第5节 二次函数的图象与性质-【众相原创·赋能中考】2025年中考数学课堂精讲册（广西专用）

第五节二次函数的图象与性质 【版本导航】人教：九上P27-P57;湘教：九下2-P41;沪科：九上P2-P35. 一阶了教材知识全梳理 考点1二次函数的概念及表达式的三种形式 1概念 一般地，形如y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，a≠0)的函数，叫做二次函数.其中，x是自变量，a,b,c 分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和① 2.表达式的三种形式： (1)一般式：y=ax2+bx+c(a,b,c为常数且a≠0)： (2)顶点式：y=a(x-h)2+k(a≠0)： (3)交点式：y=a(x-x,)(x-x2)(a≠0)，x1,x2为抛物线与x轴交点的② 坐标 【链接】二次函数解析式的确定见本册P53小专题培优 考点2二次函数的图象与性质（重点） 解析式 y=ax2+bx+c(a≠0) a的符号 a>0 a<0 大致图象 开口方向 开口向③ 开口向④ 对称轴 直线⑤ 顶点坐标 6 在对称轴左侧，y随x的增大而⑦) 在对称轴左侧，y随x的增大而⑨ 增减性 在对称轴右侧，y随x的增大而⑧ 在对称轴右侧，y随x的增大而0 当x=① 时，y取得最小值，最小值 当x=- 时，y取得最大值，最大值 2a 最值 为4ac-62 4a 为4ae-6 4a 【特别提醒】(1)二次函数的图象为抛物线；(2)lal相同，说明抛物线的开口大小相同：|a越大，开口越 小：(3)在利用二次函数的图象与性质比较二次函数图象上点的横坐标或纵坐标的大小时，要综合运 用其增减性与对称性：首先利用对称性将，点均转化至对称轴的同一侧，再利用增减性进行判断 第三单元函数49 考点③二次函数的图象与系数的关系 问题导入已知二次函数y=ax2+bx+c,求对应系数的符号： (1)当二次函数图象为图1时，a② 0.cB 0,ab 0.b2-4ac⑤ 0,a+b+c6 0,a-b+c 0 20拉 (2)当二次函数图象为图2时，a8 0,b9 0 图 图2 4a+2b+c2④ 0. 系数 a a.b 符号 a>0a<0 b=0 ab>0 ab<0 e=0 c>0 e<0 图象 开口 开口 对称轴为 对称轴在y 对称轴在y 与y轴正 与y轴负 经过原点 特征 向上 向下 y轴 轴左侧 轴右侧 半轴相交 半轴相交 先把含a,b,c的项移到等式（或不等式）的一边 2-4ac≥0，图象与x轴有交点 b-4ac<0,图象与x轴没有交点 特殊 关系 看到2a+6,比较-会和1的大小 看到2a-6,比较-乡和@ 2a 的大小 看到a+b+c,找当x=1时y的值 看到a-b+,找当x=② 时y的值 看到4a+2b+c,找当x=2时y的值 看到4a-2b+c,找当x=3 时y的值 考点4二次函数图象的几何变换（重点） 1.二次函数（一般式）图象的平移 平移前的解析式 平移方式(m>0) 平移后的解析式 口诀 向左平移m个单位长度 y=a(x2 m)2+b(5 m)+c y=ax'+bx+c 左加有减自变量 向右平移m个单位长度 y=a(x m)2+b(x2 m)+c (a≠0) 向上平移m个单位长度 y=ax'+bx +c m 上加下减常数项 向下平移m个单位长度 y=ax2+bx+c2四 m 【特别提醒】点平移的坐标变化规律是“左减右加，上加下减”，画数图象平移的变化规律“左加右减，上 加下减”，切勿搞混！ 2. 二次函数（顶点式）图象的平移、翻折（对称）与旋转 变换前图象的解 变换后 变换后的 变换方式(m>0)】 变换后图象的解析式 析式及顶点坐标 a值 顶点坐标 向左平移m个单位长度 a 0 y=a(x-h+m)2+k 向右平移m个单位长度 (h+m,k) y=a(x-h-m)2+k 向上平移m个单位长度 0 (hk+m) ① y=a(x-h)2+k. 向下平移m个单位长度 (h,k-m) y=a(x-h)2+k-m (h,k) 沿x轴翻折（关于x轴对称》 -d 型 y=-a(x-h)2-k 沿y轴翻折（关于y轴对称） (-h,k) 3 绕顶点旋转180° (h,k) y=-a(x-h)2+k 绕原点旋转180° -a 刚 y=-a(x+h)2-k 50 众相原创赋能中考广西数学 考点5二次函数与一元二次方程、不等式的关系 1. 二次函数与一元二次方程的关系 一元二次方程ax2+br+c=0的根是抛物线y=ar2+br+c与x轴交点的横坐标 4=62-4ac 方程ax2+bx+c=0的根 抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点 4>0 两个 实数根 30 4=0 列 一个交点 4<0 没有实数根 没有交点 2.二次函数与不等式的关系 (1)ax2+bx+e>0一二次函数y=ax2+bx+c的图象位于x轴上方对应的.点的横坐标的取值范围： (2)ax2+br+c<0一二次函数y=ax2+bx+c的图象位于x轴下方对应的.点的横坐标的取值范围. 二阶了追本潮源练考点 教材·真题·课标 函考点1二次函数的概念及表达式的三 当-2≤x≤0时，函数值y的取值范围 种形式 是 1.教材（湘教九下P4T1改编）下列函数中，是 (4)若该二次函数的图象经过点(-1，a), 二次函数的是 ( (2,b),则a b:若该二次函数的图象经 A.y=3x B.y=x2 过点(-3，m),(2,n),则m n:(填“>” C.y=-2 “<”或“=”) D.y=x2-x(x-1) 2.教材（人教九上P47T4改编）(1)已知抛物线 (5)若点c(3).D(-3),B(-2) y=ax2+bx+c与x轴交于点(3,0)，(-1,0)，则 均在该二次函数的图象上，则y1,y2,的大小 抛物线的对称轴是直线 一题多点 关系为 .(用“<”连接)》 (2)已知抛物线y=x2+bx+c的顶点坐标为 函考点3二次函数的图象与系数的关系 (2,8),则抛物线的解析式是 (北部湾5年1考) (3)已知抛物线y=a2+2x+c经过点(-1,0)， 4.真题(2022北部湾12题3分)已知反比例函 (0,3),则该抛物线的解析式是 的考点2二次函数的图象与性质 数y=(b≠0)的图象如图所示，则一次函数 (必考，常在解答题中涉及，2024.25,2023.24) y=cx-a(c≠0)和二次函数y=ax2+bx+c 3.教材（人教九上P41T7改编）已知二次函数 (a≠0)在同一平面直角坐标系中的图象可能 y=2x2+4x+3. 一题多点司 是 (1)该二次函数的图象开口向 ,与y轴 交于点 ,对称轴为直线 (2)当x 时，y随x的增大而减小：当 时，y随x的增大而增大： (3)该函数值y的取值范围是 :当-2≤ 保保好 x≤1时，函数值y的取值范围是 第三单元函数51 5.真题(2022梧州)如图，已知抛物线y=ax2+ 位长度，得到的抛物线是 x-2的对称轴是直线x=-1,直线1∥x轴， A.y=(x-3)2+4B.y=(x+3)2+4 且交抛物线于点P(x,少)，Q(:,y2),下列结 C.y=(x-3)2-4D.y=(x+3)2-4 论错误的是 ( 函考点5二次函数与一元二次方程、不 等式的关系 7.真题(2021贺州)如图，已知抛物线y=ax+c 与直线y=x+m交于A(-3,y,),B(1,y2)两 点，则关于x的不等式ax2+c≥-kx+m的解 集是 () A.b2>-8a B.若实数m≠-1，则a-b<am2+bm C.3a-2>0 D.当y>-2时，x1·x2<0 函考点4二次函数图象的几何变换 (2023.9,北部湾5年2考) A.x≤-3或x≥1B.x≤-1或x≥3 6.真题(2023广西9题3分)将抛物线y=x C.-3≤x≤1 D.-1≤x≤3 先向右平移3个单位长度，再向上平移4个单 三阶了分层设问攻重难 恭础·能力·培优 ©重难点二次函数的最值问题 乙同学：“我发现，y的最小值随a值的变化而 8.真题(2024广西25题10分)课堂上，数学老 变化，当a由小变大时，y的最小值先增大后 师组织同学们围绕关于x的二次函数y=x2+ 减小，所以我猜想y的最小值中存在最 2ax+a-3的最值问题展开探究 大值.” 【经典回顾】二次函数求最值的方法。 (2)请结合函数解析式y=x2+2ax+a-3,解 (1)老师给出a=-4,求二次函数y=x2+ 释甲同学的说法是否合理？ 2ax+a-3的最小值 (3)你认为乙同学的猜想是否正确？若正确， ①请你写出对应的函数解析式； 请求出此最大值：若不正确，说明理由。 ②求当x取何值时，函数y有最小值，并写出 此时的y值： 【举一反三】老师给出更多a的值，同学们即 求出对应的函数在x取何值时，y的最小值 记录结果，并整理成下表： a -4 -2 0 2 0 y的最小值 -9-3 -5 -15 注：*为②的计算结果 【探究发现】老师：“请同学们结合学过的函数 知识，观察表格，谈谈你的发现.” 甲同学：“我发现，老师给了a值后，我们只要 取x=-a,就能得到y的最小值.” 温馨提示， 请完成分层进阶练习册P28~P30习题 52 众相原创赋能中考广西数学点C与点B关于x轴对称，点V在x轴上， 小专题培优2与反比例函数k的几何意义 ∴.CN=BN,∴AN+CN=AN+BN 有关的六大常见模型 ,AN+BN≥AB 当A,N,B三点共线时，AN+BV最小，此时点N为 k12k 2 一次函数y=2x-5的图象与x轴的交点 1.-6【变式1.1】C2.6【变式2.1】4 在y=2x-5中，令y=0,得x= 2 3.2【变式3.1】A4.6 当AN+CW最小时，点N的坐标为( 【变式4.1】A【解析】设点A的坐标为(m,1).:AB∥x -0) 轴，AC∥y轴，∴点B的纵坐标为1，点C的横坐标为 m将y=1代入反比例函数y=是，得r=,B(m )B=m-儿将x=m代人反比例函数y=是，得 解图1 解图2 4C=(m-n)1-)=m= 2m =2心m-n= (6)由“垂线段最短”可知，当OP⊥AB时，OP最短 如解图2，设AB与x轴的交点为D,过点O作OP⊥AB 3瓜A选项中，)(-号3，√B选项中， 于点P,过点P作PQ⊥x轴于点Q 在y=2x-5中，令y=0,得x= 20D= -(-子)=3，√任c选项中，1-(-2)=3 2 D选项中，4-(-2)=34，∴选项A符合题意 0B=5,BD=V0B2+0D=55 2 5.8【变式5.1】-4 :5a=0B:0D=2D.0p, 6.D【解析】如解图，过点A,点B分别作AM⊥x轴， BN⊥x轴，垂足分别为M,N.:点A,B分别在函数y= 六0p=0B0D=5 BD (x>0),y=(x<0)的图象上，六由反比例函数系 x ∠Q0P+∠B0P=90°，∠0BP+∠BOP=90, 数k的几何意义可知Smw=6,S形wN=1k1=一k .∠0BD=∠QOP. ∠B0D=∠OQP=90°，.△BOD△OQP, 又，@CD3 S2mD1=方，Sam=8,Sas=5.SAm 555 器""品高者 2 w=2=10.=10- 6=4=-k,∴k=-4 .0Q=2,PQ=1,点P的坐标为(2，-1)： (7)在y轴上存在一点C,使△ABC是直角三角形， ∴.可设点C的坐标为(0，x) ①如解图3，当∠ACB=90时，AC⊥y轴， A(4,3),0C=3.C(0,3). Dw ②如解图4，当∠CAB=90°时，过点A作AD⊥y轴于 点D. 【变式6.1】C【变式6.2】4 A(4,3),B(0,-5),∴AD=4,BD=8. 第五节二次函数的图象与性质 .·∠BAC=∠ADC=∠ADB=90°， .∠ACD+∠CAD=∠CAD+∠BAD=90° ①常数项2横③上④下⑤x=-六⑥(-品 ∴.∠ACD=∠BAD.∴△ACD∽△BAD 册-00=44-2 4如，少)⑦减小⑧增大⑨增大国减小①-会 AD CD Au 8 2>B<@<⑤>6<0=B<0> .0=3+2=5,.C(0,5) 团<4-12-1☒-24+雪+出- 综上所述，点C的坐标为(0.3)或(0,5). 四-圆+四-图(h-m,k)y=a(x-h)2+ Y k+m(h,-k)By=a(x+h)2+k(h.-k) ⑤不相等的图两个交点⑦两个相等的实数根 1.B 2.(1)x=1(2)y=x2-4x+12(3)y=-x2+2x+3 3.(1)上(0,3)x=-1(2)<-1>-1(3)y≥ 11≤y≤91≤y≤3(4)<<(5)为<为< 解图3 解图4 4.D5.C6.A7.D 6众相原创赋能中考 8.解：(1)①当a=-4时，y=x2+2ax+a-3=x2- 得+6=2，解得怎1， 8x-7: 12k+b=-1, b=1. b ②当x=-2a =4时，y取得最小值，最小值为16- “一次函数的解析式为y=一x+1. 9.(1)二次函数的解析式为y=x2+2; 32-7=-23: (2)二次函数的解析式为y=-17x2-34x-8: (2)合理 :1>0,∴函数有最小值 (3)二次函数的解折式为y=一多+3+12： 当 5 =-a时，y取得最小值， (4)二次函数的解析武为y=子t-5x: 故甲同学的说法合理： (5)二次函数的解析式为y=5x2+20x+15: (3)正确. (6)二次函数的解析式为y=-x2+4x-3. 当x=-a时，y=x2+2ax+a-3=-a2+a-3. 小专题培优4二次函数在某一范围内的最值问题 -1c0.当a=2x-D-时y取得最大1480（2353g月-1424 1 2.B【解析】二次函数y=ar2-2ar+a+5的图象的对 值，最大值为-号+号-3=- 称轴是直线=-治=1由（(-2).(3，)，满足 小专题培优3求函数解析式的方法 y1<为知a<0.当-2≤x<3时，y的最小值为-4， 1.y=-(x-3)(答案不唯一) .二次函数y=ar2-2ax+a+5的图象过(-2，-4)， 2.y=x-1y=x+4y=x-4 .4a+4a+a+5=-4..a=-1. 3.y=-x2-2x+3y=-x2-2x 3.C 4y=6-35.y=2x2-6x 4.解：(1)把(0，-3)，(-6，-3)代入y=-x+bx+c, 6.y=x2-6x+5 得-3=6， 9le--3: 7.乙、丁【解析】甲：设直线AB的解析式为y=x+b, 6-66+e=-3.解得-6。 (2)由(1)可知，y=-x2-6x-3=-(x+3)2+6. 将A(2,6),B(-6,-2)代入，得2+6=6， -6k+6=-2,解得 .-4≤x≤0.-1<0. .当x=-3时，y有最大值，最大值为6： {儿直线AB的解析式为三x+4.“直线)= (3)①当-3<m≤0时， 当x=0时，y有最小值，最小值为-3， 4与直线y=-x不平行，故推断不合理：乙：若此函数 当x=m时，y有最大值，最大值为-m-6m-3, 的图象为双曲线，设y=m,则m=2×6=12,双曲 .-m2-6m-3+(-3)=2, ∴.m=-2或m=-4(舍去)： 线的解析式为y=是当x=3时，y=号=4点(3. x ②当m≤-3时， 4)也在此函数图象上，故推断正确；丙：设此二次函数 当x=-3时，y有最大值，最大值为6 的解析式为y=ax2+r+c,将A(2,6),B(-6,-2)代 y的最大值与最小值之和为2， 人，得+26+c=6, y最小值为-4， 136n-6+c=2解得。412。女抛物线 1c=4-12a. .-m2-6m-3=-4, 开口向下，∴.a<0,∴.c=4-12a>0.二次函数与 ∴m=-3-/10或m=-3+√/10（舍去）. y轴的交点坐标为(0，c),且>0，，此函数图象一定 综上所述，m=-2或m=-3-/10 与y轴的正半轴相交，故推断不合理：丁：b=4a+1,5. 六二次函数的对称轴为直线x=-之 =-4a+1 或6【解析1在)=（任-2+3中，a=1>0当 x<h时，y随x的增大而减小：当x>h时，y随x的增 -2-六：二次函数的图象开日向上0>0云 大而增大：①若1≤h≤3，则当x=h时，函数取得最小 0-2-方<-2二次函数的对称轴在直线 值3，即2h=3,解得A=:②若A<1,则在1≤x≤3 范围内，当x=1时，函数取得最小值2，即(1-h)2+ -2的左侧，故推断正确 3=2h,解得h=2(不合题意，舍去)：③若h>3,则在 8.解：A(-1,2)在反比例函数y=m的图象上， 1≤x≤3范围内，当x=3时，函数取得最小值2h,即 (3-h)2+3=2h,解得h,=6,h=2(不合题意，舍 六m=-2,反比例函数的解析式为y=-2 去).综上所述，点的值为或6 又~B(2,)在反比例函数y=-2的图象上， 6.解：由题意，得对称轴为直线x=-受 n=-1,B(2,-1) 把A.B两点的坐标代人y=红+b, 若-≤-号≤即-1≤a≤1，当x=-受时， 广西数学7