .BC =2BD=40(n mile). ∠DBE=∠PBE-∠PBA-∠ABD=90°-30°- 【变式6哼 【解析】如 450=15°， .∠CBE=∠CBD-∠DBE=60°-15°=45° 解图，作OD⊥AC于点D, ∴.∠CBG=∠EBG-∠CBE=90°-45°=45 OE⊥BC于点E,则∠ODP 答：救援队从B处出发沿南偏东45°方向（东南方向） ∠OEQ=90°，：∠ACB= 航行到达事故地点航程最短，最短航程是 90°.四边形DCE0为矩形，.∠D0E=90. 40 2 n mile. ∠D0P=∠E0Q,∴.△PD0∽△QE0,0E=o0 OD OP 3.(1)2560(2)矩750 (3)解：由题意，得∠CAD=25°，∠EBF=60°，四边形 :8胎=宁，设04=，则0B=24易知.L40= CEFD是矩形， .DF =CE =750 m. ∠ABC=30°AD=2,0E=x在R1△AD0中，由 在R△ACD中，AD=CD=7 tan256-0.5=14(m), 3 勾股定理，得OD=5, OP .0P 在R△BEF中，BF=,EE=Z=7 =0000 a600店1.7*4.1(m), AB=AD+DF-BF=14+750-4.1=760(m). 复当8%-受时，设0M=m,则oB=:Lc 答：A,B两点之间的距离约为760m: (4)解：小汽车从点A行驶到点B没有超速.理由： 30°，AD=2m,0E=2在△AD0中，由勾股 小汽车的速度为760÷38=20(m/s). :20m/s=72km/h<80km/h,∴.小汽车从点A行驶 3 到点B没有超速， 定理，得00=5 t,. m 00=1 (5)解：由题意，得DN=CD-1=6(m),∠NMD=45°， -nx 2 :,△DMN是等腰直角三角形， 第六节锐角三角函数及其应用 .DM DN =6 m...AM =AD +DM=14+6=20(m). 答：小汽车与大货车之间的距离约为20m ②号 ④ ⑤5⑥a2+b2=c2 小专题培优10锐角三角函数实际 ⑦90⑧29 0北偏东30° 应用的四大常见模型 0 南偏东60 1.C【变式1.1】11.2【变式1.2】21 卫北偏西45B上方B下方雪 2.14.4【变式2.1】31 3.解：如解图，延长CB交AD于点 1D50022a号 D,则∠ADB=90°， 2 由题意可知，∠D4B=45°， 4-7 (5)5 ∴.∠ABD=90°-∠DAB=45°， 16众相原创赋能中考