2025年九年级数学中考专题训练：二次函数与特殊的四边形

中考专题训练——二次函数与特殊的四边形 1．如图，已知抛物线与y轴相交于点A（0，3），与x正半轴相交于点B，对称轴是直线x=1． （1）求此抛物线的解析式以及点B的坐标． （2）动点M从点O出发，以每秒2个单位长度的速度沿x轴正方向运动，同时动点N从点O出发，以每秒3个单位长度的速度沿y轴正方向运动，当N点到达A点时，M、N同时停止运动．过动点M作x轴的垂线交线段AB于点Q，交抛物线于点P，设运动的时间为t秒． ①当t为何值时，四边形OMPN为矩形． ②当t＞0时，△BOQ能否为等腰三角形？若能，求出t的值；若不能，请说明理由． 2．如图，在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的三个顶点B（1, 0）、C（3, 0）、D（3, 4）．以A为顶点的抛物线y＝ax2＋bx＋c过点C．动点P从点A出发，以每秒个单位的速度沿线段AD向点D运动，运动时间为t秒．过点P作PE⊥x轴交抛物线于点M，交AC于点N． （1）直接写出点A的坐标，并求出抛物线的解析式； （2）当t为何值时，△ACM的面积最大？最大值为多少？ （3）点Q从点C出发，以每秒1个单位的速度沿线段CD向点D运动，当t为何值时，在线段PE上存在点H，使以C、Q、N、H为顶点的四边形为菱形？ 3．如图1，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（﹣1，0）、B（4，0）两点，与y轴交于点C，且OC=3OA．点P是抛物线上的一个动点，过点P作PE⊥x轴于点E，交直线BC于点D，连接PC． （1）求抛物线的解析式； （2）如图2，当动点P只在第一象限的抛物线上运动时，求过点P作PF⊥BC于点F，试问△PDF的周长是否有最大值？如果有，请求出其最大值，如果没有，请说明理由． （3）当点P在抛物线上运动时，将△CPD沿直线CP翻折，点D的对应点为点Q，试问，四边形CDPQ是否成为菱形？如果能，请求出此时点P的坐标，如果不能，请说明理由． 4．抛物线y=x2+bx+c经过点A（﹣4，0）、B（2，0）两点，与y轴交于点C，顶点为D，对称轴与x轴交于点H，过点H的直线m交抛物线于P、Q两点，其中点P位于第二象限，点Q在y轴的右侧． （1）求D点坐标； （2）若∠PBA=∠OBC，求点P的坐标； （3）设PQ的中点为M，点N在抛物线上，则以DP为对角线的四边形DMPN能否为菱形？若能，求出点N的坐标；若不能，请说明理由． 5．如图，抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于A、B（2，0）两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C（0，8）． （1）求该抛物线的解析式； （2）若将该抛物线向下平移m个单位长度，使平移后所得抛物线的顶点落在△ABC的内部（不包括△ABC的边界），求m的取值范围； （3）已知点Q在x轴上，点P在抛物线上，是否存在以A、C、P、Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 6．如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴相交于A、B两点，点B的坐标为（3，0），与y轴相交于点C（0，﹣3），顶点为D． （1）求出抛物线y=x2+bx+c的表达式； （2）连结BC，与抛物线的对称轴交于点E，点P为线段BC上的一个动点，过点P作PF∥DE交抛物线于点F，设点P的横坐标为m． ①当m为何值时，四边形PEDF为平行四边形． ②设四边形OBFC的面积为S，求S的最大值． 7．如图，抛物线y=ax2+bx﹣4与x轴交于点A（2，0）和点B，与y轴交于点C，顶点为点D，对称轴为直线x=﹣1，点E为线段AC的中点，点F为x轴上一动点． （1）直接写出点B的坐标，并求出抛物线的函数关系式； （2）当点F的横坐标为﹣3时，线段EF上存在点H，使△CDH的周长最小，请求出点H，使△CDH的周长最小，请求出点H的坐标； （3）在y轴左侧的抛物线上是否存在点P，使以P，F，C，D为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 8．如图，已知抛物线与x轴交于A(-1,0)、B(3,0)两点，与y轴交于点C(0,3). （1）求该抛物线所对应的函数关系式； （2）设抛物线上的一个动点P的横坐标为t（0＜t＜3），过点P作PD⊥BC于点D. ① 求线段PD的长的最大值；② 当BD=2CD时，求t的值； （3）若点Q是抛物线的对称轴上的动点，抛物线上存在点M，使得以B、C、Q、M为顶点的四边形为平行四边形，请求出所有满足条件的点M的坐标. 9．已知抛物线的顶点为（1，0），且经过点（0，1）． （1）求该抛物线对应的函数的解析式； （2）将该抛物线向下平移m(m>0)个单位，设得到的抛物线的顶点为A，与x轴的两个交点为B、C，若△ABC为等边三角形． ①求m的值； ②设点A关于x轴的对称点为点D，在抛物线上是否存在点P，使四边形CBDP为菱形？若存在，写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 10．已知抛物线的顶点为P，与y轴交于点A，与直线OP交于点B. （1）如图1，若点P的横坐标为1，点，，试确定抛物线的解析式； （2）在（1）的条件下，若点M是直线AB下方抛物线上的一点，且S△ABM=3，求点M的坐标； （3）如图2，若P在第一象限，且，过点P作轴于点D，将抛物线平移，平移后的抛物线经过点A、D，该抛物线与轴的另一个交点为C，请探索四边形OABC的形状，并说明理由. 图1       图2 11．如图，已知抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的右侧），与y轴交于点C，有一宽度为1的刻度尺沿x轴方向平移，与y轴平行的一组对边交抛物线于点P和点Q，交直线AC于点M和点N，交x轴于点E和点F． (1)求点A、B、C的坐标； (2)当点M和点N都在线段AC上时，连接EN，如果点E的坐标为（4，0），求sin∠ANE的值； (3)在刻度尺平移过程中，当以点P、Q、N、M为顶点的四边形是平行四边形时，求点N的坐标． 12．如图，把Rt△ACO以O点为中心，逆时针旋转90︒ ，得Rt△BDO，点B坐标为（0，-3），点C坐标为（0，），抛物线y=-x2+bx+c经过点A和点C (1)求b，c的值； (2)在x轴以上的抛物线对称轴上是否存在点Q，使得△ACQ为等腰三角形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由 (3)点P从点O出发沿ｘ轴向负半轴运动，每秒1个单位，过点P作y轴的平行线交抛物线于点M，当ｔ为几秒时，以M、P、O、C为顶点得四边形是平行四边形？ 13．已知二次函数的图象与y轴交于点A(0，-2)，与x轴交于点B(1，0)和点C，D(m，0)(m＞2)是x轴上一点． (1)求二次函数的解析式； (2)点E是第四象限内的一点，若以点D为直角顶点的Rt△CDE与以A，O，B为顶点的三角形相似，求点E坐标(用含m的代数式表示)； (3)在（2）的条件下，抛物线上是否存在一点F，使得四边形BCEF为平行四边形？若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由． 14．如图，顶点为（1，4）的抛物线y=ax2+bx+c与直线y=x+n交于点A（2，2），直线y=x+n与y轴交于点B与x轴交于点C． （1）求n的值及抛物线的解析式； （2）P为抛物线上的点，点P关于直线AB的对称轴点在x轴上，求点P的坐标； （3）点D为x轴上方抛物线上的一点，点E为轴上一点，以A、B、E、D为顶点的四边为平行四边形时，直接写出点E的坐标． 15．抛物线y=ax2+c与x轴交于A、B两点（A在B的左边），与y轴交于点C，抛物线上有一动点P （1）若A（﹣2，0），C（0，﹣4） ①求抛物线的解析式； ②在①的情况下，若点P在第四象限运动，点D（0，﹣2），以BD、BP为邻边作平行四边形BDQP，求平行四边形BDQP面积的取值范围． （2）若点P在第一象限运动，且a＜0，连接AP、BP分别交y轴于点E、F，则问 是否与a，c有关？若有关，用a，c表示该比值；若无关，求出该比值． 16．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=a+bx+c的图像经过点A（﹣1，0），B（0，﹣），C（2，0），其对称轴与x轴交于点D (1)求二次函数的表达式及其顶点坐标； (2)若P为y轴上的一个动点，连接PD，求PB+PD的最小值； (3)M（x，t）为抛物线对称轴上一动点 ① 若平面内存在点N，使得以A，B，M，N为顶点的四边形为菱形，则这样的点N共有_______个； ② 连接MA，MB，若∠AMB不小于60°，求t的取值范围． 17．如图，已知二次函数y=﹣x2+bx+c的图象交x轴于点A（4，0）和点B，交y轴于点C（0，4）． （1）求这个二次函数的表达式； （2）若点P在第一象限内的抛物线上，求四边形AOCP面积的最大值和此时点P的坐标； （3）在平面直角坐标系内，是否存在点Q，使A，B，C，Q四点构成平行四边形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，说明理由． 18．如图，已知抛物线经过点A（﹣2，0），点B（﹣3，3）及原点O，顶点为C． (1)求抛物线的解析式； (2)在抛物线的BC段上，是否存在一点G，使得△GBC的面积最大？若存在，求出这个最大值及此时点G的坐标；若不存在，请说明理由； (3)P是抛物线的第一象限内的动点，过点P作PM⊥x轴，垂足为M，是否存在点P，使得以P、M、A为顶点的三角形与△BOC相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由； (4)若点D在抛物线上，点E在抛物线的对称轴上，且以A、O、D、E为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点D的坐标． 19．如图，已知抛物线的顶点坐标为M（1，4），且经过点N（2，3），与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C． （1）求抛物线的解析式； （2）若直线y=kx+t经过C、M两点，且与x轴交于点D，试证明四边形CDAN是平行四边形； （3）点P在抛物线的对称轴x=1上运动，请探索：在x轴上方是否存在这样的P点，使以P为圆心的圆经过A、B两点，并且与直线CD相切？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 20．如图，二次函数的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，已知点A（﹣4，0）． （1）求抛物线与直线AC的函数解析式； （2）若点D（m，n）是抛物线在第二象限的部分上的一动点，四边形OCDA的面积为S，求S关于m的函数关系式； （3）若点E为抛物线上任意一点，点F为x轴上任意一点，当以A、C、E、F为顶点的四边形是平行四边形时，请求出满足条件的所有点E的坐标． 参考答案 1．（1），B点坐标为（3，0）；（2）①；②． 【分析】（1）由对称轴公式可求得b，由A点坐标可求得c，则可求得抛物线解析式；再令y=0可求得B点坐标； （2）①用t可表示出ON和OM，则可表示出P点坐标，即可表示出PM的长，由矩形的性质可得ON=PM，可得到关于t的方程，可求得t的值；②由题意可知OB=OA，故当△BOQ为等腰三角形时，只能有OB=BQ或OQ=BQ，用t可表示出Q点的坐标，则可表示出OQ和BQ的长，分别得到关于t的方程，可求得t的值． 【解析】（1）∵抛物线对称轴是直线x=1， ∴﹣=1，解得b=2， ∵抛物线过A（0，3）， ∴c=3， ∴抛物线解析式为，令y=0可得，解得x=﹣1或x=3， ∴B点坐标为（3，0）； （2）①由题意可知ON=3t，OM=2t， ∵P在抛物线上， ∴P（2t，）， ∵四边形OMPN为矩形， ∴ON=PM， ∴3t=，解得t=1或t=﹣（舍去）， ∴当t的值为1时，四边形OMPN为矩形； ②∵A（0，3），B（3，0）， ∴OA=OB=3，且可求得直线AB解析式为y=﹣x+3， ∴当t＞0时，OQ≠OB， ∴当△BOQ为等腰三角形时，有OB=QB或OQ=BQ两种情况，由题意可知OM=2t， ∴Q（2t，﹣2t+3）， ∴OQ=，BQ=|2t﹣3|，又由题意可知0＜t＜1，当OB=QB时，则有|2t﹣3|=3，解得t=（舍去）或t=； 当OQ=BQ时，则有=|2t﹣3|，解得t=； 综上可知当t的值为或时，△BOQ为等腰三角形． 2．（1）A（1，4）；y＝－x2＋2x＋3；（2）当t＝２时，△AＭC面积的最大值为1；（3）或． 【解析】（1）由矩形的性质得到点A的坐标，由抛物线的顶点为A，设抛物线的解析式为y＝a（x－1）2＋4，把点C的坐标代入即可求得a的值； （2）由点P的坐标以及抛物线解析式得到点M的坐标，由A、C的坐标得到直线AC的解析式，进而得到点N的坐标，即可用关于t的式子表示MN，然后根据△ACM的面积是△AMN和△CMN的面积和列出用t表示的△ACM的面积，利用二次函数的性质即可得到当t＝２时，△AＭC面积的最大值为1； （3）①当点Ｈ在Ｎ点上方时，由PＮ＝CQ，PN∥CQ，得到四边形PNCQ为平行四边形，所以当PQ＝CQ时，四边形FECQ为菱形，据此得到，解得t值；②当点Ｈ在Ｎ点下方时，NH=CQ=，NQ＝CQ时，四边形NHCQ为菱形，NQ2＝CQ2，得：，解得t值． 解：（1）由矩形的性质可得点A（1，4）， ∵抛物线的顶点为A， 设抛物线的解析式为y＝a（x－1）2＋4， 代入点C（3, 0），可得a＝－1． ∴y＝－（x－1）2＋4＝－x2＋2x＋3． （2）∵P（，４）， 将代入抛物线的解析式，y＝－（x－1）2＋4＝， ∴M（，）， 设直线AC的解析式为， 将A（１,４），C（３,０）代入，得：， 将代入得， ∴N（，）， ∴MN ， ∴， ∴当t＝２时，△AＭC面积的最大值为1． （3）①如图１，当点Ｈ在Ｎ点上方时， ∵Ｎ（，），P（，４）， ∴PＮ＝４—（）＝＝CQ， 又∵PN∥CQ， ∴四边形PNCQ为平行四边形， ∴当PQ＝CQ时，四边形FECQ为菱形， PQ2＝PD2+DQ2 ＝， ∴， 整理，得．解得，（舍去）； ②如图２当点Ｈ在Ｎ点下方时， NH=CQ=，NQ＝CQ时，四边形NHCQ为菱形， NQ2＝CQ2，得：． 整理，得．．所以，（舍去）． “点评”此题主要考查二次函数的综合问题，会用顶点式求抛物线，会用两点法求直线解析式，会设点并表示三角形的面积，熟悉矩形和菱形的性质是解题的关键. 3．(1) y=﹣+x+3；(2) 有最大值,;(3) 存在这样的Q点，使得四边形CDPQ是菱形，此时点P的坐标为（，）或（，﹣）． 【解析】试题分析: （1）利用待定系数法求二次函数的解析式； （2）设P（m，﹣m2+m+3），△PFD的周长为L，再利用待定系数法求直线BC的解析式为：y=﹣x+3，表示PD=﹣，证明△PFD∽△BOC，根据周长比等于对应边的比得：，代入得：L=﹣（m﹣2）2+，求L的最大值即可； （3）如图3，当点Q落在y轴上时，四边形CDPQ是菱形，根据翻折的性质知：CD=CQ，PQ=PD，∠PCQ=∠PCD，又知Q落在y轴上时，则CQ∥PD，由四边相等：CD=DP=PQ=QC，得四边形CDPQ是菱形，表示P（n，﹣ +n+3），则D（n，﹣n+3），G（0，﹣n+3），利用勾股定理表示PD和CD的长并列式可得结论． 试题解析: （1）由OC=3OA，有C（0，3）， 将A（﹣1，0），B（4，0），C（0，3）代入y=ax2+bx+c中，得： ， 解得：， 故抛物线的解析式为：y=﹣+x+3； （2）如图2，设P（m，﹣m2+m+3），△PFD的周长为L， ∵直线BC经过B（4，0），C（0，3）， 设直线BC的解析式为：y=kx+b， 则 解得： ∴直线BC的解析式为：y=﹣x+3， 则D（m，﹣），PD=﹣， ∵PE⊥x轴，PE∥OC， ∴∠BDE=∠BCO， ∵∠BDE=∠PDF， ∴∠PDF=∠BCO， ∵∠PFD=∠BOC=90°， ∴△PFD∽△BOC， ∴， 由（1）得：OC=3，OB=4，BC=5， 故△BOC的周长=12， ∴， 即L=﹣（m﹣2）2+， ∴当m=2时，L最大=； （3）存在这样的Q点，使得四边形CDPQ是菱形，如图3， 当点Q落在y轴上时，四边形CDPQ是菱形， 理由是：由轴对称的性质知：CD=CQ，PQ=PD，∠PCQ=∠PCD， 当点Q落在y轴上时，CQ∥PD， ∴∠PCQ=∠CPD， ∴∠PCD=∠CPD， ∴CD=PD， ∴CD=DP=PQ=QC， ∴四边形CDPQ是菱形， 过D作DG⊥y轴于点G， 设P（n，﹣ +n+3），则D（n，﹣n+3），G（0，﹣）， 在Rt△CGD中，CD2=CG2+GD2=[（﹣n+3）﹣3]2+n2=， 而|PD|=|（﹣）﹣（﹣n+3）|=|﹣+3n|， ∵PD=CD， ∴﹣①， ﹣， 解方程①得：n=或0（不符合条件，舍去）， 解方程②得：n=或0（不符合条件，舍去）， 当n=时，P（，），如图3， 当n=时，P（，﹣），如图4， 综上所述，存在这样的Q点，使得四边形CDPQ是菱形，此时点P的坐标为（，）或（，﹣）． 点评: 本题是二次函数的综合题，考查了利用待定系数法求函数的解析式、菱形的性质和判定、三角形相似的性质和判定，将周长的最值问题转化为二次函数的最值问题，此类问题要熟练掌握利用解析式表示线段的长，并利用相似比或勾股定理列方程解决问题． 4．（1）D（﹣1，﹣3）（2）P（﹣，）；（3）（﹣2﹣1，1）． 【解析】（1）抛物线的解析式为y=（x+4）（x﹣2），然后利用配方法可求得点D的坐标； （2）在x轴上点E（﹣2，0），连接CE，并延长CE交PB与点F，过点F作FG⊥x轴，垂足为G．首先证明EF=EB=4，然后证明△FGE∽△COE，依据相似三角形的性质可得到FG=，EG=，故可得到点F的坐标，然后可求得BP的解析式，最后可求得直线与抛物线的交点坐标即可； （3）设P（x1，y1）、Q（x2，y2）且过点H（﹣1，0）的直线PQ的解析式为y=kx+b，得到b=k，利用方程组求出点M坐标，求出直线DN解析式，再利用方程组求出点N坐标，列出方程求出k，即可解决问题． 解：（1）∵y=x2+bx+c经过点A（﹣4，0）、B（2，0）两点， ∴y=（x+4）（x﹣2）=（x2+2x﹣8）=（x+1）2﹣3． ∴D（﹣1，﹣3）． （2）如图1，在x轴上点E（﹣2，0），连接CE，并延长CE交PB于点F，过点F作FG⊥x轴，垂足为G． ∵点E与点B关于y轴对称， ∴∠OBC=∠OEC． ∴∠OBC=∠GEF． ∵∠PBA=∠OBC， ∴∠PBA=∠EFB．∴EF=EB=4． ∵OE=2，OC=，∴EC=． ∵GF∥OC，∴△FGE∽△COE． ∴==，即==， 解得：FG=，EG=， ∴F（﹣，）． 设BP的解析式为y=kx+b，将点F和点B的坐标代入得：， 解得：k=﹣，b=1， ∴直线BP的解析式为y=﹣x+1． 将y=﹣x+1与y=x2+x﹣联立， 解得：x=﹣，x=2（舍去）， ∴y=． ∴P（﹣，）； （3）设P（x1，y1）、Q（x2，y2）且过点H（﹣1，0）的直线PQ的解析式为y=kx+b， ∴﹣k+b=0， ∴b=k， ∴y=kx+k． 由得： x2+（﹣k）﹣﹣k=0 ∴x1+x2=﹣2+3k，y1+y2=kx1+k+kx2+k=3k2， 解得：x1=﹣1，x2=3k﹣1， ∵点M是线段PQ的中点， ∴由中点坐标公式的点M（k﹣1，k2）． 假设存在这样的N点如图2， 直线DN∥PQ，设直线DN的解析式为y=kx+k﹣3由， 解得：x1=﹣1，x2=3k﹣1， ∴N（3k﹣1，3k2﹣3）． ∵四边形DMPN是菱形， ∴DN=DM， ∴（3k）2+（3k2）2=（）2+k2+3）2， 整理得：3k4﹣k2﹣4=0， ∵k2+1＞0， ∴3k2﹣4=0， 解得k=±， ∵k＜0， ∴k=﹣， ∴P（﹣3﹣1，6），M（﹣﹣1，2），N（﹣2﹣1，1）． ∴PM=DN=2， ∵PM∥DN， ∴四边形DMPN是平行四边形， ∵DM=DN， ∴四边形DMPN为菱形， ∴以DP为对角线的四边形DMPN能成为菱形，此时点N的坐标为（﹣2﹣1，1）． “点评”本题考查二次函数综合题、待定系数法、一次函数、菱形的判定和性质等知识，求得点F的坐标是解答问题（2）的关键，分类讨论是解答问题（3）的关键. 5．（1）y=﹣x2﹣2x+8；（2）3＜m＜9；（3）满足条件的点Q为（﹣2，0）或（﹣6，0）或（3+，0）或（3﹣，0）． 【解析】试题分析：（1）把点B和点C的坐标代入抛物线的解析式得到关于b、c的方程组，从而可求得b、c的值，然后可得到抛物线的解析式； （2）平移后抛物线的解析式为y=﹣（x+1）2+9﹣m，然后求得直线AC的解析式y=2x+8，当x=﹣1时，y=6，最后由抛物线的顶点在△ABC的内部可得到0＜9﹣m＜6，从而可求得m的取值范围； （3）设点Q的坐标为（a，0），点P（x，y）．分为AC为对角线、CP为对角线、AQ为对角线三种情况，依据平行四边形对角相互平分的性质和中点坐标公式可求得x、y的值（用a的式子表示），然后将点P的坐标代入抛物线的解析式可求得a的值，从而可得到点Q的坐标． 试题解析：（1）把点B和点C的坐标代入抛物线的解析式得： ，解得： ， ∴y=﹣x2﹣2x+8． （2）y=﹣x2﹣2x+8=﹣（x+1）2+9， ∴平移后抛物线的解析式为y=﹣（x+1）2+9﹣m． ∵抛物线的对称轴为x=﹣1，点B（2，0）， ∴A（﹣4，0）． 设直线AC的解析式为y=kx+8，将点A的坐标代入得：﹣4k+8=0，解得k=2， ∴直线AC解析式为y=2x+8． 当x=﹣1时，y=6． ∵抛物线的顶点落在△ABC的内部， ∴0＜9﹣m＜6． ∴3＜m＜9． （3）设点Q的坐标为（a，0），点P（x，y）． ①当AC为对角线时． ∵四边形APCQ为平行四边形， ∴AC与PQ互相平分． 依据中点坐标公式可知：= ， ． ∴x=﹣4﹣a，y=8． ∵点P在抛物线上， ∴﹣（a+4）2﹣2（﹣4﹣a）=0，解得：a=﹣2或a=﹣4（舍去） ∴点P的坐标为（﹣2，0）． ②当CP为对角线时， ∵四边形APCQ为平行四边形， ∴CP与AQ互相平分． 依据中点坐标公式可知： ，， ∴x=a+4，y=8． ∵点P在抛物线上， ∴﹣（a+4）2﹣2（a+4）=0，解得：a=﹣6或a=﹣4（舍去） ∴点P的坐标为（﹣6，0）． ③AQ为对角线时． ∵四边形APCQ为平行四边形， ∴AQ与CP互相平分． 依据中点坐标公式可知： ， ， ∴x=﹣4+a，y=﹣8． ∵点P在抛物线上， ∴﹣（a﹣4）2﹣2（a﹣4）+16=0，整理得：a2﹣6a﹣8=0，解得：a=3+或a=3﹣． ∴点Q的坐标为（3+，0）或（3﹣，0）． 综上所述满足条件的点Q为（﹣2，0）或（﹣6，0）或（3+，0）或（3﹣，0）． 6．（1）y=x2﹣2x﹣3；（2）①2；②． 【解析】分析:（1）由B、C两点的坐标，利用待定系数法可求得抛物线的表达式； （2）①可求得直线BC的解析式，则可表示出P、F的坐标，从而可表示出PF和DE的长，由平行四边形的性质可知PF=DE，则可得到关于m的方程，可求得m的值；②用m可表示出PF的长，则可表示出△BCF的面积，从而可表示出四边形OBFC的面积，利用二次函数的性质可求得其最大值． 本题解析:（1）∵抛物线过B、C两点， ∴，解得, ∴抛物线表达式为y=x2﹣2x﹣3； （2）①∵B（3，0），C（0，﹣3）， ∴直线BC解析式为y=x﹣3， ∵y=x2﹣2x﹣3=（x﹣1）2﹣4， ∴D（1，﹣4）， ∴E（1，﹣2）， ∴DE=﹣2﹣（﹣4）=2， ∵PF∥DE，且P（m，m﹣3）， ∴F（m，m2﹣2m﹣3）， ∵点P为线段BC上的一个动点， ∴PF=m﹣3﹣（m2﹣2m﹣3）=﹣m2+3m， 当四边形PEDF为平行四边形时，则有PF=DE=2， 即﹣m2+3m=2，解得m=1（舍去）或m=2， ∴当m的值为2时，四边形PEDF为平行四边形； ②由①可知PF=﹣m2+3m， ∴S△FBC=PF•OB=×3（﹣m2+3m）=﹣（m﹣）2+， ∵S△OBC=OB•OC=×3×3=， ∴S=S△FBC+S△OBC=﹣（m﹣）2++=﹣（m﹣）2+， ∵﹣＜0， ∴当m=时，S有最大值． 点评:本题考查了二次函数的应用,涉及待定系数法、平行四边形的性质、三角形的面积、二次函数的性质及方程思想等知识，本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中. 7．（1）B（﹣4，0），y=x2+x﹣4；（2）H（，）；（3）存在，点P的坐标为（﹣1﹣2，﹣），（﹣1﹣，）． 【解析】试题分析：（1）根据轴对称，可得B点坐标，根据待定系数法，可得答案； （2）根据自变量与函数值的对应关系，可得C点坐标，根据配方法，可得D点坐标，根据勾股定理，可得CF的长，根据等腰三角形的性质，可得A，C关于EF对称，根据轴对称的性质，可得PA=PC，根据两点之间线段最短，可得P是AD与EF的交点，根据解方程组，可得答案； （3）根据平行四边形的对角线互相平分，可得P点的纵坐标，根据自变量与函数值的对应关系，可得答案． 解：（1）由A、B关于x=﹣1对称，得 B（﹣4，0）， ∵抛物线y=ax2+bx﹣4过A（2，0）、B（﹣4，0）， ∴ ， 解得： ， ∴y=x2+x﹣4， （2）如图1 ， 当x=0时，y=﹣4，即C（0，﹣4）， y=x2+x﹣4=（x+1）2﹣ ∴D（﹣1，﹣）， ∵E为线段AC的中点，A（2，0），C（0，﹣4）， ∴E（1，﹣2）． ∵点F横坐标为﹣3， ∴F（﹣3，0）， ∴AF=5，CF===5， ∴AF=CF， ∵E为线段AC的中点， ∴EF垂直平分AC， ∴A、C关于直线EF轴对称，连接AD，与直线EF交点即为所求H， ∴EF⊥AC． 设直线EF关系式为y=k1x+b1， ∴， 解得：， ∴直线EF：y=﹣x﹣， 设直线AD关系式为y=k2x+b2， ∴， 解得： ， ∴y=x﹣3， 联立AD，EF，得 ， ∴ ， ∴H（，）． （3）若CD为对角线，不存在； 若CD为边，则PF∥CD且PF=CD， ∵C（0，﹣4），D（﹣1，﹣），点F为x轴上一动点， 如图2 ， PDCF是平行四边形，对角线的纵坐标为﹣，P点纵坐标﹣， 当y=﹣时，x2+x﹣4=﹣，解得x1=﹣1+2（舍），x2=﹣1﹣2， ∴P1（﹣1﹣2，﹣）． 如图3 ， PFDC是平行四边形，对角线的交点坐标为﹣2，P点坐标为， 当y=时，x2+x﹣4=，解得x1=﹣1+（舍），x2=﹣1﹣， ∴P2（﹣1﹣，）． 综上所述：在y轴左侧的抛物线上存在点P，使以P，F，C，D为顶点的四边形是平行四边形，点P的坐标（﹣1﹣2，﹣），（﹣1﹣，）． 点评：本题是一道二次函数综合题，主要考查了一次函数与二次函数的图象和性质、等腰三角形的性质、轴对称的性质和平行四边形的性质等知识. 利用交点坐标建立方程组和利用平行四边形对角线互相平分是解题的关键. 8．(1) y=-x2+2x+3;(2)①;②2;(3) (2,3)或(4,-5)或(-2,-5). 【解析】试题分析: （1）将A、B、C三点的坐标代入y=a（x+1）（x-3）即可求出抛物线的解析式． （2）①过点P作PE⊥x轴于点E，交BC于点F，求出△PBC的最大面积，即可求出PD的最大值． ②过点D作DG⊥x轴于点G，由于DG∥OC，从而可知，从而可求出t的值． （3）由于BC是B、C、Q、M为顶点的四边形中的一条固定的线段，因此将此线段分为平行四边形的边和对角线进行讨论即可求出M的坐标． 试题解析: （1）设抛物线所对应的函数关系式为 将A（-1，0），B（3，0），C（0，3）代入得： 解得： ∴抛物线所对应的函数关系式为 （2）①设点P的坐标为（t，） 过P作PN⊥x轴于点F，交BC于点E 设直线BC解析式为y=kx+b 把B（3，0），C（0，3）代入y=kx+b得 解得：k=-1,b=3 ∴直线BC解析式为y=-x+3 ∴点E坐标为（t，） PE=-（）= ∵OB=OC=3，∴∠OBC=45° ∵PD⊥BC ∴∠PED=45° ∴PD=PE×sin45°=PE=（）=- ∴当t=时，PD的最大面积为 ②过D作DG⊥x轴于点G，则DG∥OC ∴△BOC∽△BGD ∴ 当BD=2CD时，BD：BC=2：3 ∴DG=2，即点D的纵坐标为2 把y=2代入y=-x+3得x=1 ∴D点坐标为（1，2） 设直线PD解析式为：y=x+b 把D（1，2）代入上式得： 2=1+b, 解得：b=1 ∴直线PD解析式为y=x+1 解方程组得：，（ 舍去） ∴当BD=2CD时,t的值为2 {或∵△PDE是等腰直角三角形，∴） 即， 解得：，（ 舍去）} （3）∵点Q是抛物线的对称轴x=1上的动点， ∴点Q的横坐标为1, ∵点M在抛物线上，∴设点M的坐标为（m，） （I）如图，当BC、QM为平行四边形的对角线时， 可得： 即：3=1+m,   ∴m=2 ∴点M坐标为（2，3） （II）如图，当BQ、MC为平行四边形的对角线时， 可得： 即：3+1=m,   ∴m=4 ∴点M坐标为（4，-5） （III）如图，当BM、QC为平行四边形的对角线时， 可得： 即：3+m=1,   ∴m=-2 ∴点M坐标为（-2，-5） 综合以上所述，满足平行四边形的点M的坐标为（2，3）或（4，-5）或（-2，-5） 点评: 本题难度较大，考查的是二次函数图象与解析式的灵活运用，一般这样题目都是作为压轴题出现，考生平时应多积累二次函数的综合知识． 9．（1）; （2）①m=3;②不存在这样的点P,理由见解析. 【解析】试题分析：（1）根据抛物线的顶点坐标及函数经过点（0，1），利用待定系数法求解即可． （2）①先写出平移后的函数解析式，然后得出A、B、C三点的坐标，过点A作AH⊥BC于H，根据△ABC为等边三角形，可得出关于m的方程，解出即可； ②求出点D坐标，分两种情况进行讨论，①PD为对角线，②PD为边，根据菱形的性质求解即可． 试题解析： （1）由题意可得，    解得 ∴抛物线对应的函数的解析式为．     （2）①将向下平移m个单位得：-m=，可知A(1，-m)，B(1-，0)，C(1+，0)，BC=2．     由△ABC为等边三角形，得，由m＞0，解得m=3． ②不存在这样的点P．    ∵点D与点A关于x轴对称，∴D（1，3）． 由①得BC=2． 要使四边形CBDP为菱形，需DP∥BC，DP=BC． 由题意，知点P的横坐标为1+2， 当x=1+2时， -m==， 故不存在这样的点P． 点评：本题属于二次函数的综合题，属于综合性较强的题目，应理清思路，对每一个知识点都应熟练掌握并能灵活运用，求出二次函数的解析式是解此题的关键，应熟练掌握三点式和顶点式求抛物线解析式的方法，二次函数的平移通常指的是图象的平移，应注意总结平移的规律. 10．（1）；（2）(1, 2) 或 (2, 3).；（3）四边形OABC是矩形，理由见解析 【解析】（1）利用顶点P的横坐标求出b=-2,然后把b=-2和B点的坐标代入求出抛物线的解析式； （2）先求出A点坐标，然后得出直线AB的解析式，设M点坐标为（x，x2-2x+3），根据S△ABM=3列出方程，并解方程，从而得出M点坐标； （3）根据抛物线的图象可求出A、P、D的坐标，利用抛物线与直线相交求出B点坐标，然后求出平移后抛物线的解析式，然后求出C点坐标，然后求出BC的长度，从而得出四边形OABC是平行四边形，再根据∠AOC=90得出四边形OABC是矩形. 解：（1）依题意, , 解得b=-2. 将b=-2及点B(3, 6)的坐标代入抛物线解析式 得 . 解c=3. 所以抛物线的解析式为. （2）∵抛物线 与y轴交于点A， ∴ A(0, 3). ∵ B(3, 6),   可得直线AB的解析式为. 设直线AB下方抛物线上的点M坐标为（x，），过M点作y轴的平行线交直线AB于点N, 则N(x, x+3). (如图1) 图1 ∴ . ∴. 解得 . ∴点M的坐标为(1, 2) 或 (2, 3). （3）如图2，由 PA=PO, OA=c, 可得. 图2 ∵抛物线的顶点坐标为 , ∴ . ∴. ∴ 抛物线, A（0，），P（，）, D（，0）. 可得直线OP的解析式为. ∵ 点B是抛物线与直线的图象的交点， 令 . 解得. 可得点B的坐标为（-b，）. 由平移后的抛物线经过点A, 可设平移后的抛物线解析式为. 将点D(，0)的坐标代入，得. ∴ 平移后的抛物线解析式为. 令y=0, 即.      解得. 依题意, 点C的坐标为（-b，0）. ∴ BC=. ∴ BC= OA. 又BC∥OA， ∴ 四边形OABC是平行四边形. ∵ ∠AOC=90， ∴ 四边形OABC是矩形. 点评：本题主要考查二次函数的图象和性质，并与几何图形相结合的综合题，难度较高.解题的关键在于灵活运用二次函数的性质及待定系数法，并注重点的坐标与线段长的互相转化. 11．(1)A（5，0）、B（-3，0）、C（0，5）； (2) (3)点N的坐标为（2，3）或（2+，3-）或（2-，3+）． 【分析】（1）利用坐标轴上点的坐标特征即可结论； （2）先确定出AF=FN=2，GE=，再利用勾股定理求出NE=，即可得出结论； （3）先确定出直线AC的函数表达式为y=-x+5．再分MN为边和对角线两种情况，建立方程求解即可得出结论． （1） 解：令y=0得：−x2+x+5=0， 解得x=5或x=-3． ∵点A在点B的右侧， ∴点A、B的坐标分别为（5，0）、（-3，0）． 当x=0时，y=5， ∴点C的坐标为（0，5）； （2） 解：如图1，作EG⊥AC，垂足为点G． ∵点E的坐标为（4，0）， ∴OE=4． ∵OA=OC=5， ∴AE=1，∠OAC=45°． ∴AF=FN=2，GE=AE•sin45°=， 在Rt△EFN中，依据勾股定理可知NE==， ∴sin∠ANE=； （3） 解：设直线AC的函数表达式为y=kx+b． 将点A和点C的坐标代入得：， 解得k=-1，b=5． ∴直线AC的函数表达式为y=-x+5． ①当MN为边时，如图2所示： 设点Q（n，−n2+n+5）， 则点P（n+1，−n2+），点N（n，-n+5）M（n+1，-n+4）． ∵QN=PM， ∴(−n2+n+5)−(−n+5)=(−n2+)−(−n+4)， 解得n=2． ∴点N的坐标为（2，3）； ②当MN是平行四边形的对角线时，如图3所示： 设点F的坐标为（m，0）， 则N（m，-m+5），M（m+1，-m+4）， Q（m，−m2+m+5），P（m+1，−m2+）． ∵QN=PM， ∴(−m+5)−(−m2+m+5)=(−m2+)−(−m+4)， 解得m=2±． ∴点N的坐标为（2+，3-）或（2-，3+）． 综上所述，以点P、Q、N、M为顶点的四边形是平行四边形时，点N的坐标为（2，3）或（2+，3-）或（2-，3+）． 【点评】此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，勾股定理，平行四边形的性质，解（2）的关键是求出NE的长，解（3）的关键是分MN为平行四边形的边和对角线两种情况，用方程的思想解决问题． 12．(1)，； (2)存在，有2个Q点，坐标分别为：（—1，）；（—1，）； (3)当t=2或+1秒时，以M、P、O、C为顶点得四边形是平行四边形. 【分析】（1）先由旋转得出点A的坐标为（-3，0），直接利用待定系数法求出抛物线解析式得出即可； （2）利用当AQ=AC=，以及当AC=Q1C时，分别得出符合题意的答案即可； （3）利用平行四边形的性质首先得出BC的长，进而表示出线段ME的长，进而求出答案. （1） 由旋转知：OA=OB=3 ∴A（—3，0） 由   ， ∴ （2） 由（1）得y=-x2+bx+c=-x2x+=-x+1)2， 即抛物线的对称轴为直线x=-1， 如图 ①当AC=AQ时，直线x=-1和x轴交于E点，AO=3，CO=， ∴AC=，AE=2， ∴QE=, 故Q的坐标为：（-1，）； ②当AC=Q1C时，过点C作CF⊥直线x=-1，于一点F，则FC=1， ∵AO=3，CO=， ∴AC=， ∴Q1C=， ∴FQ1=， 故Q1的坐标为：（-1，）； 所以存在2个Q点，坐标分别为：（—1，）；（—1，）. （3） ∵OC=，当 M、P、O、C为顶点得四边形是平行四边形时，PM= ∴M点的纵坐标为或-. 由 解之，x=-2或0 由 解之，x=-1+或-1- 结合条件及图形分析得：OP=2或+1                   ∴当t=2或+1秒时，以M、P、O、C为顶点得四边形是平行四边形． 【点评】此题主要考查了图形的旋转、二次函数的综合应用以及平行四边形的性质和判定，等腰三角形的判定等知识，利用分类讨论思想和数形结合分析是解题的关键，主要利用了待定系数法求二次函数的解析式，难点在于对等腰三角形的边进行分类讨论. 13．(1) (2)点E的坐标为或 (3)存在，点F的坐标为或 【分析】（1）将点A（0，-2），B（1，0）代入二次函数中，列方程组求a、b、c即可； （2）因为D、O分别为两个直角三角形的顶点，可分为△CDE∽△AOB，△EDC∽△AOB两种情况，利用相似比求ED，确定E点坐标； （3）假设抛物线上存在一点F，使得四边形BCEF为平行四边形，EF=BC=1，点F的横坐标为m-1，分为①当点E的坐标为（m，）时，点F的坐标为（m-1，），②当点E的坐标为（m，4-2m）时，点F的坐标为（m-1，4-2m），两种情况，分别代入抛物线解析式求m的值，确定F点的坐标． （1） 解：根据题意，得，解得：， ∴二次函数的解析式为； （2） 解：当y＝0时，有，解得，， ∴点C的坐标为（2，0）， ∴OC＝2． ∵点A(0，－2)，点B(1，0)，D(m，0)(m＞2)， ∴AO＝2，BO＝1，CD＝m-2． 当△CDE∽△AOB时，得AO∶CD＝BO∶DE， ∴2∶(m－2)＝1∶DE．　 ∴． ∵点在第四象限， ∴此时点E（m，）． 当△EDC∽△AOB当时，得AO∶ED＝BO∶CD， ∴2∶DE＝1∶(m－2)．　 ∴DE＝2m－4． ∵点在第四象限， ∴此时点E（m，4-2m）； 综上所述，点E的坐标为（m，）或（m，4-2m）； （3） 解：假设抛物线上存在一点F，使得四边形BCEF为平行四边形，则EF＝BC＝1，， ∴点F的横坐标为m-1， 当点E的坐标为时，点F的坐标为， ∵点F在抛物线的图象上， ∴， ∴， ∴， ∴（舍去）， ∴点F． 当点E的坐标为时，点F的坐标为． ∵点F在抛物线的图象上， ∴， ∴， ∴， ∴（舍去），， ∴点F， ∴使得四边形BCEF为平行四边形的点F的坐标为 或． 【点评】此题主要考查了二次函数综合以及平行四边形的性质、相似三角形的判定与性质等知识，正确表示出E，F点坐标是解题关键． 14．（1）n=1,y=﹣2x2+4x+2；(2) 点P的坐标（1，4）或( )；(3) 或或（，0）或（，0）． 【分析】(1)将A点坐标代入一次函数解析式得出n的值，首先设二次函数的解析式为顶点式，然后将点A坐标代入得出函数解析式；(2)如图1.设与AC的交点为H，作HM⊥x轴于M，作与N，设出点P和点H的坐标，根据H是的中点得出m与x的关系式，根据相似得出x与m的关系，从而求出x的值，得出点P的坐标；(3)设点坐标为A，以AB为边或对角线以及平行四边形的性质分别进行讨论，分别得出点的坐标． 【解析】解：（1）A（2，2）代入得 设抛物线的解析式代入点）A（2，2），可得 所以抛物线的解析式． （2）如图1.设与AC的交点为H，作HM⊥x轴于M，作 设G 一方面，由于H是的中点，因此 于是得到所以整理，得① 另一方面，由得 所以与整理，得② 联立① ②解得或， 所以点的坐标（1，4）或 (3)设点坐标为A，以AB为边或对角线进行分类讨论： ①如图2，当AB是平行四边行的边时，AB//DE,AB=DE 由于点B(0,1)先向右平移2个单位，再向上平移1个单位得到A(2,2),所以点D的坐标可以表示为 将代入，得 解得，此时如图3或，（如图4）          ②当AB是平行四边形的对角线时，设AB的中点，点 关于的对称轴的坐标可以表示为 将代入，得 解得，此时或． 综上所述， 或或（，0）或（，0）． 【点评】本题主要考查的就是待定系数法求函数解析式以及二次函数与平行四边形的综合题目，难度比较大.在解决二次函数与平行四边形问题时，我们首先需要将已知的一条边作为边和对角线两种情况分别进行讨论，从而分别求出点的坐标.在平面直角坐标系中一定要熟练掌握中点以及各点的表示方式，在设点坐标的时候一定要根据函数解析式来进行设． 15．（1）①抛物线解析式为y=x2﹣4；②0＜S四边形BDQP≤；（2）的值与a，c无关，比值为1． 【分析】(1)①把 A（－2，0），C（0，－4）代入，求得a、c的值，即可得抛物线的解析式； ②连接DB、OP，设P（，），因A（－2，0），对称轴为轴，可得B（2，0），即可得 ，再由点P在第四象限运动，可得x单位取值范围，由抛物线的图象即可得△BDP的取值范围为，因   即可得平行四边形BDQP面积的取值范围为； （2）过点P作PG⊥AB，设A（，0），B（，0），P（，），由PG∥轴，根据相似三角形的判定方法可得 ，，再由相似三角形的性质可得 ，，代入数值可得 ，，把这两个式子相加可得，令，即可得，，所以，即 ，所以，即可得 所以可得结论与、无关，比值为1． 【解析】解：（1）①把A（﹣2，0），C（0，﹣4）代入y=ax2+c中 解得 ∴抛物线解析式为： ②连接DB、OP，设P（，） ∵A（－2，0），对称轴为轴 ∴B（2，0） ∴ ∵点P在第四象限运动 ∴ ∴由抛物线的图象可得： ∵    ∴ （2）过点P作PG⊥AB，设A（，0），B（，0），P（，） ∴PG∥轴 ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ∵当时，∴，即， ∴ ∴  ∴ ∴ ∴与、无关，比值为1． 【点评】本题着重考查了待定系数法求二次函数解析式、抛物线上点的坐标的特征、相似三角形的判定及性质等重要知识点；综合性强，同时还考查学生数形结合的数学思想方法． 16．(1)抛物线解析式为，顶点坐标（，﹣） (2)PB+PD的最小值为 (3)①5      ②取值范围是 【分析】（1）选择适当的表达式，确定a、b、c的值，计算顶点坐标即可． （2）根据OA=1，OB=，计算AB=2，得到∠ABO=30°，过点P作PE⊥直线AB，垂足为E，则PE=，从而化为PE+PD，根据三角形三边关系定理，得到PE+PD≥DE， 故当D、P、E三点共线时，PE+PD的值最小，根据垂线段最短，确定DE⊥AB时最短，结合∠ABO=30°，∠BAO=60°，运用勾股定理计算即可． （3）①分AB为菱形的边长和对角线两种情况分析求解． ②根据∠ABO=30°，AB=2是定值，以AB的垂直平分线与y轴的交点为圆心F，以FA为半径，则弧AB所对的圆周角为60°，与对称轴的两个交点即为t的取值范围． （1） 因为A（﹣1，0），B（0，﹣），C（2，0）， 设二次函数的表达式为， 所以， 解得a=， 所以==， 顶点坐标（，﹣）． （2） 如图，因为A（﹣1，0），B（0，﹣），D（，0） 所以OA=1，OB=，DA=1+=， 所以AB=2， 所以∠ABO=30°， 过点P作PE⊥直线AB，垂足为E， 则PE=， 所以=PE+PD， 根据三角形三边关系定理，得到PE+PD≥DE， 故当D、P、E三点共线时，PE+PD的值最小，根据垂线段最短，确定DM⊥AB时最短， 因为∠ABO=30°，所以∠BAO=60°，∠ADM=30°， 所以AM=DA=， 所以DM==， 故PB+PD的最小值为． （3） ①若A、B、M、N为顶点的四边形为菱形，分两种情况，由题意知，AB=2， 若AB为边菱形的边，因为M为抛物线对称轴上的一点，即分别以A、B为顶点，AB的长为半径作圆与对称轴的交点即为M点，这样的M点有四个， 如图；若AB为菱形的对角线，根据菱形的性质，作AB的垂直平分线与对称轴的交点即为M点．综上所述，这样的M点有5个，所以对应的N点有5个． ②如图，作AB的垂直平分线，与y轴交于F点． 由题意知，AB=2，∠BAF=∠ABO=30°，∠AFB=120° ∴以F为圆心，AF的长为半径作圆交对称轴于和点，根据圆周角定理，得 则∠AB=∠AB=∠AFB=60°． ∵∠BAF=∠ABO=30°，OA=1， ∴∠FAO=30°，AF==F=F，OF=， 过F点作FG⊥MM'于G点， 则四边形OFGD是矩形，且OD=FG=， 所以=， 因为DG=OF=， 所以点G（，-）， 所以t+=或--t=， 解得t=或t= 所以（，），（，）， 所以∠AMB不小于60°，t的取值范围是． 【点评】本题考查二次函数综合题、锐角三角函数、最短问题、圆等知识，解题的关键是掌握待定系数法确定解析式，学会利用垂线最短解决实际问题中的最短问题，学会添加辅助线，构造圆解决角度问题. 17．（1）y=﹣x2+3x+4；（2）P（2，6），16；（3）存在，Q的坐标为（﹣5，4）或（5，4）或（3，﹣4） 【解析】解：（1）∵二次函数y=﹣x2+bx+c的图象交x轴于点A（4，0）和点B，交y轴于点C（0，4）． ∴，∴， ∴二次函数的表达式为y=﹣x2+3x+4， （2）如图， 由（1）有，二次函数的表达式为y=﹣x2+3x+4，  令y=0，得x=4，或x=-1， ∴B（-1，0） 连接AC，PA，PC，要使四边形的面积最大，当且仅当的面积最大时， ∴点P在平行于直线AC，且该直线与抛物线只有一个交点时，S△PAC最大， 即：S四边形AOCP最大； ∵A（4，0），C（0，4），  ∴直线AC解析式为， 设与直线AC平行的直线解析式为，则 ，∴ ∴，∴，∴点P（2，6）， 连接PO，过点P作PD⊥y轴，PG⊥x轴，则PD=2，PG=6， ∴． （3）存在点Q，使A，B，C，Q四点构成平行四边形， 理由：①以AB为边时，CQ∥AB，CQ=AB       过点C作平行于AB的直线l， ∵C（0，4），∴直线l解析式为y=4，∴点Q在直线l上，   设Q（d，4），∴CQ=|d|， ∵A（﹣4，0），B（1，0），∴AB=5，∴|d|=5，∴d=±5，  ∴Q（﹣5，4）或（5，4）， ②以AB为对角线时，CQ必过线段AB中点，且被AB平分，即：AB的中点也是CQ的中点， ∵A（4，0），B（-1，0），∴线段AB中点坐标为（，0）， ∵C（0，4），∴直线CQ解析式为y=-x+4，设点Q（m，-m+4）， ∴，∴m=0（舍）或m=3，∴Q（3，﹣4）， 即：满足条件的点Q的坐标为（﹣5，4）或（5，4）或（3，﹣4）． 18．(1)抛物线的解析式为； (2)当x=﹣2时，最大，此时，； (3)符合条件的点P有两个，分别是， (4)，， 【分析】（1）由于抛物线经过，及原点O，待定系数法即可求出抛物线的解析式； （2）存在一点G，使得△GBC的面积最大，过G作GH垂直y轴交BC于点H，设，求出直线BC的解析式，表示出点H的坐标，用x表示出GH的长，构建出以GH和△GBC的面积为变量的二次函数模型，根据二次函数的性质求解即可； （3）分两种情况讨论，①，②，根据相似三角形对应边的比相等可以求出点P的坐标； （4）分OA为平行四边形的一边和对角线两种情况，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形、对角线互相平分的四边形是平行四边形，即可求出点D的坐标. （1） 解：∵抛物线经过点和原点， ∴设抛物线的解析式为：， ∵抛物线经过点， ∴ ∴抛物线的解析式为； （2） 存在一点G，使得△GBC的面积最大，理由如下： 解：如图所示：过G作GH垂直y轴交BC于点H， 设，设过直线BC的解析式为， ∵， ∴顶点C（﹣1，﹣1）， 又∵B（﹣3，﹣3）， ∴， ∴， ∴， ∴可设点H（x，﹣2x﹣3）， ∴， ∵a=﹣1＜0，对称轴为x=﹣2， ∴当x=﹣2时，最大，此时，G（﹣2，0）； （3） 存在， 解：根据勾股定理得：，，， ∵， ∴， ∴△BOC为直角三角形， 假设存在点P，使得以P、M、A为顶点的三角形与△BOC相似， 如图所示，设P（m，n），由题意得m＞0，n＞0，且， ①若，则， 即， ， ， 解得：，（舍去）， 当时，， ∴；                                          ②若， 则， 即， ， 解得，，（舍去）， 当m=3时，n=9+6=15， ∴P（3，15）， 综上所述，符合条件的点P有两个，分别是，； （4） ，，， 解：如图所示，分三种情况考虑： 当在第一象限时，若四边形为平行四边形， ∴， ∵抛物线对称轴为直线x=﹣1， ∴横坐标为1， 将x=1代入抛物线， 即； 当在第二象限时，， ∵抛物线对称轴为直线x=﹣1， ∴横坐标为-3， 将x=-3代入抛物线， 即； 当在第三象限时，若四边形为平行四边形，此时与C重合，即． 【点评】本题着重考查了待定系数法求二次函数解析式、平行四边形的性质、相似三角形的判定和性质等知识点，综合性强，解题的关键是掌握分类讨论，数形结合的数学思想方法． 19．(1)y =-x2+2x+3；(2)证明见解析；（3）满足题意的点P存在，其坐标为（1，）． 【解析】（1）解：由抛物线的顶点是M（1，4）， 设解析式为y=a（x-1）2+4（a＜0） 又抛物线经过点N（2，3）， 所以3=a（2-1）2+4，解得a=-1     所以所求抛物线的解析式为y=-（x-1）2+4=-x2+2x+3 （2）证明：直线y=kx+t经过C(0,3)、M（1，4）两点， ∴,即k=1，t=3，即：直线解析式为y=x+3 求得A(-1，0),D(-3，0)，∴AD=2 ∵C(0,3), N（2，3） ∴CN=2= AD，且CN∥AD ∴四边形CDAN是平行四边形． （3）解：假设在x轴上方存在这样的P点，使以P为圆心的圆经过A、B两点，并且与直线CD相切，设P（1，u）其中u＞0， 则PA是圆的半径且PA2=u2+22过P做直线CD的垂线，垂足为Q，则PQ=PA时以P为圆心的圆与直线CD相切． 由第（2）小题易得：△MDE为等腰直角三角形，故△PQM也是等腰直角三角形， 由P（1，u）得PE=u，PM=|4-u|，PQ= 由PQ2=PA2得方程：=u2+22， 解得，舍去负值u=，符合题意的u=， 所以，满足题意的点P存在，其坐标为（1，）． 20．（1） （2）S=﹣m2﹣4m+4（﹣4＜m＜0）（3）（﹣3，2）、（，﹣2）、（，﹣2） 【分析】（1）把点A的坐标代入抛物线的解析式，就可求得抛物线的解析式，根据A，C两点的坐标，可求得直线AC的函数解析式； （2）先过点D作DH⊥x轴于点H，运用割补法即可得到：四边形OCDA的面积=△ADH的面积+四边形OCDH的面积，据此列式计算化简就可求得S关于m的函数关系； （3）由于AC确定，可分AC是平行四边形的边和对角线两种情况讨论，得到点E与点C的纵坐标之间的关系，然后代入抛物线的解析式，就可得到满足条件的所有点E的坐标． 【解析】（1）∵A（﹣4，0）在二次函数y=ax2﹣x+2（a≠0）的图象上， ∴0=16a+6+2， 解得a=﹣， ∴抛物线的函数解析式为y=﹣x2﹣x+2； ∴点C的坐标为（0，2）， 设直线AC的解析式为y=kx+b，则 ， 解得， ∴直线AC的函数解析式为：； （2）∵点D（m，n）是抛物线在第二象限的部分上的一动点， ∴D（m，﹣m2﹣m+2）， 过点D作DH⊥x轴于点H，则DH=﹣m2﹣m+2，AH=m+4，HO=﹣m， ∵四边形OCDA的面积=△ADH的面积+四边形OCDH的面积， ∴S=（m+4）×（﹣m2﹣m+2）+（﹣m2﹣m+2+2）×（﹣m）， 化简，得S=﹣m2﹣4m+4（﹣4＜m＜0）； （3）①若AC为平行四边形的一边，则C、E到AF的距离相等， ∴|yE|=|yC|=2， ∴yE=±2． 当yE=2时，解方程﹣x2﹣x+2=2得， x1=0，x2=﹣3， ∴点E的坐标为（﹣3，2）； 当yE=﹣2时，解方程﹣x2﹣x+2=﹣2得， x1=，x2=， ∴点E的坐标为（，﹣2）或（，﹣2）； ②若AC为平行四边形的一条对角线，则CE∥AF， ∴yE=yC=2， ∴点E的坐标为（﹣3，2）． 综上所述，满足条件的点E的坐标为（﹣3，2）、（，﹣2）、（，﹣2）． 学科网（北京）股份有限公司 $$