小专题培优3 求函数解析式的方法-【众相原创·赋能中考】2025年中考数学课堂精讲册（广西专用）

小专题培优3 求函数解析式的方法 (必考，常在解答题中涉及，2024.18,2024.25涉及，2023.9，北部湾5年6考) 【方法总结】 1.待定系数法求函数解析式 (1)步骤：设解析式→代点的坐标→解方程（组），得解析式 (2)所设解析式的形式： 函数类型 一次函数 反比例函数 二次函数 所设解析式的形式 y=kx+b(k≠0) y=(*0 y=ax2+bx+c(a≠0) 特别地，对于二次函数，当已知下列条件时，设其他形式的解析式，求解起来更为便捷 已知条件 应设解析式 顶点在原点 y=ar2(a≠0) 对称轴是y轴（或顶点在y轴上） y=ax2+c(a≠0) 顶点在x轴上 y=a(x-h)2(a≠0) 抛物线过原点 y=aa2+bx(a≠0) 顶点坐标(h,k) y=a(x-h)2+(a≠0)（顶点式） 抛物线与￥轴的两个交点坐标(x1,0),(2,0) y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0)（交，点式）】 2.根据平移求函数解析式 平移后的平移前的解析式 解析式 一次函数 二次函数 口诀 y=kx+b(k≠0) y=a(x-h)2+k(a≠0) 平移方式(m>0) 向左平移m个单位长度 y=k(x+m)+b y=a(x-h+m)2+k y=k(x-m)+b 左加右减自变量 向右平移m个单位长度 y=a(x-h-m)2+k 向上平移m个单位长度 y=kx+b+m y=a(x-h)2+k+m 上加下减常数项 向下平移m个单位长度 y=kx+b-m y=a(x-h)2+k-m 1.请写出一个开口向下，对称轴为直线x=3的抛 将其向下平移3个单位长度，得到的抛物线的 物线的解析式 解析式为 2.已知直线经过点A(1,0)和点B(3,2),则该直4.我们在学习一次函数、二次函数图象的平移时 线的解析式为 将该直线向上平 知道：将一次函数y=2x的图象向上平移1个 移5个单位长度后，得到的直线的解析式为 单位长度得到y=2x+1的图象：将二次函数 将该直线向右平移3个单位长 y=x2+1的图象向左平移2个单位长度得到 度后，得到的直线的解析式为 3.已知抛物线的顶点坐标为(-1,4)，且过点 y=(任+2)2+1的图象，若将反比例函数y=6的 (2,-5),则该抛物线的解析式为 图象向下平移3个单位长度，如图所示，则得 第三单元函数53 到的图象对应的函数解析式是 9.根据下列条件，求二次函数的解析式。 (1)图象经过点(-1,3)，(1,3)，(2,6)： (2)抛物线的顶点坐标为(-1,9)，并且与 y轴交于点(0，-8)： (3)抛物线的对称轴是直线x=1,与x轴的一 5.已知二次函数的图象经过(0.0)，(3,0)，(1，-4) 个交点为(-2,0)，与y轴交于点(0,12)： 三点，则该函数的解析式为 (4)图象顶点坐标是(2，-5)，且过原点： 6.小聪在画一个二次函数的图象时，列出了下面 (5)图象与x轴的交点坐标是(-1,0)，(-3， 几组y与x的对应值： 0),且函数有最小值-5： (6)当x=2时，函数的最大值是1，且图象与 x轴两个交点之间的距离为2. 0 -3 -4-30 该二次函数的解析式是 7.已知某函数的图象经过A(2,6),B(-6,-2)》 两点，几名同学给出了如下四个推断： 甲：若该函数的图象为直线，则此函数的图象 与直线y=-x平行； 乙：若该函数的图象为双曲线，则点(3,4)也 在此函数图象上： 丙：若该函数的图象为抛物线，且开口向下， 则此函数图象一定与y轴的负半轴相交； 丁：若该函数的图象为抛物线，且开口向上， 则此函数图象的对称轴在直线x=-2的 左侧， 推断合理的是 8.已知一次函数y=kx+b的图象与反比例函数 y=的图象相交于A(-1,2),B(2,n)两点， 求反比例函数和一次函数的解析式 54众相原创赋能中考广西数学8.解：(1)①当a=-4时，y=x2+2ax+a-3=x2- 得+6=2，解得怎1， 8x-7: 12k+b=-1, b=1. b ②当x=-2a =4时，y取得最小值，最小值为16- “一次函数的解析式为y=一x+1. 9.(1)二次函数的解析式为y=x2+2; 32-7=-23: (2)二次函数的解析式为y=-17x2-34x-8: (2)合理 :1>0,∴函数有最小值 (3)二次函数的解折式为y=一多+3+12： 当 5 =-a时，y取得最小值， (4)二次函数的解析武为y=子t-5x: 故甲同学的说法合理： (5)二次函数的解析式为y=5x2+20x+15: (3)正确. (6)二次函数的解析式为y=-x2+4x-3. 当x=-a时，y=x2+2ax+a-3=-a2+a-3. 小专题培优4二次函数在某一范围内的最值问题 -1c0.当a=2x-D-时y取得最大1480（2353g月-1424 1 2.B【解析】二次函数y=ar2-2ar+a+5的图象的对 值，最大值为-号+号-3=- 称轴是直线=-治=1由（(-2).(3，)，满足 小专题培优3求函数解析式的方法 y1<为知a<0.当-2≤x<3时，y的最小值为-4， 1.y=-(x-3)(答案不唯一) .二次函数y=ar2-2ax+a+5的图象过(-2，-4)， 2.y=x-1y=x+4y=x-4 .4a+4a+a+5=-4..a=-1. 3.y=-x2-2x+3y=-x2-2x 3.C 4y=6-35.y=2x2-6x 4.解：(1)把(0，-3)，(-6，-3)代入y=-x+bx+c, 6.y=x2-6x+5 得-3=6， 9le--3: 7.乙、丁【解析】甲：设直线AB的解析式为y=x+b, 6-66+e=-3.解得-6。 (2)由(1)可知，y=-x2-6x-3=-(x+3)2+6. 将A(2,6),B(-6,-2)代入，得2+6=6， -6k+6=-2,解得 .-4≤x≤0.-1<0. .当x=-3时，y有最大值，最大值为6： {儿直线AB的解析式为三x+4.“直线)= (3)①当-3<m≤0时， 当x=0时，y有最小值，最小值为-3， 4与直线y=-x不平行，故推断不合理：乙：若此函数 当x=m时，y有最大值，最大值为-m-6m-3, 的图象为双曲线，设y=m,则m=2×6=12,双曲 .-m2-6m-3+(-3)=2, ∴.m=-2或m=-4(舍去)： 线的解析式为y=是当x=3时，y=号=4点(3. x ②当m≤-3时， 4)也在此函数图象上，故推断正确；丙：设此二次函数 当x=-3时，y有最大值，最大值为6 的解析式为y=ax2+r+c,将A(2,6),B(-6,-2)代 y的最大值与最小值之和为2， 人，得+26+c=6, y最小值为-4， 136n-6+c=2解得。412。女抛物线 1c=4-12a. .-m2-6m-3=-4, 开口向下，∴.a<0,∴.c=4-12a>0.二次函数与 ∴m=-3-/10或m=-3+√/10（舍去）. y轴的交点坐标为(0，c),且>0，，此函数图象一定 综上所述，m=-2或m=-3-/10 与y轴的正半轴相交，故推断不合理：丁：b=4a+1,5. 六二次函数的对称轴为直线x=-之 =-4a+1 或6【解析1在)=（任-2+3中，a=1>0当 x<h时，y随x的增大而减小：当x>h时，y随x的增 -2-六：二次函数的图象开日向上0>0云 大而增大：①若1≤h≤3，则当x=h时，函数取得最小 0-2-方<-2二次函数的对称轴在直线 值3，即2h=3,解得A=:②若A<1,则在1≤x≤3 范围内，当x=1时，函数取得最小值2，即(1-h)2+ -2的左侧，故推断正确 3=2h,解得h=2(不合题意，舍去)：③若h>3,则在 8.解：A(-1,2)在反比例函数y=m的图象上， 1≤x≤3范围内，当x=3时，函数取得最小值2h,即 (3-h)2+3=2h,解得h,=6,h=2(不合题意，舍 六m=-2,反比例函数的解析式为y=-2 去).综上所述，点的值为或6 又~B(2,)在反比例函数y=-2的图象上， 6.解：由题意，得对称轴为直线x=-受 n=-1,B(2,-1) 把A.B两点的坐标代人y=红+b, 若-≤-号≤即-1≤a≤1，当x=-受时， 广西数学7