精品解析： 2024—2025学年人教版八年级上册 数学期中模拟考试试卷

人教版2024—2025学年八年级上册秋季数学期中模拟考试试卷 考生注意：本试卷共三道大题，25道小题，满分120分，时量120分钟 注意事项： 1．本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分．笞卷前，考生务必 将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答第I卷时，选出每小题答案后，把答案填写在答题卡上对应题目的位置，填空题填写在答题卡相应的位置写在本试卷上无效． 3．回答第II卷时，将答案写在第II卷答题卡上． 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第I卷 一、选择题（每题只有一个正确选项，每小题3分，满分36分） 1. 如图运动图标中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 以下列各组数据为边长,能构成三角形的是： A. 4,4,8 B. 2,4,7 C. 4,8,8 D. 2,2,7 3. 如图，△ABC≌△DEC，B、C、D在同一直线上，且CE＝5，AC＝7，则BD长（　） A. 12 B. 7 C. 2 D. 14 4. 小明不慎将一块三角形的玻璃摔碎成如图所示的四块（即图中标有1、2、3、4的四块），你认为将其中的哪一些块带去，就能配一块与原来一样大小的三角形？应该带（ ） A. 第1块 B. 第2块 C. 第3块 D. 第4块 5. 已知图中的两个三角形全等，则等于（ ） A B. C. D. 6. 若一个多边形的外角和与它的内角和相等，则这个多边形是（ ） A. 三角形 B. 五边形 C. 四边形 D. 六边形 7. 如图，点E、F在上，，．添加一个条件后，不能证明，这个条件可能（ ） A. B. C. D. 8. 如图，P、Q是△ABC的边BC上的两点，且BP=AP=AQ=QC=PQ，则∠BAC=（ ） A. 90° B. 120° C. 125° D. 130° 9. 如图，的外角和的平分线交于点E，和的平分线交于点M，若，则的度数为（　　） A. B. C. D. 10. 如图，在△AOB中，∠OAB＝∠AOB＝15°，OB＝8，OC平分∠AOB，点P在射线OC上，点Q为边OA上一动点，则PA+PQ的最小值是（　　） A. 3 B. 4 C. 4 D. 3 二、填空题（6小题，每题3分，共18分） 11. 已知关于x轴的对称点，则_________． 12. 等腰三角形的两边长为5和3，则周长为____________． 13. 若n边形每一个外角都是，则n的值为_______ 14. 如图，若，且，，则_______________ 15. 如图，△ABC三边的中线AD，BE，CF的公共点G，若，则图中阴影部分面积是 ____________. 16. 如图，在△ABC中，AD⊥BC，BE⊥AC，垂足分别为点D，E，AD与BE相交于点F，若BF=AC，则∠ABC=___________°． 第II卷 三、解答题解答题（17、18、19题每题6分，20、21每题8分，22、23每题9分，24、25每题10分，共计72分，解答题要有必要的文字说明） 17. 如图，在中，，点、F，分别在边，上，． （1）求证：． （2）若，，求的度数． 18 如图，于，于，若、． （1）求证： （2）求证：平分； 19. 如图，△ABC是等边三角形，BD是AC边上的高，延长BC至E，使DB=DE． （1）求∠BDE的度数； （2）求证：△CED为等腰三角形． 20. 如图，在平面直角坐标系中有三个点，，． （1）连接A、B、C三点，请在图中作出关于y轴对称的图形； （2）写出点的坐标并求的长度； （3）求的面积． 21. 在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，AD⊥BC，且AD＝AB． （1）如图1，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F求证AE+AF=AD． （2）如图2，如果∠EDF=60°，且∠EDF两边分别交边AB，AC于点E，F，那么线段AE，AF，AD之间有怎样的数量关系？并给出证明． 22. 如图，直线一侧有一等腰，其中，，直线过顶点C，分别过点A，B作，，垂直分别为点，的角平分交于点O，交于点G，连接，满足，延长，交于点D． （1）证明：； （2）求证：； （3）若，求线段的长度． 23. 如图，在平面直角坐标系中，点O为原点，△OAB为等边三角形，P、Q分别为AO，AB边上的动点，点P，点Q同时从点A出发，若P以个单位每秒的速度从点A向点O运动，点Q以2个单位每秒的速度从点A向点B运动，设运动时间为t． （1）如图1，已知点A的坐标为（a，b），且满足（a﹣3）2+|a﹣b|＝0，则A点坐标 ； （2）如图1，连接BP，OQ交于点C，请问当t为何值时，∠OCP＝60°； （3）如图2，D为OB边上的中点，P，Q在运动过程中，D，P，Q三点是否能构成使∠PDQ＝120°的等腰三角形？若能，试求：①运动时间t；②此时四边形APDQ的面积；若不能，请说明理由． 24. 在平面直角坐标系中，点，，点C为x轴正半轴上一动点，过点A作交y轴于点E． （1）如图①，求证：； （2）如图②，若点Cx轴正半轴上运动，且，连接． ①若，求证：． ②当时，求的值． 25. 如图，四边形的位置在平面直角坐标系中如图所示，且，，，又a，b满足，点P在x轴上且横坐标大于b，射线是第一象限的一条射线，点Q在射线上，．并连接交y轴于点M． （1）求点A，B，C的坐标为A______、B______、C______． （2）当时，求的度数． （3）在（2）的条件下，若点P在x轴的正半轴上，且，试求点M的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 人教版2024—2025学年八年级上册秋季数学期中模拟考试试卷 考生注意：本试卷共三道大题，25道小题，满分120分，时量120分钟 注意事项： 1．本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分．笞卷前，考生务必 将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答第I卷时，选出每小题答案后，把答案填写在答题卡上对应题目的位置，填空题填写在答题卡相应的位置写在本试卷上无效． 3．回答第II卷时，将答案写在第II卷答题卡上． 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第I卷 一、选择题（每题只有一个正确选项，每小题3分，满分36分） 1. 如图运动图标中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查轴对称图形，一个平面图形沿一条直线对折，直线两旁的部分能够完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，据此进行判断即可． 【详解】解：观察图形，只有选项A的图形能够找到一条直线使图形沿直线对折后，直线两旁的部分能够完全重合，是轴对称图形；B，C，D中的图形不能够找到一条直线使图形沿直线对折后，直线两旁的部分能够完全重合，不是轴对称图形． 故选A． 2. 以下列各组数据为边长,能构成三角形的是： A. 4,4,8 B. 2,4,7 C. 4,8,8 D. 2,2,7 【答案】C 【解析】 【详解】解：∵4+4=8，故以4，4，8为边长，不能构成三角形； ∵2+4＜7，故以2，4，7为边长，不能构成三角形； ∵4，8，8中，任意两边之和大于第三边，故以4，8，8为边长，能构成三角形； ∵2+2＜7，故以2，2，7为边长，不能构成三角形； 故选C． 【点睛】在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形． 3. 如图，△ABC≌△DEC，B、C、D在同一直线上，且CE＝5，AC＝7，则BD长（　） A. 12 B. 7 C. 2 D. 14 【答案】A 【解析】 【分析】由题意易得BC=EC，AC=DC，然后由CE＝5，AC＝7可求解． 【详解】解：△ABC≌△DEC， BC=EC，AC=DC， CE＝5，AC＝7， BD=BC+CD=CE+AC=5+7=12； 故选A． 【点睛】本题主要考查全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键． 4. 小明不慎将一块三角形的玻璃摔碎成如图所示的四块（即图中标有1、2、3、4的四块），你认为将其中的哪一些块带去，就能配一块与原来一样大小的三角形？应该带（ ） A. 第1块 B. 第2块 C. 第3块 D. 第4块 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定，由全等三角形的判定条件可得结论． 【详解】解：1、3、4块玻璃不同时具备包括一完整边在内的三个证明全等的要素，所以不能带它们去， 只有第2块有完整的两角及夹边，符合，满足题目要求的条件，是符合题意的． 故选：B． 5. 已知图中的两个三角形全等，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的性质，解题的关键是掌握全等三角形的性质． 直接利用全等三角形的性质得出对应角相等，进而得出答案． 【详解】解：由全等三角形的性质得：是边a和c的夹角， ∴， 故选：D． 6. 若一个多边形的外角和与它的内角和相等，则这个多边形是（ ） A. 三角形 B. 五边形 C. 四边形 D. 六边形 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查的是多边形的内角和和外角和，掌握任意多边形的外角和为和多边形的内角和公式是解题的关键． 由任意多边形的外角和为，然后利用多边形的内角和公式计算即可． 【详解】解：设多边形的边数为n． 根据题意得：，解得：． 故选：C． 7. 如图，点E、F在上，，．添加一个条件后，不能证明，这个条件可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查三角形全等的判定，根据，，，逐个判断即可得到答案； 【详解】解：∵，， 当构成，能得到，不符合题意， 当得到构成，能得到，不符合题意， 当构成，能得到，不符合题意， 当不能得到三角形全等的判定，符合题意， 故选：D． 8. 如图，P、Q是△ABC的边BC上的两点，且BP=AP=AQ=QC=PQ，则∠BAC=（ ） A. 90° B. 120° C. 125° D. 130° 【答案】B 【解析】 【分析】根据等边三角形的性质，得∠PAQ=∠APQ=∠AQP=60°，再根据等腰三角形的性质和三角形的外角的性质求得∠BAP=∠CAQ=30°，从而求得∠BAC=120°． 【详解】解：， 为等边三角形， ， ， ，， ． 故选B． 考点：等边三角形的性质、等腰三角形的性质以及三角形的外角的性质 9. 如图，的外角和的平分线交于点E，和的平分线交于点M，若，则的度数为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，角平分线定义，先求出，进而求出，再根据角平分线定义得，及，最后根据三角形内角和定理得出答案. 【详解】∵ ∴， ∴. ∵和的平分线交于点E， ∴， ∴. ∵和的平分线交于点M， ∴， ∴， 在中，， 即：. 故选：C． 10. 如图，在△AOB中，∠OAB＝∠AOB＝15°，OB＝8，OC平分∠AOB，点P在射线OC上，点Q为边OA上一动点，则PA+PQ的最小值是（　　） A. 3 B. 4 C. 4 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】在射线上截取一点，使得，则，可得．作于．可得，推出当、、共线，且垂直时，值最小，最小值为， 【详解】解：在射线上截取一点，使得，则，可得．作于． ， 当、、共线，且垂直时，的值最小，最小值为， 在中，，， ， 的最小值为4， 故选． 【点睛】本题考查轴对称最短问题、等腰三角形的性质、直角三角形30度角性质等知识，解题的关键是学会利用轴对称解决最短问题，属于中考常考题型． 二、填空题（6小题，每题3分，共18分） 11. 已知关于x轴的对称点，则_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查轴对称，根据关于x轴对称点的坐标特点：横坐标相同，纵坐标互为相反数可得，，即可求解． 【详解】解：∵关于x轴的对称点， ∴，， ∴， 故答案为：． 12. 等腰三角形的两边长为5和3，则周长为____________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的性质和三角形的三边关系，在对等腰三角形进行分类讨论时，要注意三条边能否构成三角形．根据等腰三角形的性质和三角形的三边关系进行求解即可． 【详解】解：当等腰三角形的腰长为5，底长为，此时，符合题意， ∴三角形周长． 当底边为5，腰为时，此时，符合题意， ∴三角形周长． 故答案为：或． 13. 若n边形的每一个外角都是，则n的值为_______ 【答案】9 【解析】 【分析】本题考查了多边形的内角与外角．由多边形的外角相等可得多边形的边数等于除以每一个外角的度数，计算即可得解． 【详解】解：边形的每一个外角都是， ， 故答案为：9． 14. 如图，若，且，，则_______________ 【答案】##90度 【解析】 【分析】本题考查的是三角形的内角和定理的应用，全等三角形的性质，掌握“全等三角形的对应角相等”是解本题的关键．先利用三角形的内角和定理求解，再利用全等三角形的性质可得答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 15. 如图，△ABC三边的中线AD，BE，CF的公共点G，若，则图中阴影部分面积是 ____________. 【答案】4 【解析】 【详解】解：是中线， 同理可得： ， 由中线性质，可得AG=2GD，则 ， ∴阴影部分的面积为4； 故答案为：4. 16. 如图，在△ABC中，AD⊥BC，BE⊥AC，垂足分别为点D，E，AD与BE相交于点F，若BF=AC，则∠ABC=___________°． 【答案】45 【解析】 【分析】根据三角形全等的判定和性质，先证△ADC≌△BDF，可得BD=AD，可求∠ABC=∠BAD=45°． 【详解】∵AD⊥BC于D，BE⊥AC于E ∴∠EAF+∠AFE=90°，∠DBF+∠BFD=90°， 又∵∠BFD=∠AFE（对顶角相等） ∴∠EAF=∠DBF， 在Rt△ADC和Rt△BDF中， ， ∴△ADC≌△BDF（AAS）， ∴BD=AD， ∵∠ADB=90°． ∴∠ABC=∠BAD=45°． 故答案为：45． 【点睛】三角形全等的判定是中考的热点，一般以考查三角形全等的方法为主，判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件． 第II卷 三、解答题解答题（17、18、19题每题6分，20、21每题8分，22、23每题9分，24、25每题10分，共计72分，解答题要有必要的文字说明） 17. 如图，在中，，点、F，分别在边，上，． （1）求证：． （2）若，，求的度数． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据等边对等角得到，然后证明出即可； （2）设，根据题意得到，然后表示出，，然后利用三角形内角和列方程求解即可． 【小问1详解】 ∵ ∴ 又∵ ∴； 【小问2详解】 设 ∵ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴在中， ∴ 解得 ∴． 【点睛】此题考查了全等三角形的判定，三角形内角和定理，解题的关键是熟练掌握以上知识点． 18. 如图，于，于，若、． （1）求证： （2）求证：平分； 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】(1)由“”可证 (2)根据全等三角形的性质得到，又由于，于，即可得出结论． 【小问1详解】 .， 在和中， ， ． 【小问2详解】 于，于 平分． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键． 19. 如图，△ABC是等边三角形，BD是AC边上的高，延长BC至E，使DB=DE． （1）求∠BDE的度数； （2）求证：△CED为等腰三角形． 【答案】（1）∠BDE=120°；（2）见解析 【解析】 【分析】（1）根据等边对等角得到∠E=∠DBE，根据等边三角形的性质得到∠ACB=∠ABC=60°，求得∠DBC=30°，根据三角形的内角和即可得到结论； （2）根据三角形的外角的性质得到∠CDE=∠ACB﹣∠E=30°，根据等角对等边即可得到结论． 【详解】（1）∵DB=DE，∴∠E=∠DBE． ∵△ABC是等边三角形，∴∠ACB=∠ABC=60°． ∵△ABC是等边三角形，BD是高，∴∠DBC=30°，∴∠E=∠DBE=30°，∴∠BDE=180°－∠DBE－∠E=120°； （2）∵∠ACB=60°，∠E=30°，∴∠CDE=∠ACB﹣∠E=30°，∴∠CDE=∠E，∴CD=CE，∴△CED是等腰三角形． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握等边三角形的性质是解题的关键． 20. 如图，在平面直角坐标系中有三个点，，． （1）连接A、B、C三点，请在图中作出关于y轴对称的图形； （2）写出点的坐标并求的长度； （3）求面积． 【答案】（1）见解析 （2）8 （3）2.5 【解析】 【分析】此题主要考查了轴对称变换以及三角形面积求法，正确得出对应点位置是解题关键． （1）直接利用关于轴对称点的性质得出对应点位置进而得出答案； （2）根据两点之间的距离解答即可； （3）利用所在矩形面积减去周围三角形面积进而得出答案． 【小问1详解】 解：如图所示：即为所求， 【小问2详解】 解：点的坐标为，的长度； 【小问3详解】 解：的面积． 21. 在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，AD⊥BC，且AD＝AB． （1）如图1，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F求证AE+AF=AD． （2）如图2，如果∠EDF=60°，且∠EDF两边分别交边AB，AC于点E，F，那么线段AE，AF，AD之间有怎样的数量关系？并给出证明． 【答案】（1）见详解；（2）AE＋AF＝AD 【解析】 【分析】（1）由等腰三角形的性质和已知条件得出∠BAD＝∠DAC＝×120°＝60°，再证出∠ADE＝∠ADF＝90°−60°＝30°，由含30角的直角三角形的性质得出AE＝AD，AF＝AD，即可得出结论； （2）连接BD，证明△ABD是等边三角形，得出BD＝AD，∠ABD＝∠ADB＝60°，证出∠ABD＝∠DAC，得出∠EDB＝∠ADF，由ASA证明△BDE≌△ADF，得出BE＝AF，即可得出结论． 【详解】（1）证明：∵AB＝AC，AD⊥BC， ∴∠BAD＝∠DAC＝∠BAC， ∵∠BAC＝120°， ∴∠BAD＝∠DAC＝×120°＝60°， ∵DE⊥AB，DF⊥AC， ∴∠ADE＝∠ADF＝90°−60°＝30°， ∴AE＝AD，AF＝AD， ∴AE＋AF＝AD＋AD＝AD； （2）线段AE，AF，AD之间的数量关系为：AE＋AF＝AD，理由如下： 连接BD，如图所示： ∵∠BAD＝60°，AB＝AD， ∴△ABD是等边三角形， ∴BD＝AD，∠ABD＝∠ADB＝60°， ∵∠DAC＝60°， ∴∠ABD＝∠DAC， ∵∠EDB＋∠EDA＝∠EDA＋∠ADF＝60°， ∴∠EDB＝∠ADF， 在△BDE与△ADF中， ∴△BDE≌△ADF（ASA）， ∴BE＝AF， ∵AE＋BE＝AD， ∴AE＋AF＝AD． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、含30角的直角三角形的性质；熟练掌握等腰三角形的性质，并能进行推理论证是解决问题的关键． 22. 如图，直线一侧有一等腰，其中，，直线过顶点C，分别过点A，B作，，垂直分别为点，的角平分交于点O，交于点G，连接，满足，延长，交于点D． （1）证明：； （2）求证：； （3）若，求线段的长度． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】本题考查了三角形全等的判定和性质，直角三角形的性质应用，线段垂直平分线的性质应用，掌握几何图形的判定和性质内容是解题的关键． （1）根据题意，只要证明即可； （2）如图，作于，通过证明得到 ，进而证明 即可得出结论； （3）通过证明，可得，结合平分且，可知是线段的垂直平分线，由已知即可求出结果． 【小问1详解】 证明：，直线过顶点， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴在和中. ， ∴， ∴； 【小问2详解】 证明：如图，作， ∵ 平分， ∴， 又∵，， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：∵， ∴， 又 ，， ∴ ， ∴； ∵ 平分且， ∴， ∴， 故答案为：． 23. 如图，在平面直角坐标系中，点O为原点，△OAB为等边三角形，P、Q分别为AO，AB边上的动点，点P，点Q同时从点A出发，若P以个单位每秒的速度从点A向点O运动，点Q以2个单位每秒的速度从点A向点B运动，设运动时间为t． （1）如图1，已知点A的坐标为（a，b），且满足（a﹣3）2+|a﹣b|＝0，则A点坐标 ； （2）如图1，连接BP，OQ交于点C，请问当t为何值时，∠OCP＝60°； （3）如图2，D为OB边上的中点，P，Q在运动过程中，D，P，Q三点是否能构成使∠PDQ＝120°的等腰三角形？若能，试求：①运动时间t；②此时四边形APDQ的面积；若不能，请说明理由． 【答案】（1）A（3，3）；（2）当t=时，∠OCP=60°；（3）． 【解析】 【分析】（1）由题意可得a，b的值，即可求点A的坐标； （2）根据等边三角形的性质可得AO=BO=AB=6，∠AOB=∠ABO=60°=∠A，根据“ASA”可证△AOQ≌△OBP，可得OP=AQ，即可求t的值； （3）过点D作PF⊥AO，DE⊥AB，连接AD，通过证明△ODF≌△BDE，Rt△DFP≌Rt△DEQ，可得OF=BE，DF=DE，PF=EQ，可得AP+AQ=2AF，可求t的值，根据三角形面积公式可求四边形APDQ的面积． 详解】解：（1）∵（a﹣3）2+|a﹣b|=0， ∴a=3，b=3 ∴点A（3，3）． （2）∵AOB是等边三角形，点A（3，3） ∴AO=BO=AB=6，∠AOB=∠ABO=∠A=60° 要使得∠OCP=60°只要满足∠OCP=∠AOB ∵∠AOB=∠QOB+∠AOQ ∠POC=∠QOB+∠PBO， ∴∠AOQ=∠PBO，且AO=BO，∠A=∠AOB， ∴△AOQ≌△OBP（ASA） ∴OP=AQ， ∴6﹣t=2t， ∴t=， ∴当t=时，∠OCP=60°． （3）如图，过点D作DF⊥AO，DE⊥AB，连接AD， ∵△ABO是等边三角形，D是OB中点，点A（3，3） ∴OD=BD=3，∠AOB=∠ABO=60°，AD=3 又∵∠DFO=∠DEB＝90°， ∴△ODF≌△BDE（AAS） ∴OF=BE，DF=DE， ∵AO=AB， ∴AO﹣OF=AB﹣BE ∴AF=AE， ∵DF=DE，PD=DQ， ∴Rt△DFP≌Rt△DEQ（HL） ∴PF=EQ， ∵OD=3，∠AOD=60°，∠DFO=90°， ∴∠ODF=30°∠OAD=30° ∴OF=，DF=DA= ∴AF=AO﹣OF==AE，BE=OF= ∵AP+AQ=AP+AE+EQ=AP+PF+AE=AF+AE=2AF ∴t+2t=9 ∴t= ∴当t=时，D，P，Q三点是能构成使∠PDQ=120°的等腰三角形， ∵Rt△DFP≌Rt△DEQ， ∴S△DFP=S△DEQ， ∴S四边形APDQ=S四边形AFDQ=S△AOB﹣2S△OFD=﹣2×=． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，灵活运用相关的性质定理、综合运用知识是解题的关键． 24. 在平面直角坐标系中，点，，点C为x轴正半轴上一动点，过点A作交y轴于点E． （1）如图①，求证：； （2）如图②，若点C在x轴正半轴上运动，且，连接． ①若，求证：． ②当时，求的值． 【答案】（1）证明过程见详解 （2）①证明过程见详解；②2 【解析】 【分析】（1）由题意知，，，则，证明即可； （2）①解法I：由，，根据等角的余角相等即可得出结论．解法II：证明是的平分线，再利用三角形内角和和外角的性质，进而计算转化可证； ②如图3，在上截取，使，证明，由，可得，进而可求，，然后计算求解即可． 小问1详解】 证明：由题意知，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵，，， ∴； 【小问2详解】 ①解法I：∵，， ∴， ， 又∵， ∴， 解法II：∵， ∴， ∴， 如图2，作于，于， ∵， ∴，， ∴，解得， ∵，， ∴是的平分线， ∴， ∴， ∴； ②解：如图3，在上截取，使， 由①可知，是的平分线， ∴， ∵，，， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了全等三角形判定与性质，等腰三角形的判定与性质，三角形外角的性质，三角形内角和定理等知识．熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 25. 如图，四边形的位置在平面直角坐标系中如图所示，且，，，又a，b满足，点P在x轴上且横坐标大于b，射线是第一象限的一条射线，点Q在射线上，．并连接交y轴于点M． （1）求点A，B，C的坐标为A______、B______、C______． （2）当时，求的度数． （3）在（2）的条件下，若点P在x轴的正半轴上，且，试求点M的坐标． 【答案】（1），， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据二次根式的意义得出，，即可得出结论； （2）证明四边形是正方形，过点Q作轴于N，，推出，分两种情况讨论，即可求解； （3）过点Q作轴于N，，设，则，，，，则，利用平移的性质，即可求解． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴，， ∴，，， 故答案为：，，； 【小问2详解】 解：由（1）知，，，， ∴， ∴四边形是菱形， ∵， ∴菱形是正方形， 过点Q作轴于N， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 由（1）知，，， ∴，， ∴， 在和中，， ∴， ∴，， ∴； ①当点P在x轴负半轴时，如图1、 ，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ②当点P在x轴正半轴时，如图2、，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即：； 【小问3详解】 解：如图2，设，则， ∵， ∴， 过点Q作轴于N， ∵， ∴， ∴， 同（1）的方法得，， ∴，， ∴， ∴点Q是点B向右移动个单位，再向上移动m个单位， ∵点B到点M是向右移动4个单位，再向上移动个单位， ∴， ∴， ∴． 【点睛】此题是四边形综合题，主要考查了正方形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，二次根式的意义，同角的余角相等，构造全等三角形和解本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$