第5节 相似三角形(含位似)-【众相原创·赋能中考】2025年中考数学课堂精讲册（广西专用）

第五节相似三角形（含位似） 版本导航】人教：九下24~P59:湘教：九上P62~P107:沪科：九上P62~PI10. 阶了教材知识全梳理 考点1比例线段及性质（含黄金分割） 1.比例的性质 基本 (1)若分=行则ad=c: 性质 若3x=5y,则5=② (2)若ad=c(a,bc,d都不为0)，则号=① 等比 =Q 性质 n b+d+…+nb 若8--号则 6*d③ 合比 性质 若=则- b d b d 者号则④ n 2.成比例线段 对于四条线段a,b,c,d,如果其中两条线段的比（即它们长度的比）与另两条线段的比相等，如 名=（即ad=c),我们就说这四条线段成比例. 3.黄金分割 如图，点C把线段分成两条线段4C和BC,且长C那么就说线段B被点C黄金分剂，点 C叫做线段AB的黄金分制点，AC与AB的比叫做黄金比，即AC=5,-」=0.618. AB 2 4.平行线分线段成比例 类别 内容 几何表述 如图6儿化，则品 DE AB DE 两条直线被一组平行线所截， EF'AC DF B 基本事实 所得的对应线段成比例 BC 4c⑤ 平行于三角形一边的直线截其 如图，DE∥BC,则AD-AEAD 推论 他两边（或两边的延长线），所 "DB EC'AB 得的对应线段成比例 6 6 90 众相原创赋能中考广西数学 考点2相似三角形的性质与判定（重点） 相似三角形的对应角⑦ ,对应边⑧ 性质 相似三角形对应高的比、对应中线的比与对应角平分线的比都等于⑨ 相似三角形的周长比等于0 ,面积比等于① 方法 图示 几何表述 平行于三角形一边的直线和其他 DE∥BC, 两边相交，所构成的三角形与原三 .△ADE∽△ABC 角形相似 三边2 的两个三角形 AB=BC AC ABB'CAC 判定 相似 .△ABC∽△A'B'C 两边成比例且B 相等的 ·4B、BC A'BBC,∠B=LB, 两个三角形相似 .△ABC∽△A'B'C 两角分别国 的两个三角 ∠A=∠A',∠B=∠B', 形相似 ,∴.△ABC∽△A'B'C 【特别提醒】相似多边形的对应角相等，对应边成比例，周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方 【技巧点拨】相似三角形的判定思路： (1)有平行载线→用平行线的性质找等角： (2)有一对等角我，[另一对等角， 该角的两边成比例： 夹角相等， (3)有两边成比例找 第三边也对应成比例， (一对直角： 斜边和一条直角边成比例， (4)有两个直角三角形找 对锐角相等， 两组直角边成比例. 考点3位似 图形 0 如果一个图形上的点A,B,…,P,…和另一个图形上的点A',B,…,P',…分别对应，并且它们 的连线M,BB,…,PP,…都经过同一点O,且=OB= OP 定义 0A=0B=…= =…,那么这两个图形叫 做位似图形，点0是⑤ 第四单元三角形 91 续表 (1)位似图形是相似图形，具有相似图形的所有性质： (2)对应点的连线所在直线都经过同一点： (3)对应边互相平行或在同一条直线上： (4)位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于6 性质 (5)在平面直角坐标系中，如果以原点为位似中心，画一个与原图形位似的图形，使它与原图 形的相似比为k,那么原图形上的点(x,y)对应的位似图形上的点的坐标为 (注意：有两种情况) 【特别提醒】位似必相似，相似不一定位似 作图 (1)确定位似中心：(2)确定原图形中的关键点关于位似中心的对应点：(3)顺次连接各点画出 步骤 新图形 二阶了追本溯源练考点 教材·真题·课标 函考点1比例线段及性质（含黄金分割） ,△ADE与△ABC的周长比为 1.真题(2021百色)如图，△ABC中，AB=AC, ∠B=72°，∠ACB的平分线CD交AB于点D 则点D是线段AB的黄金分割点.若AC=2, 一题多点 则BD= 函考点3位似 4.真题(2022梧州)如图，以点0为位似中心， 作四边形ABCD的位似图形A'B'C'D',已知 D B 外-号，若因边形ACD的面积是2.则四边 函考点2相似三角形的性质与判定 形A'B'CD'的面积是 () (除2023年外，每年必考，常与其他知识结合考查， A.4 B.6 C.16 D.18 2024.12,2024.26,2023.23) A(-3,6)y 2.教材(2022贺州)如图，在△ABC中，DE∥ BC,DE=2,BC=5,则SA4DE:SAARC的值是 ( -9,-3) 第4题图 第5题图 5.教材（人教九下P50T2改编）如图，在平面直 角坐标系中，已知点A(-3,6),B(-9,-3), A.3 以原点0为位似中心，相似比为？，把△AB0 5 B.25 c. D. 缩小，则点A的对应点A'的坐标是() 3.教材（人教九下P31T2改编）如图，△ABC A.(-1,2) 中，点D为AB上一点，DE∥BC交AC于点E. B.(-9,18) 若AD=3,AE=2,BD=6,则△ADE∽ C.(-9,18)或(9，-18) AE EC= AE S△AE= D.(-1,2)或(1，-2) ’AC AC= SAABG 92众相原创赋能中考广西数学 三阶了分层设问攻重难 基幽·能力·培优 ●重难点相似三角形的相关证明及计算 培戬层)》 6.如图，在△ABC中，点D,E分别在边BC,AC (4)若△ABC是等边三角形，把题干中的 上，AD与BE相交于点F,且AB=AD,AE= “AB=AD,AE2=FE·BE”改为“BD=CE, FE·BE. AF=7,DF=1”,求△ABC的边长 基础层》】 (I)求证：△AEF∽△BEA. 能力层》 (2)求证：BE=EC: (3)若BD:CD=4:3,CE=8,求线段AE的长 温馨提示 请完成分层进阶练习册P44~P45习题 第四单元三角形93.∠ADF=∠ADC ∴.AD=DE,∠A=∠DEC AB DC...DF DC. ∠A=2∠B,∠DEC=2∠B, AD=AD. ∠DEC=∠B+∠EDB,∴∠B=∠EDB, 在△ADF和△ADC中， ∠ADF=∠ADC ∴，△BDE是等腰三角形，AD=DE=BE=2, FD=CD. .EC=AC=3.,.BC=BE+CE=2+3=5. .△ADF≌△ADC(SAS)..∠C=∠AFD=∠BAE. 9.证明：如解图，在BC上截取BF=AB,连接DF 小专题培优8与角平分线相关的五大常见模型 ,BD是∠ABC的平分线， 1 1.1202.150 ∴.∠ABD=∠FBD. 3.证明：如解图，∠ABC+∠ACB=180°-∠A= 在△ABD和△FBD中， 180°-m, AB FB. .∠DBC+∠BCE=360- ∠ABD=∠FBD: (∠ABC+∠ACB)=180°+m. BD =BD. 又'，：△ABC的两个外角的平分 .△ABD≌△FBD(SAS), 线相交于点0， .DF=DA=DE,∠DFB=∠A D :∠A=100°，∠ABC=40°，BD平分∠ABC, ∴，∠OBC+∠OCB= (∠DBC+ 2 ∴.∠DFBE=100°，∠AB0=20°，∠ACB=40° ∠BCE)=90°+2m, ∠DFC=180°-∠DFB=80°. ∴.∠FDC=60 六.∠B0C=180°-（∠0BC+∠0CB)=90°- ∠EDC=∠ADB=180°-∠ABD-∠A=60, ∴，∠FDC=∠EDC 42m 又：DC=DC,.△DCE≌△DCF(SAS), ∴.CE=CF,.∴.BC=BF+CF=AB+CE. 5证明：如解图，过点P分别作 10.A PQ⊥AB于点Q,PN⊥BC于点 11.证明：(1)：AD∥BC, N,PW⊥AC于点M, ·.∠ABC+∠BAD=18O. ∠1=∠2，∠3=∠4， AE平分∠BAD,BE平分∠ABC, .PO=PN,PN =PM, ∴.PQ=PM. 六∠ABE= 2∠ABC,∠BAE=3LBAD, PQ⊥AB,PM⊥AC..AP平分∠BAC. ∠AEB=180°-（∠ABE+∠BAE)=I80°- 6.证明：如解图，延长CD交AB 于点E, (∠AC+∠RiD)=90 .AE:E 在△EAD和△CAD中， (2)过点E作EF∥AD交AB于点F,如解图， r∠EAD=∠CAD, ∴.∠DAE=∠AEF AD =AD, :AE平分∠BAD, ∠ADE=∠ADC, ∴.∠DAE=∠BAE, H .△EAD≌△CAD(ASA), 、∠BAE=∠AEF, .'AE =AC,ED DC. .AF=EF. 又：BH=HC, 同理可得BF=EF, DHEDI(AB-AE)(AB-AC). AF=BF,点F是AB的中点， AD∥BC,.EF∥BC 7.证明：如解图，延长AD交BC ∴点E是CD的中点，∴DE=CE. 于点F, 第五节相似三角形（含位似） BE是角平分线，AD⊥BE, ∴△ABF是等腰三角形，且 ①片②芳③号④号5那6能 ⑦相等 ∠2=∠AFB. B ⑧成比例⑨相似比0相似比①相似比的平方 又，∠AFB=∠1+∠C 2成比例B夹角相等5位似中心⑥相似比 ..∠2=∠1+∠C. ⑦(kx,ky)或(-红，-ky) 8.解：如解图，在BC边上取一点E,使EC=AC,连接DE 在△ACD和△ECD中， 1.3-52.B3.△ABC rAC EC, 4.D5.D ∠ACD=∠ECD, CD =CD. 6)证明：AG=E,E一能能 ·.△ACD≌△ECD(SAS), ∠AEF=∠BEA,,△AEFM△BEA (2)证明：AB=AD,∴.∠ABD=∠ADB 14众相原创赋能中考 由(1)知，△AEF∽△BEA. 90°.四边形EHDN是矩形，.DN=EH=x.△AEF ∠EAF=∠EBA ,∠ABD=∠EBA+∠CBE,∠ADB=∠EAF+∠C, △c ,BC=120,AD=60,.AN=60- .∠CBE=∠G,∴.BE=EC: .. (3)解：如解图1，过点A作AM⊥BD于点M,交BE于 600-高0解得=0AN=60-0- 60 点G,连接GD 40=20 AB=AD,AM⊥BD 【变式1.1】解：ED⊥AB.,∠ADE=90°， ,BM=MD.即AM为BD的垂直平分线 ∴，∠ADE=∠C GB =GD, 又：∠EAD=∠BAC,∴△ADE△ACB, .∠GBC=∠GDB 由(2)知∠CBE=∠C, .∠GDB=∠C. ..AC=9,..AB=AC+BC2 =3/13. .GD∥EC, 解图 2.B △Bc0△BC0C 【变式21】证明：BC=m:%-肥 GD BD 4 BD:CD=4:3.EC=BC7 又：∠DBC=∠CBA,△CDB∽△ACB. 3.D【解析】四边形ABCD是平行四边形，，AB∥ CD.AB=CD.AE:EB =1:2...AE:AB =1:3...AE: BD:CD =4:3,BM =MD. CD=I:3.AB∥CD,△AEF△CDF, Nn0=23w2-号 当=(3=g5a=98w=2双△4eF GD∥EC,.△MGD△MAC, 32 △c0F-品-分sawS=R冰=1i3. GD MD 7 2 7 .SAADF =3S=9,.SA=SACD+SAr=27+9=36. A证=4C-5c-9-8=9 【变式3.1】证明：AC=AD,∠ACD=∠D. CD是∠ACB的平分线， (4)解：如解图2，过点D作DH⊥AB于点H. ∴∠ACD=∠BCD∴.∠D=∠BCD. △ABC是等边三角形， 又，∠AED=∠BEC .AB=BC,∠ABD=∠BCE ,∴.△AED∽△BEC. 在△ABD和△BCE中， 4.证明：△ABC绕点A旋转a得到△ADE, rAB BC. .AB=AD,AC=AE,∠BAD=∠EAC=a, ∠ABD=∠BCE, AB AD BD =CE. ·ACAE ,.△ABD≌△BCE(SAS). D ∴.△ABD∽△ACE .∠BAD=∠CBE. 解图2 【变式4.1】证明：∠BAD=∠CAE,∠ABD=∠ACE, ,∠BDA=∠FDB..△ABD∽△BFD △4M0a4cE2-08-怨 AD BD ·BDFD 又，∠BAD=∠CAE. .BD=AD·FD=(AF+FD)·FD=8. ∴.∠BAD+∠DAC=∠CAE+∠DAC, BD=22(负值已舍去). 即∠BAC=∠DAE,.△ABC∽△ADE. ,∠ABD=60°，∴.∠BDH=30 5.证明：四边形ABCD为矩形， .∠A=∠B=90°， 朋=2D=万H=√D-肝=，6， .∠APE+∠AEP=90° .AH AD DI =58. :∠EPF=90°，∴.∠APE+∠BPF=90° :.AB =BH+AH=+/58. .∠AEP=∠BPF,△APE∽△BFP 【变式5.1】证明：(1)：∠ACD=∠B+∠BAG=∠ACE+ 即△MBC的边长为2+58. ∠DCE,∠ACE=∠B.∴，∠BAC=∠DCE. 小专题培优9六大常见相似模型 ∠B=∠D,∴.△ABC∽△CDE. L.B【解析】设正方形EFGH的边长EF=EH=x,四 (2)由(I)得，△ABC△CDE, 边形EFGH是正方形，∴.∠HEF=∠EHG=90°，EF∥ AR=BC_AC BC,△AEF∽△ABC.AD是△ABC的高..∠HDN= CD DE CE 广西数学15