第3节 一元二次方程及其应用-【众相原创·赋能中考】2025年中考数学课堂精讲册（广西专用）

第三节一元二次方程及其应用 【版本导航】人教：九上PI~P26:湘教：九上P25~P60:沪科：八下P18~P50. 一阶了教材知识全梳理 考点刀一元二次方程的有关概念 次頭系数 次项系数 相关概念 般形式：等+ 等+今=0fa*0) 次项一次明治数项 三个条件 (1)整式方程：(2)只含有一个未知数：(3)未知数的最高次数是① 【特别提醒】(1)若题目中有“一元二次方程ax2+bm+c=0”,则必然隐含着a0这一条件. (2)若未说明方程类型，则需分类讨论：①当4=0时，方程是一元一次方程：②当a≠0时，方程是一元 二次方程 考点2一元二次方程的解法（重点） 解法 适用情况 方程的解 直接开平方法 形如x2=p或(x+n)2=p(p≥0)的形式 x=士p或x=-n士p 二次项系数化为1后，一次项系数为偶数，形如x2+ 配方法 x=② 2mx=n,配方后为(x+m)2=n+m2(n+m2≥0)》 适用于所有一元二次方程，应先化为一般形式ax2+ 公式法 x=③ bx+c=0(a≠0)（需满足b2-4ac≥0） 因式分解法 能化成(x-a)(x-b)=0的形式 x1=④ ,x2=⑤ 【特别提醒】(1)用因式分解法解一元二次方程时，若等号两边含相同的未知数的因式，勿真接约去公 因式，避免漏解： (2)四种解法的优先选择顺序：直接开平方法→因式分解法一公式法一配方法 对点自测用适当的方法解下列方程： (1)2(x+3)=(x+3)2: (2)x2+4x-12=0. 第二单元方程（组）与不等式（组）23 考点3一元二次方程根的判别式 根的判别式与方程根的关系（根的判别式为62-4ac,用△表示，即△=b2-4ac): (1)4=b2-4ac>0台一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个⑥ 的实数根： (2)A=b2-4ac=0曰一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个⑦ 的实数根： (3)△=b2-4ae<0台一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)⑧ 实数根， 【特别提醒】在使用一元二次方程根的判别式解决问题时，如果二次项系数中含有字母，那么要加上云 次项系数不为0这个限制条件。 考点④一元二次方程根与系数的关系 如果一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根分别是x1,2,那么1+x2=⑨ ,31x2= 0 【拓展变形】根据完全平方公式(a+b)2=a2+2ab+b2和分式的性质填空： (1)x7+2=(x1+x2)2① (2)(x1-x2)2=2 (3)1+1= (4)+=（+)尸-2x3 x2 x XXI 【特别提醒】使用一元二次方程根与系数的关系的前提：(1)a≠0：(2)4≥0. 考点百一元二次方程的实际应用（重点） 常见类型及数量关系： 常见类型 等量关系 设a为原来的量，b为变化后的量 变化率 (1)若平均增长率为x,增长次数为2，则a(1+x)2=b: 问题 (2)若平均下降率为x,下降次数为2，则④ 在矩形ABCD中，设阴影部分的宽为x,则图1中S=固 ,图2中 S空白=西 图3中S室1= 面积问题 图1 图2 图3 (1)常用公式：①每件利润=每件售价-每件成本：②总利润=每件利润×销售总量： 每每问题 (2)每每问题中，单价每涨ā元，少卖b件，则涨价x元时，少卖的数量为⑧ (1)病毒传播问题： 若初始数据为a,每次传播x个，则第一轮后共有a(1+x)个，第二轮后共有四 循环、传 个： 播问题 (2)握手，单循环赛问题：若共有n人，则握手（单循环赛）总次数为④ (3)互赠礼物问题：若共有n人，则送礼物总份数为① 24 众相原创赋能中考广西数学 二阶了追本潮源练考点 牧材·真题·课标 国考点1一元二次方程的有关概念 留考点3 一元二次方程根的判别式 L.教材（人教九上P4T1改编）已知关于x的方 (北部湾5年1考) 程(m+1)x2-3x+2=0. 一题多点 3.教材（沪科八下P36练习2改编）已知方程 (1)若该方程是一元二次方程，则m的取值范 5x2+kx-6=0. 围是 (1)若该方程的一个根是2，求它的另一个根 (2)若该方程是一元一次方程，则m的值是 及k的值（尝试用两种方法解决）： (2)试判断方程根的情况； (3)若m=0,则该方程的二次项是 (3)小聪在求解时，误将方程抄写成5x2+ 次项系数是 ,一次项是 ,一次项 kx+6=0.当为何值时，方程有两个相等的 系数是 常数项是 实数根？ 团考点2一元二次方程的解法 (常与其他知识结合考查)》 2.教材（沪科八下31T6改编）选择合适的方 法解下列一元二次方程： (1)(x-2)2=5: （2-718=0: (3)x2+3x+1=0: (4)2x(x-3)+x=3. 图考点4一元二次方程根与系数的关系 4.教材（人教九上P16例4改编）已知关于x 的一元二次方程x2+3x+k=0的两个实数根 分别为x1,x 一题多点 (1)当k=2时， ①x1x2= ,x1+X2= ②x,2+x22= ’x1X2 (2)若x1=2x2,则常数k的值为 第二单元方程（组）与不等式（组）25 函考点5一元二次方程的实际应用 7.教材面积问题（人教九上P25T8改编）如 (2023.11,北部湾5年2考) 图.利用一面墙（墙的长度为20m),用34m 5.真题变化率问题(2023广西11题3分)据 长的篱笆围成两个鸡场，中间用一道篱笆隔 国家统计局发布的《2022年国民经济和社会 开，每个鸡场均留一道1m宽的门，设AB的 发展统计公报》显示，2020年和2022年全国 长为xm. 居民人均可支配收入分别为3.2万元和 (1)若两个鸡场的面积和为Sm2,求S关于x 3.7万元.设2020年至2022年全国居民人均 的关系式：（不用写出自变量的取值范围） 可支配收入的年平均增长率为x,依题意可列 (2)两个鸡场面积和Sm2可以等于160m 方程为 () 吗？如果可以，求出此时AB的长 A.3.2(1-x)2=3.7 20m D B.3.2(1+x)2=3.7 C.3.7(1-x)2=3.2 D.3.7(1+x)2=3.2 【变式5.1】某地区2022年人均可支配收入为 3万元，已知2022年至2024年各年人均可支 配收入的和为10.92万元.设2022年至2024 年人均可支配收入的年平均增长率为x,则可 列方程为 6.教材每每问题（湘教九上P50T2改编）某品 牌童装平均每天可售出20件，每件盈利 40元，为了迎接国庆节，商场决定采取适当的 降价措施，扩大销售量，增加盈利，尽快减少 库存.经市场调查发现：若每件童装降价1元， 则每天可多售出2件.如果要使每天销售这种 童装盈利1200元，那么每件童装应降价多 少元？ (1)填空：设每件童装降价x元，那么降价后， 平均每天就可多售出 件，一天可售出 件，每件盈利 元： (2)列方程求解上述问题 温馨提示 请完成分层进阶练习册P14~P15习题 26 众相原创赋能中考 广西数学小专题培优1代入求值中的整体思想 【变式设问1】2 1.C【变式L1B【变式1.2362.D【变式2.1B 【变式设问21化子（答案不唯一 【变式2.263.4【变式3.1】A【变式3.2D 4.B5.B6.2×3x=4(20-x) 7.(1)0.4xy0.8x0.8y 【变式3.3号4.D【变式4.64【变式4.22 5.1 (2)解：根据题意，得04r+y=32. 0.8x+0.8y=40 解得/=30， Ly=20, 易错题专练 答：每餐含甲原料30克，乙原料20克恰好能满足初中 学生的需要 1.32.43.C 4.3(a-b)2+(-6a3b+12m2b)÷2ab=3b. 第二节分式方程及其应用 当b=-1时，原式=3×(-1)2=3. ①(x+1)②x-3+x+1=x+2③x=4④x=4 s.C6司 ⑤x+1≠0⑥x=4⑦0 1.(1)1(2)1或3 2.x=-1是原分式方程的解 7. 2(x-1) x+1-2x+2 3-x (x-1)(x+1) (x-1)(x+1) (x-1)(x+1) 3.x=-3是原分式方程的解 x-3 12- 4.D5.A 0 x+I 6. 解：(1)设乙商店租用服装每套x元，则甲商店租用服 计算题加练 装每套(x+10)元， 1原式=-子2原式=03原式=1 由题意，得，0一四解得=0， 4.原式=-1.5.原式=-2. 经检验，x=40是该分式方程的解，并符合题意， 6.(2x+1)(2x-1)+x(3-4x)=-1+3x ∴.x+10=50 当x=行时，原式=-1+3x ∴.甲、乙两个商店租用的服装每套各50元、40元： 3-0 (2)在乙商店租用服装的费用较少. 1-)+4 理由：该参赛队伍准备租用20套服装时， m2 -m m-2' 甲商店的费用为50×20×0.9=900（元）， 当-1时原式-已2号 乙商店的费用为40×20=800（元）. :900>800,∴乙商店租用服装的费用较少 8.(2-a-2)÷0-4.0+1 第三节 一元二次方程及其应用 aa a-2 a≠0，a2-4≠0，a2+a≠0，∴.a≠0，a±2，a≠-1， 02②±Vn+m-m③-b±公-4c④a⑤6 2a 当a=1时，原式号-2 对点自测 (1)x1=-3,=-1.(2)x1=2,x3=-6 第二单元方程（组）与不等式（组） ⑥不相等⑦相等⑧没有⑨-么①二 第一节一次方程（组）及其应用 ①一个②1③整式④2(3x-1)=6-(4x-1) ①-2x,2(x+5)产-45B+5a（1-x}= ⑤6x-2=6-4x+1⑥6x+4x=6+1+2⑦10x=9 x无3 b5(a-2x)(b-2x）6(a-x)(b-x)⑦(a-x)(b 9 8x=10 -x）B王·b6pa(1+x)产("，-业2n(n-1） 2 对点自测 1.(1)m≠-1(2)-1(3)x21-3x-32 (1)方程组的解是任=1， 20=2+5=2-5.(2==- 3 y=-2: (2)方程组的解是：=L, ly=I. (3=3535(4=3=-宁 2 ⑨+0+①- 3.解：(1)解法一：设方程的另一个根为， 1.C2.x=1 【变式2.1】(1)三移项时-4没有变号 根据题意，得2+1=一专21=一号 (2)解：4x+3x-10x=16+4, -3x=20, 解得1=- k=-7 3 即它的另一个根为-子，k的值为-7： r=2 解法二：将x=2代入方程，得20+2k-6=0. 3.方程组的解为 解得k=-7, 由=-7得，原方程为5x2-7x-6=0, 广西数学3 解方程，得名=2=-号 易错题专练 即它的另一个根为-号k的值为-7： 1-3+3=5x+102①2=- 3.丙4.D5.C6.-27.D8.1或2 (2)62-4ae=k2+4×5×6=k2+120>0, 则方程有两个不相等的实数根： 计算题加练 (3)62-4ae=k2-4×5×6=k2-120 1.原方程的解为x=4.2.原方程的解为x=-4. 当2-120=0时，即k=±230，方程有两个相等的 3.原方程的解为x=9.4.原方程的解为x=5. 实数根。 5.x= 是原方程的解、《该方程组的解为：2， Ly=-1 4(1)02-3②5-号 (2)2 7.该方程组的解为=6， 5.B【变式5.1】3+3(1+x)+3(1+x)2=10.92 【y=-4 6.(1)2x(20+2x)(40-x) 8.解得x>2,解集在数轴上表示如下： (2)解：根据题意，得(40-x)(20+2x)=1200, -5-4-3-2-1012345 整理，得x2-30x+200=0,解得1=10，x1=20 要扩大销售量，尽快诚少库存，.x=20 9不等式组的解集是-<x<2 答：每件童装应降价20元 10.(1)x1=3+、10,x2=3-10. 7.解：(1)由题意，得 S=x(34-3x+2)=x(36-3x)=-3x2+36x, (2)x=3+17 4 6=3-7 4 即S关于x的关系式是S=-3x2+36x: 第三单元函数 (2)由题意.得-3x2+36r=160, 即3x2-36x+160=0. 第一节平面直角坐标系与函数 4=b2-4ac=362-4×3×160=-624<0. ①>②<③>④<⑤=⑥=⑦=⑧= 原方程无实数解， ⑨相等0互为相反数①纵2横B1y11x ∴，两个鸡场面积和Sm2不能等于160m2. 5√星+7⑥lx,-xlly-片1®(a-c,b) 第四节一次不等式（组）及其应用 9(a+c,b)@(a,b+c)@(a,b-c)2(a,-b) ①>②>③>④<⑤<⑥实心岗点⑦空心 8(-a,b)4(-a,-b)5(b,-a)(-b,a) 0(-a,-b)必唯一四解析式别≥1迎>1 圆圈⑧左⑨右0公共部分①x>a②x<b 1.C B0<x<a4无解5≥0≤≥8≤ 1.④⑥2.C3.B4.x<-2 2.(1)四3534 5.解得x≥4，解集在数轴上表示如下： (2)(-3,-5)(3,5)(-3,5)(5,-3) (3)(0.-5)(3.-9)54 -4-3-2-1012345 (4)(5,3)(-5,-3)(5)00=(6)3-5 6.C 7.(1)-2≤x<1-3 ()("2,")m-3+(a+5列 (2) 3.A4.C 第二节一次函数的图象与性质 -5-4-3-2-1017345 ①一、二三②一三③一，三四④一，二，四 (3)(i)a≥1(i)-2<a≤-1 8.D ⑤二四⑥二三，四⑦增大⑧减小⑨(-冬，0) 9.解：(1)设购买的甲种树苗的单价为x元，乙种树苗的 单价为y元依题意，得 0(0,b)y=k+6(k≠0)卫2k+b=1. 1-k+b=-5 50r+20r=50解得=60. 130x+10y=2800, Ly=100. 3=2.y=2x-3 15+m 1-m 2+m 答：购买的甲种树苗的单价是60元，乙种树苗的单价B-m⑧k,=k④k·k2=-1①k=k2,b,=6, 是100元： (2)设购买甲种树苗a棵，则购买乙种树苗(500-a) 2=-÷©t68上5下> ly=kx+b 棵，由题意，得 0< 60a+100(500-a)≤42000. 1.D 50-a≥4a, 2.(1)0(2)D(3)<>(4)-2-6(5)(-3, 0)(0,-6) 解得200≤a≤400. 3.14.(1)y=2x-1y=2x ∴.甲种树苗数量的取值范围是200≤a≤400. 5.(1)y=-3x+5(2)y=-3x-4(3)y=3x-2 4众相原创赋能中考