第1节 一次方程(组)及其应用-【众相原创·赋能中考】2025年中考数学课堂精讲册（广西专用）

第二单元方程（组）与不等式（组） 第一节一次方程（组）及其应用 【版本导航】人教：七上P77~P112,七下P87~P112:湘教：七上P82~PI10,七下PI~P27;沪科：七 上P84~P129. 阶了 教材知识全梳理 考点工等式的性质 数学表达 在解方程中的应用 性质1 若a=b,则a±c=b±c 移项 若a=b,则ac=bc 去分母 性质2 若a=b(c≠0)，则口=b 系数化为1 考点2一元一次方程及其解法 1.概念：只含有① 未知数（元），未知数的次数都是② ,等号两边都是③ ,这样的 方程叫做一元一次方程. 2.解法及注意事项： 一般步骤 例：解方程3=1-4“ 3 6 注意事项 去分母 解：④ 方程两边同乘各分母的最小公倍数，不要漏乘常数项 去括号 ⑤ 去括号时，注意是否需要变号 移项 ⑥ 移项一定要变号 合并同类项 ⑦ 系数相加，未知数及其指数不变 系数化为1 ⑧ 分子和分母位置，不要颠倒 考点③二元一次方程组及其解法（重点） 1基本思想：消元，即二元一次方程组消元一元一次方程 2.解法： 步骤 适用情况 (1)变：用含一个未知数的代数式表示另一个未知数： 代入 一个方程的常数项为0或某 (2)代：将(1)中代数式代入另一个方程，消元得一元一次方程； 消元法 个未知数的系数为1或者-1 (3)解：解一元一次方程 第二单元方程（组）与不等式（组）17 续表 (1)变：方程变形，使两个二元一次方程中同一未知数的系数 某一个未知数的系数相等 加减 相等或互为相反数： 或互为相反数或易变形为 消元法 (2)加减：两个方程加或减消去一个未知数得一元一次方程： 相等或相反数的形式 (3)解：解一元一次方程 对点自测选择适当的方法解方程组： 2x-y=4, ① 5x-2y=3,① (1) (2) 3x+2y=-1:② 3.x+2y=5.② 【知识拓展】三元一次方程组的解法 基本思想：消元，即三元一次方程组消元二元一次方程组消无 一元一次方程 考点4一次方程（组）的实际应用（重点） 1.解一次方程（组）实际问题的一般步骤： 一般步骤 特别提醒 审 审：找等量关系 设 实际问烟 方程组)问题 设：设未知数： 对于带单位的应 列 列：列方程(1) 解 用题，在设未知数 解 实际问题的解 方程组)的解 和作答时，要带 验 险：检验，是方程红)的 单位 解，且符合实际意义 答 2.列方程（组）解实际应用题的常见类型 常见类型 等量关系 以购买甲、乙两种商品为例： 购买、分配 (1)总价=单价×总量： 问题 (2)甲的量+乙的量=总量（或甲、乙的量之间的和差倍分关系）； (3)甲的量×甲的单价+乙的量×乙的单价=总价 (1)售价=标价×折扣（如：打八折就是标价×80%）： 打折销售 (2)销售额=销售单价×销售总量： 问题 (3)单件利润=单件售价-单件进价： (4)利润率=利润x100% 进价 18 众相原创赋能中考广西数学 续表 (1)一个A和一个B配套：A的数量=B的数量： 配套问题 (2)m个A和n个B配套：合的数量-丹，即A的数量×n=B的数量xm (1)工作总量=工作效率×工作时间： 工程问题 (2)工作总量=各组工作量之和： (3)工作总量未定时，可设工作总量为单位“1”，此时，工作效率=工作时同 1 路程=速度×时间，即s=以. (1)相遇问题：甲×相遇时甲的行驶时间⑨ 2×相遇时乙的行驶时间=两地路程： 行程问题 (2)追及问题：若同时出发，则1甲-2I×追及时间=追及路程： (3)航行问题：顺水速度=静水速度0 水流速度，逆水速度=静水速度① 水 流速度 (1)未超过部分的费用=单位费用×用量： 阶梯费用 (2)超过部分的费用=（单位费用±a)×超过部分的用量(a表示每单位提高或降低的 问题 价格) 比赛积分 (1)总场数=胜场数+负场数+平场数： 问题 (2)总积分=胜场积分+负场积分+平场积分 阶 追本溯源练考点 教材·真题·课标 函考点1等式的性质 【变式2.1】注重学习过程用好错题本可以有效 1.教材（湘教七上P89T2改编）根据等式的性 地积累解题策略，减少再错的可能.下面是刘 凯同学错题本上的一道题，请仔细阅读并完 质，下列变形正确的是 ( A.若x=y,则x+c=y-c 成相应的任务： B.若ab=bc,则a=c 2x4-3x=5x+8 3-6 3 c若名则a=b 解：2×2x-(4-3x）=2(5x+8)…第一步 e 4x-4+3x=10x+16…第二步 D.若5+51.则3x+2x=1 4x+3x-10x=16-4…第三步 团考点2一元一次方程及其解法 -3x=12…第四步 x=-4…第五步 (北部湾5年1考)】 (1)第 步开始出错，这一步错误的原因 2.教材（沪科七上P89例4改编）解方程： 是 ； 1-x-1_2+x 2 3 (2)请从错误的一步开始，写出解方程的正确 过程。 第二单元方程（组）与不等式（组）19 函考点3二元一次方程组及其解法 6. 配套问题教材（人教七上P100例1改编） (2024.20,2023.25涉及) 20名工人生产螺栓和螺母，已知一名工人一 3.真题(2024广西20题6分)解方程组： 天生产3个螺栓或4个螺母，且1个螺栓配 「x+2y=3, 2个螺母，如何分配工人生产螺栓和螺母？若 lx-2y=1. 设生产螺栓的工人有x名，则根据题意可列方 程为 7.课标(P141例62改编)在人体每天摄取的总 能量中，午餐约占40%，膳食中营养的均衡摄 入与学生身体健康密切相关.某健康营养师 x-y=4-a, 【变式设问1】若方程组 的解满足 计划用甲、乙两种原料为学生配制营养午餐， 3x+y=3a 已知每克甲原料含0.4单位蛋白质和0.8单 x+y=2,则a的值为 位铁质，每克乙原料含1单位蛋白质和0.8单 【变式设问2】开放性试题已知二元一次方程 位铁质。 x+3y=14,请写出方程的一组解： (1)设每餐含甲原料x克，乙原料y克.依据题 函考点4一次方程（组）的实际应用 意，填写下表： (2024.11,2023.25,北部湾5年3考) 项目 甲原料 乙原料 4.真题(2024广西11题3分)《九章算术》是我 所含蛋白质/单位 国古代重要的数学著作，其中记载了一个问 题，大致意思为：现有田出租，第一年3亩 所含铁质/单位 1钱，第二年4亩1钱，第三年5亩1钱，三年 共得100钱.问：出租的田有多少亩？设出租 (2)如果一个初中学生每餐需要32单位蛋白 的田有x亩，可列方程为 ( 质和40单位铁质，那么每餐含甲、乙两种原料 各多少克恰好能满足初中学生的需要？ A5+4+5=1B.5+4+5=100 C.3x+4x+5x=1D.3x+4x+5x=100 5.真题(2021北部湾10题3分)《九章算术》是 人类科学史上应用数学的“算经之首”，书中记 载，今有三人共车，二车空；二人共车，九人步， 问：人与车各几何？译文：若3人坐一辆车，则 两辆车是空的：若2人坐一辆车，则9人需要 步行，问：人与车各多少？设有x辆车，人数为 y,根据题意可列方程组为 () ry=3x-2, y=3(x-2), A. ly=2x+9 y=2x+9 y=3x-2, y=3(x-2), C. D y=2x-9 ly=2x-9 温馨提示 请完成分层进阶练习册P10~P11习题 20 众相原创赋能中考广西数学小专题培优1代入求值中的整体思想 【变式设问1】2 1.C【变式L1B【变式1.2362.D【变式2.1B 【变式设问21化子（答案不唯一 【变式2.263.4【变式3.1】A【变式3.2D 4.B5.B6.2×3x=4(20-x) 7.(1)0.4xy0.8x0.8y 【变式3.3号4.D【变式4.64【变式4.22 5.1 (2)解：根据题意，得04r+y=32. 0.8x+0.8y=40 解得/=30， Ly=20, 易错题专练 答：每餐含甲原料30克，乙原料20克恰好能满足初中 学生的需要 1.32.43.C 4.3(a-b)2+(-6a3b+12m2b)÷2ab=3b. 第二节分式方程及其应用 当b=-1时，原式=3×(-1)2=3. ①(x+1)②x-3+x+1=x+2③x=4④x=4 s.C6司 ⑤x+1≠0⑥x=4⑦0 1.(1)1(2)1或3 2.x=-1是原分式方程的解 7. 2(x-1) x+1-2x+2 3-x (x-1)(x+1) (x-1)(x+1) (x-1)(x+1) 3.x=-3是原分式方程的解 x-3 12- 4.D5.A 0 x+I 6. 解：(1)设乙商店租用服装每套x元，则甲商店租用服 计算题加练 装每套(x+10)元， 1原式=-子2原式=03原式=1 由题意，得，0一四解得=0， 4.原式=-1.5.原式=-2. 经检验，x=40是该分式方程的解，并符合题意， 6.(2x+1)(2x-1)+x(3-4x)=-1+3x ∴.x+10=50 当x=行时，原式=-1+3x ∴.甲、乙两个商店租用的服装每套各50元、40元： 3-0 (2)在乙商店租用服装的费用较少. 1-)+4 理由：该参赛队伍准备租用20套服装时， m2 -m m-2' 甲商店的费用为50×20×0.9=900（元）， 当-1时原式-已2号 乙商店的费用为40×20=800（元）. :900>800,∴乙商店租用服装的费用较少 8.(2-a-2)÷0-4.0+1 第三节 一元二次方程及其应用 aa a-2 a≠0，a2-4≠0，a2+a≠0，∴.a≠0，a±2，a≠-1， 02②±Vn+m-m③-b±公-4c④a⑤6 2a 当a=1时，原式号-2 对点自测 (1)x1=-3,=-1.(2)x1=2,x3=-6 第二单元方程（组）与不等式（组） ⑥不相等⑦相等⑧没有⑨-么①二 第一节一次方程（组）及其应用 ①一个②1③整式④2(3x-1)=6-(4x-1) ①-2x,2(x+5)产-45B+5a（1-x}= ⑤6x-2=6-4x+1⑥6x+4x=6+1+2⑦10x=9 x无3 b5(a-2x)(b-2x）6(a-x)(b-x)⑦(a-x)(b 9 8x=10 -x）B王·b6pa(1+x)产("，-业2n(n-1） 2 对点自测 1.(1)m≠-1(2)-1(3)x21-3x-32 (1)方程组的解是任=1， 20=2+5=2-5.(2==- 3 y=-2: (2)方程组的解是：=L, ly=I. (3=3535(4=3=-宁 2 ⑨+0+①- 3.解：(1)解法一：设方程的另一个根为， 1.C2.x=1 【变式2.1】(1)三移项时-4没有变号 根据题意，得2+1=一专21=一号 (2)解：4x+3x-10x=16+4, -3x=20, 解得1=- k=-7 3 即它的另一个根为-子，k的值为-7： r=2 解法二：将x=2代入方程，得20+2k-6=0. 3.方程组的解为 解得k=-7, 由=-7得，原方程为5x2-7x-6=0, 广西数学3