精品解析：辽宁省葫芦岛市长江卫生中等职业技术学校2024-2025学年高二上学期11月期中数学试题

葫芦岛市长江卫生中等职业技术学校2024—2025学年度（上）高二期中考试 数学试题 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚. 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 一､单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 以下四个命题中，正确的是（ ） A. 向量与向量平行 B. 已知，则 C. D. 若为空间的一个基底，则，，构成空间的另一基底 【答案】D 【解析】 【分析】利用向量共线的坐标表示判断A；求出向量的模长判断B；根据数量积的定义求解判断C；利用共面向量基本定理及基底的概念判断D. 【详解】因为，因此和不平行，A错误； 由，得，因此，B错误； ，当时，，C错误； 假设，， 因为为空间的一个基底，则，无解， 所以，，不共面，即，，构成空间的另一基底，D正确. 故选：D 2. 如果直线l的一个法向量是，则其倾斜角等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用直线l的一个法向量，可得直线l的一个方向向量，可求直线的斜率，即得直线的倾斜角. 【详解】由于直线l的一个法向量为， 所以直线l的一个方向向量为， 因此其斜率， 因为倾斜角范围是 ， 所以倾斜角等于． 故选：C 【点睛】本题主要考查了直线的法向量、方向向量、直线斜率之间的关系，属于基础题. 3. 如图，已知空间四边形OABC，其对角线为OB，AC，M，N分别是OA，CB的中点，点G在线段MN上，且使，用向量，，表示向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据向量的运算法则得到，再次代换即可. 【详解】 ， 故选：C 4. 已知椭圆，直线，则与的位置关系为（ ） A. 相交 B. 相切 C. 相离 D. 以上选项都不对 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，联立方程并借助一元二次方程判别式判断得解. 【详解】由消去y并整理得：，显然， 因此方程组有两个不同的解， 所以与相交. 故选：A 5. 表示的曲线为（ ） A. 两个半圆 B. 一个圆 C. 半个圆 D. 两个圆 【答案】A 【解析】 【分析】去方程中的绝对值符号，平方整理，再分类讨论方程表示的曲线即可得解. 【详解】依题意，，则有或， 当时，， 此时方程表示以点O2(-1，1)为圆心，1为半径的圆在直线x=-1及左侧的半圆， 当时，， 此时方程表示以点O1(1，1)为圆心，1为半径的圆在直线x=1及右侧的半圆， 如图， 表示的曲线为两个半圆. 故选：A 6. 已知是椭圆上一点，分别是椭圆的左､右焦点､若的周长为6，且椭圆上的点到椭圆焦点的最小距离为1，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据椭圆定义和性质列式求，进而可得离心率. 【详解】由题意可知：，解得， 所以椭圆的离心率. 故选：A. 7. 已知圆是圆上的两点，点，且，则的值为（ ） A. B. 7 C. D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，设出直线的方程，与圆的方程联立，借助韦达定理及向量数量积的坐标表示求解即得. 【详解】圆的圆心，半径，由，得点共线， 显然直线不垂直于坐标轴，设直线的方程为，且， 由消去x得：，设， 则，又， 所以. 故选：B 8. 若点在圆上，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设，故在直线上，又点在圆上，则直线与圆有公共点，圆心到直线距离小于等于半径，解不等式即可. 【详解】圆化成标准方程为，圆心，半径为4； 设，故在直线上，又点在圆上， 则圆心到直线的距离， 即，故，解得， 则取值范围为. 故选：B. 二､多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，有选错的得0分） 9. 已知分别为直线的方向向量（不重合），分别为平面，的法向量（，不重合），则下列说法中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据直线方向向量、平面法向量定义，结合向量间的位置关系判断线线、线面、面面关系即可. 【详解】A：由题设，对； B：由题设，或，错； C：由题设，对； D：由题设，对. 故选：ACD 10. 圆和圆的交点为，则有（ ） A. 公共弦所在直线方程为 B. 线段中垂线方程为 C. 公共弦的长为 D. 为圆上一动点，则到直线距离的最大值为 【答案】BD 【解析】 【分析】两圆方程作差后可得公共弦方程，从而可判断A；求出垂直平分线的方程判断B；利用垂径定理计算弦长判断C；求出圆到直线的距离的最大值判断D. 【详解】把两圆化为标准方程，圆的圆心，半径， 的圆心， 半径， 则有，即圆与圆相交， 对于A，将方程与相减， 得公共弦AB所在直线的方程为，即，A错误； 对于B，由选项A知，直线的斜率，则线段AB中垂线的斜率为， 而线段中垂线过点，于是线段AB中垂线方程为，即，B正确； 对于C，点到直线的距离为， 因此，C错误； 对于D，P为圆上一动点，圆心到直线的距离为， 因此点P到直线AB距离的最大值为，D正确. 故选：BD 11. 已知椭圆的左､右焦点分别为，过椭圆上一点和原点作直线交圆于两点，下列结论正确的是（ ） A. 椭圆离心率的取值范围是 B. 若，且，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A：由椭圆的离心率的表达式及的范围，可得离心率的范围运算求解；对于B：由题意，可得在以为直径的圆上，再由，可得为的中点，由圆的半径可得，从而求出的值；对于C：由椭圆的定义，结合解三角形的相关知识运算求解；对于D：由余弦定理及椭圆的定义，可得的表达式，然后得到，的表达式，进而求出的值． 【详解】对于选项A：由椭圆的方程，可得椭圆的离心率， 因为，所以，所以，所以， 结合椭圆的离心率，可得，故A正确； 对于选项B：若，且，则在以为直径的圆上，如图所示： 所以，由题意可得， 即，所以，解得，故B错误； 对于选项C：设，由椭圆的定义可得，可知， 在中，由余弦定理可得：， 整理的， 所以，故C正确； 对于选项D：因为，所以， 在中，由余弦定理，可得，① 在中，由余弦定理，可得，② 而，， ①②，可得， 即，所以， 所以，故D正确． 故选：ACD． 三､填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 点在圆外，则a的取值范围为______． 【答案】或. 【解析】 【分析】由题可得，进而即得. 【详解】由，可得， 因为点在圆外， 所以， 解得或. 故答案为：或. 13. 若实数、满足，，则代数式的取值范围为______ 【答案】 【解析】 【分析】作图，根据代数式的几何意义，结合图象即可得出答案. 【详解】 如图，，，， 则，. 因为，可表示点与线段上任意一点连线的斜率， 由图象可知，， 所以有 故答案为：. 14. 如图，在四棱锥中，底面是矩形，为棱的中点，且为棱上的一点，若与平面所成角的正弦值为，则__________. 【答案】## 【解析】 【分析】根据给定条件，证得平面，以为原点建立空间直角坐标系，利用空间向量求解即得. 【详解】过点作，交于点，由，为中点，得， 又，且，平面，则平面， 而平面，有，又是矩形，则两两垂直， 以为原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图： 由，，为中点，得，为的中点， 则点，，，，， ，,，， 令，， 设平面法向量为，则，令，得， 由与平面所成角的正弦值为，得， 解得，所以. 故答案为： 四､解答题（本题共6小题，共77分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤） 15. 已知中，，角A的平分线在轴上． （1）求点关于轴的对称点的坐标及边，边所在直线的方程； （2）求的外接圆的方程． 【答案】（1），, （2） 【解析】 【分析】（1）由题意可直接求出点关于x轴的对称点的坐标；根据角A的平分线在轴上，可得，列方程求得，即可求得边，边所在直线的方程； （2）设的外接圆的方程，将的坐标代入，即可求得答案. 【小问1详解】 点关于x轴的对称点的坐标为， 设，由题意得，即．解得, 所以直线AB的方程为，即， 直线AC的方程为 ，即． 【小问2详解】 设的外接圆方程为， 由 解得 , 所以所求圆的方程为． 16. 已知空间三点，，，设 （1）求和的夹角的余弦值； （2）若向量与互相垂直，求的值． 【答案】（1）． （2）或． 【解析】 【分析】（1）利用计算即可； （2）利用求解即可． 【小问1详解】 由已知，， 所以， 【小问2详解】 因为，， 因为与垂直， 所以，即，解得或． 所以或． 17. 已知直线与直线． （1）若，求m的值，并求出两平行线间的距离； （2）若点在直线上，直线l过点P，且在两坐标轴上的截距互为相反数，求直线l的方程． 【答案】（1）；； （2）或. 【解析】 【分析】（1）由题意可知，可得，从而可求出m的值，然后利用平行线间距离公式即得； （2）将点的坐标代入直线的方程中，求出m的值，从而可得点的坐标，然后设出直线方程，利用两坐标轴上的截距之和为0，列方程可求出直线方程. 【小问1详解】 因为直线与直线，且， 所以，且， 由，得， 解得或（舍去） 所以， 所以，， 所以两平行线间的距离为； 【小问2详解】 因为点在直线上， 所以，得， 所以点的坐标为， 由题可设直线的方程为（）， 令，则，令，则， 因为直线在两坐标轴上的截距互为相反数， 所以， 解得或， 所以直线的方程为或. 18. 已知的顶点边上的高所在的直线方程为. （1）求直线的方程； （2）在两个条件中任选一个，补充在下面问题中并作答. ①角的平分线所在直线方程为； ②边上的中线所在的直线方程为. 若__________.求直线的方程. 注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据直线垂直，求得斜率，利用点斜式方程，可得答案. （2）联立直线方程，求得点的坐标，选择条件①，②分别利用角平分线的对称或中线的对称，求解即得答案. 【小问1详解】 由边上高所在的直线方程为，得直线的斜率，而的顶点， 所以直线的方程为：，即. 【小问2详解】 选①，角的平分线所在直线方程为，令该直线与边交于点， 由，解得，即点A坐标为， 设点B关于的对称点为， 则，解得，即坐标为， 显然点在直线上，则直线的斜率， 所以直线的方程为，即. 选②，边上的中线所在的直线方程为， 由，解得，即点A坐标为， 设点，则的中点在直线上，即， 整理得，又点在直线上，即， 由，解得，即点，直线的斜率， 所以直线的方程为，即. 19. 已知直三棱柱中，侧面为正方形，，E，F分别为AC和的中点，D为棱上的点，. （1）证明：； （2）当为何值时，平面与平面所成的二面角的正弦值最小，并求此最小值. 【答案】（1）证明见解析 （2）当时，平面与平面所成的二面角的正弦值最小，最小值为 【解析】 【分析】（1）利用线面垂直的性质可知，结合可证得平面，进而分别以BA，BC，所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，可证得. （2）[方法一]求出平面和平面的法向量，然后利用向量的夹角公式及二次函数的性质求解即可；[方法二]：分别求出的面积，记面与面DFE所成的二面角的大小为，代入及二次函数的性质求解即可； 【小问1详解】 因为三棱柱是直三棱柱，∴底面ABC， 因为底面ABC，∴， ∵，，∴，又， 平面.∴平面. 所以BA，BC，两两垂直. 以B为坐标原点，分别以BA，BC，所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系. ∴，，，，，，， 由题设. 因为，， 所以，所以. 【小问2详解】 [方法一] 设平面DFE的法向量为，因为，， 所以，即.令，则， 因为平面的法向量为，设平面与平面DEF的二面角的大小为， 则. 当时，取最小值为，此时取最大值为. 所以，此时. [方法二]：如图，为中点，连接， 则，平面，， 在平面的投影为，记面与面DFE所成的二面角的大小为， 则，设，在中，. 在中，， 过D作的平行线交EN于点Q，又，则四边形为平行四边形， 在中，. 在中，由余弦定理得， ，， ，， ，， 当，即，面与面DFE所成的二面角的正弦值最小，最小值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 葫芦岛市长江卫生中等职业技术学校2024—2025学年度（上）高二期中考试 数学试题 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚. 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 一､单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 以下四个命题中，正确的是（ ） A. 向量与向量平行 B. 已知，则 C. D. 若为空间的一个基底，则，，构成空间的另一基底 2. 如果直线l的一个法向量是，则其倾斜角等于（ ） A. B. C. D. 3. 如图，已知空间四边形OABC，其对角线为OB，AC，M，N分别是OA，CB的中点，点G在线段MN上，且使，用向量，，表示向量为（ ） A. B. C. D. 4. 已知椭圆，直线，则与的位置关系为（ ） A. 相交 B. 相切 C. 相离 D. 以上选项都不对 5. 表示的曲线为（ ） A. 两个半圆 B. 一个圆 C. 半个圆 D. 两个圆 6. 已知是椭圆上一点，分别是椭圆的左､右焦点､若的周长为6，且椭圆上的点到椭圆焦点的最小距离为1，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 7. 已知圆是圆上的两点，点，且，则的值为（ ） A. B. 7 C. D. 8 8. 若点在圆上，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二､多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，有选错的得0分） 9. 已知分别为直线的方向向量（不重合），分别为平面，的法向量（，不重合），则下列说法中，正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 圆和圆交点为，则有（ ） A. 公共弦所在直线方程为 B. 线段中垂线方程为 C. 公共弦的长为 D. 为圆上一动点，则到直线距离的最大值为 11. 已知椭圆左､右焦点分别为，过椭圆上一点和原点作直线交圆于两点，下列结论正确的是（ ） A. 椭圆离心率的取值范围是 B. 若，且，则 C. 若，则 D. 若，则 三､填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 点在圆外，则a的取值范围为______． 13. 若实数、满足，，则代数式取值范围为______ 14. 如图，在四棱锥中，底面是矩形，为棱的中点，且为棱上的一点，若与平面所成角的正弦值为，则__________. 四､解答题（本题共6小题，共77分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤） 15. 已知中，，角A的平分线在轴上． （1）求点关于轴的对称点的坐标及边，边所在直线的方程； （2）求的外接圆的方程． 16. 已知空间三点，，，设 （1）求和的夹角的余弦值； （2）若向量与互相垂直，求的值． 17. 已知直线与直线． （1）若，求m值，并求出两平行线间的距离； （2）若点在直线上，直线l过点P，且在两坐标轴上的截距互为相反数，求直线l的方程． 18. 已知的顶点边上的高所在的直线方程为. （1）求直线的方程； （2）在两个条件中任选一个，补充在下面问题中并作答. ①角的平分线所在直线方程为； ②边上中线所在的直线方程为. 若__________.求直线的方程. 注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分. 19. 已知直三棱柱中，侧面为正方形，，E，F分别为AC和的中点，D为棱上的点，. （1）证明：； （2）当为何值时，平面与平面所成的二面角的正弦值最小，并求此最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$