专题08 一元一次方程中含参数问题（六大类型）-2024-2025学年七年级数学上册《重难点题型•高分突破》（北师大版2024新教材）

专题08 一元一次方程中含参数问题（六大类型） 重难点题型归纳 【题型1： 一元一次方程的定义】 【题型2：一元一次方程的解】 【题型3：一元一次方程-整体法】 【题型4： 一元一次方程-同解】 【题型5：一元一次方程-错解】 【题型6：根据特殊关系列一元一次方程并解答】 【题型1： 一元一次方程的定义】 【典例1】如果关于的方程是一元一次方程．那么，应满足的条件是（  ） A．， B．， C．， D．， 【变式1-1】已知是关于x的一元一次方程，则 ． 【变式1-2】已知是关于的一元一次方程，那么 ． 【变式1-3】已知关于的方程是一元一次方程，则 ． 【变式1-4】已知是关于的一元一次方程，则的值为 ． 【题型2：一元一次方程的解】 【典例2】关于的方程有解，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】已知关于的方程的解，则的值为（    ） A． B． C．1 D．2 【变式2-2】已知是关于的一元一次方程的解，则的值为（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】关于x的一元一次方程有解，则m的值为 ． 【变式2-4】若是方程的一个根，则的值为 ． 【题型3：一元一次方程-整体法】 【典例3】若是关于x的方程的解，则代数式 ． 【变式3-1】若是方程的解，则的值为 ． 【变式3-2】如果是方程的解，那么 ． 【变式3-3】若关于x的方程的解是，则代数式的值为 ． 【题型4： 一元一次方程-同解】 【典例4】已知关于的一元一次方程 和的解相同，则的值为（   ） A． B．1 C． D． 【变式4-1】已知关于x的方程与的解相同， 则的值为（    ） A．25 B． C．9 D． 【变式4-2】若关于的方程和方程同解，则的值等于 ． 【变式4-3】如果关于的方程和方程的解相同，那么的值为 ． 【变式4-4】若方程与的解相同，则的值是 ． 【题型5：一元一次方程-错解】 【典例5】小玲在解方程去分母时，方程右边的“”没有乘以公分母6，因而求得了方程的错误解为． 请根据上述信息求方程正确的解． 【变式5-1】同学小明在解关于的方程（　　）时，把（　　）处的数看错，得错解，则小明把（　　）处看成了 ． 【变式5-2】小滨在解方程时，误将看成了，解得方程的解是，则原方程的解为 ． 【变式5-3】小明是七（2）班的学生，他在对方程去分母时由于粗心，方程右边的没有乘以6而得到错解，你能由此判断出a的值吗？如果能，请求出方程正确的解． 【题型6：根据特殊关系列一元一次方程并解答】 【典例6】当为何值时，关于的方程的解比关于的方程的解大6． 【变式6-1】如果关于x的方程无解，那么m的取值范围是 ． 【变式6-2】定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程为“美好方程”．例如：方程和为“美好方程”． (1)方程与方程是“美好方程”吗？请说明理由； (2)若关于x的方程与方程是“美好方程”，求m的值； (3)若关于x方程与是“美好方程”，求n的值． 【变式6-3】在关于x的一元一次方程中，m是正整数． (1)当时，求方程的解； (2)若方程有正整数解，求m的值． 【变式6-4】对于整数，，，，定义，如：； (1)计算：的值； (2)当时，求的值． 【变式6-5】定义：关于x的方程与方程（a，b均为不等于0的常数）互为“反对方程”．例如：方程与方程互为“反对方程”． (1)【定义理解】若方程与方程互为“反对方程”，则______． (2)【知识应用】若关于x的方程与方程互为“反对方程”，求m，n的值． (3)【拓展提高】若关于x的方程与其“反对方程”的解都是整数，直接写出常数b的值． 【变式6-6】我们规定关于x的一元一次方程的解为，则称该方程是“差解方程”，例如：的解为，则该方程就是“差解方程”，请根据上述规定解答下列问题： 【定义理解】 (1)判断：方程________差解方程；（填“是”或“不是”） (2)若关于x的一元一次方程是“差解方程”，求m的值； (3)已知关于x的一元一次方程和n都是“差解方程”，求代数式的值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题08 一元一次方程中含参数问题（六大类型） 重难点题型归纳 【题型1： 一元一次方程的定义】 【题型2：一元一次方程的解】 【题型3：一元一次方程-整体法】 【题型4： 一元一次方程-同解】 【题型5：一元一次方程-错解】 【题型6：根据特殊关系列一元一次方程并解答】 【题型1： 一元一次方程的定义】 【典例1】如果关于的方程是一元一次方程．那么，应满足的条件是（  ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】本题考查了一元一次方程的定义，能根据一元一次方程的定义得出且是解此题的关键，注意：只含有一个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是1的整式方程叫一元一次方程． 【详解】解：关于的方程是一元一次方程， 且， 且． 故选：C 【变式1-1】已知是关于x的一元一次方程，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的定义，根据未知数的次数等于1且系数不等于0列式求解即可． 【详解】解：∵是关于x的一元一次方程， ∴且， 解得． 故答案为：． 【变式1-2】已知是关于的一元一次方程，那么 ． 【答案】1 【分析】本题考查一元一次方程的定义：等号两边是整式，只有一个未知数且未知数的次数是1的方程叫一元一次方程，根据定义列式求解即可得到答案 【详解】解：∵是关于的一元一次方程， ∴， ∴， 故答案为：1． 【变式1-3】已知关于的方程是一元一次方程，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程，根据一元一次方程的定义可得且，据此即可求解，掌握一元一次方程的定义是解题的关键． 【详解】解：∵关于的方程是一元一次方程， ∴且， 解得， 故答案为：． 【变式1-4】已知是关于的一元一次方程，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元一次方程的定义，根据一元一次方程的定义列出关于m的方程求解即可得出答案． 【详解】解：∵是关于的一元一次方程， ∴且， 解得：， 故答案为：． 【题型2：一元一次方程的解】 【典例2】关于的方程有解，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元一次方程的解，根据关于的方程有解，得出，然后求出结果即可． 【详解】解：∵关于的方程有解， ∴， 解得：， 即的取值范围是， 故选：C． 【变式2-1】已知关于的方程的解，则的值为（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】A 【分析】本题考查了一元一次方程的解，熟练掌握方程的解法是解题关键．先根据方程的解定义可得，从而可得，再进一步即可得答案． 【详解】解：由题意得：， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 【变式2-2】已知是关于的一元一次方程的解，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了一元一次方程的解，将代入方程，再解方程即可，解题的关键是正确理解方程的解的概念及应用． 【详解】把代入方程得，， 解得：， 故选：． 【变式2-3】关于x的一元一次方程有解，则m的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的解，利用了一元一次方程中一次项的系数不等于零．根据一元一次方程有解，可得一次项的系数不等于零． 【详解】解：由，可得， 关于的一元一次方程有解， ， 解得：． 故答案为：． 【变式2-4】若是方程的一个根，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程根的定义，正确理解一元一次方程的根是解答本题的关键． 将代入方程即可求解． 【详解】解：把代入，得 ， 解得：． 故答案为：． 【题型3：一元一次方程-整体法】 【典例3】若是关于x的方程的解，则代数式 ． 【答案】5 【分析】本题考查一元一次方程，解题的关键是正确理解一元一次方程的解的概念，本题属于基础题型．将代入原方程即可求出，然后将其整体代入求值． 【详解】解：将代入原方程可得：， ∴， 故答案为：5 【变式3-1】若是方程的解，则的值为 ． 【答案】2035 【分析】本题考查一元一次方程的解，解题的关键是把解代入方程中，得到代数式．把代入方程，得出，进而可得，然后整体代入计算即可． 【详解】解：∵是方程的解， ∴， ∴，即， ∴， 故答案为：2035． 【变式3-2】如果是方程的解，那么 ． 【答案】1 【分析】本题考查了一元一次方程的解，先把代入方程得到，再把变形为，然后利用整体代入的方法计算． 【详解】解：是方程的解， ， ． 故答案为：1． 【变式3-3】若关于x的方程的解是，则代数式的值为 ． 【答案】0 【分析】把代入方程，得到，再代入所求式子计算即可； 本题考查了一元一次方程的解的定义，理解定义是解题的关键． 【详解】解：把代入，得 故答案为：． 【题型4： 一元一次方程-同解】 【典例4】已知关于的一元一次方程 和的解相同，则的值为（   ） A． B．1 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了解一元一次方程的知识．分别求出两方程的解，使它们相等，求的值． 【详解】解：解方程， 得：， 解方程， 得：， 则， 解得：； 故选：A． 【变式4-1】已知关于x的方程与的解相同， 则的值为（    ） A．25 B． C．9 D． 【答案】C 【分析】本题主要考查方程解的问题，代数式求值，题目简单细心计算，此类题目常考，应当熟练掌握．先求出方程的解，然后把代入求出，把代入求出结果即可． 【详解】解：由得：， ∵关于x的方程与的解相同， ∴把代入得：， 解得：， 把代入得：， 故选：C． 【变式4-2】若关于的方程和方程同解，则的值等于 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的解以及解一元一次方程，先根据题意，得，再把代入，即可求出的值作答． 【详解】解：∵关于的方程和方程同解， ∴由解得 则把代入， 得 解得 故答案为： 【变式4-3】如果关于的方程和方程的解相同，那么的值为 ． 【答案】3 【分析】本题考查了一元一次方程的解以及解一元一次方程，先解出的值，再代入，即可解出a的值． 【详解】解：∵关于的方程和方程的解相同， ∴由，得 把代入， 得 整理得 即 则 故答案为：3 【变式4-4】若方程与的解相同，则的值是 ． 【答案】1 【分析】本题考查同解方程，先求出的解，然后将解代入，进行求解即可． 【详解】解：， ∴， 把代入，得：，解得：； 故答案为：1． 【题型5：一元一次方程-错解】 【典例5】小玲在解方程去分母时，方程右边的“”没有乘以公分母6，因而求得了方程的错误解为． 请根据上述信息求方程正确的解． 【答案】 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，按照小玲的解方程过程，去分母，去括号，移项，合并同类项的步骤解得，由小玲解得，可求得，再按照正确的解题过程求解即可得到答案． 【详解】解：小玲的解方程过程如下： 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化1得，， ∵小玲解得， ∴， ∴； 正确解法如下： 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：． 【变式5-1】同学小明在解关于的方程（　　）时，把（　　）处的数看错，得错解，则小明把（　　）处看成了 ． 【答案】9 【分析】本题考查一元一次方程和方程的解．可设（ ）内的数为，则错解得方程为，将代入即可． 【详解】解：设（ ）内的数为，则错解的方程为， 依题将代入得： 解得：． 故答案为：9． 【变式5-2】小滨在解方程时，误将看成了，解得方程的解是，则原方程的解为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，一元一次方程的解的定义，根据题意得是方程的解，据此把代入方程中求出a的值进而解方程即可． 【详解】解：由题意得，是方程的解， ∴， ∴， ∴， ∴原方程为 整理得：， 解得， 故答案为：． 【变式5-3】小明是七（2）班的学生，他在对方程去分母时由于粗心，方程右边的没有乘以6而得到错解，你能由此判断出a的值吗？如果能，请求出方程正确的解． 【答案】，． 【分析】本题考查了一元一次方程的解，根据题意把代入方程，得出，根据等式的性质求出方程的解是，得出方程为，再根据等式的性质求出方程的解即可． 【详解】解：∵小明是七（2）班的学生，他在对方程去分母时由于粗心，方程右边的没有乘以6而得到错解， ∴把代入方程，得， ， ， ， ， 方程为， ， ， ， ， ， 即，方程的解是． 【题型6：根据特殊关系列一元一次方程并解答】 【典例6】当为何值时，关于的方程的解比关于的方程的解大6． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的解的定义．定义：使一元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元一次方程的解．通过解关于的方程、，分别求得它们的解，然后依题意列出关于的方程，求出的值即可． 【详解】解方程的解是：； 方程的解是：， 依题意，得， 解得，． 【变式6-1】如果关于x的方程无解，那么m的取值范围是 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了一元一次方程的解，解题时要能熟练掌握并理解． 依据题意，由一次方程无解，从而，故可得解． 【详解】解：由题意，∵无解， ， ， 故答案为：． 【变式6-2】定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程为“美好方程”．例如：方程和为“美好方程”． (1)方程与方程是“美好方程”吗？请说明理由； (2)若关于x的方程与方程是“美好方程”，求m的值； (3)若关于x方程与是“美好方程”，求n的值． 【答案】(1)不是“美好方程”，理由见解析 (2) (3) 【分析】本题主要考查解一元一次方程以及“美好方程”的定义，熟练掌握解一元一次方程是解题的关键． （1）解出方程的解即可判断； （2）求出关于的方程的解，根据两个一元一次方程的解之和为1求出答案即可； （3）求出关于的方程的解，根据两个一元一次方程的解之和为1求出答案即可； 【详解】（1）解：的解为， 的解为， ， 故不是“美好方程”； （2）解：的解为， 的解为， 根据题意可得：， 解得； （3）解：的解为， 的解为， 根据题意可得， 解得． 【变式6-3】在关于x的一元一次方程中，m是正整数． (1)当时，求方程的解； (2)若方程有正整数解，求m的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一元一次方程的解，掌握解一元一次方程步骤是解题关键． （1）把代入原方程，根据解一元一次方程步骤求出x； （2）先求出方程的解，再根据然后根据x是正整数，m是正整数，求出m. 【详解】（1）解：当时，原方程为， 解得； （2）解：解方程， 得， 方程有正整数解，是正整数， ． 【变式6-4】对于整数，，，，定义，如：； (1)计算：的值； (2)当时，求的值． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了解一元一次方程，能根据新定义得出方程是解此题的关键． （1）根据新定义得出，进一步计算即可求解； （2）根据新定义得出，再解一元一次方程即可． 【详解】（1）解：； （2）解：∵， ∴， 解得． 【变式6-5】定义：关于x的方程与方程（a，b均为不等于0的常数）互为“反对方程”．例如：方程与方程互为“反对方程”． (1)【定义理解】若方程与方程互为“反对方程”，则______． (2)【知识应用】若关于x的方程与方程互为“反对方程”，求m，n的值． (3)【拓展提高】若关于x的方程与其“反对方程”的解都是整数，直接写出常数b的值． 【答案】(1)4 (2)， (3)或 【分析】本题考查解一元一次方程，理解“反对方程”的定义，是解题的关键． （1）根据“反对方程”的定义，求解即可； （2）根据“反对方程”的定义，得到，，求解即可； （3）先根据“反对方程”的定义，得到的反对方程，求出两个方程的解，根据两个方程的解都是整数，进行求解即可． 【详解】（1）解： 方程与方程互为“反对方程”， ． （2）解： 关于x的方程与方程互为“反对方程”， ，， 解得，， （3）解：关于x的方程的“反对方程”为， 由方程，得， 方程有整数解， ，得， 和都为整数， 或， 解得或． 【变式6-6】我们规定关于x的一元一次方程的解为，则称该方程是“差解方程”，例如：的解为，则该方程就是“差解方程”，请根据上述规定解答下列问题： 【定义理解】 (1)判断：方程________差解方程；（填“是”或“不是”） (2)若关于x的一元一次方程是“差解方程”，求m的值； (3)已知关于x的一元一次方程和n都是“差解方程”，求代数式的值． 【答案】(1)是 (2) (3)0 【分析】此题考查了方程的解和解一元一次方程、求代数式的值，整体代入和正确理解新定义是解题的关键． （1）根据差解方程的定义进行验证即可； （2）根据差解方程的定义得到，即可得到答案； （3）根据差解方程的定义分别求出，，整体代入即可求出答案． 【详解】（1）解：∵的解是， ∴方程是“差解方程”， 故答案为：是； （2）∵是“差解方程”， ， ； （3）是“差解方程”， ， ， ， 是“差解方程”， ， ， ， ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$