第6节 二次函数的实际应用-【众相原创·赋能中考】2025年中考数学课堂精讲册（广西专用）

第六节二次函数的实际应用 【版本导航】人教：九上P27~P57:湘教：九下2~P41:沪科：九上36~P42 阶 教材知识全梳理 类型 利润最值问题 抛物线形问题 面积最值问题 (1)选择合适的位置建立坐标系： (1)求出函数解析式和自 (2)根据题中数据确定抛物线解 变量的取值范围： (1)确定函数解析式（根据 析式： (2)配方变形，或利用公式 题意列出函数解析式)： (3)将实际问题转化为二次函数问 求该函数的最大值或最 解题(2)确定自变量取值范围 题，并利用抛物线的对称性、增减性、 步骤（注意实际意义）： 小值： 与坐标轴交点等，解决二次函数 (3)检查求得的最大值或 (3)确定函数增减性： 问题； 最小值对应的自变量的值 (4)求利润的最值 (4)将二次函数的解转化为实际问题 是否在自变量的取值范 的解 围内 二阶了 追本潮源练考点 教材·真题·课标 考向1利润最值问题（北部湾5年1考） (2)当销售单价定为多少元时，该种油茶的月 1.教材（人教九上P51T2改编）某种商品每件 销售利润最大？求出最大利润， 的进价为100元，在某段时间内以每件a元的 价格出售，可卖出(200-a)件.若要使利润最 大，则商品的定价为 元/件 2.真题(2022北部湾23题10分)打油茶是广 西少数民族特有的一种民俗，某特产公司近 期销售一种盒装油茶，每盒的成本价为50元， 经市场调研发现，该种油茶的月销售量y(盒)》 与销售单价x(元)之间的函数图象如图所示 来/金 3.教材（湘教九下P32T3改编）某企业生产并 销售某种产品，假设销售量与产量相等，图中 200--- 100 的线段AB表示该产品每千克生产成本y,(单 506080x/元 位：元)与产量x(单位：kg)之间的函数关系； (1)求y与x的函数解析式，并写出自变量x 线段CD表示该产品销售价y2(单位：元)与产 的取值范围： 量x(单位：kg)之间的函数关系，且关系式为： y=- 3t+90(0<x≤120). 60 50 40 x/kg 第三单元函数59 (1)求线段AB所表示的y,与x之间的函数表 达式： 角坐标系，图中的抛物线G:y=一立+名+1 (2)该产品产量为多少时，获得的利润最大？ 近似表示滑雪场地上的一座小山坡，某运动 员从点O正上方4米处的A点滑出，滑出后 最大利润是多少？ 沿一段抛物线Cy=一g+证+e运动 (1)当运动员运动到离A处的水平距离为 4米时，离水平线的高度为8米，求抛物线C2 的函数解析式（不要求写出自变量x的取值 范国) (2)在(1)的条件下，当运动员运动的水平距 离为多少米时，运动员与小山坡的竖直距离 为1米？ (3)当运动员运动到坡顶正上方，且与坡顶距 离超过3米时，求b的取值范围， /米↑ 9 水平线 xf袋 考向2抛物线形问题(2014.18，北部湾5年1考) 4.真题(2024广西18题2分)如图，壮壮同学 投掷实心球，出手（点P处）的高度OP是 4m,出手后实心球沿一段抛物线运行，到达 7 最高点时，水平距离是5m,高度是4m.若实 心球落地点为M,则OM= m. 4 m 5m 5.真题(2021北部湾24题10分)2022年北京 冬奥会即将召开，激起了人们对冰雪运动的 极大热情.如图是某跳台滑雪训练场的横截 面示意图，取某一位置的水平线为x轴，过跳 台终点A作水平线的垂线为y轴，建立平面直 60众相原创赋能中考广西数学 6.教材（湘教九下38T12改编）鹰眼技术助力考向3面积最值问题 杭州亚运，提升球迷观赛体验.如图分别为足7.课标(P148例71改编)如图，用一段长为 球比赛中某一时刻的鹰眼系统预测画面（如 40m的篱笆围出一个一边靠墙的矩形菜园， 图1)和截面示意图（如图2），攻球员位于点 已知墙足够长.设矩形的AB边的长为xm,面 O,守门员位于点A,OA的延长线与球门线交 积为ym2. 于点B,且点A,B均在足球轨迹正下方，足球 (1)求y与x之间的函数关系式： 的飞行轨迹可看成抛物线.水平距离s(m)与 (2)怎样围才能使菜园的面积最大？最大面 离地高度h(m)的鹰眼数据如下表： 积是多少？ s/m 0 912151821 h/m 04.24.854.84.2 (1)根据表中数据可得，当s= m时，h 达到最大高度m: (2)求h(m)关于s(m)的函数解析式： (3)当守门员位于足球正下方，足球离地高度 不大于守门员的最大防守高度2.6m时，视为 防守成功，若一次防守中，守门员位于足球正 下方时，s=24m,请问这次守门员能否防守成 功？试通过计算说明， 【变式7.1】如图，用一段长为30m的篱笆围成一 个一边靠墙的矩形菜园，墙长12m,这个矩形 图1 图2 的长、宽各为多少时，菜园的面积最大？最大 面积是多少？ 温馨提示 请完成分层进阶练习册P31~P33习题 第三单元函数61y大=2a=-2,解得a=-1: 抛物线的解析式为y=(x+3)(x-1)=x2+2x-3. 若-号<-即a>1,当x-号时y肤=-d+ (2)由(1)知，点C的坐标(0，-3).设直线AC的解析 式为y=x+1(k≠0)，将点A(-3,0),C(0,-3)代人 4a-1=-2,解得a=2+5(负值已舍去)： 解析式， 若-号>分，即a<-1,当x=时y秋=--1= 得3张+1=0 11=-3, 解得=1， 1=-3 -2,解得a=±1（不符合题意，舍去）. .直线AC的解析式为y=-x-3. 综上所述，a的值为-1或2+5. 设点M的坐标为(x,-x-3)(-3≤x≤0)，则点N的 7解：0≤0+2≥-4 坐标为(x,x2+2x-3), .MN=-x-3-(x2+2x-3)=-x2-3x= y=x2-2ar+2a=(x-a)2+2a-a2, ∴顶点坐标为(a,2a-a2). -+ 当-4≤a≤0时，最低点为(0,2如)，最高点为(+ -1<0当=-时，线段Mv长度有最大值。 2.-02+4. 最大值为号 5-子+4-2a=4,解得a=0或a=- 3.8 3 4.解：设点Q的坐标为(m,-m2+3m+4),△QAB的面 当0<a≤(+2)，即0<a≤号时，最低点为(a, 积为S如解图，连接OQ,则S=Sa+Sanw-S60w= 2a-),最高点为（分+2，-0+4）， 0B:m+0A(-m+3m+4)-04:0服 又0A=0B=4. -+4-2-）4, .S=-2m2+8m=-2(m- B 2)2+8. 解得a=0(舍去)或a=8(舍去)： -2<0,当m=2时，S有最 当（宁+2）<a≤了a+2,即号<a≤4时，最低点 大值， 为(a,2a-a2),最高点为(0,2a), 此时-m2+3m+4=6,.Q(2,6) ∴.2a-(2a-a)=4 5.解：(1)由题意得y=-(x+1)(x-3), 解得a=2或a=-2(舍去)： ∴抛物线的解析式为y=-x2+2x+3: (2)由(1)得对称轴为直线x=1,C(0,3),设点P的坐 当a>70+2.即a>4时，最低点为分4+2. 标为(1，m)。 4),最高点为(0,2a), 由题意，得PB=PC. 24-(-子2+4)=4，解得0=-4售47（含去） .PB PC, 3 (3-1)2+m2=1+(m-3)2 综上所述，u的值为0或-令或2 m=1,.P(1,1): (3)假设存在点M满足条件，如解 小专题培优5二次函数与线段、面积问题 图，作PQ∥BC交y轴于点Q,作 1.解：(1)抛物线的解析式为y=-x2+4r+5, MN∥BC交y轴于点N. 易得直线BC的解析式为y=-x+3, .C(0,5).B(5.0),.BC=√/5+5=52 可设直线PQ的解析式为y=-x+a, (2)如解图，连接PA点A与点B关于直线I对称， 将P(1,1)代人，可得直线PQ的解析式为y=-x+2。 .PA+PC=PB+PC≥BC ∴.Q(0.2) 当点C,P,B共线时，PB+PC=BC, C(0,3),Sam=SAm,.N(0,4), 且BC为PA+PC的最小值 ,.直线MN的解析式为y=-x+4. 由(1)可知，C(0,5),B(5,0). A/O B元 易得直线BC的解析式为y= 由-2+2x+3=-x+4,得x=3±5 21 -x+5. 易得对称轴1为直线x=2,且当x=2时，y=-2+ 小点V的横金标为片5发， 5=3, 第六节二次函数的实际应用 ,当PA+P℃的值最小时，点P的坐标为(2,3). 1.150 2.解：(1)抛物线与x轴相交于点A(-3,0),B(1,0),2.解：(1)设y与x的函数解析式为y=kx+b(k≠0)， ∴.设地物线的解析式为y=a(x+3)(x-1)(a≠0) 将(60,200)，(80,100)代入， 将点(2,5)代入y=a(x+3)(x-1)中. 得604+b=200 得5=a(2+3)(2-1),解得a=1, 80k+b=100, 解得5 b=500 6 众相原创赋能中考 .y与x的函数解析式为y=-5x+500(50<x< 100): 当=7时y=-投+76+4>9+3.解得6>碧 (2)设该种油茶的总利润为W元，则 6. 解：(1)155 W=(x-50)(-5x+500)=-5x2+750x-25000= (2)由表中数据可知，抛物线关于直线s=15对称， -5(x-75)2+3125. 设h=a(s-15)2+5,把(12,4.8)代入， -5<0当x=75时，W最大=3125 答：当销售单价定为75元时，该种油茶的月销售利润 得a(12-15)2+5=4.8,解得a=行 最大，最大利润为3125元 3解：()由题意.得为=-子+90(0<≤120)， 之药-15+5.即h=衣+子 (3)不能防守成功： 六当y=50时，-3*+90=50x=120, 当=24m时=-衣+号=名×2+号×24 .2 .D(120,50),∴.B(120.40) 3.2(m). 设1=x+b,将(0,60)，(120,40)代入， 3.2>2.6..这次守门员不能防守成功 7.解：(1)根据题意，得AB=xm,则BC=(40-2x)m, 得[=60. 「k=- y=x(40-2x)=-2x2+40x 1120k+b=40, 6 b=60. 即y与x之间的函数关系式为y=-2x2+40x: ∴，线段AB所表示的y,与x之间的函数表达式为y= (2)y=-2x2+40x=-2(x-10)2+200,-2<0. -石+60： ∴.当x=10时，y取得最大值，最大值为200. 答：当AB边的长为10m时，菜园的面积最大，最大面 (2)由题意，设产量为xkg时，获得的利润为W元根 积为200m. 据题意，得W=[(-行+90)-(-右+60)]= 【变式7.1】解：设矩形的长为xm,则宽为30，m, 2 -石2+30=-右-90)+1380 来国的面积5=x,”2:-+15x= 2 2(x、 、 6r0. 15)+0<≤12. ,当x=90时，W取得最大值，最大值为1350. 答：该产品产量为90kg时，获得的利润最大，最大利 ”-2<0心当x<15时，S随x的增大而增大， 是1350元. .当x=2时，S取最大值， 4 5解：1)将A0,4,(4,8),代人y=名2+c+e得， 答：这个矩形的长为12m、宽为9m时，菜园的面积最 大，最大面积是108m, fc=4, 易错题专练 1-2+4b+c=8. 解得 b2 lc=4. 1.-2【变式1.112.-2【变式2.1】-13.2 ∴抛物线C的解析式为y= g++4 【变式3.1】-34.C 5.y=2x2-4x-6或y=-2x2+4x+6 (2)设运动员与小山坡的竖直高度为k,运动员与小坡6.解：(1)-10x+800 的水平距离为。 (2)设每天获得的利润为w元， 根据题意，得h=-又+多 *61*1) 则0=(x-30)(-10x+800) 8 =-10x2+1100x-24000 式+宁+3令=1则式+宁+3=1 。1 =-10(x-55)2+6250. :单件该商品的利润率不能超过60%， 解得41=-4（舍去），2=12 答：当运动员运动的水平距离为12米时，运动员与小 二气0x100%≤60%，解得x≤480≤x≤46 山坡的竖直高度为1米： -10<0. 8y2+名+1x-7 2,则抛物 ∴.当x=48时，0有最大值，最大值为5760. 答：当售价定为48元/件时，商家销售该商品每天获得 线G的顶点坐标为(7.鸽 的利润最大，最大利润为5760元 一题一单元函数的综合探究 将A(04)代人y=-安+b+6,解得e=4, 解：(I)点A,B在x轴上（点B在点A的左边）， ∴抛物线C的解析式为)y=一名+低+4， A(1.0),AB=4, ∴.B(-3.0) 广西数学9