第13章 统计（单元测评卷）新高二数学沪教版

**基本信息** 以米兰冬奥会、AI大模型等时代情境为载体，全面覆盖统计抽样、数据特征、图表分析等核心知识，梯度设计适配暑假单元复习，培养数据观念与应用意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |填空题|12/54|样本容量、分层抽样、方差、百分位数|结合随机数表抽样（第2题）、茎叶图数据处理（第5题），夯实基础| |选择题|4/18|总体概念、抽样方法、数据特征判断|第16题以有放回抽样考平均数与方差，体现数学思维| |解答题|5/78|频率分布直方图、茎叶图分析、实际应用|第21题AI训练数据统计，第20题设备报警阈值模型，用数学语言表达现实问题|

第13章 统计 单元测评卷 建议用时：120分钟，满分：150分 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1．从全年级20个班中任取一个班，再从该班中任意抽取20名学生，考察他们本学期的期中考试的数学成绩，在这次抽样中样本容量为______. 2．现从编号为的50支水笔中抽取10支水笔进行书写长度检测，若从以下随机数表第1个数字开始由左向右读取，则抽取的第4支水笔的编号为________.（以下随机数表第7行）. 39832276  39918535  32591131  40469235  04982212  20671263 3．某学校高一、高二、高三学生人数比为，现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为42的样本，则应从高三年级抽取__________个学生． 4．某同学将全班某次数学考试的成绩整理成频率分布直方图后，将每个小矩形上方线段的中点连接起来，并将小矩形擦去，得到频率分布折线图（如图所示）．已知该同学绘制频率分布直方图时确定的极差为60，组距为10，据此估计此次考试成绩的平均数是__________．    5．已知抽样统计甲、乙两位同学8次数学成绩，绘制成如图所示的茎叶图，则成绩更稳定的那位同学成绩的方差为________． 6．某中学高三年级从甲、乙两个班级各选出8名学生参加数学竞赛，他们取得的成绩（满分100分）的茎叶图如图所示，其中甲班学生成绩的平均分是86，乙班学生成绩的中位数是83，则的值为________. 甲 乙 9 8 7 4 6 x 6 5 2 8 1 1 y 6 4 9 1 1 6 7．现有甲、乙两组数据，每组数据均由6个数组成，其中甲组数据的平均数为3，方差为5，乙组数据的平均数为5，方差为3.若将这两组数据混合成一组，则新的一组数据的方差为________. 8．米兰冬季奥运会于2026年2月7日至2月23日举行，奖牌榜前10名金牌数如下：18，12，10，10，8，8，8，6，5，5，则这组数据的第80百分位数为__________． 9．某校将学生分为5个队伍进行研学活动，这5个队伍的人数分别为：50、、55、45、，已知本次研学活动的总人数为250人，且各队人数的第40百分位数不小于48，则各队人数的第70百分位数的最大值是___________ 10．样本数据20，24，6，15，18，10，42，57，2，7的极差为，中位数为，则_____. 11．若一组样本数据，，，的平均数为2，方差为4，则数据，，，，，，，的方差为__________． 12．已知数据、、…、的平均数为3，方差为520，则、、…、的平均数为________． 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13、14每题4分，15、16每题5分）. 13．某高校研究人员希望调查该校大学生平均每天的自习时间．他调查了100名大学生，发现他们每天的平均自习时间是3.5h.这里的总体是（    ） A．该校的所有大学生 B．该校所有大学生的平均每天自习时间 C．所调查的100名大学生 D．所调查的100名大学生的平均每天自习时间 14．某公司甲、乙、丙、丁四个地区分别有150个、120个、180个、150个销售点.为了调查产品销售的情况，需从这600个销售点中抽取一个容量为60的样本，记这项调查为①；在丙地区中有20个特大型销售点，要从中抽取7个调查其收入和售后服务等情况，记这项调查为②.则完成①、②这两项调查宜采用的抽样方法依次是（ ） A．分层抽样法，系统抽样法 B．分层抽样法，简单随机抽样法 C．系统抽样法，分层抽样法 D．简单随机抽样法，分层抽样法 15．从某个品种的小麦中随机选取14株，测量麦穗长度（单位：），所得的样本数据用茎叶图表示如图，据此可估计该品种小麦麦穗长度情况，那么下列说法错误的是（    ） A．小麦麦穗长度的极差是3.9 B．小麦麦穗长度的中位数等于众数 C．小麦麦穗长度的中位数小于平均数 D．小麦麦穗长度的第75百分位数是10.6 16．一个盒子中装有大小相同、质地均匀的6个小球，这6个小球分别标有编号1，2，3，4，5，6，现从盒中有放回地任取一个球并记下编号，共取4次，得到一组编号组成的数据，若该组数据的平均数为2，则（    ） A．中位数可能为3 B．众数可能为4 C．极差可能为5 D．方差可能为1 三、解答题（本大题共5题，第17-19题每题14分，第20-21题每题18分，共78分）. 17．（14分）文明城市是反映城市整体文明水平的综合性荣誉称号，作为普通市民，既是文明城市的最大受益者，更是文明城市的主要创造者，我市为提高市民对文明城市建设的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：[40，50），[50，60），…，[90，100]，得到如图所示的频率分布直方图．    (1)求频率分布直方图中的值； (2)若从成绩位于区间[80，90）和[90，100]的答卷中，采用分层随机抽样，抽取7份，再从这7份中随机抽取两份，求这两份答卷的成绩都落在[80，90）的概率； (3)已知落在的平均成绩是56，方差是7，落在的平均成绩为65，方差是4，求两组成绩的总平均数和总方差 18．（14分）为了解高二学生阅读时间的分配情况，随机抽取了500名高二学生进行在线调查，得到了日平均阅读时间（单位：小时），并将样本数据分成九组，绘制成频率分布直方图． (1)求频率分布直方图中的值； (2)为进一步了解这500名学生的时间分配情况，从三组的学生中，采用分层抽样的方法抽取了10人．现从这10人中随机抽取3人，求在内的学生人数恰有2人的概率； (3)从这500名学生中随机抽取1人，记所抽取学生的日平均阅读时间在内为事件，所抽取学生的日平均阅读时间在内为事件，判断事件和是否互相独立，并说明理由． 19．（14分）为了比较两种治疗某病毒的药 (分别称为甲药， 乙药) 的疗效， 某医疗团队随机地选取了服用甲药的患者和服用乙药的患者进行研究， 并从服用甲药的治愈.患者和服用乙药的治愈患者中， 分别抽取了10名， 记录他们的治疗时间 (单位：天)， 统计 并绘制了如下茎叶图，    (1)从茎叶图看， 哪一种药的疗效更好， 并说明理由； (2)标准差除了可以用来刻画一组数据的离散程度外， 还可以刻画每个数据偏离平均水平的程度， 如果出现了治疗时间在之外的患者， 就认为病毒有可能发生了变异， 需要对该患者进行进一步检查， 若某服用甲药的患者已经治疗了 26 天还末痊愈， 请茎叶图中甲药的数据， 判断是否应该对该患者进行进一步检查? 参考数据：. 20．（18分）某工业安全检测系统发现，正常设备与故障设备在运行温度上有明显差异，经过长期监测统计，得到两类设备运行温度的频率分布直方图：      系统要设定一个报警阈值，当设备运行温度大于时判定为故障，发出警报，否则判定为正常.漏报率指实际设备故障但是未发出警报的概率，用表示；误报率指实际设备正常但是发出警报的概率，用表示.假设数据在组内均匀分布，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率.例如当报警阈值时，漏报率为故障设备运行温度在区间上的频率，故漏报率为. (1)求的值，并求出当报警阈值时误报率的值； (2)现从故障设备运行温度在与两个区间段内，按分层抽样的方式抽取5台设备，再从这5台设备中随机抽取2台设备，求这2台设备的运行温度在同一个区间段内的概率； (3)设，当时，求的解析式，并求在区间上的最小值. 21．（18分）随着DeepSeek大模型的全面落地，人工智能行业迎来结构性变革.某人工智能实验室记录了5月17日至23日的模型训练任务情况，如下表所示.例如：17日为数据清洗任务，训练耗时9小时，模型准确率提升，当日效率（模型准确率提升值与训练耗时的比值）为. 日期 17日 18日 19日 20日 21日 22日 23日 任务 数据清洗 模型调试 参数优化 轻度拟合 架构调整 算法优化 性能测试 训练耗时 9小时 12小时 14小时 12小时 14小时 12小时 14小时 准确率提升值 1.0％ 1.3％ 1.2% 0.9% 1.1% 1.0% 1.3% (1)写出训练耗时的平均数、中位数、标准差和极差； (2)从17日至23日这七天中，随机选取连续三天的数据，求这三天中至少有两天的当日效率不低于的概率； (3)该实验室24日完成最终部署，耗时超过10小时.记17日至20日这四天训练耗时的方差为日至24日这四天训练耗时的方差为.若，求24日的训练耗时. 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第13章 统计 单元测评卷 建议用时：120分钟，满分：150分 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1.20 2. 3 184. . 5 . 6. 137. 5 8. 11 9. 54 10. 11 1412. 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13、14每题4分，15、16每题5分）. 13. B 14. B 15.B16.D 三、解答题（本大题共5题，第17-19题每题14分，第20-21题每题18分，共78分）. 17．（14分）【详解】（1）由题意，解得：. （3分） （2）由题可知，成绩在区间的频数为：； 成绩在区间的频数为：. 利用分层抽样，从中抽取7份，成绩在的频数为，成绩在的频数为. 再从这7份答卷中随机抽取两份，这两份答卷的成绩都落在的概率为：. （7分） （3）因为落在与的频率比为， 所以，． （4分） 18．（14分）【详解】（1）频率分布直方图中，每个小矩形的面积=组距×频率密度=该组的频率， 所有小矩形面积之和等于1. 各组组距均为2，则：， 化简得：，解得：. （4分） （2）由题可知，样本总数为500人，组距为2， 则可计算得组频率为，人数为； 组频率为，人数为； 组频率为，人数为. 三组总人数为， 从中抽取10人，所以抽样比例为. 计算可得组抽人； 组抽人；组抽人. 从这10人中随机抽取3人，总基本事件数为：， 组有4人，从中选2人：， 其余1人从另外两组共人中选：. 则从10人中随机抽取3人，其中内的学生人数恰有2人的概率为： . （6分） （3）已知频率密度，计算可得出各组频率为： 组频率为，组频率为， 组频率为，组频率为， 组频率为，组频率为， 组频率为，组频率为， 组频率为. 事件：阅读时间在内，包括和两组，. 事件：阅读时间在内，包括、、、四组， . 事件：阅读时间同时满足和，即区间，. 若与独立，则. 计算可得， 因为，所以， 因此与互相独立. （4分） 19．（14分）【详解】（1）甲药的疗效更好, 理由一：从茎叶图可以看出, 有的叶集中在茎0,1上, 而服用乙药患者的治疗时间有的叶集中在茎1,2上, 还有的叶集中在茎3上, 所以甲药的疗效更好. 理由二：从茎叶图可以看出, 服用甲药患者的治疗的时间的中位数为 10 天, 而服用乙药患者的治疗时间的中位数为 12.5天, 所以甲药的疗效更好. 理由三: 从茎叶图可以看出, 服用甲药患者的治疗的时间的平均值为 10 天, 而服用乙药患 者的治疗时间的平均值为 15 天，所以甲药的疗效更好. （8分） （2）由茎叶图可知, 服用甲药患者的治疗时间的平均值和方差分别为 ， ， 则，而,应该对该患者进行进一步检查. （6分） 20．（18分）【详解】（1）依题意可得：，解得. 误报率为； （4分） （2）故障设备运行温度在与两个区间段内的数量之比为， 所以按分层抽样的方式抽取5台设备中，各自有3台和2台. 故这2台设备的运行温度在同一个区间段内的概率； （7分） （3）当时，， ， ∴. 所以当时，. （7分） 21．（18分）【详解】（1）将17日至23日的训练耗时数据由小到大排列为：， 平均数为（小时）； 中位数为12小时； 标准差（小时）. （4分） （2） 日期 17日 18日 19日 20日 21日 22日 23日 当日效率 0.1111 0.1083 0.0857 0.075 0.0786 0.0833 0.0929 从17日至23日这七天中，随机选取连续三天的数据，有5种选法， 其中至少有两天当日效率不低于的选法只有1种选法， 所以这三天中至少有两天的当日效率不低于的概率为. （6分） （3）17日至20日这四天训练耗时的平均数， 方差， 设24日的训练耗时为小时，21日至24日这四天训练耗时的平均数， 方差，由， 得，整理得，解得或，又， 所以24日的训练耗时为17小时. （8分） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第13章 统计 单元测评卷 建议用时：120分钟，满分：150分 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1．从全年级20个班中任取一个班，再从该班中任意抽取20名学生，考察他们本学期的期中考试的数学成绩，在这次抽样中样本容量为______. 【答案】20 【分析】先找出样本，即可求得样本容量. 【详解】从该班中任意抽取20名学生，考察他们本学期的期中考试的数学成绩， 样本为20名学生的数学成绩， 故在这次抽样中样本容量为20. 故答案为：20. 2．现从编号为的50支水笔中抽取10支水笔进行书写长度检测，若从以下随机数表第1个数字开始由左向右读取，则抽取的第4支水笔的编号为________.（以下随机数表第7行）. 39832276  39918535  32591131  40469235  04982212  20671263 【答案】 【分析】由随机数表法写出前4支水笔的编号，即可得. 【详解】由随机数表法，前4支水笔的编号依次为， 所以第4支水笔的编号为. 故答案为： 3．某学校高一、高二、高三学生人数比为，现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为42的样本，则应从高三年级抽取__________个学生． 【答案】18 【分析】根据分层抽样定义列式得结果. 【详解】根据题意，高三年级在总体中所占的比例为， 所以应从高三年级抽取人. 故答案为：18. 4．某同学将全班某次数学考试的成绩整理成频率分布直方图后，将每个小矩形上方线段的中点连接起来，并将小矩形擦去，得到频率分布折线图（如图所示）．已知该同学绘制频率分布直方图时确定的极差为60，组距为10，据此估计此次考试成绩的平均数是__________．    【答案】 【分析】利用频率分布折线图中的数据，结合求平均数的公式求解即可. 【详解】因为该同学绘制频率分布直方图时确定的极差为60，组距为10， 结合频率分布折线图可得各组的中点数据分别为， 所以此次考试成绩的平均数大约为 故答案为：. 5．已知抽样统计甲、乙两位同学8次数学成绩，绘制成如图所示的茎叶图，则成绩更稳定的那位同学成绩的方差为________． 【答案】 【分析】根据题意，由茎叶图分析读出甲乙的成绩，再由方差公式分别计算甲、乙的方差，结合方差的意义分析可得答案． 【详解】根据题意，甲同学的8次成绩依次为：76、77、77、87、89、90、91、93， 其平均数为, 其方差为 乙同学的8次成绩依次为：78、79、88、89、90、91、92、93， . 则乙同学的成绩较稳定，其方差为. 故答案是：． 6．某中学高三年级从甲、乙两个班级各选出8名学生参加数学竞赛，他们取得的成绩（满分100分）的茎叶图如图所示，其中甲班学生成绩的平均分是86，乙班学生成绩的中位数是83，则的值为________. 甲 乙 9 8 7 4 6 x 6 5 2 8 1 1 y 6 4 9 1 1 6 【答案】13 【分析】根据茎叶图计算中位数和平均数即可求解. 【详解】因为甲班学生成绩的平均分是86，所以, 因为乙班学生成绩的中位数是83，所以, 所以, 故答案为： 7．现有甲、乙两组数据，每组数据均由6个数组成，其中甲组数据的平均数为3，方差为5，乙组数据的平均数为5，方差为3.若将这两组数据混合成一组，则新的一组数据的方差为________. 【答案】5 【详解】设甲组数据分别为，乙组数据分别为. 甲组数据的平均数为3，方差为5， ，得；，得. 乙组数据的平均数为5，方差为3， ，得；，得. 两组数据混合成一组，新的一组数据的平均数为， 方差为 8．米兰冬季奥运会于2026年2月7日至2月23日举行，奖牌榜前10名金牌数如下：18，12，10，10，8，8，8，6，5，5，则这组数据的第80百分位数为__________． 【答案】11 【分析】利用百分位数的定义即可求解. 【详解】由题意得：，所以这组数据的第80百分位数为. 9．某校将学生分为5个队伍进行研学活动，这5个队伍的人数分别为：50、、55、45、，已知本次研学活动的总人数为250人，且各队人数的第40百分位数不小于48，则各队人数的第70百分位数的最大值是___________ 【答案】54 【分析】结合题意得到，再对取值范围进行分类讨论，最后结合总体百分位数的估计求解最大值即可. 【详解】由题意得，则，不妨设，则， 当时，，此时从小到大的排列顺序为，45，50，55，， 而，故第40百分位数为，不满足题意； 当时，，此时从小到大的排列顺序为45，，50，，55， 而，故第40百分位数为，则，于是， 而，可知第70百分位数是，即第70百分位数的最大值是54. 10．样本数据20，24，6，15，18，10，42，57，2，7的极差为，中位数为，则_____. 【答案】/ 【分析】将数据从小到大排列，求出数据的极差和中位数，即可求得答案. 【详解】由题意知样本数据从小到大排列为2，6，7，10，15，18，20，24，42，57， 故极差为，中位数为， 故， 故答案为： 11．若一组样本数据，，，的平均数为2，方差为4，则数据，，，，，，，的方差为__________． 【答案】14 【分析】先根据已知数据平均数和方差的定义解出两个关系，再由这两个关系来新数据的方差. 【详解】因为数据数据，，，的平均数为2，方差为4. 所以，即——① ， ， ， 即——②. 设数据，，，，，，，的平均数为. 设数据，，，，，，，的方差为. . 故答案为：14. 12．已知数据、、…、的平均数为3，方差为520，则、、…、的平均数为________． 【答案】 【分析】根据方差求出、、…、的和后可求它们的均值. 【详解】因为、、…、的平均数为3，方差为520， 故， 故， 故、、…、的平均数为， 故答案为：. 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13、14每题4分，15、16每题5分）. 13．某高校研究人员希望调查该校大学生平均每天的自习时间．他调查了100名大学生，发现他们每天的平均自习时间是3.5h.这里的总体是（    ） A．该校的所有大学生 B．该校所有大学生的平均每天自习时间 C．所调查的100名大学生 D．所调查的100名大学生的平均每天自习时间 【答案】B 【分析】由总体的概念可得答案. 【详解】某高校研究人员希望调查该校大学生平均每天的自习时间. 他调查了100名大学生，发现他们每天的平均自习时间是3.5h， 这里的总体是该校所有大学生的平均每天自习时间. 故选：B. 14．某公司甲、乙、丙、丁四个地区分别有150个、120个、180个、150个销售点.为了调查产品销售的情况，需从这600个销售点中抽取一个容量为60的样本，记这项调查为①；在丙地区中有20个特大型销售点，要从中抽取7个调查其收入和售后服务等情况，记这项调查为②.则完成①、②这两项调查宜采用的抽样方法依次是（ ） A．分层抽样法，系统抽样法 B．分层抽样法，简单随机抽样法 C．系统抽样法，分层抽样法 D．简单随机抽样法，分层抽样法 【答案】B 【分析】根据简单的随机抽样和分层抽样的概念及方法，进行判定，即可求解. 【详解】根据题意，第①项调查中，甲、乙、丙、丁四个地区情况不同，即总体中的个体差异较大， 符合分层抽样的概念与方法，应采用分层抽样的抽法进行抽取； 第②项调查中，从丙地区20个特大型销售点中抽7个，数量较小，且无差异， 可采用简单的随机抽样进行抽取. 故选：B. 15．从某个品种的小麦中随机选取14株，测量麦穗长度（单位：），所得的样本数据用茎叶图表示如图，据此可估计该品种小麦麦穗长度情况，那么下列说法错误的是（    ） A．小麦麦穗长度的极差是3.9 B．小麦麦穗长度的中位数等于众数 C．小麦麦穗长度的中位数小于平均数 D．小麦麦穗长度的第75百分位数是10.6 【答案】B 【分析】根据茎叶图可得这14组数据，然后求极差，中位数，众数，平均数，百分位数即可求解. 【详解】由题可知最大的数是11.7，最小的数是7.8，故极差为3.9，A正确； 中位数为：；众数为：9.7； 平均数为：     ， ，故第75百分位数为：10.6， 由以上数据可知：ACD正确，B错误， 故选：B. 16．一个盒子中装有大小相同、质地均匀的6个小球，这6个小球分别标有编号1，2，3，4，5，6，现从盒中有放回地任取一个球并记下编号，共取4次，得到一组编号组成的数据，若该组数据的平均数为2，则（    ） A．中位数可能为3 B．众数可能为4 C．极差可能为5 D．方差可能为1 【答案】D 【分析】由该组数据中位数为3时得到该组数据情况不满足和为8即可判断A；由该组数据和为8得到数据4出现的次数情况即可分析求解判断B；由极差为5得到该组数据情况不满足和为8即可判断C；通过举例可判断D. 【详解】设该组数据从小到大排列为，且，， 则由题， 对A，当该组数据中位数为3时，则该组数据满足， 则该组数据的和，与该组数据的和为8矛盾，故A错误； 对B，因为该组数据和为8，所以该组数据4的个数至多为一个， 当该组数据有一个数据4时，则另三个数据的和为4，故该组数据只能为， 此时该组数据众数为1，故该组数据众数不可能为4，故B错误； 对C，若该组数据的极差为5，则该组数据至少有一个6和一个1， 则该组数据的和，与该组数据的和为8矛盾， 所以该组数据极差不可能为5，故C错误； 对D，当该组数据为时， 该组数据方差为，故D正确. 三、解答题（本大题共5题，第17-19题每题14分，第20-21题每题18分，共78分）. 17．（14分）文明城市是反映城市整体文明水平的综合性荣誉称号，作为普通市民，既是文明城市的最大受益者，更是文明城市的主要创造者，我市为提高市民对文明城市建设的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：[40，50），[50，60），…，[90，100]，得到如图所示的频率分布直方图．    (1)求频率分布直方图中的值； (2)若从成绩位于区间[80，90）和[90，100]的答卷中，采用分层随机抽样，抽取7份，再从这7份中随机抽取两份，求这两份答卷的成绩都落在[80，90）的概率； (3)已知落在的平均成绩是56，方差是7，落在的平均成绩为65，方差是4，求两组成绩的总平均数和总方差 【详解】（1）由题意，解得：. （3分） （2）由题可知，成绩在区间的频数为：； 成绩在区间的频数为：. 利用分层抽样，从中抽取7份，成绩在的频数为，成绩在的频数为. 再从这7份答卷中随机抽取两份，这两份答卷的成绩都落在的概率为：. （7分） （3）因为落在与的频率比为， 所以，． （4分） 18．（14分）为了解高二学生阅读时间的分配情况，随机抽取了500名高二学生进行在线调查，得到了日平均阅读时间（单位：小时），并将样本数据分成九组，绘制成频率分布直方图． (1)求频率分布直方图中的值； (2)为进一步了解这500名学生的时间分配情况，从三组的学生中，采用分层抽样的方法抽取了10人．现从这10人中随机抽取3人，求在内的学生人数恰有2人的概率； (3)从这500名学生中随机抽取1人，记所抽取学生的日平均阅读时间在内为事件，所抽取学生的日平均阅读时间在内为事件，判断事件和是否互相独立，并说明理由． 【详解】（1）频率分布直方图中，每个小矩形的面积=组距×频率密度=该组的频率， 所有小矩形面积之和等于1. 各组组距均为2，则：， 化简得：，解得：. （4分） （2）由题可知，样本总数为500人，组距为2， 则可计算得组频率为，人数为； 组频率为，人数为； 组频率为，人数为. 三组总人数为， 从中抽取10人，所以抽样比例为. 计算可得组抽人； 组抽人；组抽人. 从这10人中随机抽取3人，总基本事件数为：， 组有4人，从中选2人：， 其余1人从另外两组共人中选：. 则从10人中随机抽取3人，其中内的学生人数恰有2人的概率为： . （6分） （3）已知频率密度，计算可得出各组频率为： 组频率为，组频率为， 组频率为，组频率为， 组频率为，组频率为， 组频率为，组频率为， 组频率为. 事件：阅读时间在内，包括和两组，. 事件：阅读时间在内，包括、、、四组， . 事件：阅读时间同时满足和，即区间，. 若与独立，则. 计算可得， 因为，所以， 因此与互相独立. （4分） 19．（14分）为了比较两种治疗某病毒的药 (分别称为甲药， 乙药) 的疗效， 某医疗团队随机地选取了服用甲药的患者和服用乙药的患者进行研究， 并从服用甲药的治愈.患者和服用乙药的治愈患者中， 分别抽取了10名， 记录他们的治疗时间 (单位：天)， 统计 并绘制了如下茎叶图，    (1)从茎叶图看， 哪一种药的疗效更好， 并说明理由； (2)标准差除了可以用来刻画一组数据的离散程度外， 还可以刻画每个数据偏离平均水平的程度， 如果出现了治疗时间在之外的患者， 就认为病毒有可能发生了变异， 需要对该患者进行进一步检查， 若某服用甲药的患者已经治疗了 26 天还末痊愈， 请茎叶图中甲药的数据， 判断是否应该对该患者进行进一步检查? 参考数据：. 【详解】（1）甲药的疗效更好, 理由一：从茎叶图可以看出, 有的叶集中在茎0,1上, 而服用乙药患者的治疗时间有的叶集中在茎1,2上, 还有的叶集中在茎3上, 所以甲药的疗效更好. 理由二：从茎叶图可以看出, 服用甲药患者的治疗的时间的中位数为 10 天, 而服用乙药患者的治疗时间的中位数为 12.5天, 所以甲药的疗效更好. 理由三: 从茎叶图可以看出, 服用甲药患者的治疗的时间的平均值为 10 天, 而服用乙药患 者的治疗时间的平均值为 15 天，所以甲药的疗效更好. （8分） （2）由茎叶图可知, 服用甲药患者的治疗时间的平均值和方差分别为 ， ， 则，而,应该对该患者进行进一步检查. （6分） 20．（18分）某工业安全检测系统发现，正常设备与故障设备在运行温度上有明显差异，经过长期监测统计，得到两类设备运行温度的频率分布直方图：      系统要设定一个报警阈值，当设备运行温度大于时判定为故障，发出警报，否则判定为正常.漏报率指实际设备故障但是未发出警报的概率，用表示；误报率指实际设备正常但是发出警报的概率，用表示.假设数据在组内均匀分布，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率.例如当报警阈值时，漏报率为故障设备运行温度在区间上的频率，故漏报率为. (1)求的值，并求出当报警阈值时误报率的值； (2)现从故障设备运行温度在与两个区间段内，按分层抽样的方式抽取5台设备，再从这5台设备中随机抽取2台设备，求这2台设备的运行温度在同一个区间段内的概率； (3)设，当时，求的解析式，并求在区间上的最小值. 【详解】（1）依题意可得：，解得. 误报率为； （4分） （2）故障设备运行温度在与两个区间段内的数量之比为， 所以按分层抽样的方式抽取5台设备中，各自有3台和2台. 故这2台设备的运行温度在同一个区间段内的概率； （7分） （3）当时，， ， ∴. 所以当时，. （7分） 21．（18分）随着DeepSeek大模型的全面落地，人工智能行业迎来结构性变革.某人工智能实验室记录了5月17日至23日的模型训练任务情况，如下表所示.例如：17日为数据清洗任务，训练耗时9小时，模型准确率提升，当日效率（模型准确率提升值与训练耗时的比值）为. 日期 17日 18日 19日 20日 21日 22日 23日 任务 数据清洗 模型调试 参数优化 轻度拟合 架构调整 算法优化 性能测试 训练耗时 9小时 12小时 14小时 12小时 14小时 12小时 14小时 准确率提升值 1.0％ 1.3％ 1.2% 0.9% 1.1% 1.0% 1.3% (1)写出训练耗时的平均数、中位数、标准差和极差； (2)从17日至23日这七天中，随机选取连续三天的数据，求这三天中至少有两天的当日效率不低于的概率； (3)该实验室24日完成最终部署，耗时超过10小时.记17日至20日这四天训练耗时的方差为日至24日这四天训练耗时的方差为.若，求24日的训练耗时. 【详解】（1）将17日至23日的训练耗时数据由小到大排列为：， 平均数为（小时）； 中位数为12小时； 标准差（小时）. （4分） （2） 日期 17日 18日 19日 20日 21日 22日 23日 当日效率 0.1111 0.1083 0.0857 0.075 0.0786 0.0833 0.0929 从17日至23日这七天中，随机选取连续三天的数据，有5种选法， 其中至少有两天当日效率不低于的选法只有1种选法， 所以这三天中至少有两天的当日效率不低于的概率为. （6分） （3）17日至20日这四天训练耗时的平均数， 方差， 设24日的训练耗时为小时，21日至24日这四天训练耗时的平均数， 方差，由， 得，整理得，解得或，又， 所以24日的训练耗时为17小时. （8分） 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $