第13章 统计 单元知识梳理+综合检测-【上好课】2024-2025学年高二数学同步精品课堂（沪教版2020必修第三册）

第13章 统计 单元综合检测 一、填空题 1．小王做投针实验，观察针压住平行线的次数，所得的数据是 ．（用“观测数据”或“实验数据”填空） 【答案】实验数据 【分析】根据具体的实验，得到具体的实验数据. 【解析】由题意 ，小王做具体投针实验，观察针压住平行线的次数，所得的数据是实验数据. 故答案为：实验数据. 2．为了考察某区1万名高一年级学生数学知识与能力测试的成绩，从中抽取50本试卷，每本试卷30份，那么样本容量是 ． 【答案】 【分析】直接利用样本容量的定义分析，即可求解. 【解析】因为从抽取50本试卷，每本试卷30份， 所以样本容量为份. 故答案为： 3．一组数据共40个，分为6组，第1组到第4组的频数分别为10、5、7、6，第5组的频率为0.1，则第6组的频数为 ． 【答案】8 【分析】根据第5组的频率为0.1可求第5组的频数，从而可求第6组的频数. 【解析】因为第5组的频率为0.1，故第5组的频数为， 故第6组的频数为， 故答案为：8. 4．数据1、2、3、4、5、6、7、8、9、10的第90百分位数为 ． 【答案】9.5＃ 【分析】将数据从小到大排列，再根据分位数计算规则计算即可. 【解析】∵％＝9， ∴第90百分位数就是第9项和第10项的数值平均数，即， ∴第90百分位数为9.5． 故答案为：9.5. 5．下面的抽样方法中是简单随机抽样的有 ． ①从无数个个体中抽取50个个体作为样本； ②仓库中有1万支奥运火炬，从中一次性抽取100支火炬进行质量检查； ③某连队从200名士兵中，挑选出50名党员士兵赶赴灾区开展救灾工作； ④一彩民选号，从装有36个大小、形状都相同的号签盒子中逐个无放回地抽出6个号签． 【答案】④ 【分析】一般地，设一个总体含有个个体，如果通过逐个抽取的方法从中抽取一个样本，且每次抽取各个个体被抽到的概率相同，则这样的抽样叫简单随机抽样，根据此定义逐个分析判断. 【解析】对于①，因为总体个数是无限的，所以不是简单随机抽样， 对于②，因为不是逐个抽取，所以不是简单随机抽样， 对于③，因为50名党员士兵是挑选的，不是逐个抽取，所以不是简单随机抽样， 对于④，符合简单随机抽样的定义，所以是简单随机抽样. 故答案为：④ 6．某高中为了了解学生收看空中课堂的具体情况，利用分层抽样的方法从高中三个年级的学生中随机抽取了名进行问卷调查，其中从高一年级的学生中抽取了名，从高二年级的学生中抽取了名，若高三年级共有学生名，则该高中共有学生 名． 【答案】 【分析】首先求出样本中高三年级抽取的学生数，即可求出该高中共有的学生数； 【解析】解：依题意可得样本中高三年级抽取了名学生， 所以该高中共有学生名学生； 故答案为： 7．总体由编号为00，01，…，59的60个个体组成，利用下面的随机数表选取6个个体，选取方法是从随机数表第1行的第6个数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第6个个体的编号为 ． 5044664421        6606580562        6165543502        4235489632        1452415248 2266221586        2663754199        5842367224        5837521851        0337183911 【答案】55 【分析】由随机数表依次得出样本编号即可. 【解析】由题可得选出来的样本编号依次为42，16，56，26，16，55，…，所以选出来的第6个个体的编号为55. 故答案为：55. 8．某饮用水生产厂家对生产的桶装水的容量进行检测，随机抽取10桶，测得容量（单位：升）分别为：18.2，17.8，18.0，17.9，18.1，17.7，18.2，18.1，18.0，17.9．则样本的标准差为 ． 【答案】 【分析】根据平均数、方差公式计算可得. 【解析】解：样本数据的平均数为， 所以样本数据的方差为， 所以样本数据的标准差为. 故答案为： 9．某校从高二年级学生中随机抽取部分学生，将他们的模块测试成绩分成6组：，，，，，加以统计，得到如下图所示的频率分布直方图.已知高二年级共有学生600名，据此估计，该模块测试成绩不少于60分的学生人数为 . 【答案】480. 【分析】根据频率分布直方图计算模块测试成绩不少于60分的学生所占频率，再计算频数. 【解析】由频率分布直方图得模块测试成绩不少于60分的学生所占频率为， 所以该模块测试成绩不少于60分的学生人数为 【点睛】本题考查频率分布直方图以及频数，考查基本分析运算能力，属基础题. 10．将某选手的9个得分去掉1个最高分，去掉1个最低分，7个剩余分数的平均分为91，现场做的9个分数的茎叶图后来有个数据模糊，无法辨认，在图中以x表示，则7个剩余分数的方差为 ． 【答案】 【分析】根据茎叶图中的数据，可知去掉的最低分为87，最高分为99，然后根据7个剩余分数的平均分为91，计算出的值，然后根据方差公式进行计算即可． 【解析】解：根据茎叶图中的数据，可知去掉的最低分为87，最高分为99， 剩余7个数为87，90，90，91，91，，94， 个剩余分数的平均分为91， ， 解得， 即剩余7个数为87，90，90，91，91，94，94， 对应的方差为， 故答案为：． 11．已知样本的平均数为2，方差为2023，则的平均数为 . 【答案】 【分析】根据题意，利用数据的平均数和方差的计算公式，准确运算，即可求解. 【解析】由题意，可得，所以， 又由， 即， 所以. 故答案为：. 12．对于没有重复数据的样本、、…、，记这m个数的第k百分位数为．若不在这组数据中，且在区间中的数据有且只有5个，则m的所有可能值组成的集合为 ． 【答案】 【分析】就是否为正整数分类讨论，若为正整数，则5个数分别为；若不为整数，则5个数分别为，就的范围分类计算后可得m的所有可能值组成的集合. 【解析】不妨设，因为不在这组数据，故为正整数， 若为正整数，故，其中为正整数， 故，， 因为在区间中的数据有且只有5个， 故这个5个数分别为，故即， 但当时，，此时至少有6个， 故， 当时，即为，共5个，符合； 当时，即为，共6个，不符合； 当时，即为，共7个，不符合； 若为不是整数，故，其中为正奇数， 设，其中为正整数， 则，且，故， 故，， 因为在区间中的数据有且只有5个， 故这个5个数分别为，故即， 但当，，此时至少有6个， 故， 当时，即为，共5个，符合； 当时，即为，共6个，不符合； 当时，即为，共7个，不符合； 综上，符合条件的为，， 故答案为：. 【点睛】思路点睛：与不等式有关的整数解问题，可先根据区间中含有的整数的个数初步确定参数的范围，再逐个讨论后舍去矛盾的情况即可. 二、单选题 13．要反映一个同学的语文成绩与数学成绩之间的大致关系宜采用（    ） A．扇形统计图 B．折线统计图 C．茎叶图 D．散点图 【答案】D 【分析】由统计图的属性判断． 【解析】一个同学的语文成绩与数学成绩不会太多，是零散的，因此可用散点图．用（语文成绩，数学成绩）作为点的坐标描点，关系一目了然． 故选：D． 14．现须完成下列2项抽样调查：①从12瓶饮料中抽取4瓶进行食品卫生检查；②某生活小区共有540名居民，其中年龄不超过30岁的有180人，年龄在超过30岁不超过60岁的有270人，60岁以上的有90人，为了解居民对社区环境绿化方面的意见，拟抽取一个容量为30的样本.较为合理的抽样方法分别为（    ） A．①抽签法，②分层随机抽样 B．①随机数法，②分层随机抽样 C．①随机数法，②抽签法 D．①抽签法，②随机数法 【答案】A 【分析】根据抽签法以及分层抽样的使用条件，可得答案. 【解析】对于①，由于抽取的总体个数与样本个数都不大，则应用抽签法； 对于②，抽取的总体个数较多，且总体有明确的分层，抽取的样本个数较大，则采用分层随机抽样. 故选：A. 15．为了普及环保知识，增强环保意识，某大学随机抽取30名学生参加环保知识测试，得分（十分制）如图所示，假设得分的中位数为，众数为，平均数为，则下列结论正确的是（    ）． ①．②．③．④． A．①② B．②③ C．②④ D．③④ 【答案】C 【分析】根据图示，生从低分到高分排，中间位置是第15、16名找出对应分数的平均值即是中位数；长方形条最高的位置即为众数；总得分除以总人数即为平均数. 【解析】由图可知，30名学生的得分情况依次为：2个人得3分，3个人得4分，10个人得5分，6个人得6分，3个人得7分，2个人得8分，2个人得9分，2个人得10分，中位数为第15、16个数（分别为5、6）的平均数，即，由于5分出现的次数最多，故，， 所以． 故选C． 16．样本（x1,x2…，xn）的平均数为x，样本（y1，y2，…，yｍ）的平均数为．若样本（x1,x2…，xn，y1，y2，…，yｍ）的平均数，其中0＜α＜，则n，m的大小关系为 A．n＜m B．n＞m C．n=m D．不能确定 【答案】A 【解析】本题考查统计中的平均数，作差法比较大小以及整体思想. 由统计学知识，可得, . ，所以. 所以 故.因为,所以.所以.即. 【点评】要牢固掌握统计学中一些基本特征：如平均数，中位数，方差，标准差等的求法. 体现考纲中要求会用样本的基本数字特征估计总体的基本数字特征.来年需要注意频率分布直方图中平均值，标准差等的求解等 三、解答题 17．某单位最近组织了一次健身活动，活动分为登山组和游泳组，且每个职工至多参加其中一组．在参加活动的职工中，青年人占42. 5%，中年人占47. 5%，老年人占10%. 登山组的职工占参加活动总人数的，且该组中，青年人占50%，中年人占40%，老年人占10%. 为了了解各组不同年龄层次的职工对本次活动的满意程度，现用分层抽样方法从参加活动的全体职工中抽取一个容量为200的样本．试确定： (1)游泳组中，青年人、中年人、老年人分别所占的比例； (2)游泳组中，青年人、中年人、老年人分别应抽取的人数． 【答案】(1) 40%,50%,10%   (2)60   75    15 【解析】(1)设登山组人数为x，游泳组中，青年人、中年人、老年人所占比例分别为a、b、c， 则有 解得b＝50%，c＝10%， 故a＝100%－50%－10%＝40%， 即游泳组中，青年人、中年人、老年人所占比例分别为40%、50%、10%. (2)由（1）知游泳组中，青年人、中年人、老年人所占比例分别为40%、50%、10%， 则抽取的青年人人数为200××40%＝60(人)； 抽取的中年人人数为200××50%＝75(人)； 抽取的老年人人数为200××10%＝15(人)． 即游泳组中，青年人、中年人、老年人分别应抽取的人数为60人，75人，15人． 考点：分层抽样. 18．从高一学生中抽取50名参加调研考试，成绩的分组及各组的频数如下（单位：分）：，2；，3；，10；，15；，12；，8． (1)列出样本的频率分布表； (2)画出频率分布直方图； (3)估计成绩在分的学生所占总体的百分比． 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 (3) 【分析】（1）根据题中所给数据 即可得出频率分布表； （2）根据频率分布表画出频率分布直方图即可； （3）根据频率分布直方图即可得解. 【解析】（1）频率分布表如下： 成绩分组 频数 频率 2 0.04 3 0.06 10 0.20 15 0.30 12 0.24 8 0.16 合计 50 1.00 （2）由题意知组距为10，取小矩形的高根据表格画出如下的频率分布直方图： （3）由频率分布直方图，可估计成绩在分的学生所占总体的百分比是. 19．一汽车厂生产A,B,C三类轿车,每类轿车均有舒适型和标准型两种型号,某月的产量如下表(单位:辆): 轿车A 轿车B 轿车C 舒适型 100 150 z 标准型 300 450 600 按类型分层抽样的方法在这个月生产的轿车中抽取50辆,其中有A类轿车10辆. （1）求z的值. （2）用分层抽样的方法在C类轿车中抽取一个容量为5的样本.将该样本看成一个总体,从中任取2辆,求至少有1辆舒适型轿车的概率; （3）用随机抽样的方法从B类舒适型轿车中抽取8辆,经检测它们的得分如下:9.4,  8.6, 9.2,  9.6,  8.7,  9.3,  9.0,  8.2.把这8辆轿车的得分看作一个总体,从中任取一个数,求该数与样本平均数之差的绝对值不超过0.5的概率. 【答案】（1）400 （2） （3）0.75 【分析】（1）由分层抽样按比例运算即可得解； （2）先求出基本事件的个数，再由古典概型的概率公式求解即可； （3）先求出平均数，再求概率即可. 【解析】解：（1）设该厂这个月共生产轿车辆， 由题意可得，即， 则； （2）抽取一个容量为5的样本中，有2辆舒适型轿车，3辆标准型轿车，用表示2辆舒适型轿车，表示3辆标准型轿车，用表示事件“在该样本中任取2辆，其中至少有1辆舒适型轿车”， 则在该样本中任取2辆的基本事件为，，，，，，，，，共10个， 事件为，，，，，，共7个， 故; （3）由题意可得， 则满足该数与样本平均数之差的绝对值不超过0.5的有共6个， 故所求概率为，即. 【点睛】本题考查了分层抽样及平均数的求法，重点考查了古典概型概率公式，属中档题. 20．某学习小组拟对本校高二年级学生上学路上花费时间（单位：分钟）进行统计调查，随机抽取了男生、女生各10人，按他们上学路上花费时间绘制了如图茎叶图，并将上学路上花费时间划分了时间等级（时间越短等级越小），如下表所示. 花费时间（分钟） 时间等级 一级 二级 三级 (1)试根据茎叶图，求出这10名女生上学路上花费时间的极差和中位数； (2)已知高二年级共有200人，若该20个样本数据是以性别分层抽样的方式获取，试根据茎叶图估计全年级上学路上花费时间不超过40分钟的男生人数； (3)现从这20人中随机抽取男、女生各一人，设事件为“被选中的男生的时间等级小于被选中的女生的时间等级”，假设这20个人上学互不影响，求事件发生的概率. 【答案】(1)极差为，中位数为 (2)估计全年级上学路上花费时间不超过40分钟的男生人数为人 (3)事件发生的概率为 【分析】（1）根据极差和中位数的定义即可求解； （2）根据分层抽样求出高二年级中男生的人数，据此即可估计全年级上学路上花费时间不超过40分钟的男生人数； （3）分女生的时间为二级和三级两种情况即可求解. 【解析】（1）极差为，中位数为； （2）高二年级中男生共有人， 估计全年级上学路上花费时间不超过40分钟的男生人数为人； （3）. 21．（1）设数据，，，…，的均值为，方差为，请利用已经学过的方差公式：来证明方差第二公式：； （2）已知，，，，，…，的方差为，其中． ，，…，，，，，，…，的方差为．比较与大小，并说明理由． 【答案】（1）证明见解析；（2），理由见解析. 【分析】（1）利用平均数、方差的定义计算推理作答. （2）利用（1）的结论求出，再作差比较大小作答. 【解析】（1）依题意，， 所以， . （2），理由如下： 令数据，，，…，的平均数为， 则， 由（1）知，，而， 因此 ， 当时，，， 即，又， 于是，即， 所以. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！13 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第13章 统计 单元综合讲义 一、总体和样本 在统计问题中，我们把研究对象的全体叫做总体； 总体中的每一个对象叫做个体； 总体中所含个体的个数，称为总体的容量． 从总体中抽取的一部分个体叫做这个总体的一个样本； 样本所包含个体的数量称为样本量，也称样本容量. 举例：①要考查班级全体同学的身高，就可以通过测量每个同学的身高组成一个总体，其中的每个数据就是一个 个体． ②年，教育部基础教育质量监测中心发布了《中国义务教育质量监测报告》，抽取了全国名学生进行体质调查，调查的指标包括心肺功能和米跑的速度．在这项研究中，“义务教育阶段全国学生的肺活量”和“义务教育阶段全国学生的米跑速度”是两个统计总体．“名学生的肺活量”和“名学生的米跑速度”就分别是上述两个总体的样本，就是样本容量. 二、数据的获取 1、数据分类 通常，按照数据的收集方法，可以将数据分为观测数据和实验数据． ①观测数据 指通过调查或观测而收集到的数据，是在没有对事物人为控制的条件下得到的． 例如全国人口普查，人口普查员通过请社区住户填写人口普查表来调查人口信息，但并不进行干预． ②实验数据 指在实验中控制实验对象而收集到的数据． 例如，我们想知道每天服用一定剂量的维生素能否预防感冒．为了完成实验，研究人员必须让一部分人每天服用一定剂量的维生素，另一部分人不服用维生素，然后收集两组对象的感冒发病率. 【注释】 ①观测数据是观测现实世界时收集得到的数据 ②观测数据是为了从收集得到的样本中得出有关总体的一些结论 ③观察数据用来对提出的问题研究各种导致它的可能性 ④实验数据是在实验中通过控制一个或多个变量而得到的测量结果 ⑤实验数据用来发现造成结果的原因，即鉴别因果关系 2、数据获取 高中阶段的统计涉及到的主要是观测数据，它主要是通过普查或抽样调查获得． ①普查 普查对于我们而言可能并不陌生，最为熟悉的就是全国人口普查．一个国家或者一个地区为详细调查某项重要 的国情、国力，专门组织大规模的全面调查，对总体的每个个体进行调查，我们称之为普查. ②抽样调查 由于普查耗费财力和时间，并且在一般统计问题中，对总体的每一个个体进行考察并非必要．有些调查过程甚至具有一定的破坏性，比如测试一批灯管的寿命或汽车的抗撞性等．这时可以从总体中按照一定的方法抽取一个样本进行研究，然后通过分析样本数据对总体作出估计． 从总体中抽取一个样本的过程称为抽样，通过抽样进行调查研究的方法叫做抽样调查 【注释】 以我国每年进行一次的人口普查为例，在进行人口普查时，主要调查人口和住户的基本情况，包括姓名、性别、年龄、民族、受教育程度、行业、职业、婚姻等．这样虽然要耗费大量的人力、物力与财力，但可以全面掌握全国人口的基本情况，为制定人口政策和经济社会发展规划提供依据，为社会公众提供人口统计信息服务，对国家管理、制定各项方针政策具有重要的意义． 由于普查耗费财力和时间，并且在一般统计问题中，对总体的每一个个体进行考察并非必要．有些调查过程甚至具有一定的破坏性，比如测试一批灯管的寿命或汽车的抗撞性等，这时可以从总体中按照一定的方法抽取一个样本进行研究，然后通过分析样本数据对总体作出估计． 三、抽样方法 1、抽样方法 常用的抽样方法：简单随机抽样与分层随机抽样. 2、简单随机抽样 在抽样的过程中通过逐个抽取的方法抽取样本，且总体的每一个个体都有同样的可能性被选入样本，这种抽样方法叫做简单随机抽样. ①抽签法 假定从共有盒的一箱牛奶中抽取盒进行检测，可以按照如下方法抽取样本：先将盒牛奶进行编号：，并将这个数分别写在完全相同的纸片上，然后放入某容器中．将这些纸片混合均匀后取出张，这张纸片上的数所对应的盒牛奶就是要抽取的样本．这种抽取样本的方法叫做抽签法，张写好编号、形状大小等完全相同的纸片称为号签． ②随机数法 我们只要先把总体中的个体逐个编号，然后按照某种事先确定的规则直接从随机数表（或其他工具产生的随机数）中取一定量的随机数，这些随机数所对应的个体即组成一个样本．我们称这种抽样方法为随机数法 【注释】 抽签法简单易行，适用于总体容量不大的情形．但当总体容量很大时，制作号签比较费时，且不易混合均匀，这时我们可以利用随机数表法．随机数表（见课本附录）就是一种现成的号签，它是由一连串的之间的数字构成的，且满足以下两个条件： （1）对表中任何一个给定位置的数字，其为０～９中任何一个数字的概率都相等； （2）不同位置数字的取值是相互独立的． ③简单随机抽样的特点 抽签法和随机数法都属于简单随机抽样．一般地，简单随机抽样具有以下特点： （1）总体个数是有限的； （2）是不放回抽样； （3）总体中每个个体被选入样本的可能性相同 3、分层随机抽样 一般地，当总体由差异明显的几个部分组成时，先把总体分成若干个部分，然后从不同的部分中独立、随机地抽取样本，这种抽样的方法称为分层随机抽样，简称分层抽样. 分层抽样的方法如下：先将总体个数按要求分成层，每层的个体数分别记作；在每层中分别随机抽取个个体组成容量为的样本，使得 ，，． 显然，这里每个个体被抽到的概率均为． 什么时候选择分层抽样？ 比如：某高中为了解高一年级新生的身高情况，计划抽取名学生测量身高．由于不同性别的学生身高差异较大，人数也可能不一样，因此不适合用前面介绍的简单随机抽样．我们希望抽取的样本中男女生的比例与全部高一年级新生的男女比例大致相同，这样得到的样本才具有代表性．这就要求在抽样的过程中，不仅要使得总体中每个个体被抽到的可能性相同，而且应注意总体中个体的某些分类属性，使得所抽取的样本能更明确地反映出总体的特征．那么这个时候就可以采用分层抽样. 分层随机抽样的特点: 分层随机抽样利用辅助信息分层，使得各层间的差异较大，各层内的差异较小，这样的分层抽样能够提高样本的代表性及抽样的效率．一般地，分层随机抽样适用于总体是由差异明显的几部分组成的情况，且在每一层进行抽样时，常常采用简单随机抽样或其他随机抽样方法. 4、 统计图表 Ⅰ、频率分布表和频率分布直方图 Ⅰ样本数据的频率分布表和频率分布直方图和频率分布折线图的步骤： ①求极差： 找出这一组数据的最大值和最小值，最大值与最小值的差称为极差，又称全距； 极差表示数据的波动范围； ②确定组距与组数： 取组距，用决定组数； 当数据在个以内时，通常按数据的多少分为组 ※如果组数太少，所有数据就会落在少数几个组里，导致这几个组的柱形太高；如果组数太多，大部分的组中只有少数的数据或者没有数据，均无法有效呈现数据的分布； ※一般地，第一组的下限应低于最小值，最后一组的上限应高于最大值． ③统计每组的频数及频率； 将样本数据分好组以后，每个小组内的数据个数称为频数，频数与样本容量的比值叫做这一小组的频率．统计每个小组的频数，再计算各组的频率. ④绘制频率分布表； ⑤绘制频率分布直方图： 在直角坐标系中把横轴分成若干段，每一段对应一个组距，，然后以组距形成的线段为底作一矩形，矩形的高 为小组的，知小长方形的面积＝组距×＝频率． 频率分布直方图比频率分布表更能直观形象地反映样本数据的分布规律． ⑥绘制频率分布折线图： 在频率分布直方图中，按照分组原则，再在左边和右边各加一个区间．这两个组的频率取值为，然后从所加 的左边的区间的中点（称为组中值）开始，从左至右依次连接各矩形上底边的中点，直至右边所加区间的中点 ，再将矩形的边去除，就可以得到一条折线,这条折线就是频率分布折线图. 在绘制统计图时还应注意以下几点： （1）标题：统计图一般要有标题，用以说明统计图的内容． 如果可能的话，列出数据来源． （2）坐标的刻度和名称：一般纵轴和横轴也需要有名称，纵轴应清楚地标明刻度，横轴应标明类别或刻度． （3）标注：如果要在一张图中呈现多元数据，应使用一些标注来识别单个数据． Ⅱ、茎叶图 制作茎叶图茎叶图的步骤： ①将数据分为“茎”、“叶”两部分； ②将最大茎与最小茎之间的数字按由小到大、从上往下排成一列，并画上竖线作为分隔线； ③将各个数据的“叶”在分界线的一侧对应茎处同行列出． 茎叶图既可以用于呈现单组数据，也可以用于对两组同类数据的比较分析 Ⅲ、散点图 在考虑两组数据时，为了对两组数据之间的关系形成大致的了解，通常将这两组数据所对应的点描在平面直角坐标系内，这些点组成的统计图称为散点图. 五、统计估计 Ⅰ、统计估计——估计总体的分布 总体是指考察对象的全体，个体是总体中的每一个考察的对象，总体的分布指的是总体中不同范围或类型的个体所占的比例． 如果将样本容量取得足够大，且分组的组距取得足够小，那么相应的频率分布折线图将趋于一条光滑的曲线，称为总体分布密度曲线． 事实上，尽管总体分布密度曲线是客观存在的，但由于在实际中往往无法获得总体的数据，因此无法精确地得到它的密度曲线，只能通过样本的频率分布折线图来对总体分布的密度曲线进行估计．一般来说，样本容量越接近总体容量，样本的频率分布折线图与总体分布密度曲线的贴近程度越高 Ⅱ、统计估计——估计总体的数字特征 统计数据的数字特征 把能反映一组数据某种特征的量称为这组数据的数字特征． 在初中阶段学习过的平均数、中位数和众数等，就是用来刻画一组数据集中趋势的数字特征，而方差和标准差则是用来刻画一组数据离散程度的数字特征. ①通过样本估计总体的集中趋势 利用初中阶段学习过的平均数、中位数和众数，我们可以描述有限样本的集中趋势． 例如，设样本数据为，由公式就得到样本平均数，它描述了样本数据的平均水平． 如果个数据中不同的数据的频数分别为，那么样本平均数为. 平均数反映的是平均水平，中位数反应的是中等水平，众数反应的是概率最大.它们都是用来刻画一组数据的集中趋势. ②通过样本估计总体的离散程度 在初中阶段我们已学习过用样本数据的方差来衡量一组数据的波动大小．一组数据的方差越大，表明这组数据波动越大. 我们把方差的算术平方根叫做样本数据的标准差，它同样是一个用来衡量样本数据波动大小的统计量 方差和标准差都反映了一组数据围绕平均数波动的大小，方差的单位是观测数据的单位的平方，而标准差的单位与观测数据的单位一致，因此我们常常用标准差来描述数据的离散程度． 注：在实验中，为了消除系统性偏差，标准差公式中往往以代替，用来作为总体标准差的估计值. Ⅲ、统计估计——估计百分位数 百分位数 当样本容量很大时，还可以将数据分为个部分，每一部分包含的数据．第百分位数（为到之间的整数，记作）即是将一组数据从小到大排列后，将数据分成两部分：小于或等于第百分位数的数据占，大于或等于第百分位数的数据占. 计算第百分位数时，首先将数据从小到大排列，然后计算指数. ①若是整数，则第百分位数是第项与第项的数据的平均值； ②若不是整数，则将向上取整，得到的数即为第百分位数的位置． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第13章 统计 单元综合检测 一、填空题 1．小王做投针实验，观察针压住平行线的次数，所得的数据是 ．（用“观测数据”或“实验数据”填空） 2．为了考察某区1万名高一年级学生数学知识与能力测试的成绩，从中抽取50本试卷，每本试卷30份，那么样本容量是 ． 3．一组数据共40个，分为6组，第1组到第4组的频数分别为10、5、7、6，第5组的频率为0.1，则第6组的频数为 ． 4．数据1、2、3、4、5、6、7、8、9、10的第90百分位数为 ． 5．下面的抽样方法中是简单随机抽样的有 ． ①从无数个个体中抽取50个个体作为样本； ②仓库中有1万支奥运火炬，从中一次性抽取100支火炬进行质量检查； ③某连队从200名士兵中，挑选出50名党员士兵赶赴灾区开展救灾工作； ④一彩民选号，从装有36个大小、形状都相同的号签盒子中逐个无放回地抽出6个号签． 6．某高中为了了解学生收看空中课堂的具体情况，利用分层抽样的方法从高中三个年级的学生中随机抽取了名进行问卷调查，其中从高一年级的学生中抽取了名，从高二年级的学生中抽取了名，若高三年级共有学生名，则该高中共有学生 名． 7．总体由编号为00，01，…，59的60个个体组成，利用下面的随机数表选取6个个体，选取方法是从随机数表第1行的第6个数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第6个个体的编号为 ． 5044664421        6606580562        6165543502        4235489632        1452415248 2266221586        2663754199        5842367224        5837521851        0337183911 8．某饮用水生产厂家对生产的桶装水的容量进行检测，随机抽取10桶，测得容量（单位：升）分别为：18.2，17.8，18.0，17.9，18.1，17.7，18.2，18.1，18.0，17.9．则样本的标准差为 ． 9．某校从高二年级学生中随机抽取部分学生，将他们的模块测试成绩分成6组：，，，，，加以统计，得到如下图所示的频率分布直方图.已知高二年级共有学生600名，据此估计，该模块测试成绩不少于60分的学生人数为 . 10．将某选手的9个得分去掉1个最高分，去掉1个最低分，7个剩余分数的平均分为91，现场做的9个分数的茎叶图后来有个数据模糊，无法辨认，在图中以x表示，则7个剩余分数的方差为 ． 11．已知样本的平均数为2，方差为2023，则的平均数为 . 12．对于没有重复数据的样本、、…、，记这m个数的第k百分位数为．若不在这组数据中，且在区间中的数据有且只有5个，则m的所有可能值组成的集合为 ． 二、单选题 13．要反映一个同学的语文成绩与数学成绩之间的大致关系宜采用（    ） A．扇形统计图 B．折线统计图 C．茎叶图 D．散点图 14．现须完成下列2项抽样调查：①从12瓶饮料中抽取4瓶进行食品卫生检查；②某生活小区共有540名居民，其中年龄不超过30岁的有180人，年龄在超过30岁不超过60岁的有270人，60岁以上的有90人，为了解居民对社区环境绿化方面的意见，拟抽取一个容量为30的样本.较为合理的抽样方法分别为（    ） A．①抽签法，②分层随机抽样 B．①随机数法，②分层随机抽样 C．①随机数法，②抽签法 D．①抽签法，②随机数法 15．为了普及环保知识，增强环保意识，某大学随机抽取30名学生参加环保知识测试，得分（十分制）如图所示，假设得分的中位数为，众数为，平均数为，则下列结论正确的是（    ）． ①．②．③．④． A．①② B．②③ C．②④ D．③④ 16．样本（x1,x2…，xn）的平均数为x，样本（y1，y2，…，yｍ）的平均数为．若样本（x1,x2…，xn，y1，y2，…，yｍ）的平均数，其中0＜α＜，则n，m的大小关系为 A．n＜m B．n＞m C．n=m D．不能确定 三、解答题 17．某单位最近组织了一次健身活动，活动分为登山组和游泳组，且每个职工至多参加其中一组．在参加活动的职工中，青年人占42. 5%，中年人占47. 5%，老年人占10%. 登山组的职工占参加活动总人数的，且该组中，青年人占50%，中年人占40%，老年人占10%. 为了了解各组不同年龄层次的职工对本次活动的满意程度，现用分层抽样方法从参加活动的全体职工中抽取一个容量为200的样本．试确定： (1)游泳组中，青年人、中年人、老年人分别所占的比例； (2)游泳组中，青年人、中年人、老年人分别应抽取的人数． 18．从高一学生中抽取50名参加调研考试，成绩的分组及各组的频数如下（单位：分）：，2；，3；，10；，15；，12；，8． (1)列出样本的频率分布表； (2)画出频率分布直方图； (3)估计成绩在分的学生所占总体的百分比． 19．一汽车厂生产A,B,C三类轿车,每类轿车均有舒适型和标准型两种型号,某月的产量如下表(单位:辆): 轿车A 轿车B 轿车C 舒适型 100 150 z 标准型 300 450 600 按类型分层抽样的方法在这个月生产的轿车中抽取50辆,其中有A类轿车10辆. （1）求z的值. （2）用分层抽样的方法在C类轿车中抽取一个容量为5的样本.将该样本看成一个总体,从中任取2辆,求至少有1辆舒适型轿车的概率; （3）用随机抽样的方法从B类舒适型轿车中抽取8辆,经检测它们的得分如下:9.4,  8.6, 9.2,  9.6,  8.7,  9.3,  9.0,  8.2.把这8辆轿车的得分看作一个总体,从中任取一个数,求该数与样本平均数之差的绝对值不超过0.5的概率. 20．某学习小组拟对本校高二年级学生上学路上花费时间（单位：分钟）进行统计调查，随机抽取了男生、女生各10人，按他们上学路上花费时间绘制了如图茎叶图，并将上学路上花费时间划分了时间等级（时间越短等级越小），如下表所示. 花费时间（分钟） 时间等级 一级 二级 三级 (1)试根据茎叶图，求出这10名女生上学路上花费时间的极差和中位数； (2)已知高二年级共有200人，若该20个样本数据是以性别分层抽样的方式获取，试根据茎叶图估计全年级上学路上花费时间不超过40分钟的男生人数； (3)现从这20人中随机抽取男、女生各一人，设事件为“被选中的男生的时间等级小于被选中的女生的时间等级”，假设这20个人上学互不影响，求事件发生的概率. 21．（1）设数据，，，…，的均值为，方差为，请利用已经学过的方差公式：来证明方差第二公式：； （2）已知，，，，，…，的方差为，其中． ，，…，，，，，，…，的方差为．比较与大小，并说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$