第3节 全等三角形-【众相原创·赋能中考】2025年中考数学课堂精讲册（广西专用）

第三节全等三角形 【版本导航】人教：八上P30~P56:湘教：八上74~P88,八下P19~P21:沪科：八上93~P116. 一阶了教材知识全梳理 考点 全等三角形的性质与判定（重点） 定义 能够① 的两个三角形叫做全等三角形 (1)全等三角形的对应边② 对应角③ 性质 (2)全等三角形的周长④ ,面积⑤ (3)全等三角形对应的中线、高、角平分线、中位线都⑥ 方法 图示 几何表述 AB DE, 边边边 ⑦ 分别相等的两个三角 BC=EF, (SSS) 形全等 LAC DF, ∴.△MABC≌△DEF AB DE, 边角边 两边和它们的⑧ 分别相 ∠B=∠E, (SAS) 等的两个三角形全等 BC =EF, .△ABC≌△DEF ∠A=∠D. 判定 角边角 两角和它们的⑨ 分别相 AB=DE. (ASA) 等的两个三角形全等 ∠B=∠E, .△ABC≌△DEF r∠A=∠D, 两角分别相等且其中一组等角的 角角边 A ∠C=∠F 0 相等的两个三角形 (AAS) LAB DE, 全等 .△ABC≌△DEF [AB=DE, 斜边、直角边 斜边和一条直角边分别相等的两 LAC=DF, (HL) 个直角三角形全等 ·.Rt△ABC≌Rt△DEF 【技巧点拨】全等三角形的判定思路： 已知两边 (1)找夹角→SAS;(2)找第三边SSS:(3)找直角一HL或SAS 边为角的对边→找任意一角→AAS 已知一边 边为角的邻边： 和一角 (1)找角的另一边SAS;(2)找边的另一角→ASA:(3)找边的对角◆AAS 已知两角 (1)找夹边一→ASA:(2)找其中一角的对边→AAS 【特别提醒】(1)“SSA”和“AAA”不能判定三角形全等：(2)“HL”只适用于直角三角形；(3)证 明三角形全等时，对应顶点的字母必须写在对应的位置上， 第四单元三角形73 二阶了追本潮源练考点 教材·真题·课标 函考点全等三角形的性质与判定（必考，常3.真题(2022桂林）如图，在口ABCD中，点E 在解答题中涉及，2024.17,2024.24,2023.23,2023.24) 和点F是对角线BD上的两点，且BF=DE. 1.真题(2022柳州T21改编)如图，已知BC= (1)求证：BE=DF: AB,∠BAD=∠ABC=90°，EF是BD上的两 (2)求证：△ABE≌△CDF. 点，连接AF,CE.请你添加两个条件，证明： △CBE≌△BAF. 一题多点 方法一：添加条件为 判定依据： 方法二：添加条件为 判定依据： 方法三：添加条件为 判定依据： 方法四：添加条件为 判定依据： 方法五：添加条件为 判定依据： 2.真题(2021百色)如图，点D,E分别是AB AC的中点，BE,CD相交于点O,∠B=∠C, BD=CE. 求证：(1)OD=OE; (2)△ABE≌△ACD. 74众相原创赋能中考广西数学 三阶了分层设问攻重难 基幽·能力·培优 ●重难点全等三角形的相关证明及计算 培选层)》 4.如图，在四边形ABDC中，AC=AB,DC=DB (4)若将题中条件“∠CAB=60°且∠CDB= ∠CAB=60°，∠CDB=120°，E是AC上一点， 120”改为∠CAB=&,∠CDB=180°-a,点G F是AB延长线上一点，且CE=BF,连接AD, 在AB边上，当∠EDG满足什么条件时，(3)中 DE.DF. 结论仍然成立？请说明理由： 基础层》 (1)∠ADB的度数为 (2)求证：DE=DF. 能力层》 (3)如图，若点G在AB边上，连接EG,DG且 ∠EDG=60°，试猜想CE,EG,BG之间的数量 关系，并证明. (5)若点G在AB边上，AE=AG=8,CD=6,求 四边形AEDG的面积 温馨提示 请完成分层进阶练习册P38~P40习题 第四单元三角形75点5,7都在抛物线上，且-2≤，<-1,0<x<分 :7.(1)∠2∠5(2)∠5∠7(3)①②(4)①70 110°②55°③24°660 点S与对称轴的距离为|x,+11,且0<1x,+11≤1，点 第二节三角形及其基本性质 7与对称轴的距离为区*1.且1<1，+11< ①等边②直角③90°④90°⑤大于⑥小于 “.点S与对称轴的距离小于点T与对称轴的距离。 ⑦180°⑧等于⑨不相邻0和①大于@= .“抛物线的开口向下， B=490°5内部⑥直角①内部B外部 与对称轴的距离越小的点的纵坐标越大，y,>书： 2 ,因相等4中点巧EF ④如解图2，过点H作HR∥y轴交BM于点K. D 1.(1)1<AC<5(2)①85②45③1565 2.B 3.(1)①40130 ②3 (2)19 (3)①内心②115 0 ③25④号 第三节 全等三角形 解图2 ①完全重合②相等③相等④相等⑤相等⑥相 由①知，抛物线的解析式为y=-x2-2x+3. 等⑦三边⑧夹角⑨夹边0对边 令x=0,得y=3,.点M的坐标为(0.3) 1.∠CBE=∠BAF,∠BCE=∠ABF ASA BE=AF, 设直线BM的解析式为y=”x+. CE=BF SSS CBE=∠BAF,BE=AF SAS AF⊥ 将-3.0)M0,3)代入，得3+6=0 BD,CE⊥BD AAS∠BEC=∠AFB=90°，CE=BF 16'=3, 解得[1， 16=3, (或BE=AF)HL “.直线BM的解析式为y=x+3. 2. 证明：(1)在△BOD和△COE中， 设点H的坐标为(h,-h2-2h+3),则K(h,h+3), ∠BOD=∠COE. .HK=-h2-2h+3-(h+3)=-h2-3h, ∠B=∠C, 56m=K·B0=(-F-3h)x3= 3 2 -(h+ BD CE. .△BOD≌△COE(AAS),∴，OD=OE: (2)点D,E分别是AB,AC的中点， 点H在第二象限，.-3<h<0. .AD=BD-2AB.AE-CE-24C. 一号<0当=一时5m有最大值最大值为贸 .BD CE,.'.AD =AE,AB=AC. 在△ABE和△ACD中， 此时--2h+3=卓点H的坐标为(-号孕). rAB=AC, 第四单元 三角形 ∠A=∠A, LAE =AD. 第一节线段、角、相交线与平行线 ..△ABE≌△ACD(SAS): ①两②线段③线段的长度④BC⑤MC⑥BC 3.证明：(I)?BF=DE,BF-EF=DE-EF ⑦4c⑧4B⑨国90°90°<a<180 ∴.BE=DF: 2180° (2):四边形ABCD为平行四边形 B360°140524090°相等8180 四相等 AB=CD,且AB∥CD,∴∠ABE=∠CDF 习相等②相等2角平分线3 ②20PN 雪∠2或 在△ABE和△CDF中， AB=CD. ∠4②∠1或∠3四180°团∠3图∠4团相等 ∠ABE=∠CDF 闭∠5®∠68∠7④∠85L80∠5团∠5 BE DF, 图∠8型一细垂线段组垂线段的长度取相等 ∴.△ABE≌△CDF(SAS). B垂直平分线⊥④5==0一级∥9相4.(1)60° 等⑤0∠2①相等⑤2∠38互补180°5距离 (2)证明：：∠CAB+∠C+∠CDB+∠ABD=360°， 团相等⑤动+8- ∠CAB=60°，∠CDB=120°， 1.(1)两点确定一条直线(2)③两点之间，线段最短 .∠C+∠ABD=180 2.2或43.C .∠ABD+∠DBF=180°，.∠C=∠DBF 4.(1)锐角(2)4.694.6(3)42.785.4(4)2 CE BF. (5)①②3④ 在△DEC和△DFB中， ∠C=∠DBF 5.D6.35 CD=BD. 广西数学11 △DEC≌△DFB(SAS),DE=DF BC =DC, (3)解：CE+BG=EG. 在△BCE和△DCF中 ∠BCE=∠DCF, 证明：∠CDB=120°，∠EDG=60°， CE =CF. ∴.∠CDE+∠BDG=120°-60°=60 ∴，△BCE≌△DCF(SAS),∴∠CBE=∠CDF 由(2)知，△DEC≌△DFB, 【变式3.2】(1)证明：，△ADB和△ACE是等腰直角三 .∠BDF=∠CDE,DE=DF 角形： .∠GDB+∠BDF=60°，即∠FDG=60°， ∴.∠DAB=∠CAE=90°，AD=AB.AC=AE .∠EDC=∠FDG. ,∴，∠DAB+∠BAC=∠CAE+∠BMC.即∠DAC=∠BAE DE =DF AD =AB. 在△DEG和△DFG中，∠EDG=∠FDG 在△ADC与△ABE中 ∠DAC=∠BAE. DG=DG. LAC=AE. ∴.△DEG≌△DFG(SAS),.∴.EG=FG .△ADC≌△ABE(SAS): .CE=BF,..CE+BG EG. (2)解：数量关系：BE=CD:位置关系：BE⊥CD, (4)解：当∠BDG=90°-a时，CE+BG=BG仍然成 证明如下：设AB与CD相交于点N 由(I)知，△ADC≌△ABE,·,BE=CD,∠ADC= 立.理由：在△ADC和△ADB中， ∠ABE. rAC=AB. ,:∠DAB=90°，.∴.∠AND+∠ADC=90° DC=DB..△ADC≌△ADB(SSS), 又，∠AND=∠BNM.'.∠BNM+∠ABE=90. LAD =AD. .∠BMN=180°-（∠BNM+∠ABE)=90°， 1 ∴.∠CDA=∠BDA= (180°-a)=90° ,∴.BE⊥CD 2. 4.证明：CA⊥AB.DB⊥AB y∠BG=0-a. ∴.∠A=∠B=90°，∴.∠C+∠CPA=90° CP⊥DP,∴.∠CPA+∠DPB=90°，.∠C=∠DPB ∴.∠EDG=∠CDA=∠BDA, 又AP=BD,∴.△APC≌△BDP ,∠EDA+∠ADG=∠ADG+∠GDB=∠CDE+∠EDA, ∴.∠CDE=∠ADG,∠EDA=∠GDB 【变式4.1】证明：：∠A+∠C+∠APC=180°，∠APC+ ∠CPD+∠BPD=I80°，∠A=∠CPD, 与(2)同理可知.△DEC≌△DFB ∴.∠BDF=∠CDE,DE=DF, ∴.∠C=∠BPD. 又：AP=BD,∠A=∠B,.△APC≌△BDP. LGDB+∠BDF=900-7a 【变式4.2】证明：'，∠EBD=∠D+∠BPD.∠CMB=∠C+ DE DF, ∠APC,∠CPD=∠BPD+∠APC,∠EBD=∠CAB= 在△DGE和△DGF中. ∠EDG=∠FDG. ∠CPD. DGDG. ,∠G=∠BPD,∠APC=∠D. .△DGE≌△DGF(SAS),.EG=FG 又AP=BD,△APC≌△BDP .CE=BF...CE+BG=EG: 5. 解：结论：BE+DF=EF.理由：如解图，延长CD到点 (5)解：由(4)知，△ADC≌△ADB G,使得DG=BE,连接AG. .∠EAD=∠GAD=30°，∠ADC=∠ADB=60°， :四边形ABCD是正方形， ∴.∠C=∠ABD=90°， ∴AB=AD,∠B=∠ADC=90°， ∴，DB⊥AB.DC⊥AC. ∴.∠ADG=90°，.∠B=∠ADG, AE=AG. .△ABE≌△ADG(SAS) 在△ADE和△ADG中 ∠EAD=∠GAD, ∴AE=AG,∠1=∠2. LAD=AD, ∠EAF=45°，∠1+∠3=45° ∴.△ADE≌△ADG(SAS), ∴.∠2+∠3=45°，∴.∠EAF=∠GAF 六Sa0m=SaG AF=AF,△AFE≌△AFG(SAS). =2B·DC=7x8x6=24, .EF FG=DF+DG=DF+BE. SAu=2 1 【变式5.1】B【变式5.2】55 六S边影E%=2SAE=48. 6.解：延长BC到点E,使CE=AB,连接DE,标记∠I, 小专题培优6六大常见全等模型 ∠2，∠3，∠4，如解图. 1.略.【变式1.1】略.2.略.【变式2.1】略 .:∠ABC+∠ADC=180° 【变式2.2】略.3.略 .∠4+∠A=180 【变式3.1】证明：：四边形ABCD是正方形， 又：∠1+∠4=180°， .∴BC=CD,∠BCE=90°， ∠A=∠1. .∠DCF=180°-∠BCE=90° 又AD=CD ∴.△DAB≌△DCE(SAS). 12 众相原创赋能中考