反比例函数与几何综合 2025年九年级数学中考专题训练

中考专题训练——反比例函数与几何综合 1．如图，一次函数图象与轴、轴分别交于点和点，与反比例函数图象交于点和点，其中点的横标为1，． （1）如图1，求一次函数和反比例函数的表达式； （2）如图2，点是轴正半轴上一点，，求的面积； （3）在（2）的条件下，直线向上平移，平移后的直线过点且交轴于点，点为平面直角坐标系内一点，是否存在以、、、为顶点的四边形是平行四边形，若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 2．如图，点A是反比例函数y＝（m＜0）位于第二象限的图象上的一个动点，过点A作AC⊥x轴于点C；M为是线段AC的中点，过点M作AC的垂线，与反比例函数的图象及y轴分别交于B、D两点．顺次连接A、B、C、D．设点A的横坐标为n． （1）求点B的坐标（用含有m、n的代数式表示）； （2）求证：四边形ABCD是菱形； （3）若△ABM的面积为4，当四边形ABCD是正方形时，求直线AB的函数表达式． 3．如图，为反比例函数（其中）图像上的一点，在轴正半轴上有一点，．连接、，且． （1）求反比例函数的解析式； （2）过点作，交反比例函数（其中）的图像于点，连接交于点． ①求的长； ②求的值． 4．如图，将一个长方形放置在平面直角坐标系中，OA＝2，OC＝3，E是AB中点，反比例函数图象过点E且和BC相交点F． （1）直接写出点B和点E的坐标； （2）求直线OB与反比例函数的解析式； （3）连接OE、OF，求四边形OEBF的面积． 5．如图，在直角坐标中，矩形的顶点O与坐标原点重合，顶点A、C分别在x轴和y轴上，点B的坐标为，反比例函数是的图像经过的中点D，且与交于点E，连接． （1）求k的值及点E的坐标； （2）若点F是边上一点，且，求直线的解析式． （3）若点P在y轴上，且的面积与四边形的面积相等，求点P的坐标． 6．已知在平面直角坐标中，点A(m，n)在第一象限内，AB⊥OA且AB=OA，反比例函数y=的图象经过点A （1）当点B的坐标为(4，0)时（如图1），求这个反比例函数的解析式； （2）当点B在反比例函数y=的图象上，且在点A的右侧时（如图2），用含字母m，n的代数式表示点B的坐标； （3）在第（2）小题的条件下，求的值． 7．如图1，在平面直角坐标系中，函数（m为常数，，）的图象经过点和，直线与x轴、y轴分别交于C，D两点． （1）求的度数； （2）如图2，连接、，当时，求此时m的值； （3）如图3，点A、点B分别是在x轴和y轴正半轴上的动点．再以、为邻边作矩形．若点M恰好在函数（m为常数，，）的图象上，且四边形为平行四边形，求此时、的长度． 8．如图，矩形的两边、分别位于轴、轴上，对角线长为8，且，是边上的点，将沿直线翻折，使点恰好落在对角线上的点处． （1）求的长； （2）点在一反比例函数的图象上，那么该函数的解析式； （3）反比例函数与交于点，连接，求的面积． 9．如图，已知点，，反比例函数的图象记为． （1）若经过点． ①求的解析式； ②是否经过点？若经过，说明理由；若不经过，请判断点在的上方，还是下方． （2）若与线段有公共点，直接写出的取值范围． 10．如图，一次函数y＝k1x+b的图象与反比例函数y＝（x＜0）的图象相交于点A（﹣1，2）、点B（﹣4，n）． （1）求此一次函数和反比例函数的表达式； （2）求△AOB的面积； （3）若点H（﹣，h）也在双曲线上，那么在y轴上存在一点P，使得|PB﹣PH|的差最大，求出点P的坐标． 11．如图，直线y＝﹣x+7与反比例函数y＝（m≠0）的图象交于A，B两点，与y轴交于点C，且点A的横坐标为2． （1）求反比例函数的表达式； （2）求出点B坐标，并结合图象直接写出不等式＜﹣x+7的解集； （3）点E为y轴上一个动点，若S△AEB＝5，求点E的坐标． 12．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点、两点，与轴、轴分别交于、两点，且点的坐标为． （1）求一次函数和反比例函数的表达式． （2）求的面积． （3）点为反比例函数图像上的一个动点，轴于，是否存在以、、为顶点的三角形与相似，若存在，直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由． 13．已知反比例函数（为常数）的图象在第一、三象限． （1）求的取值范围； （2）如图，若该反比例函数的图象经过的顶点，点的坐标分别为，，求出的值； （3）将沿轴翻折，点落在处，判断点是否落在该反比例函数的图象上？ 14．如图，一次函数y＝mx+1的图象与反比例函数y＝的图象相交于A、B两点，点C在x轴正半轴上，点D(1，﹣2)，连结OA、OD、DC、AC，四边形OACD为菱形． （1）求一次函数与反比例函数的解析式； （2）根据图象，直接写出反比例函数的值小于2时，x的取值范围； （3）设点P是直线AB上一动点，且＝S菱形OACD，求点P的坐标． 15．如图，在第一象限内有一点A（4，1），过点A作AB⊥x轴于B点，作AC⊥y轴于C点，点N为线段AB上的一动点，过点N的反比例函数y＝交线段AC于M点，连接OM，ON，MN． （1）若点N为AB的中点，则n的值为　 　； （2）求线段AN的长（用含n的代数式表示）； （3）求△AMN的面积等于时n的值． 16．如图，直线与反比例函数的图象交于、两点，已知点，，轴于点，轴于点，． （1）求，的值及反比例函数的解析式； （2）结合图象，当时，直接写出自变量的取值范围； （3）若是轴上的一个动点，当的周长最小时，求点的坐标． 17．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，连接，． （1）求这个一次函数的表达式； （2）求的面积； （3）问：在直角坐标系中，是否存在一点P，使以O，A，B，P为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 18．如图，反比例函数与一次函数的图象交于A（1，3）和B（－3，n）两点． （1）求m、n的值； （2）当x取什么值时，一次函数的值大于反比例函数的值． （3）求出△OAB的面积． 19．如图1，一次函数y＝kx－4（k≠0）的图象与y轴交于点A，与反比例函数y＝－（x＜0）的图象交于点B（－6，b）． （1）b＝__________．k＝__________． （2）点C是线段AB上一点（不与A，B重合），过点C且平行于y轴的直线l交该反比例函数的图象于点D，连接OC，OD，若△OCD的面积＝8，求点C的坐标． （3）将第（2）小题中的△OCD沿射线AB方向平移一定的距离后，得到△O′C′D′，若点O的对应点O′恰好落在该反比例函数图象上（如图2），求此时点D的对应点D′的坐标． 20．如图，直线：与坐标轴交于两点，以为边在右侧作正方形，过作轴于点．过点的反比例函数与直线交于两点． （1）求证：△AOD≌△DGC； （2）求E、F两点坐标； （3）填空：不等式的取值范围是_________． 参考答案 1．（1），；（2）（3），， 【分析】（1）根据题意，分别求得点的坐标，用待定系数法求得一次函数的解析式，再求得点的坐标，用待定系数法求反比例函数解析式即可； （2）过点作轴于点,根据梯形求解即可； （3）根据平行线的性质，分情况讨论，①当为边时，，上、下平移点即可求得点的坐标 ②当为对角线时，根据，，利用中点坐标求解的坐标 【详解】（1）点和点分别是轴、轴的点，且,根据图像可知： 设直线的解析式为： 将点代入，得： 解得： 点在直线上，且横标为1， 又在反比例函数图像上 设反比例函数解析式为：， 将代入，得 （2）如图，过点作轴于点,则, ， 梯形 （3）存在，理由如下： 设直线的解析式为 解得： 平移后经过点 设平移后的直线的解析式为 将代入，求得 如图：以、、、为顶点的四边形是平行四边形 ①当为边时，时， 都在轴上 轴 或者 ②当为对角线时，设对角线交点为 ，,设 解得 综上所述，，， 【点睛】本题考查平移的性质，一次函数与反比例函数图像的性质，待定系数法求解析式，平行四边形的判定与性质，熟练一次函数与反比例函数图像的性质是解题的关键． 2．（1）B（2n，）；（2）见解析；（3）y＝x＋ 【分析】（1）由点A在双曲线上，确定出A坐标，进而得出 B的坐标，即可得出结论； （2）由（1）得到的点B，D，M的坐标判断出，得出四边形ABCD是平行四边形，再用即可； （3）由（2）结合建立方程求出n，m，从而得到点B，A的坐标即可． 【详解】（1）当时，， ， 由题意知，BD是AC的中垂线， 点B的纵坐标是， 把代入得， B（2n，）； （2）证明：∵BD⊥AC，AC⊥x轴， ∴BD⊥y轴，由（1）知，B（2n，），A（n，）， ∴D（0，），M（n，）， ∴BM＝MD＝﹣n， ∵AC⊥x轴， ∴C（n，0）， ∴AM＝CM， ∴四边形ABCD是平行四边形． 又∵BD⊥AC， ∴平行四边形ABCD是菱形； （3）当四边形ABCD是正方形时， 为等腰直角三角形， ， 的面积是4， , ， 为线段AC的中点， ， ， ， 设直线AB的解析式为， ， 解得 直线AB的函数表达式为y＝x＋． 【点睛】此题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法，菱形的性质，正方形的性质，等腰三角形的性质，三角形的面积公式，解本题的关键是用m，n表示出点A，B，D，M的坐标． 3．（1）；（2）①；②4 【分析】（1）要求的值，只需要求出的坐标即可，所以过作轴于，由于，所以，利用勾股定理求出的长，得到的坐标，代入到反比例函数解析式中即可解决； （2）①因为轴，所以的横坐标为10，由于在反比例函数图象上，所以可以求出的纵坐标，在直角三角形中，利用勾股定理可以求出的长度；②要求的值，由的长度已知，所以只需要求出或者的长度即可，因为是直线和直线的交点，所以求出直线和直线的解析式，联立两个函数解析式，求得的坐标，进而求出线段的长度，即可解决，此题也可以平行线构造相似来解决． 【详解】解：（1）过作于，如图1， ， ， ， 的坐标为， 为反比例函数（其中图象上的一点， ， 反比例函数的解析式为：； （2）①， 的坐标为， 轴交反比例函数图象于点， 的横坐标为10， 令，则， ， ， ； ②设直线为，代入点的坐标得， 直线的解析式为， 设直线的解析式为，代入点的坐标得， 直线的解析式为， 联立， 解得， 的坐标为， ， ， ． 【点睛】本题是一道反比例函数综合题，注意等腰三角形的性质和勾股定理在求线段时的作用，求线段比可以用直接解析法和相似来转化． 4．（1）B（2，3），E（2，）；（2）；（3）3 【分析】（1）根据OA＝2，OC＝3，得到点B的坐标；根据E是AB的中点，求得点E的坐标， （2）运用待定系数法求直线OB的解析式，再进一步运用待定系数法求得反比例函数的解析式； （3）根据反比例函数的解析式求得点F的横坐标，再进一步根据四边形的面积等于矩形的面积减去两个直角三角形的面积进行计算． 【详解】解：（1）∵OA＝2，OC＝3，E是AB中点， ∴B（2，3），E（2，）； （2）设直线OB的解析式是y＝k1x， 把B点坐标代入，得k1＝， 则直线OB的解析式是y＝x． 设反比例函数解析式是y＝， 把E点坐标代入，得k2＝3， 则反比例函数的解析式是y＝； （3）由题意得Fy＝3，代入y＝， 得Fx＝1，即F（1，3）． 则四边形OEBF的面积＝矩形OABC的面积﹣△OAE的面积﹣△OCF的面积＝2×3﹣1×3﹣2×＝3． 【点睛】本题考查反比例函数系数k的几何意义、待定系数法求反比例函数解析式、矩形的性质、反比例函数图象上点的坐标特征、待定系数法求一次函数解析式，灵活应用是关键，本题是中考的常考题型 5．（1）；；（2）；（3）或 【分析】（1）由B点的坐标，可得出D点的坐标，利用反比例函数图像上点的坐标特征可求出k值，由E点在AB上可得出点B的横坐标，再利用反比例函数图像上点的坐标特征可求出E点的纵坐标，进而可得出E点的坐标； （2）由（1）可得出BD＝1，BE＝，CB＝2，由△FBC∽△DEB，利用相似三角形的性质可求出CF的长，结合OF＝OC-CF可得出OF的长，进而可得出点F的坐标，由点F，B的坐标，利用待定系数法即可求出直线FB的解析式； （3）由，可求出四边形BDOE的面积，由点P在y轴上及△OPD的面积与四边形BDOE的面积相等，可求出OP的长，进而可得出P点的坐标． 【详解】解：（1）在矩形中， ∵B点坐标为， ∴边中点D的坐标为， 又∵反比例函数图像经过点， ∴， ∴， ∵E点在上， ∴E点的横坐标为2， 又∵经过点E， ∴E点纵坐标为， ∴E点坐标为， （2）由（1）得，，， ∵， ∴，即， ∴， ∴，即点F的坐标为， 设直线的解析式为，而直线经过，， ∴， ∴， ∴直线的解析式为； （3）∵， 由题意，得， ∴， ∴点P的坐标为或． 【点睛】本题考查了矩形的性质、反比例函数图像上点的坐标特征、待定系数法求一次函数解析式以及三角形的面积，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用反比例函数图像上点的坐标特征求出k值；（2）根据点的坐标，利用待定系数法求出一次函数解析式；（3）利用三角形面积的计算公式，求出OP的长． 6．（1）y=；（2）(m+n，n-m)；（3） 【分析】（1）根据等腰直角三角形性质，三线合一，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得到点A坐标，代入解析式即可得到y=． （2）过点A作AE⊥x轴于点E，过点B作BD⊥AE于点D，构造一对全等三角形，得到AE=BD=n，OE=AD=m，所以B（m+n，n-m）. （3）把点A和点B的坐标代入反比例函数的解析式得到关于m、n的等，两边除以 ，换元法解得 ． 【详解】解：（1）过A作AC⊥OB，交x轴于点C， ∵OA=AB，∠OAB=90°， ∴△AOB为等腰直角三角形， ∴AC=OC=BC=OB=2， ∴A（2，2）， 将x=2，y=2代入反比例解析式得：2=，即k=4， 则反比例解析式为y=； （2）过A作AE⊥x轴，过B作BD⊥AE， ∵∠OAB=90°， ∴∠OAE+∠BAD=90°， ∵∠AOE+∠OAE=90°，     ∴∠BAD=∠AOE， 在△AOE和△BAD中，， ∴△AOE≌△BAD（AAS）， ∴AE=BD=n，OE=AD=m， ∴DE=AE-AD=n-m，OE+BD=m+n， 则B（m+n，n-m）； （3）由A与B都在反比例图象上，得到mn=（m+n）（n-m）， 整理得：n2-m2=mn，即 这里a=1，b=1，c=-1， ∵△=1+4=5， ∴， ∵A（m，n）在第一象限， ∴m＞0，n＞0， 则． 【点睛】此题属于反比例函数综合题,涉及的知识有:全等三角形的判定与性质,坐标与图形性质,等腰直角三角形的性质,以及一元二次方程的解法,熟练掌握反比例函数的性质是解本题的关键． 7．（1）∠OCD=45°．（2）m=+1；（3）． 【分析】（1）求出点C，点D的坐标，证明OC=OD即可解决问题； （2）作辅助线，证明△OMQ≌△ONP（SAS），得OQ=OP，∠DOQ=∠POC，根据已知可得∠DOQ=∠POC=∠QOH=∠POH，根据角平分线的性质得：MQ=QH=PH=PN=1，根据CD=DQ+PQ+PC，列方程可得结论； （3）先根据四边形BAPQ为平行四边形，可知∠OAB=45°，可得△AOB是等腰直角三角形，所以OA=OB，从而得M（，），即OA=OB=，由AB=PQ列方程解出即可． 【详解】解：（1）设直线PQ的解析式为y=kx+b，则有， 解得， ∴y=-x+m+1， 令x=0，得到y=m+1， ∴D（0，m+1）， 令y=0，得到x=m+1， ∴C（m+1，0）， ∴OC=OD， ∵∠COD=90°， ∴∠OCD=45°． （2）如图2，过Q作QM⊥y轴于M，过P作PN⊥OC于N，过O作OH⊥CD于H， ∵P（m，1）和Q（1，m）， ∴MQ=PN=1，OM=ON=m， ∵∠OMQ=∠ONP=90°， ∴△OMQ≌△ONP（SAS）， ∴OQ=OP，∠DOQ=∠POC， ∵∠DOQ=∠OCD-∠POC，∠OCD=45°， ∴∠DOQ=∠POC=∠QOH=∠POH=22.5°， ∴MQ=QH=PH=PN=1， ∵∠OCD=∠ODC=45°， ∴△DMQ和△CNP都是等腰直角三角形， ∴DQ=PC=， ∵OC=OD=m+1， ∴CD=OC=（m+1）， ∵CD=DQ+PQ+PC， ∴（m+1）=2+2， ∴m=+1； （3）如图3， ∵四边形BAPQ为平行四边形， ∴AB∥PQ，AB=PQ， ∴∠OAB=45°， ∵∠AOB=90°， ∴OA=OB， ∴矩形OAMB是正方形， ∵点M恰好在函数y=（m为常数，m＞1，x＞0）的图象上， ∴M（，）， 即OA=OB=， ∵AB=PQ， ∴， 解得：或（舍）， ∴． 【点睛】本题考查反比例函数综合题、矩形的性质、待定系数法、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用参数构建方程解决问题． 8．（1）4；（2）；（3） 【分析】（1）根据OB的长度，∠OCB的度数可得BC和OA，再根据折叠的性质可得OE； （2）过E点作EF⊥OC于F，求出点E的坐标，从而可得反比例函数解析式； （3）根据OC的长得到点M的横坐标，代入反比例函数解析式得到点M的坐标，从而得到BM，再利用三角形面积公式计算结果． 【详解】解：（1）∵四边形ABCD是矩形， ∴∠OCB=90° ∵OB=8，∠COB=30°， ∴BC=OA=4， 由折叠可知：OE=OA=4； （2）过E点作EF⊥OC于F， ∵OE=4，∠BOC=30°， ∴EF=2， ∴OF==， ∴E（，2）， 设经过点E的反比例函数表达式为：， 则k=， ∴反比例函数的解析式为：； （3）∵点M在反比例函数图像上，OC==， ∴将x=代入，则y=1，即M（，1），CM=1， 又∵BC=4， ∴BM=4-1=3， ∴S△OBM==． 【点睛】此题主要考查了用待定系数法求反比例函数的解析式，矩形的面积，本题综合性强，考查知识面广，能较全面考查学生综合应用知识的能力． 9．（1）①()；②点B在图象L上方，理由见解析；（2）． 【分析】（1）①将点A坐标代入图象L解析式中，解得，即可得出结论； ②将x=-2代入图象L解析式中，求出y，再与2比较大小，即可得出结论； （2）求出图象L过点A，B时的k的值，再求出图象L与线段AB相切时的k的值，即可得出结论． 【详解】解：（1）①∵L过点A（-3，1）， ∴， ∴图象L的解析式为()； ②点B在图象L上方， 理由：由（1）知，图象L的解析式为， 当时，， ∴点B在图象L上方； （2）当图象L过点A时， 由（1）知，， 当图象L过点B时， 将点B（-2，2）代入图象L解析式中，得， 当线段AB与图象L只有一个交点时， 设直线AB的解析式为， 将点A（-3，1），B（-2，2）代入中， ， ∴， ∴直线AB的解析式为， 联立图象L的解析式和直线AB的解析式得，， 化为关于x的一元二次方程为， ∴， ∴， 即满足条件的k的范围为：． 【点睛】本题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法，找出图象L与线段AB有公共点的分界点是解本题的关键． 10．（1）y＝x+， y＝﹣；（2）S△AOB＝；（3）P（0，）． 【分析】（1）把点A的坐标代入反比例函数解析式求出m的值，然后再把点B的坐标代入反比例函数求出n的值，从而求出点B的坐标，再把A、B的坐标代入一次函数表达式，利用待定系数法即可求出一次函数的解析式； （2）求得直线AB与x轴的交点，然后根据三角形的面积公式即可求解； （3）根据题意，P点是直线BH与y轴的交点； 【详解】（1）∵点A(﹣1，2)在反比例函数图象上， ∴＝2， 解得k2＝﹣2， ∴反比例函数的解析式是y＝﹣， ∵点B(﹣4，n)在反比例函数图象上， ∴n＝ ， ∴点B的坐标是(﹣4，)， ∵一次函数的图象经过点A(﹣1，2)、点B(﹣4，)． ∴ 解得 ． ∴一次函数解析式是 ； （2）设直线AB与x轴的交点为C， 中，令y＝0，则x＝﹣5， ∴直线与x轴的交点C为(﹣5，0)， ∴S△AOB＝S△AOC﹣S△BOC ； （3）∵点H(﹣，h)也在双曲线上， ∴， ∴H(﹣，4)， ∵在y轴上存在一点P，使得|PB﹣PH|最大， ∴P点是直线BH与y轴的交点， 设直线BH的解析式为y＝kx+m， ∴ ，解得 ， ∴直线BH的解析式为y＝x+， 令x＝0，则y＝， ∴P(0，)． 【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法求函数的解析式，三角形面积，会利用待定系数法求一次函数解析式；运用两点之间线段最短解决最短路径问题是解题的关键； 11．（1）；（2）x＜0或2＜x＜12；（3）E（0，6）或（0，8） 【分析】（1）由直线y＝﹣x+7求得A的坐标，然后根据待定系数法即可求得反比例函数的解析式； （2）解析式联立，解方程组即可求得B的坐标，然后根据图象即可求得不等式＜﹣x+7的解集； （3）设E（0，n），求得点C的坐标，然后根据三角形面积公式得到S△AEB＝S△BCE﹣S△ACE＝|7﹣n|×（12﹣2）＝5，解得即可． 【详解】解：（1）把x＝2代入y＝﹣x+7得，y＝6， ∴A（2，6）， ∵反比例函数y＝（m≠0）的图象经过A点， ∴m＝2×6＝12， ∴反比例函数的表达式为； （2）由，得或， ∴B（12，1）， 由图象可知，不等式＜﹣x+7的解集是：x＜0或2＜x＜12； （3）设E（0，n）， ∵直线y＝﹣x+7与y轴交于点C， ∴C（0，7）， ∴CE＝|7﹣n|， ∴S△AEB＝S△BCE﹣S△ACE＝|7﹣n|×（12﹣2）＝5， 解得，n＝6或n＝8， ∴E（0，6）或（0，8）． 【点睛】本题主要考查反比例函数与一次函数的综合，掌握反比例函数图像上的点的坐标特征以及待定系数法，是解题的关键． 12．（1），；（2）；（3）存在，点的坐标为或或或． 【分析】（1）把分别代入直线和反比例函数进行求解即可； （2）连接OA、OB，由解得：，，进而可得，然后由一次函数可得，最后根据割补法可求解△AOB的面积； （3）当以、、为顶点的三角形与相似时，始终有，由（2）可得OC=2，OD=4，设点，则，，则可分①当时，②当时，然后根据相似三角形的性质进行求解即可． 【详解】解：（1）把代入得：， 解得：， ∴一次函数的表达式为， 把代入得：， 解得：， ∴反比例函数的表达式为； （2）连接OA、OB，如图所示： 由解得：，， ∴，， 在上，当时， ，解得： ∴ ∴ ∴， ， ∴； （3）由题意可得如图所示： 当以、、为顶点的三角形与相似时，始终有，由（2）可得OC=2，OD=4，设点，则，， ①当时， ∴，即， 解得：， ∴点或； ②当时， ∴，即， 解得：， ∴点或； 综上所述：当以、、为顶点的三角形与相似时，点的坐标为或或或． 【点睛】本题主要考查反比例函数与几何综合及相似三角形的性质，熟练掌握反比例函数与几何综合及相似三角形的性质是解题的关键． 13．（1）；（2）；（3）点在反比例图象上 【分析】（1）根据反比例函数图象在第一、三象限，列不等式即可； （2）根据平行四边形的性质求出BC长，再求出点B坐标代入解析式即可； （3）根据翻折求出坐标，代入解析式即可． 【详解】解：（1）反比例函数（为常数）的图象在第一、三象限， ∴， 解得； （2）∵是平行四边形，∴， ∴点坐标为． 把点代入得， ， 解得． （3）点关于轴的对称点为． 由（2）知反比例函数的解析式， 把代入， 故点也在反比例图象上． 【点睛】本题考查了反比例函数的综合问题，和平行四边形 性质，解题关键是熟知反比例函数的性质和平行四边形的性质，树立数形结合思想，利用点的坐标解决问题． 14．（1）一次函数的解析式为：y=x+1，反比例函数的解析式为：y＝；（2）x＜0或x＞1；（3）P点坐标为（-3，-2）或（5，6） 【分析】（1）由菱形的性质可知A、D关于x轴对称，可求得A点坐标，把A点坐标分别代入两函数解析式可求得k和m值； （2）由（1）可知A点坐标为（1，2），结合图象可知在A点的下方时，反比例函数的值小于2，可求得x的取值范围； （3）根据菱形的性质求得菱形面积，分点P在x轴下方和点P在x轴上方两种情况加以分析即可． 【详解】解：（1）如图，连接AD，交x轴于点E， ∵D（1，2）， ∴OE=1，ED=2， ∵四边形AODC是菱形， ∴AE=DE=2，EC=OE=1， ∴A（1，2）， 将A（1，2）代入直线y=mx+1可得m+1=2，解得m=1， ∴一次函数的解析式为：y=x+1， 将A（1，2）代入反比例函数y＝，可求得k=2； ∴反比例函数的解析式为：y＝； （2）∵当x=1时，反比例函数的值为2， ∴当反比例函数图象在A点下方时，对应的函数值小于2， 此时x的取值范围为：x＜0或x＞1； （3）∵OC=2OE=2，AD=2DE=4， ∴S菱形OACD， S△OAP=S菱形OACD， ∴S△OAP=2， 直线y=x+1与x轴交点M（-1，0） 设P点坐标为（x，x+1）， 当点P在x轴下方时， ∴S△OAP =S△OAM +S△OMP=2， ∴， 解得x=-3， ∴P点坐标为（-3，-2）． 当点P在x轴上方时， ∴S△OAP = S△OMP -S△OAM =2， ∴， 解得x=5， ∴P点坐标为（5，6）． ． 【点睛】本题考查了反比例函数和几何的综合应用，涉及知识点有待定系数法、菱形的性质、三角形的面积及数形结合思想等，熟练掌握相关知识是解题的关键． 15．（1）2；（2）；（3） 【分析】（1）根据点A的坐标和点N为AB的中点得到点N的坐标，可得n值； （2）将点N的横坐标代入反比例函数表达式，得到纵坐标，即BN的长，再根据AB得到AN； （3）分别表示出AN和AM的长，表示出△AMN的面积，令其为，解方程即可得到结果． 【详解】解：（1）∵A（4，1），AB⊥x轴于点B，交于点N， ∴xA=xB=xN=4，AB=1， 又∵点N为AB中点， ∴BN=AB=，即yN=， ∴n=xN×yN=4×=2， 故n=2； （2）由（1）可知：xA=xB=xN=4， ∵点N在上， ∴yN=， ∴AN=AB-BN=， 故线段AN的长为； （3）由（2）可知：AN=， ∵点A（4，1），AC⊥y轴，交于点M， ∴yA=yM=1，AC=xN=4， 则xM==n，即CM=xM=n， ∴AM=AC-CM=4-n， ∵AC⊥y轴，AB⊥x轴， ∴四边形OBAC为矩形， ∴∠A=90°， ∴S△AMN= = =， 又△AMN的面积等于， ∴， 解得：， 又AN=＞0， ∴n＜4， ∴， 故n的值为． 【点睛】本题考查了反比例函数综合，矩形的判定和性质，一元二次方程，解题的关键是利用反比例函数图像上的点坐标表示出相应线段的长度． 16．（1），，；（2）或；（3）点的坐标为． 【分析】（1）把点A、B的坐标代入反比例函数中，得到，由CD=3可知 ，即可求出m、n的值； （2）根据图象可直接写出x的取值范围； （3）作点关于轴的对称点，连接交轴于点，此时的周长最小，求出坐标即可； 【详解】（1）∵点，在反比例函数的图象上， ∴， 即； ∵， ∴， ∴，， ∴点，点， ∴， ∴反比例函数的解析式为； （2）∵点，点， ∴当 时：或； （3）如图，作点关于轴的对称点，连接交轴于点，此时的周长最小； 设直线的解析式为， 解得 ∴直线的解析式为， 当时，， ∴点的坐标为． 【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的解析式以及求x的取值范围，还有在反比例函数中出现的动点问题，属于中等难度． 17．（1）；（2）8；（3）存在，点P的坐标为，， 【分析】（1）由点A，B在反比例函数图象上，求出m，n，进而求出A，B坐标，再代入一次函数解析式中，即可得出结论； （2）利用三角形的面积的差即可得出结论； （3）分三种情况：利用平移的特点，即可得出结论． 【详解】解：（1）将，两点代入反比例函数 得，，得，，所以， 将，代入一次函数 得，，解得， 即 （2）设一次函数与轴、轴分别交于，两点，再过，两点分别向轴、轴作垂线，垂足分别为，两点，如图1， 当时，；当时，， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴的面积为 （3）存在，如图2， 当AB和OB为邻边时，点B（6，1）先向左平移6个单位再向下平移1个单位到点O（0，0），则点A也先向左平移6个单位再向下平移1个单位到点P（2-6，3-1），即P（-4，2）； 当OA和OB为邻边时，点O（0，0）先向右平移2个单位再向上平移3个单位到点A（2，3）， 则点B也先向右平移2个单位再向上平移3个单位到点P'（6+2，1+3），即P'（8，4）； 当AB和OA为邻边时，点A（2，3）先向右平移4个单位再向下平移2个单位到点B（6，1）， 则点O也先向右平移4个单位再向下平移2个单位到点P''（0+4，0-2），即P''（4，-2）； ∴点P的坐标为（-4，2）或（4，-2）或（8，4）． 【点睛】此题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法，三角形的面积公式，平行四边形的性质，平移的性质，用分类讨论的思想解决问题是解本题的关键． 18．（1）m=3，n=-1；（2）x>1或－3<x<0；（3）4 【分析】（1）把A，B的坐标代入反比例函数的解析式，即可求解； （2）观察函数图象即可求解； （3）由△AOB的面积S＝S△AOC＋S△BOC，即可求解． 【详解】解：（1）由题意，得，解得：， （2）由（1）可求得反比例函数解析式为：，一次函数解析式为：， 观察函数图象知，当或时，一次函数的值大于反比例函数的值． （3）设直线AB交y轴于C， 把代入，得：， ∴OC=2， ∴△OAB的面积． 【点睛】本题考查了用待定系数法求一次函数和反比例函数的解析式，三角形的面积，一次函数与反比例函数的交点问题，关键是掌握数形结合思想． 19．（1）2，﹣1；（2）C（﹣2，﹣2）；（3）D′ 【分析】（1）用待定系数法即可求解； （2）设点C（m，﹣m﹣4），则点D（m，﹣ ），再根据△OCD的面积＝8，得出m的值，即可求解； （3）直线AB与x轴负半轴的夹角为45°，设△OCD沿射线AB方向向左平移m个单位，则向上平移m个单位，则点O′（-m，m），将O′坐标代入y＝﹣得到m的值，进而求解． 【详解】解：（1）将点B的坐标代入y＝﹣得，b＝﹣＝2， 故点B的坐标为（﹣6，2）． 将点B的坐标代入一次函数表达式得，2＝﹣6k﹣4，解得k＝﹣1， 故答案为2，﹣1． （2）∵点C在直线AB上，一次函数表达式为y＝﹣x﹣4， 故设点C（m，﹣m﹣4），则点D（m，﹣ ）， 则△CDO的面积＝CD×（－m）＝×（﹣＋m＋4）（－m）＝8， 解得＝﹣2， 故点C（﹣2，﹣2）． （3）由AB的函数表达式知，直线AB与x轴负半轴的夹角为45°， 设△OCD沿射线AB方向向左平移m个单位，则向上平移m个单位，则点O′（﹣m，m）， 将点O′的坐标代入y＝﹣得，m＝﹣，解得m＝（舍去负值）， 由（2）知，D（-2，6）， 故点D′的坐标为（﹣2﹣2 ，6＋2）． 【点睛】本题考查的是反比例函数综合运用，涉及到一次函数的性质、图形的平移、面积的计算等，有一定的综合性，难度适中． 20．（1）证明见解析；（2）；（3）或． 【分析】（1）由题意易得，进而可得，然后问题可求证； （2）由直线AD的解析式可求出，由（1）可得，则有，然后联立一次函数与反比例函数解析可求解； （3）由（2）及图像可直接进行求解． 【详解】（1）证明：正方形， ， ， ， ， ； （2）解：时，， ， 由可知， ， 即，即， 联立，解得：； ； （3）由图像及（2）可得： 不等式的取值范围是或； 故答案为或． 【点睛】本题主要考查反比例函数与一次函数的综合及正方形的性质，熟练掌握反比例函数与一次函数的综合及正方形的性质是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $$