专题10 几何压轴（四大类型）-2024-2025学年七年级数学上册《重难点题型•高分突破》（北师大版2024新教材）

专题10 几何压轴（四大类型） 重难点题型归纳 【题型1：线段中点有关计算-分类讨论】 【题型2：双角平分线模型-分类讨论】 【题型3：角的折叠综合问题】 【题型1：线段中点有关计算-分类讨论】 【典例1】如图，点C是线段上一点，D为的中点，且，．若点E在直线上，且，则的长为（　　） A．4 B．15 C．3或15 D．4或10 【变式1-1】已知线段，点C是的中点，点D在线段上且，则线段的长为（    ） A． B． C．或 D．或 【变式1-2】已知线段，点为直线上一点，且，点为线段的中点，则线段的长为（   ） A． B．或 C．或 D．或 【变式1-3】已知线段，为直线上的一点，且，，分别是，的中点，则的长度是（    ） A． B． C．或 D．或 【变式1-4】在直线m上顺次取A，B，C三点，使，如果O是线段的中点，则线段的长度为（    ） A． B． C． D．或 【变式1-5】如图：数轴上点、、表示的数分别是，，1，且点为线段的中点，点为原点，点在数轴上，点为线段的中点．若，则（ ） A．4.5或5.5 B．5.5或6.5 C．5.5或7.5 D．4.5或7.5 【题型2：双角平分线模型-分类讨论】 【典例2】点O为直线AB上一点，在直线AB同侧任作射线OC，OD，使得∠COD＝90°． (1)如图1，过点O作射线OE，使OE为∠AOC的角平分线，当∠COE＝25°时，∠BOD的度数为 　 ； (2)如图2，过点O作射线OE，当OE恰好为∠AOC的角平分线时，另作射线OF，使得OF平分∠BOD，求∠EOF的度数； (3)过点O作射线OE，当OC恰好为∠AOE的角平分线时，另作射线OF，使得OF平分∠COD，当∠EOF＝10°时，求∠BOD的度数． 【变式2-1】已知，其角平分线为，，其角平分线为，则的大小为（    ） A． B． C．或 D．或 【变式2-2】已知∠AOB=70°，∠BOC=50°，OD是∠AOB的角平分线，OE是∠BOC的角平分线，则∠DOE= ． 【变式2-3】点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，使∠AOC=120°, 一直角三角板的直角顶点放在点O处． (1)如图1，将三角板DOE的一边OD与射线OB重合时，则∠COD=　 　∠COE； (2)如图2，将图1中的三角板DOE绕点O逆时针旋转一定角度，当OC恰好是∠BOE的角平分线时，求∠COD的度数； (3)将图1中的三角尺DOE绕点O逆时针旋转旋转一周，设旋转的角度为度，在旋转的过程中，能否使∠AOE=3∠COD？若能，求出的度数；若不能，说明理由. 【变式2-4】类比角平分线的概念，如果一条射线把一个角分成1：2两部分，则称这条射线为这个角的一条三等分线， (1)如图，已知，是的一条三等分线，．且，求的度数； (2)如图，，是的一条三等分线（），是的角平分线，是的角平分线．若以每秒5的速度绕点O逆时针旋转一周，旋转时间为t秒，当t为何值时，射线恰好是的一条三等分线． 【变式2-5】已知，与互余，与互补． (1)如图，当点B在的内，且点B、D在的同侧时． ①若，则________． ②若是的角平分线，则_______．（用含的式子表示） (2)直接写出所有可能的度数是_________． 【题型3：角的折叠综合问题】 【典例3】利用折纸可以作出角平分线．如图1，通过折叠、展开，则为的平分线． 折叠长方形纸片，，均是折痕，折叠后，点落在点，点落在点，连接． (1)如图2，当点在上时，判断与的关系，并说明理由； (2)如图3，当点在的内部时，连接，若，，求的度数． 【变式3-1】如图①，在长方形ABCD中，点E在AD上，且∠AEB＝60°，分别以BE、CE为折痕进行折叠并压平，如图②，若∠AED＝10°，则∠DEC的度数为（    ） A．25° B．30° C．35° D．40° 【变式3-2】将长方形纸条如图进行折叠，是折痕，，则=（ ） A．148° B．138° C．126° D．116° 【变式3-3】利用折纸可以作出角平分线，如图1则为的平分线，如图2、图3，折叠长方形纸片，，均是折痕，折叠后，点落在点，点落在点，连接． ①如图2，若点恰好落在上，且，则 ； ②如图3，当点在的内部时，连接，若，，求的度数为 ． 【变式3-4】【概念】如果两个角的度数之差为，我们称这两个角互为“好友角”，其中一个角叫做另一个角的“好友角”，例如，，，则和互为“好友角”，即是的“好友角”，也是的“好友角”． 【理解】（1）若，则的“好友角”的度数为 ； （2）已知和互为“好友角”，，且和互补，的度数为 ； （3）如图，将纸片沿折叠，使点落在四边形内部处，已知，，若和互为“好友角”，则的度数为 ； 【拓展】如图，在中，，是角平分线，过点作的垂线，垂足为，相交于点．若与互为“好友角”，求的度数． 【变式3-5】综合与探究 阅读材料：如图是七年级上册课本135页的探究，将纸片折叠使与重合，是折痕，此时与重合，所以，射线是的平分线． 知识初探： (1)如图1，已知是锐角内部的一条射线，将折叠，使射线和射线重合，为折痕，将折叠，使射线和射线重合，为折痕，若，，求的度数． 类比探究： (2)如图2，在长方形纸片中，点E，F分别在边，上，连接，将折叠，使点A落在点G处，平分，若，求的度数（用含的式子表示）． 【变式3-6】如图，将长方形纸片的一角折叠，使顶点A落在处，EF为折痕，点F在线段AD上，且点F不与点D重合，点E在线段AB上，此时∠AFE和∠AEF互为余角，若恰好平分∠FEB，回答下列问题． （1）求∠AEF的度数； （2）∠＝　 　度． 【变式3-7】折纸中的数学我们在第四章《几何图形初步》中学习了角的平分线，并会用折纸的方法作角平分线．如图是教材第135页的探究，将纸片折叠使与重合，是折痕，此时与重合，所以，射线是的平分线． 【知识初探】 如图（1），四边形是一张正方形纸片，将正方形纸片沿对折，把正方形展平，再将和分别沿和折叠，使点落在上的点处，使点落在上的点处，与重合，则__________度；__________度． 【类比再探】 如图（2），将正方形纸片的沿折叠，使点A落在点处，将沿折叠，使点落在点处，点与点重合．猜想的度数，并说明理由． 小官同学：猜想． 理由如下：沿折叠，， 沿折叠， ， __________， __________． 【拓展探究】 如图（3），在图（2）的基础．上将正方形纸片展平，然后将和分别沿和再折叠，使点A落在上的点处，点落在上的点处．猜想和的数量关系，并说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题10 几何压轴（四大类型） 重难点题型归纳 【题型1：线段中点有关计算-分类讨论】 【题型2：双角平分线模型-分类讨论】 【题型3：角的折叠综合问题】 【题型1：线段中点有关计算-分类讨论】 【典例1】如图，点C是线段上一点，D为的中点，且，．若点E在直线上，且，则的长为（　　） A．4 B．15 C．3或15 D．4或10 【答案】D 【分析】本题考查了两点间的距离，根据线段中点的定义得到，，求得，分两种情况：当点在点右侧，当点在点左侧，根据线段的和差分别讨论，是解决问题关键． 【详解】解：∵D为的中点，， ∴，， ∵， ∴， 如图1，当点在点右侧， ∵， ∴， ∴； 如图2，当点在点左侧， ∵， ∴， 故的长为4或10， 故选：D． 【变式1-1】已知线段，点C是的中点，点D在线段上且，则线段的长为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题考查线段中点的定义，理解题意，考虑问题要全面是解题的关键． 根据线段中点的性质求出，根据题意求出，分点在线段上，点在线段上两种情况计算即可． 【详解】∵，点C是的中点， ∴， ∵， ∴， 如图，当点在线段上时， ∴， 如图，当点在线段上时， ∴， 故选： D． 【变式1-2】已知线段，点为直线上一点，且，点为线段的中点，则线段的长为（   ） A． B．或 C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查的知识点是线段的和与差、含中点线段之间的数量关系，解题关键是利用线段比例得出、的长． 根据题意画出图形，再分点在线段上或线段的延长线上两种情况进行讨论． 【详解】解：①当点在线段上时，如下图： ，， ，， 点是线段的中点， ， ； ②当点在线段外时，如下图： ，， ，， 点是线段的中点， ， ； 综上所述，或． 故选：． 【变式1-3】已知线段，为直线上的一点，且，，分别是，的中点，则的长度是（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题考查了线段的中点，线段和差，根据题意分点在线段上时，点在线段延长线上时两种情况分析即可，画出图形，利用数形结合求解是解题的关键． 【详解】解：点在线段上时，如图所示： ∵点是的中点， ∴， 又∵， ∴ 又∵点是的中点， ∴， 又∵ ∴， 又∵， ∴ 点在线段延长线上时，如图所示， 同理可求出，， 又∵， ∴， 综上所述：的长度为或， 故选：． 【变式1-4】在直线m上顺次取A，B，C三点，使，如果O是线段的中点，则线段的长度为（    ） A． B． C． D．或 【答案】A 【分析】本题主要考查了与线段中点有关的线段和差计算，先求出，再由线段中点的定义得到，则． 【详解】解：∵， ∴， ∵O是线段的中点， ∴， ∴， 故选：A． 【变式1-5】如图：数轴上点、、表示的数分别是，，1，且点为线段的中点，点为原点，点在数轴上，点为线段的中点．若，则（ ） A．4.5或5.5 B．5.5或6.5 C．5.5或7.5 D．4.5或7.5 【答案】D 【分析】本题主要考查了数轴上两点的距离计算，数轴上两点中点计算公式，先求出点C表示的数， 再根据数轴上两点距离计算公式求出点E表示的数，据此可得答案． 【详解】解：∵、表示的数分别是，，且点为线段的中点， ∴点C表示的数为， ∵点表示的数为1，， ∴点E表示的数为或， ∵点为线段的中点， ∴点F表示的书为或， ∴或 故选：D． 【题型2：双角平分线模型-分类讨论】 【典例2】点O为直线AB上一点，在直线AB同侧任作射线OC，OD，使得∠COD＝90°． (1)如图1，过点O作射线OE，使OE为∠AOC的角平分线，当∠COE＝25°时，∠BOD的度数为 　 ； (2)如图2，过点O作射线OE，当OE恰好为∠AOC的角平分线时，另作射线OF，使得OF平分∠BOD，求∠EOF的度数； (3)过点O作射线OE，当OC恰好为∠AOE的角平分线时，另作射线OF，使得OF平分∠COD，当∠EOF＝10°时，求∠BOD的度数． 【答案】(1)40° (2)135° (3)55°或35° 【分析】（1）由角平分线定义可得，根据平角定义可得结论； （2）由已知得出∠AOC+∠BOD=90°，由角平分线定义得出∠EOC=∠AOC，∠DOF=∠BOD，即可得出答案； （3）分OF在OE的左侧和右侧两种情况讨论求解即可． 【详解】（1）∵OE为∠AOC的角平分线， ∴ 又∠COD＝90° ∴ 故答案为：40° （2）∵∠COD=90°， ∴∠AOC+∠BOD=90°， ∵OE为∠AOC的角平分线，OF平分∠BOD， ∴∠EOC=∠AOC，∠DOF=∠BOD， ∴∠EOF=∠COD+∠EOC+∠DOF=90°+（∠AOC+∠BOD）=90°+×90°=135°， （3）①如图 ∵OF是的角平分线 ∴ ∵ ∴ ∵OC是的平分线 ∴， ∴ ②如图 同理可得∴， ∴ 综上，的度数为55°或35° 【点睛】本题考查了角的计算以及角平分线定义（把一个分成两个相等的角的射线）；弄清各个角之间的关系是解题的关键． 【变式2-1】已知，其角平分线为，，其角平分线为，则的大小为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题主要考查角平分线定义的运用能力，能考虑到在外部和内部两种情况是关键． 分在外部和内部两种情况，由、分别平分、可得、度数，在根据两种位置分别求之． 【详解】解：①如图，当在外部时， ∵，平分， ∴ ， 又∵，平分， ∴ ， ∴； ②如图，当在内部时， ∵，平分， ∴ ， 又∵，平分， ∴ ， ∴， 综上所述：为或． 故选C． 【变式2-2】已知∠AOB=70°，∠BOC=50°，OD是∠AOB的角平分线，OE是∠BOC的角平分线，则∠DOE= ． 【答案】60°或10° 【分析】需要分类讨论：射线OC在∠AOB的内部和射线OC在∠AOB的外部两种情况．由角平分线的定义以及角的关系求解即可． 【详解】∵∠AOB=70°，∠BOC=50°，且OD，OE分别为∠AOB，∠BOC的角平分线， ∴∠BOD=∠AOB=35°，∠EOB=∠BOC=25°， ①当OC在∠AOB内部时，如图， ∴∠DOE=∠BOD-∠EOB=35°-25°=10°； ②当OC在∠AOB外部时，如图， ∠DOE=∠BOD +∠EOB=35°+25°=60°． 综上所述，∠DOE的度数为60°或10°． 故答案是：60°或10°． 【点睛】本题考查了角的计算以及角平分线的定义的运用．解题时注意结合图形求得角与角间的和差关系：∠DOE=∠BOD-∠EOB或∠DOE=∠BOD+∠EOB． 【变式2-3】点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，使∠AOC=120°, 一直角三角板的直角顶点放在点O处． (1)如图1，将三角板DOE的一边OD与射线OB重合时，则∠COD=　 　∠COE； (2)如图2，将图1中的三角板DOE绕点O逆时针旋转一定角度，当OC恰好是∠BOE的角平分线时，求∠COD的度数； (3)将图1中的三角尺DOE绕点O逆时针旋转旋转一周，设旋转的角度为度，在旋转的过程中，能否使∠AOE=3∠COD？若能，求出的度数；若不能，说明理由. 【答案】(1)2 (2) (3)或 【分析】（1）由邻补角和余角的定义求出两个角，即可得出结论； （2）由角平分线的定义可得，再根据，从而可求解； （3）分两种情况讨论：①是内；②在外，分析清楚角关系求解即可． 【详解】（1）解：，与射线重合， ， ， ， ， 故答案为：2； （2）解：由（1）得，， 是的角平分线， ， ， ； （3）解：能， ①当是内时，有： ，， 则， 解得：； ②当在外时，有： ，， 则， 解得：． 综上所述，的度数为或． 【点睛】本题主要考查三角形的内角和定理，余角和补角，解题的关键是结合图形分析清楚角与角之间的关系． 【变式2-4】类比角平分线的概念，如果一条射线把一个角分成1：2两部分，则称这条射线为这个角的一条三等分线， (1)如图，已知，是的一条三等分线，．且，求的度数； (2)如图，，是的一条三等分线（），是的角平分线，是的角平分线．若以每秒5的速度绕点O逆时针旋转一周，旋转时间为t秒，当t为何值时，射线恰好是的一条三等分线． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据角的三等分线的意义进行计算求解； （2）根据角平分线的定义和角的三等分线的意义，分两种情况进行计算求解． 【详解】（1）解：，OC是的一条三等分线，且， ； （2）解：，OC是的一条三等分线，且， ，． ∵OE是的角平分线，OF是∠AOB的角平分线， ∴，， ， ． 设旋转后的角为，旋转的时间为t秒， 如图2-1，当OB是的一条三等分线，且时， ， ， ， 解得(秒)； 如图2-2，当OB是的一条三等分线，且时， ， ， ， 解得(秒)， 当秒或秒时，射线OB恰好是的一条三等分线． 【点睛】本题考查了角平分线的定义，理解角平分线、角三等分线的意义是正确解答的前提． 【变式2-5】已知，与互余，与互补． (1)如图，当点B在的内，且点B、D在的同侧时． ①若，则________． ②若是的角平分线，则_______．（用含的式子表示） (2)直接写出所有可能的度数是_________． 【答案】(1)①；②． (2)或． 【分析】（1）①根据与互余，得到，根据角的和差即可算出．②因为，与互补，所以根据角平分线的定义得到，根据角的和差即可求出的度数． （2）注意分情况讨论：如图1：；如图2：；如图3：求出每种情况的角的度数，即为该题的答案． 【详解】（1）解：① ∵，与互余， ∴， ∵， ∴， ． ②∵，与互补 ∴， ∵平分 ∴， ∴ ＝－ ． （2）解：如图1： ，，， ∴． 如图2： 如图3： ∴或． 【点睛】本题考查了余角和补角，角平分线的定义；解题的关键是利用了互余的定义，角平分线的定义以及角的和差进行计算． 【题型3：角的折叠综合问题】 【典例3】利用折纸可以作出角平分线．如图1，通过折叠、展开，则为的平分线． 折叠长方形纸片，，均是折痕，折叠后，点落在点，点落在点，连接． (1)如图2，当点在上时，判断与的关系，并说明理由； (2)如图3，当点在的内部时，连接，若，，求的度数． 【答案】(1)，理由见详解 (2) 【分析】（1）本题考查有关角平分线的计算，根据折叠得到平分，平分，从而得到，，结合即可得到答案； （2）本题考查有关角平分线的计算，根据折叠得到平分，平分，从而得到，，结合平角求出即可得到答案； 【详解】（1）解：由折叠可得， 平分，平分， ∴，， ∵， ∴； （2）解：根据折叠得， 平分，平分， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴． 【变式3-1】如图①，在长方形ABCD中，点E在AD上，且∠AEB＝60°，分别以BE、CE为折痕进行折叠并压平，如图②，若∠AED＝10°，则∠DEC的度数为（    ） A．25° B．30° C．35° D．40° 【答案】C 【分析】由折叠可得BE平分，CE平分，再利用角的和差得到=180°-120°+10°=70°，进而可得答案． 【详解】解：由折叠可得BE平分，CE平分， ∵∠AEB=60°， ∴=2∠AEB=120°， ∵， ∴   ∴∠DEC=． 故选C． 【点睛】本题考查角的和差关系，轴对称的性质，根据折叠的性质得到BE平分，CE平分是解本题关键． 【变式3-2】将长方形纸条如图进行折叠，是折痕，，则=（ ） A．148° B．138° C．126° D．116° 【答案】D 【分析】由题意可知，∠EFD´=∠DFE，根据∠EFB+∠∠EFD´=180°即可求解. 【详解】解：有题意得：∠EFD´=∠DFE， ∵∠EFB+∠EFD´=180°，∠EFB=32°， ∴∠EFD´=180°-∠EFB=148°， ∴∠DFE=148°， ∴∠DFB=∠DFE-∠EFB=116°， 故选D. 【点睛】本题主要考查了补角的定义，解题的关键在于能够熟练掌握补角的定义. 【变式3-3】利用折纸可以作出角平分线，如图1则为的平分线，如图2、图3，折叠长方形纸片，，均是折痕，折叠后，点落在点，点落在点，连接． ①如图2，若点恰好落在上，且，则 ； ②如图3，当点在的内部时，连接，若，，求的度数为 ． 【答案】 【分析】①由题意知，，根据，计算求解即可；② 由题意知，，根据，求出的值，进而根据计算求解即可． 【详解】解：①由题意知， ∵， ∴ 故答案为：58°． ②由题意知， ∵，， ∴ ∴ 故答案为：30°． 【点睛】本题考查了角平分线．解题的关键在于找出角度的数量关系． 【变式3-4】【概念】如果两个角的度数之差为，我们称这两个角互为“好友角”，其中一个角叫做另一个角的“好友角”，例如，，，则和互为“好友角”，即是的“好友角”，也是的“好友角”． 【理解】（1）若，则的“好友角”的度数为 ； （2）已知和互为“好友角”，，且和互补，的度数为 ； （3）如图，将纸片沿折叠，使点落在四边形内部处，已知，，若和互为“好友角”，则的度数为 ； 【拓展】如图，在中，，是角平分线，过点作的垂线，垂足为，相交于点．若与互为“好友角”，求的度数． 【答案】【理解】（）或；（）；（）或； 【拓展】或． 【分析】【理解】（）根据“好友角”定义，分情况讨论即可； （）根据“好友角”定义和互补的性质求解即可； （）连接，由三角形内角和得出，由折叠性质可知，然后根据外角性质得出，由题意分情况讨论即可； 【拓展】由平分，，得，，从而可得，再根据与互为“好友角”进行分类讨论即可； 本题考查了新定义，角分线的定义，三角形的内角和，垂直的定义，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】【理解】（）根据“好友角”定义可得： 的“好友角”的度数为或， 故答案为：或； （）∵和互为“好友角”，， ∴， ∵和互补， ∴， 联立， 解得， 故答案为：； （）如图，连接， ∵，， ∴， ∴由折叠性质可知， ∵，， ∴， 即， ∵和互为“好友角”， ∴或， ∴或； 【拓展】∵平分，， ∴，， ∵，， ∴， ∵与互为“好友角”， ∴或， 则或， ∵， ∴或． 【变式3-5】综合与探究 阅读材料：如图是七年级上册课本135页的探究，将纸片折叠使与重合，是折痕，此时与重合，所以，射线是的平分线． 知识初探： (1)如图1，已知是锐角内部的一条射线，将折叠，使射线和射线重合，为折痕，将折叠，使射线和射线重合，为折痕，若，，求的度数． 类比探究： (2)如图2，在长方形纸片中，点E，F分别在边，上，连接，将折叠，使点A落在点G处，平分，若，求的度数（用含的式子表示）． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据折叠的性质得出，，求解即可； （2）由折叠知，再由角平分线及邻补角得出，结合图形，进行等量代换求解即可． 【详解】（1）解：由折叠知， 同理： ∴ （2）由折叠知， 又∵ ∴ ∵平分 ∴ ∵ ∴ ∴ ∴． 【点睛】题目主要考查角平分线及角度的计算，结合图形，找准各角之间的关系是解题关键． 【变式3-6】如图，将长方形纸片的一角折叠，使顶点A落在处，EF为折痕，点F在线段AD上，且点F不与点D重合，点E在线段AB上，此时∠AFE和∠AEF互为余角，若恰好平分∠FEB，回答下列问题． （1）求∠AEF的度数； （2）∠＝　 　度． 【答案】（1）60°；（2）120 【分析】（1）根据折叠的性质以及角平分线的定义可知∠AEF＝∠A'EF＝∠A'EB，再根据平角的定义求解即可； （2）根据折叠的性质、互余的定义以及（1）的结论可得∠AFA'的度数，进而得出∠A'FD的度数． 【详解】解：（1）根据折叠的性质可得∠AEF＝∠A'EF， ∵EA'恰好平分∠FEB， ∴∠AEF＝∠A'EF＝∠A'EB， ∵∠AEF+A'EF+∠A'EB＝180°， 所以∠AEF＝60°； （2）∵∠AFE和∠AEF互为余角， ∴∠AFE＝90°﹣∠AEF＝30°， 根据折叠的性质可得∠AFA'＝2∠AFE＝60°， ∴∠A'FD＝180°﹣∠AFA'＝120°． 故答案为：120． 【点睛】本题主要考查了角的计算问题，掌握折叠的性质并理清相关角的关系是解答本题的关键． 【变式3-7】折纸中的数学我们在第四章《几何图形初步》中学习了角的平分线，并会用折纸的方法作角平分线．如图是教材第135页的探究，将纸片折叠使与重合，是折痕，此时与重合，所以，射线是的平分线． 【知识初探】 如图（1），四边形是一张正方形纸片，将正方形纸片沿对折，把正方形展平，再将和分别沿和折叠，使点落在上的点处，使点落在上的点处，与重合，则__________度；__________度． 【类比再探】 如图（2），将正方形纸片的沿折叠，使点A落在点处，将沿折叠，使点落在点处，点与点重合．猜想的度数，并说明理由． 小官同学：猜想． 理由如下：沿折叠，， 沿折叠， ， __________， __________． 【拓展探究】 如图（3），在图（2）的基础．上将正方形纸片展平，然后将和分别沿和再折叠，使点A落在上的点处，点落在上的点处．猜想和的数量关系，并说明理由． 【答案】【知识初探】，45；【类比再探】；；；【拓展探究】 【分析】本题考查角平分线有关的计算问题，掌握角平分线的定义与审清题意是解题的关键． 【知识初探】根据题意得出是的角平分线，和分别是与的角平分线，据此可解； 【类比再探】由沿折叠可得，同理由沿折叠可得，再根据，即可得到； 【拓展探究】由（2）知，从而得到，再用与（2）相同的方法可得． 【详解】解：【知识初探】由题意可知：是的角平分线， ∴， 同理可得：和分别是与的角平分线， ∴，， ∴， 故答案为：，45； 【类比再探】证明：沿折叠， ， 沿折叠， ， ， 故答案为：；；； 【拓展探究】，理由如下： 由（2）可知：， ∴， ∵和分别沿和再折叠， ∴， ∴． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$