第4节 反比例函数及其应用-【众相原创·赋能中考】2025年中考数学课堂精讲册（广西专用）

第四节反比例函数及其应用 版本导航】人教：九下PI~P22:湘教：九上P1~P24:沪科：九上P43~P50. 阶了 教材知识全梳理 考点1反比例函数的图象与性质（重，点） 概念 般地，形如y=上(k为常数，k≠0)的函数，叫做反比例函数，其中x是自变量，y是 的函数 解析式 y=k(k为常数，k≠0) 取值范围 x≠0，y≠0 k的符号 k① 0 k② 0 大致图象 所在象限 第③ 象限 第④ 象限 图象特征 双曲线，无限接近坐标轴，但不与坐标轴相交 图象上点的 横坐标与纵坐标的积恒为⑤ 坐标特征 增减性 在每个象限内，y随x的增大而⑥ 在每个象限内，y随x的增大而⑦ 中心对称：关于⑧ 成中心对称 对称性 轴对称：关于直线y=x和直线y=-x对称 【特别提醒】(1)反比例函数的图象只在每个分支上具有增减性，不能认为在整个自变量取值范围内增大 (或减小)：(2)在比较反比例函敏图象上点的纵坐标大小时，需要分情况讨论：①若两点在同一象限，则根 据函数增减性来比较：②若两点在不同象限，则根据所在象限的纵坐标的符号进行比较，正数>负数 考点2反比例函数k的几何意义（重点） k的几 如图，过双曲线y=上任一点P(x,)分别作x轴，y轴的垂线PM,PN,所 何意义 得矩形PMON的面积S=Ixl·Iyl=IxyH=⑨ 基本图 形面积 S例=0 S阴= S阴感=2 S陆=B 【特别提醒】(1)利用的几何意义解题时，通常过图象上的，点向坐标轴作垂线；(2)因为片有正、负之 分，所以用k表示三角形或四边形的面积时，要给k加绝对值， 42 众相原创赋能中考广西数学 考点③反比例函数解析式的确定 1.用待定系数法确定反比例函数的解析式。 2.利用k的几何意义确定反比例函数的解析式 【特别提醒】结合函数图象所在象限确定k的正负，从而得出的值 考点4反比例函数的实际应用 1行程问题：速度一爵餐，路程一定时，速度与时间成反比例关系 2.销售问题：销量=销售额，销售额一定时，销量与售价成反比例关系。 售价 3. 面积问题（以矩形为例）：长=面积，面积一定时，长与宽成反比例关系 宽 4.表格数据类问题：当给出x,y的多组对应值，且每组对应值的乘积相同时，y是关于x的反比例 函数， 5.跨学科问题：①压强= 受力面积，压力一定时，压强与受力面积成反比例关系； 压力 ②电流=电压 电阻，电压一定时，电流与电阻成反比例关系 【特别提醒】一般情况下，在反比例函数的实际应用题中，k是大于0的，x的取值范国也是大于0的，图 象只经过第一象限， 考点5反比例函数与一次函数的综合 1.图象问题 假设法：针对每一个选项中的图象，先假设一次函数的图象正确，由此确定的符号，再根据k的 符号判断反比例函数的图象，若符合，则图象正确；若出现矛盾，则图象不正确 2.交点个数问题 (1)大致图象判断法 函数类型 k与k同号 k与k'异号 结论 反比例函数y= ①素与'同号，必有2个 k与正比例函 交点，且两个交点关于 原点成中心对称： 数y='x ②k与k'异号，无交点 反比例函数y= ①k与'同号，必有2个 k与一次函数 交点： ②k与异号，交点可能 y=k'x+b 有2个，1个或没有 第三单元函数43 (2)联立解析式判断法 步骤：①联立反比例函数和一次函数的解析式 得到的=+b: ly=kx +b, ②化为一元二次方程kx2+b加-k,=0(k≠0)： ③计算一元二次方程根的判别式4=-4k(-人，)=b2+4k,: ④由判别式△的符号判断交点的个数： 4>0一反比例函数的图象与一次函数的图象有④ 交点； △=0曰反比例函数的图象与一次函数的图象有⑤ 交点； △<0一反比例函数的图象与一次函数的图象⑥ 交点 3.不等式问题 (此类题的设题背景通常为反比例函数和一次函数的图象有两个交点) 步骤 举例 (1)确定反比例函数与一次函数图象的两 XA,x冠 个交点的横坐标 (2)分区：过两个交点分别作y轴的平行 区域I,Ⅱ，Ⅲ，V y='x+ 线，连同y轴将坐标平面分为四个部分 若>kx+6,则位于区域I,Ⅲ， (3)观察函数图象找答案：根据图象在上 x的取值范围为x<x或0<x<x: 方的函数值比图象在下方的函数值大，在 各区域内找相应的x的取值范围 <'x+b,则位于区域Ⅱ，W, x的取值范围为xe<x<0或x>x, 二阶 了追本潮源练考点 教材·真题·课标 盈考点1反比例函数的图象与性质 函考点2反比例函数k的几何意义 (2024.9,2023.12,北部湾5年2考) (2023.12,北部湾5年2考) 1.教材（人教九下62改编）对于函数y=3.真题(2023广西12题3分)如图，过y=k(x> 一，下列说法不正确的是 0)的图象上的点A,分别作x轴，y轴的平行线交 y=-的图象于B,D两点，以AB,AD为邻边 A.它的图象分布在第二、四象限 的矩形ABCD被坐标轴分割成四个小矩形，面 B.点(1，-5)在它的图象上 C.它的图象是轴对称图形且关于原点对称 积分别记为S若s+S+5=名 则k的值为 () D.y随x的增大而增大 2.真题(2024广西9题3分)已知点M(x1, ）,()在反比例函数y=2的图象上. 若x,<0<x2,则有 ( C D A.y1<0<y2 B.2<0<y C.y1<3<0 D.0<<y A.4 B.3 C.2 D.1 44众相原创赋能中考广西数学 留考点3反比例函数的实际应用 图象大致是 4.教材（人教九下P17T8改编）在物理学中，功 率表示做功的快慢，功与做功时间的比叫做 功率，即所做的功一定时，功率P(W)与做功 所用的时间1(s)成反比例函数关系，图象如 图所示，下列说法不正确的是 P/W 4000 ) 15 6.教材家（人教九下22T10改编）如图，在平面 A.P与1的函数关系式为P=60000 直角坐标系中，直线y=-x+2与反比例函数 B.当1=5时，P=12000 y=的图象有唯一公共点，若直线y=-x+b C.当1>5时，P>12000 与反比例函数y=1的图象有2个公共点，则 D.P随t的增大而减小 留考点4反比例函数与一次函数的综合 b的取值范围是 (北部湾5年1考) 5.教材（湘教九上PI3T7改编）在同一平面直 角坐标系中，函数y=红-k与y=(k≠0)的 三阶了分层设问攻重难 基础·能力·培优 ©重难点反比例函数与一次函数的综合 能力层》 7.如图，一次函数y=kx+b的图象与反比例函 (3)求反比例函数和一次函数的表达式： 数y=4(x>0)的图象交于点A(4,3),与y轴 的负半轴交于点B,且OA=OB, 基础层》 (1)OA的长为 (2)求点B的坐标 第三单元函数45 (4)若M是反比例函数y=a(x>0)的图象 (6)若P是一次函数图象上一动点，当OP最 短时，求点P的坐标； 上的一点，且SAMB=5,求点M的坐标 培优层)》 (5)若点C与点B关于x轴对称，试在x轴上确 (7)若在y轴上存在一点C,使△ABC是直角 定一点N,使AN+CN最小，求此时点N的坐标： 三角形，求此时点C的坐标 温馨提示 请完成分层进阶练习册P25~P27习题 46 众相原创赋能中考广西数学(4)y=3x+2 .-6<0. (2)[=5 (3)x>5 6. C 7.(1)(5.25) . W随a的增大而减小, 1y=25 .当a=45时,W最小.W 。=930,此时$=-$ +$ 第三节 一次函数的实际应用 100=10. 1. B 故此种情况下,购买45台A型机器人和10台B型机 2. 解:(1)0.1 器人时,总费用W最少,最少总费用为930万元. 综上所述,购买35台A型机器人和30台B型机器人 时,总费用W最少. 3 3x60=18(min),由图象可知,当x=18时. 5. B 6. 解:(1)图象如解图所示, y.<y, )千克 1. 小明选择A品牌的共享电动车更省钱 (3)A品牌共享电动车每分钟的费用为4:20= 0.2(元),则y=0.2x; 当0<x<10时,y=3; 当x10时,y=3+0.1(x-10)=0.1+2 0 24681012/厘米 [3(0<x<10), = 根据图象可知,x=7,y=2.75这对数据是错误的; 10.1x+2(x三10). (2)设y与x之间的函数关系式为y=kx+b, 当0<x<10时,3-0.2x=1.4.解得x=8$ 把x=1,y=0.75和x=2.y=1.00代入,得 当x>10时,0.1x+2-0.2x=1.4或0.2x-(0.1t+ [h+b=0.75. 2)=1.4. 2k+b=1.00. 解得x=6(不符合题意,舍去)或x=34 '.y=0.25x+0.5. .x的值为8或34 当x=0时,y=0.5. 3. 4500 .秤盘的质量是0.5千克; 4. 解:(1)设1台A型机器人和1台B型机器人每小时 (3)当x=25时,y=0.25x+0.5=6.75$ 各分练垃圾x吨和v吨,根据题意,得 可称物体的重量为6.75-0.5=6.25(千克). :6.25千克<8千克, 15(3x+2v)=8. 1v-0.2. 2.不能一次性称出此物体的重量 答:1台A型机器人和1台B型机器人每小时各分持 垃圾0.4吨和0.2吨; 第四节 反比例函数及其应用 (2)根据题意,得0.4a+0.2b=20. ①→ ②< ③一、三 ④二、四 k 减小 增 解得b=-2a+100(10<a<45); 大 ⑧原点 k 11 1 kl 31k (3)由(2)知,b=-2a+100(10<a<45). 两个 一个没有 .当10<a<30时,40 $<80;当30<a 35时,30 $ 40;当35<a545时,10<b<30.分三种情况讨论: 1. D 2. A 3. C 4. C 5. D 6. b<-2或2 ①当10<a<3040 b80时,W=20+0.8xi $ = 过7. 解:(1)5 $20a +0.8t12(-2a+100)=0. 8a+960 (2)由(1)知0A=5.0A=0B.0B=5$$ ·0.8>0.:W随a的增大而增大. 又点B在y轴负半轴上, .当a=10时,W最小,W=968,此时$=- +$ .点B的坐标为(0.-5). 100=80. (3)将A(4,3)代人y-,得a=3x4=12. 故此种情况下,购买10台A型机器人和80台B型机 .反比例函数的表达式为y-12(x>0). 器人时,总费用W最少,最少总费用为968万元; ②当30<as35.30b<40时. 14k+b=3.解 W=0 920+0. 8t12=0.9t20 +0. 8tm12(-2 -+ 将A(4.3).B(0,-5)代入y=hx+b,得 1b--5. 100)=-1.2a+960. 2 -1.2<0. .W随a的增大而减小. .一次函数的表达式为y=2x-5; .当a=35时,W最小,W =918,此时$=- $$$ 100-30. (4)设点M的坐标为(m. 故此种情况下,购买35台A型机器人和30台B型机 10B·m=5.0B=5.:5- .So= 器人时,总费用W最少,最少总费用为918万元; 1x5n. ③当35<a45.10<$<30时,W=0.9x20+ $ = .m=2...点M的坐标为(2.6). 0.9t20+12(-2a+100)=-6+1200 (5)如解图1.连接BV. 广西数学5 .点C与点B关于x轴对称,点N在x轴上. 小专题培优2 与反比例函数的几间意义 .CN=BN..AN+CN=AN+BN 有关的六大常见模型 .AV+BV=AB. 1.当A.N.B三点共线时,AV+BN最小,此时点N为 一次函数y=2x-5的图象与x轴的交点 1. -6 【变式1.1】C 2.6 【变式2.114 3.2 【变式3.1】A 4.6 .当AN+CN最小时,点V的坐标为(.0); 【变式4.1】A【解析】设点A的坐标为(m.1).AB/ 轴,AC/y轴..点B的纵坐标为1.点C的横坐标为 1)..AB=m-n.将x=m代入反比例函数y=-,得 n 解图1 解图2 77 2m (6)由“垂线段最短”可知,当0P1AB时,0P最短 ,B选项中. 如解图2.设AB与x轴的交点为D.过点0作0P1AB 于点P,过点P作P01x轴于点0. , D选项中,4-(-2)=3/4.:选项A符合题意 0B=5.: BD=0B+0D-55 5.8 【变式5.1】-4 6.D 【解析】如解图,过点A.点B分别作AM1x轴, BVIx轴,垂足分别为M,N..点A.B分别在函数y= :P-0B:0-5. 6(xo),y-(x<0)的图象上,:.由反比例函数系 BD :OOP+ B0P=90*$0BP+ BOP=90$$ 数k的几何意义可知Su=6,Sor=1kI=-k . 20BD=/OOP .sncncD3 乙BOD=0OP=90{$△B0D△ OP$.$$ 又:: ### $6=4=-k.k=-4. $.00=2.P0=1.:点P的坐标为(2.-1); (7):在y轴上存在一点C.使△ABC是直角三角形, .可设点C的坐标为(0,x). ①如解图3.当乙ACB=90时,AC1v轴。 ·A(4.3).:.0C=3..C(0.3). ②如解图4.当乙CAB=90*时,过点A作AD1y轴于 【变式6.1】C【变式6.214 点D. A(4.3).B(0.-5).AD=4.BD=8 第五节 二次函数的图象与性质 ' BAC= ADC= ADB=90*$ b . ACD+ CAD= CAD+ BAD=90$ .乙ACD= BAD..△ACD△BAD. AD CD . D442. 4 8 $$<<→<=<> < 80C=3+2=5.C(0.5). -1②-1②-2++- 2一 +②- 综上所述,点C的坐标为(0.3)或(0.5) ③(h-m.k)③y=a(x-h)+ (h,-b) h+m ③y=a(x+h) +k (-h.-k) 不相等的 两个交点 两个相等的实数根 1. B 2.(1)x=1(2)y=-4x+12(3)y=-2+2+3$ 3.(1)上(0.3) x=-1(2)<-1 -1(3)y 1 11<y=9 1<y=3(4) <(5)y<y:<y 解图3 解图4 4. D 5.C 6.A 7.D 众相原创 赋能中考