2025届浙江省杭州市高三一模数学试题

2024学年第一学期杭州市高三年级教学质量检测 数学试题卷 考生须知： 1.本试卷分试题卷和答题卷两部分.满分150分，考试时间120分钟 2.请用黑色字迹的钢笔或签字笔在答题卡指定的区域（黑色边框）内作答，超出答题区域 的作答无效！ 3.考试结束，只需上交答题卡 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。每小题给出的四个选项中，只有一个选项 是正确的。请把正确的选项填涂在答题卡的相应位置。 1.已知集合A=11,2,3},B={xy=V1-x},则AnB=(） A.{1 B.10,1} C.{-1,1 D.1-1,0,1 x-1,x≥0， 2.函数f八x)= 是() -x-1,x<0 A.奇函数 B.偶函数 C.既非奇函数也非偶函数 D.既是奇函数也是偶函数 3.已知直线y=2x是双线C:-。1(6>0)的一条渐近线，则C的离心率等于 A.2 3 B.2 C.V5 D.V5 4.将函数y=six的图象向左平移p(0<p<2π)个单位，得到函数y=g(x)的图象，则 “y=g()是偶函数”是p=受”的( A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 5.已知向量a=(1,-1),b=(2,1),若(ta+b)⊥(-2a+b),则1=() A1或对 B.-2或对 C.-1或2 D.-2或1 6.设f(x)=e+lnx,满足f八a)f(b)f(c)<0(0<a<b<c).若函数f八x)存在零点xa,则( A.xo<a B.xo>a C.xo<c D.xo>c 高三数试·第1页（共4页） 7.已知，1 sin100cos10=4,则A=( 入 A.1 B.V2 C.V3 D.2 8.对Hxe[1,+∞)，不等式(lnax)2-1)(e-b)≥0恒成立，则( A若aeo,则6≤e B若aeo,日)则b>e c.若ae日e小则。=e D.若ae小则b=c 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共计18分。每小题给出的四个选项中，有多项符合 题目要求。全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分。 9.如图，在正方体中，0为底面的中心，P为所在棱的中点，M,N为正方体的顶点.则满足 MN⊥OP的是(·) A B. C D 10.已知函数f(x)=x3-x2-ax(x≥0)，则( A.若fx)m=f1),则a=1 B若)-=1，则a=一号 C.若a=1,则f(x)在(0,1)上单调递减 D.若a=-号，则x)在(1,3)上单调递增 11.已知函数f(x)的定义域为R,若ff(x)+z)=x+fy)f(z),则( A.f1)=0 B.f几fx)]=x C.fxy）=fx)f(y) D.fx+y）=f(x)fy) 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分。 12.函数f八x)=lnx在点(e,1)处的切线的斜率等于 高三数试·第2页（共4页） 13.已知复数：1,2的实部和虚部都不为0，满足① =2;②|a12|=2.则1= 22= ·(写出满足条件的一组1和2) 14.已知双曲线C,C,都经过点(1,1)，离心率分别记为e,e2,设双曲线C,C2的渐近线分别 为y=±kx和y=±kx若k,k3=1,则9= 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分) 已知在△ABC中，sin2A-sin2B=sin2C-V3 sinBsinC,2cosB=sinC. (1)判断△ABC的形状，并说明理由： (2)若点D在AB边上，且BD=2AD.若CD=2,求△ACD的面积 16.(15分) 在直角坐标系xOy中，抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,点M在抛物线C上，若 △0W的外接圆与抛物线C的准线相切，且该圆的面积为器 (1)求C的方程； (2)若点(-1,1)关于直线y=x对称的点在C上，求k的值 17.(15分) 设随机变量X所有可能的取值为x1x2,…,x,P(X=x)=P,>0(i=1,2,…,n),且P1+P2 +…+P。=1.定义事件X=x,的信息量为H=-即，称X的平均信息量H(X)= -（plnp,+Plnp2+…+P.Inp.)为信息熵 (1)若n=3,P4+1=2p(k=1,2),求此时的信息熵： (2)最大熵原理：对一个随机事件的概率分布进行预测时，要使得信息熵最大，信息熵最大 就是事物可能的状态数最多，复杂程度最大，概率分布最均匀，这才是风险最小（最合 理)的决定.证明：H(X)≤lnn,并解释等号成立时的实际意义 (参考不等式：若)=h,则P)≤f(三p)》 高三数试·第3页（共4页） 18.(17分) 已知函数f代x)=axlnx-x-1. (1)若a=1,求f(x)的单调区间； (2)若0≤a≤3，求证：f(x)<0: （3)若()-)士+山，3x,≠使得h(,)=h()=b, a 求证：be+1<lx1-x,1<b+1. 19.(17分) 已知正项有穷数列A:a1,4,,v(N≥3)，设T=xx=鸟，1≤i<j≤N,记T的元素个 a 数为P(T). (1)若数列A:1,2,4,16,求集合T,并写出P(T)的值； (2)若A是递增数列或递减数列，求证：“P(T)=N-1"的充要条件是“A为等比数列”； (3)若N=2n+1,数列A由2,4,8，…，2,4这n+1个数组成，且这n+1个数在数列A中 每个至少出现一次，求P(T)的取值个数 高三数试·第4页（共4页）