精品解析：2024-2025学年苏科版数学九年级上册期中模拟卷

苏科版2024-2025学年九年级（上）期中卷 注意事项： 1．本次考试时间为120分钟，卷面总分为150分．考试形式为闭卷． 2．本试卷共6页，在检查是否有漏印、重印或错印后再开始答题． 一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 下列函数中，是二次函数是（    ） A. B. C. D. 2. 下列方程中，关于x的一元二次方程是（ ） A. B. C. D. 3. 二次函数的图象可能是（　　） A. B. C. D. 4. 某班举办“校园安全”知识答题竞赛活动，规定：共道题，答对一道得分，答错或不答不得分．现将全班名学生的成绩进行统计，制作成如下不完整的形统计图，已知分和分的学生共有人，分的学生超过人，分的学生在形统计图中所对应的圆心角是钝角．根据扇形统计图中的信息，下列判断正确的是（ ） A. 众数、平均数分别分与分 B. 众数、中位数分别是分与分 C. 众数、中位数分别分与分 D. 中位数、平均数分别是分与分 5. 在中，，．甲、乙、丙分别给出了一个条件，想使的长唯一，其中正确的是（ ） 甲：； 乙：； 丙：的外接圆半径为4 A. 只有甲 B. 只有乙 C. 只有丙 D. 乙和丙 6. 已知二次函数中，函数与自变量的部分对应值如表，则方程的一个解的范围是（　　） … … … … A. B. C. D. 7. 在如图所示的网格中，小正方形的边长为，点、、、都在格点上，与相交于点，则的正切值是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在正方形中，E为中点，连接，延长至点F，使得，以为边作正方形，《几何原本》中按此方法找到线段的黄金分割点H．现连结并延长，分别交于点P，Q，若的面积与的面积之差为，则线段的长为（　　） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请将答案直接写在答题卡的相应位置上） 9. 一元二次方程的解是________． 10. 已知线段，，若线段c是a、b的比例中项，则______． 11. 二次函数的图象如图所示，直接写出不等式的解集为_____． 12. 已知方程可以配方成的形式，那么_____． 13. 已知二次函数的顶点坐标，则关于x的一元二次方程的两个根分别是和_____． 14. 如图，圆内接四边形两组对边的延长线分别交于点E，F，且，，则______． 15. 在△ABC中，AB＝，BC＝a，∠C＝60°，如果对于a的每一个确定的值，都存在两个不全等的△ABC，那么a的取值范围是____． 16. 习近平总书记说：读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气．某校开展师生阅读活动，打造书香校园．据统计，九（1）班第一周参与阅读100人次，阅读人次每周递增，第三周参与阅读达到361人次．设阅读人次的周平均增长率为x，则可得方程________________________． 三、解答题（本大题共有11小题，共102分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、推理过程或演算步骤） 17. 计算：． 18. 已知关于x的一元二次方程 （1）求证：此方程总有两个实数根； （2）若此方程恰有一个根小于1，求m的取值范围． 19. 先化简，再求值：，其中且x为整数，请你取一个合适的数作为x的值代入求值． 20. 已知方程（x为实数），请你解答下列问题： （1）若，解此方程； （2）若，求证：此方程至少有一个实数根； （3）设此方程有两个不相等的实数根分别为．若，求证：． 21. 如图，，与交于点，且，，． （1）求的长． （2）求证：． 22. 如图，四边形中，，是对角线，，请用尺规作图法，在边上求作一点P，使．（不写作法，保留作图痕迹） 23. 如图，是一个路灯杆，在灯光下，小明在处的影长米，沿方向行走到达点，米，这时小明的影长米，已知小明的身高为米，求路灯的高． 24. 如图，正六边形内接于，半径为． （1）求的长度； （2）若G为的中点，连接，求的长度． 25. 如图1是一张乒乓球桌，其侧面简化结构（如图2所示）是轴对称图形，台面（台面厚度忽略不计）与地面平行，且高度为（台面与地面之间的距离），直线型支架与的上端E，F与台面下方相连，与的下端P，Q是一个脚轮（脚轮大小忽略不计），直线型支架与的上端C、D与台面相连，下端G，H与，相连，圆弧形支架分别与，在点G，H相连，且，，已知，， （1）求的长度； （2）已知所在圆经过点P、Q，求所在的圆的圆心到台面之间的距离． 26. 【问题呈现】数学兴趣小组遇到这样一个问题：如图①，的半径为2，点是外的一个定点，．点在上，作点关于点的对称点，连接、．当点在上运动一周时，试探究点的运动路径． 【问题解决】经过讨论，小组同学想利用全等三角形的知识解决该问题；如图②，延长至点，使，连接，通过证明，可推出点的运动路径是以点为圆心、2为半径的圆．下面是部分证明过程： 证明：延长至点，使，连接． 1°当点在直线外时， 证明过程缺失 2°当点在直线上时， 易知． 综上，点的运动路径是以点为圆心、2为半径的圆． 请你补全证明中缺失的过程． 【结论应用】如图③，在矩形中，点分别为边的中点，连接，点是中点，点是线段上的任意一点，．点是平面内一点，，连接．作点关于点的对称点，连接． （1）当点是线段中点时，点的运动路径长为________________． （2）当点在线段上运动时，连接．设线段长度最大值为，最小值为，则________________． 27. 已知抛物线与x轴交于点，与y轴交于点C． （1）求顶点D的坐标； （2）点P是第一象限对称轴右侧抛物线上一点，点P的横坐标为t，以点P为圆心的⊙P交抛物线的对称轴于点M、N（点M在点N的上方）． ①若与x轴相切，且，求点P的坐标； ②过点P作y轴垂线，交抛物线于另一点E，连接，连接并延长交于点T，过点P作y轴的平行线交直线于点Q，若于点T，且，求点Q的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 苏科版2024-2025学年九年级（上）期中卷 注意事项： 1．本次考试时间为120分钟，卷面总分为150分．考试形式为闭卷． 2．本试卷共6页，在检查是否有漏印、重印或错印后再开始答题． 一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 下列函数中，是二次函数的是（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了二次函数的定义，熟记二次函数的定义及一般形式是解题的关键．二次函数的一般式是，其中． 根据二次函数的定义逐项判断即可． 【详解】解：A，是二次函数，故本项符合题意；     B，不是二次函数，故本项不符合题意；     C，不是二次函数，故本项不符合题意；     D，不是二次函数，故本项不符合题意； 故选：A． 2. 下列方程中，关于x的一元二次方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2． 根据一元二次方程的定义：未知数的最高次数是2；二次项系数不为0；是整式方程；含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案． 【详解】解：A、是一元一次方程，故A不符合题意； B、是分式方程，故B不符合题意； C、是二元二次方程，故C不符合题意； D、是一元二次方程，故D符合题意． 故选：D． 3. 二次函数的图象可能是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象，解题的关键是正确求出函数图象的顶点．求出二次函数图象的顶点，据此判断图象． 【详解】解：，， ∴该二次函数图象的顶点为，开口向上， 符合条件的图象为：C． 故选C． 4. 某班举办“校园安全”知识答题竞赛活动，规定：共道题，答对一道得分，答错或不答不得分．现将全班名学生的成绩进行统计，制作成如下不完整的形统计图，已知分和分的学生共有人，分的学生超过人，分的学生在形统计图中所对应的圆心角是钝角．根据扇形统计图中的信息，下列判断正确的是（ ） A. 众数、平均数分别是分与分 B. 众数、中位数分别是分与分 C. 众数、中位数分别是分与分 D. 中位数、平均数分别是分与分 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查众数、中位数和平均数的定义和扇形统计图相关知识，根据众数、中位数和平均数的定义和扇形统计图进行分析即可求解，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】由全班共有人，分和分的学生共有人，分学生超过人， ∵分学生的扇形统计图中对应的圆心角是钝角，而， ∴分学生人数大于等于人， ∵分和分的学生共有人，剩下四种分数的也有人，按照分数从小到大排序，则在第位和第位的是分和分， ∴中位数是分， 根据扇形统计图，只有分的是钝角，其余都是锐角，因此得分的人数最多，∴众数是分， 由分和分的学生共有人，分学生超过人，分学生人数大于等于人，因此分学生最少人，分学生最多人，分学生最少人，此时设分学生人，则分学生人，分学生： 人，平均数为 ， ∵， ∴平均数大于， ∴众数分，中位数分，平均数大于分， 故选：． 5. 在中，，．甲、乙、丙分别给出了一个条件，想使的长唯一，其中正确的是（ ） 甲：； 乙：； 丙：的外接圆半径为4 A. 只有甲 B. 只有乙 C. 只有丙 D. 乙和丙 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了三角形的外接圆与外心、勾股定理等，掌握三角形的外接圆与外心是解题的关键． 根据题意画出图形，使，，点在射线上，作于点，根据等腰直角三角形的性质可得的长，再由和的长作比较即可判断甲乙；由和的长，结合该三角形外接圆的半径长，即可判断该外接圆的圆心可以在的上、下两侧，即可判断丙． 【详解】解：如图，，，点在射线上，作于点， ， ， 不存在的，故甲不符合题意； ，，， 而， 存在的，使得的长唯一成立，如上图中的点即是，故乙符合题意； ，， 当的外接圆半径为4时， 如图， ， ， ， ， 存在两个使的外接圆半径为4，两个外接圆的圆心分别在的上、下两侧，故丙不符合题意； 综上所述，只有乙符合题意． 故选：B． 6. 已知二次函数中，函数与自变量的部分对应值如表，则方程的一个解的范围是（　　） … … … … A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了用二次函数确定性一元二次方程的近似根．解决本题的关键是根据二次函数与轴的交点的横坐标就是一元二次方程的解，从而利用二次函数的性质确定方程的解的范围． 【详解】解：从表中可以看出， 当时，， 当时，， 当对应的的值一定有， 一元二次方程的解的范围是．   故选： C． 7. 在如图所示的网格中，小正方形的边长为，点、、、都在格点上，与相交于点，则的正切值是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形，相似三角形的判定和性质，勾股定理及其逆定理，如图，取格点、，连接、、、，证明，可得，继而得到，推出，再根据勾股定理的逆定理判断是直角三角形，再解直角三角形求出即可．解题的关键是添加辅助线构造直角三角形． 【详解】解：如图，取格点、，连接、、、， ∵在如图所示的网格中，小正方形的边长为， ∴点、、共线，点、、共线， ∴，，，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，，， ∴，，， ∴， ∴， ∴的正切值是． 故选：C． 8. 如图，在正方形中，E为中点，连接，延长至点F，使得，以为边作正方形，《几何原本》中按此方法找到线段的黄金分割点H．现连结并延长，分别交于点P，Q，若的面积与的面积之差为，则线段的长为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，黄金分割，三角形的面积．连接，设，根据线段的中点定义可得，再根据正方形的性质可得，，从而在中，利用勾股定理求出的长，进而求出的长，然后利用线段的和差关系求出的长，再利用正方形的性质可得，，从而可得，进而可得是等腰直角三角形，最后利用等腰直角三角形的性质可得，再根据已知的面积−的面积=，可得的面积−的面积=，从而利用三角形的面积公式进行计算，即可解答． 【详解】解：连接， 设， ∵E为中点， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵的面积−的面积， ∴(的面积+的面积）−(的面积+的面积）， ∴的面积−的面积， ∴， ∴， 解得：或（舍去）， ∴， 故选：C． 二、填空题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请将答案直接写在答题卡的相应位置上） 9. 一元二次方程的解是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程．熟练掌握因式分解法解一元二次方程，是解决问题关键． 移项，提公因式x，化成两个一元一次方程解答即可． 【详解】∵， ∴移项得，， 分解因式得，， ∴， ∴． 故答案为：． 10. 已知线段，，若线段c是a、b的比例中项，则______． 【答案】6 【解析】 【分析】根据线段c是a、b的比例中项，得到，代入计算即可． 本题考查了比例中项的计算，熟练掌握定义是解题的关键． 【详解】解：∵线段c是a、b的比例中项， ∴ ∵线段，， ∴， 解得（舍去）， 故答案为：6． 11. 二次函数的图象如图所示，直接写出不等式的解集为_____． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查根据二次函数图象解一元二次不等式，根据二次函数图象找到x轴下方图象的点的横坐标x的取值范围即可得到答案． 【详解】解：由二次函数图象可得， 当或时，， 故答案为：或． 12. 已知方程可以配方成的形式，那么_____． 【答案】1 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程．根据配方法即可求出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：1． 13. 已知二次函数的顶点坐标，则关于x的一元二次方程的两个根分别是和_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次函数的性质，一元二次方程的根与系数的关系，根据顶点得到对称轴为直线，再根据求解即可． 【详解】解：∵二次函数的顶点坐标， ∴二次函数对称轴为直线， ∴， ∵关于x的一元二次方程的两个根分别是和， ∴， ∴， 解得， 故答案为：． 14. 如图，圆内接四边形两组对边的延长线分别交于点E，F，且，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是圆内接四边形的性质，根据圆内接四边形的性质得到，根据三角形的外角的性质计算即可 【详解】解：∵四边形是圆内接四边形， ∴ ∵， ∴即， 解得， 故答案为： 15. 在△ABC中，AB＝，BC＝a，∠C＝60°，如果对于a的每一个确定的值，都存在两个不全等的△ABC，那么a的取值范围是____． 【答案】＜a＜2 【解析】 【分析】由已知条件，根据直角三角形中三角函数的定义表示出，然后根据∠C的度数可以得出满足题意的△ABC有两个的∠A的度数的范围，根据∠A的度数的取值范围求出的取值范围，进而求出a的取值范围． 【详解】解：过点B做BD⊥AC于点D， Rt△ABD中， ，即：， 在Rt△BCD中， ，即：， ∴，即：， ∴， 由题意可知：当时，满足条件的△ABC有两个， ∴，即：， ∴＜a＜2， 故答案为：＜a＜2． 【点睛】此题考查了特殊角的三角函数值，关键是牢记特殊角的三角函数值以及灵活运用三角形的内角和定理这个隐形条件． 16. 习近平总书记说：读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气．某校开展师生阅读活动，打造书香校园．据统计，九（1）班第一周参与阅读100人次，阅读人次每周递增，第三周参与阅读达到361人次．设阅读人次的周平均增长率为x，则可得方程________________________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，利用第三周参与阅读人次第一周参与阅读人次参与阅读人次的月平均增长率，即可列出关于的一元二次方程，此题得解． 找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 【详解】解：根据题意得：． 故答案为：． 三、解答题（本大题共有11小题，共102分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、推理过程或演算步骤） 17. 计算：． 【答案】4 【解析】 【分析】先利用负整数指数幂，特殊角锐角三角函数值，绝对值的性质，立方根的性质化简，再合并，即可求解． 详解】解： ． 【点睛】本题主要考查了负整数指数幂，特殊角锐角三角函数值，绝对值的性质，立方根的性质，熟练掌握相关运算法则是解题的关键是解题的关键． 18. 已知关于x的一元二次方程 （1）求证：此方程总有两个实数根； （2）若此方程恰有一个根小于1，求m的取值范围． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式、解一元二次方程，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）计算根的判别式得到，然后根据根的判别式的意义得到结论； （2）解一元二次方程得出，，再结合此方程恰有一个根小于1得出，计算即可得解． 【小问1详解】 证明：∵， ∴此方程总有两个实数根； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴或， 解得：，， ∵此方程恰有一个根小于1， ∴， 解得：． 19. 先化简，再求值：，其中且x为整数，请你取一个合适的数作为x的值代入求值． 【答案】，时，原式；时，原式 【解析】 【分析】本题考查分式的化简求值，先算括号，再算除法，然后约分化简，最后代入求值即可． 【详解】解：原式 ， ∵，， ∴，， ∵且x为整数， ∴或， 当时，原式； 当时，原式． 20. 已知方程（x为实数），请你解答下列问题： （1）若，解此方程； （2）若，求证：此方程至少有一个实数根； （3）设此方程有两个不相等的实数根分别为．若，求证：． 【答案】（1） （2）见解析 （3）见解析 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的知识，涉及一元二次方程根与系数的关系，根的判别式，解一元二次方程． （1）将代入，利用配方法求解方程即可； （2）利用一元二次方程根的判别式，结合，得到，根据，即可证明； （3）根据题意原方程为，由一元二次方程根与系数的关系的到，再根据完全平方公式变形得到，从而得到，根据根的判别式得到即可证明结论． 【小问1详解】 解：， 原方程为， 解得：； 【小问2详解】 证明：中， ， ， ， ， ， 此方程至少有一个实数根； 【小问3详解】 证明：根据题意原方程为，且方程有两个不相等的实数根分别为， ， ， ， 即， ． 21. 如图，，与交于点，且，，． （1）求的长． （2）求证：． 【答案】（1） （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定及性质； （1）利用根据相似三角形的判定得，再根据即可求解； （2）利用及即可求解结论． 【小问1详解】 解：，， ， ， ； ， ． 【小问2详解】 证明：，， ， ， ． 22. 如图，四边形中，，是对角线，，请用尺规作图法，在边上求作一点P，使．（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查的是作线段的垂直平分线，作圆，结合圆周角定理，如图，先作线段的垂直平分线，交于点O，再以点O为圆心，的长为半径画圆，交于点P，则可得，则点P即为所求． 【详解】解：如图，先作线段的垂直平分线，交于点O，再以点O为圆心，的长为半径画圆，交于点P， 则， ∵，， ∴， ∴， 则点P即为所求． 23. 如图，是一个路灯杆，在灯光下，小明在处的影长米，沿方向行走到达点，米，这时小明的影长米，已知小明的身高为米，求路灯的高． 【答案】路灯杆的高度米． 【解析】 【分析】先说明，则，即①，同理可得：，即②，然后①②联立求出即可． 【详解】解：由题意得，， ， ，即①， 同理：， ，即②， 联立①②解得， 答：路灯杆的高度米． 【点睛】本题考查了相似三角形的应用，将实际问题转化为数学问题，本题只要把实际问题抽象到相似三角形中，利用相似比列出方程是解题的关键． 24. 如图，正六边形内接于，半径为． （1）求的长度； （2）若G为的中点，连接，求的长度． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）连接，，根据正六边形的性质可得，再根据圆的半径都相等可得是等边三角形，进而可求解． （2）连接，，由为直径，得，利用勾股定理及中点的性质即可求解． 【小问1详解】 解：连接，，如图： 六边形是正六边形， ， 又，是的半径，且半径为， ， 是等边三角形， ． 【小问2详解】 连接，，如图： 则为的直径， ，， 由（1）得：， 在中，， ， G为的中点， ， 在中，， ． 【点睛】本题考查了正多边形的性质、等边三角形的判定及性质、勾股定理及圆周角，熟练掌握基础知识，借助适当的辅助线解决问题是解题的关键． 25. 如图1是一张乒乓球桌，其侧面简化结构（如图2所示）是轴对称图形，台面（台面厚度忽略不计）与地面平行，且高度为（台面与地面之间的距离），直线型支架与的上端E，F与台面下方相连，与的下端P，Q是一个脚轮（脚轮大小忽略不计），直线型支架与的上端C、D与台面相连，下端G，H与，相连，圆弧形支架分别与，在点G，H相连，且，，已知，， （1）求的长度； （2）已知所在的圆经过点P、Q，求所在的圆的圆心到台面之间的距离． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查垂径定理及解直角三角形的应用，相似三角形的性质与判定． （1）过点G作，交于点M．连接．根据已知条件求出、，得到，根据解直角三角形得到，，即可求解； （2）设点O为所在圆的圆心．连接、，过点O作，交于点K，交于点N．由垂径定理求得、，由勾股定理和半径相等列方程，求出，进而求出圆心到的距离． 【小问1详解】 解：如图2，过点G作，交于点M，连接． ∵， 又∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 解得， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：如图3，设点O为所在圆的圆心．连接、，过点O作，交于点K，交于点N． 由垂径定理，得， ∴． ∴． ∵且， ∴， ∴，即， 解得． ∴． ∴所在的圆的圆心到台面之间的距离为． 26. 【问题呈现】数学兴趣小组遇到这样一个问题：如图①，的半径为2，点是外的一个定点，．点在上，作点关于点的对称点，连接、．当点在上运动一周时，试探究点的运动路径． 【问题解决】经过讨论，小组同学想利用全等三角形的知识解决该问题；如图②，延长至点，使，连接，通过证明，可推出点的运动路径是以点为圆心、2为半径的圆．下面是部分证明过程： 证明：延长至点，使，连接． 1°当点在直线外时， 证明过程缺失 2°当点在直线上时， 易知． 综上，点的运动路径是以点为圆心、2为半径的圆． 请你补全证明中缺失的过程． 【结论应用】如图③，在矩形中，点分别为边的中点，连接，点是中点，点是线段上的任意一点，．点是平面内一点，，连接．作点关于点的对称点，连接． （1）当点是线段中点时，点的运动路径长为________________． （2）当点在线段上运动时，连接．设线段长度的最大值为，最小值为，则________________． 【答案】问题解决：证明过程见解析；结论应用：（1）；（2） 【解析】 【分析】问题解决：延长至点，使，连接．当点在直线外时，证明得出；当点在直线上时，则，即可得解； 结论应用：（1）由问题解决可得：当点是线段中点时，点的运动路径为2为半径的圆，由此计算即可得出答案： （2）由问题解决可得：点的运动路径为2为半径的圆，当点与点重合时，此时：点的运动路径为以为圆心，2为半径的圆，连接交圆于，此时的长度最小；当点与点重合时，此时：点的运动路径为以为圆心，2为半径的圆，连接，连接交圆于，此时的长度最大；分别求出的值即可得解． 【详解】问题解决： 证明：延长至点，使，连接． 1°当点在直线外时， 和中， ， ∴， ∴； 2°当点在直线上时，则． 综上，点的运动路径是以点为圆心、2为半径的圆； 结论应用： （1）由问题解决可得：当点是线段中点时，点的运动路径为2为半径的圆， ∴点的运动路径长为； （2）由问题解决可得：点的运动路径为2为半径的圆， 如图，当点与点重合时，此时：点的运动路径为以为圆心，2为半径的圆，连接交圆于，此时的长度最小， ， 由题意得：，，，， ∴由勾股定理得：， ∴线段长度的最小值为； 如图，当点与点重合时，此时：点的运动路径为以为圆心，2为半径的圆，连接，连接交圆于，此时的长度最大， ， 由题意得：，， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴、、在同一直线上， ∴， ∴， ∴线段长度的最大值为， ∴． 【点睛】本题考查了三角形全等的判定与性质、求弧长、圆的相关知识点、勾股定理等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线，是解此题的关键． 27. 已知抛物线与x轴交于点，与y轴交于点C． （1）求顶点D的坐标； （2）点P是第一象限对称轴右侧抛物线上一点，点P的横坐标为t，以点P为圆心的⊙P交抛物线的对称轴于点M、N（点M在点N的上方）． ①若与x轴相切，且，求点P的坐标； ②过点P作y轴垂线，交抛物线于另一点E，连接，连接并延长交于点T，过点P作y轴的平行线交直线于点Q，若于点T，且，求点Q的坐标． 【答案】（1） （2）①；② 【解析】 【分析】（1）根据待定系数法求解析式，再化为顶点式，即可求解； （2）①设切点为H，连接，过P作于L，则，分别求出，，，再利用勾股定理列方程求解即可； ②证明，分别求出，，，根据相似三角形的性质可求出，则，再根据列方程求解即可． 【小问1详解】 解：把代入得，， 解得：， 抛物线的解析式为， 顶点D的坐标， 【小问2详解】 ①设切点为H，连接，过P作于L，则， 点P的横坐标为t， ， 与x轴相切， ， ， ， 对称轴为直线， ， 在中，， ， 设，且， 原方程可化为， 解得或（舍）， ， 解得：或（舍）， 当时，， ， ②解：如图： ， ， ， ， ， ， ， ， 当的时，， ， 设直线的解析式为， 把B，C代入得， 解得， 直线的解析式为， ，轴， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 解得：（负值舍去）， ． 【点睛】本题考查了二次函数与相似三角形的综合，涉及待定系数法求解析式，对称性，勾股定理，垂径定理，直线与圆相切，相似三角形的性质和判定等知识，解题的关键是综合运用以上知识． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$