精品解析：北京市第一六六中学2024-2025学年高三上学期期中测试数学试卷

北京市第一六六中学2024-2025学年第一学期高三期中数学试卷 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】解出两个集合中元素的范围，再由集合的基本运算得出结果. 【详解】解不等式得，解不等式得， 所以. 故选：A. 2. 在平面直角坐标系中，角以为始边，终边与单位圆交于点，则 =（ ） A B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】直接由三角函数的定义即可求解. 【详解】因为角以为始边，终边与单位圆交于点， 所以. 故选：B. 3. 下列函数中，是奇函数且在定义域内单调递减的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性，基本初等函数的单调性，逐项判断即可. 【详解】对于A，函数为奇函数，但在定义域上函数不单调，故A不符合； 对于B，的定义域为，，则为偶函数，故B不符合； 对于C，的定义域为，，则为奇函数，又函数在上均为增函数，故在上为增函数，故C不符合； 对于D，的定义域为，，则为奇函数，又函数在上为减函数，在上为增函数，故在上为减函数，故D符合. 故选：D. 4. 已知是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则// D. 若，则 【答案】C 【解析】 【分析】根据线面位置关系，对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择. 【详解】对A：若，则的位置关系不确定，故A错误； 对B：若，则的位置关系不确定，故B错误； 对C：若，则//，故C正确； 对D：若，则的位置关系不确定，故D错误. 故选：C. 5. 等差数列的首项为1，公差不为0．若成等比数列，则的前5项和为（ ） A. B. C. 5 D. 25 【答案】A 【解析】 【分析】首先代入等差数列的基本量，由等比数列的概念列式，最后代入求和公式，即可求解. 【详解】设等差数列的公差为，则，，， 由题意可知，，即， 解得：或（舍）， 则数列的前5项和. 故选：A 6. 设且,则“”是“”成立的 A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【详解】易知当时，成立，又当时，，所以“”是“”成立的充分而不必要条件.故选A. 7. 某同学用“五点法”画函数（，）在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表： 0 0 5 0 根据这些数据，要得到函数的图象，需要将函数的图象（ ） A. 向左平移个单位 B. 向右平移个单位 C. 向左平移个单位 D. 向右平移个单位 【答案】A 【解析】 【分析】根据表格中的数据，列出关于的方程组，解方程组得出函数的解析式，根据函数图象的变换即可得出结果. 【详解】由表中的数据可得， ，解得， 所以，， 将图象向左平移单位后 得到的图象. 故选：A 8. 如图，已知等腰中， ，，点P是边上的动点，则的值（    ） A. 为定值10 B. 为定值6 C. 不为定值，有最大值10 D. 不为定值，有最小值6 【答案】A 【解析】 【分析】先记的中点为，然后利用为等腰三角形，得到，再利用向量数量积的几何意义求解即可. 【详解】记的中点为，由题可知，，,， 所以. 故选：A 9. 风筝又称为“纸鸢”，由中国古代劳动人民发明于距今2000多年的东周春秋时期，相传墨翟以木头制成木鸟，研制三年而成，是人类最早的风筝起源.如图，是某高一年级学生制作的一个风筝模型的多面体ABCEF，D为AB的中点，四边形EFDC为矩形，且，，，当时，多面体ABCEF的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，先证得平面，在中，解三角形求得，再结合线面垂直判定定理证得平面，得到，设，利用，求得，结合，即可求解. 【详解】在中，因为且为的中点，所以， 又因为，且，平面， 所以平面， 在中，因且， 所以，且， 因为四边形为矩形，可得， 又因为，且平面，所以平面， 因为，所以平面， 又因为平面，所以， 设，在直角中，可得， 在直角中，可得， 因为，所以， 即，解得， 所以多面体的体积 . 故选：A. 10. 我们可以用下面的方法在线段上构造出一个特殊的点集：如图，取一条长度为的线段，第次操作，将该线段三等分，去掉中间一段，留下两段；第次操作，将留下的两段分别三等分，各去掉中间一段，留下四段；按照这种规律一直操作下去．若经过次这样的操作后，去掉的所有线段的长度总和大于，则的最小值为（ ） （参考数据：，） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据变化规律可知每次去掉的线段长度成等比数列，利用等比数列求和公式可求得第次后，去掉的线段长度总和为，由，结合对数运算可解不等式求得，由此可得结果. 【详解】第次操作，去掉的线段长度为；第次操作，去掉的线段长度为；第次操作，去掉的线段长度为，依次类推，可知第次操作去掉的线段长度为， 即每次去掉的线段长度成等比数列， 第次后，去掉的线段长度总和为， 由得：，， 的最小值为. 故选：D. 二、填空题 11. 函数的定义域是____________. 【答案】. 【解析】 【分析】 根据分母不为零、真数大于零列不等式组，解得结果. 【详解】由题意得， 故答案为：. 【点睛】本题考查函数定义域，考查基本分析求解能力，属基础题. 12. 设向量，且，则______. 【答案】## 【解析】 【分析】根据数量积的定义，向量共线的坐标表示，结合已知条件，求解即可. 【详解】设的夹角为， ，故，又，故，方向相同， 又，则，解得，满足题意. 故答案为：. 13. 在中，，，，则_________；为的中点，则的长为_________． 【答案】 ①. ## ②. 【解析】 【分析】利用正弦定理可求得；由余弦定理可求得，再次利用余弦定理得到. 【详解】由正弦定理得：；，； 由余弦定理知：， 解得：或，又为最大内角，，； 为中点，， ，解得：. 故答案为：；. 14. 已知函数的部分图象如图，，则=______， ______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】第一空：结合的范围即可求解；第二空：先得的范围，进一步由即可的值，再由整体代入法求对称轴方程即可求解. 【详解】由图可知或， 因为，所以只能，， 由图可知，存在且充分性，使得在上单调递减，注意到， 从而，所以只能， 令， 所以在轴左侧且离轴最近的函数的对称轴方程为， 由图可知. 故答案为：，. 15. 已知函数给出下列四个结论： ①当时，存在最小值； ②当时，存在唯一的零点； ③的零点个数为，则函数的值域为； ④当时，对任意，，. 其中所有正确结论的序号是______. 【答案】②③ 【解析】 【分析】①根据指数函数、二次函数性质求最值判断；②由函数零点概念求解零点判断；③讨论、、，分析各分段上零点的个数判断；④用特殊值，得到即可判断. 【详解】①当时，， 当时，在上单调递增，故的值域为； 当时，在上单调递减，在上单调递增，， 故的值域为；由知，无最小值，故①错误； ②当时，，令得，所以有唯一的零点0，故②正确； ③至多一个零点，至多有两个零点， 当时，若，则由， 可得或，故恒有两个零点； 时，若，则存在一个零点； 若，不存在零点， 所以时，零点个数可能为2或3个； 若，则，此时，即上无零点， 而，故有一个零点，即； 若，则，此时上，无零点， 时，也无解，故无零点，即； 综上，的值域为，故③正确； ④当时，，则， 所以，故④错误. 故答案为：②③. 【点睛】关键点点睛：对于③，注意结合指数函数、二次函数性质，应用分类讨论分析各分段零点的可能情况. 16. 如图，在四棱锥中，平面，底面是边长为2的正方形，，为棱的中点， （1）求证：平面； （2）直线与平面所成角的正弦值； （3）点到平面的距离. 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用中位线定理与线面平行的判定定理即可得证； （2）根据题意建立空间直角坐标系，求得平面的法向量，再利用向量法求线面角的正弦值即可得解； （3）根据（2）中平面的法向量，结合点到平面的距离的向量表示即可得解. 【小问1详解】 连接，再连接， 因为底面是正方形，所以是的中点， 又为棱的中点，所以， 又平面，平面，所以平面. 【小问2详解】 因为平面，底面正方形，即， 故以点为原点，以向量为轴的方向向量，建立空间直角坐标系， 则，，，，，， 故，， 设平面的法向量为，则， 令，则，故， 设直线与平面所成角为， 所以， 所以直线与平面所成角的正弦值为； 【小问3详解】 因为，平面的法向量为， 所以点到平面的距离为. 17. 在中，已知． （1）求角的大小； （2）若，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在且唯一确定，求面积． 条件①： ； 条件②：； 条件③：的周长是． 注：如果选择的条件不符合要求，第二问得分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，则按第一个解答计分. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据条件，利用余弦定理，即可求解； （2）若选①，注意到，角有两个，不符合条件；若选②，根据条件，利用正弦定理边转角，得到，，进而得到，即可求解；若选③，根据周长可得，利用余弦定理得到，进而可得有2个解，不合题意. 【小问1详解】 因为，得到， 由余弦定理可得，又， 可得. 【小问2详解】 若选①：，所以角有两个，不符合条件； 若选②：因为，由正弦定理可得， 在三角形中，可得， 所以，， 且， 由正弦定理可得，所以，解得，又， 所以， 若选③：的周长是，因为，可得， 即，由余弦定理，可得， 整理得到，则， 可知方程有两个不相等的实根，且， 可知方程方程有两个不相等的正实根，即边不唯一，不合题意， 综上所述：只有②符合条件，且此时三角形的面积为． 18. 某企业产品利润依据产品等级来确定：其中一等品、二等品、三等品的每一件产品的利润分别为100元、50元、50元．为了解产品各等级的比例，检测员从流水线上随机抽取了100件产品进行等级检测、检测结果如下表： 产品等级 一等品 二等品 三等品 样本数量（件） 50 30 20 （1）从流水线上随机抽取1件产品，估计这件产品是一等品的概率； （2）若从流水线上随机抽取3件产品，这3件产品的利润总额为．求的分布列和数学期望； （3）为了使每件产品的平均利润不低于80元，产品中的一等品率至少是多少？ 【答案】（1） （2）分布列见解析， （3） 【解析】 【分析】（1）利用古典概型求解概率即可. （2）将非一等品视为整体，利用二项分布求出概率，得到分布列和期望即可. （3）依据题意结合整体法得到不等式，求解概率即可. 【小问1详解】 设概率为，由题意得. 【小问2详解】 首先，我们把二等品和三等品视为一个整体， 则单次抽到一等品的概率为，抽到二等品和三等品这个整体的概率为， 当时，抽到的一定在二等品和三等品这个整体里， 所以， 当时，， 当时，， 当时，， 故分布列见下表， 所以数学期望为， 【小问3详解】 设产品中的一等品率为，故非一等品率为， 所以，解得， 产品中的一等品率至少是. 19. 已知椭圆过点，且． （1）求椭圆ω的方程； （2）设O为原点，过点的直线l与椭圆ω交于P，Q两点，且直线l与x轴不重合，直线AP，AQ分别与y轴交于M，N两点．求证为定值． 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）由题可得，进而得出，即可得出椭圆方程； （2）先考虑直线斜率不存在时，可得，当斜率存在时，设出直线方程，联立直线与椭圆，得出韦达定理，得出直线的方程，可表示出坐标，同理表示出的坐标，进而利用韦达定理可求出. 【小问1详解】 因为椭圆过点，所以. 因为，所以. 所以椭圆的方程为. 【小问2详解】 当直线斜率不存在时，直线的方程为. 不妨设此时，， 所以直线的方程为，即. 直线的方程为，即. 所以. 当直线斜率存在时，设直线方程为， 由，得. 依题意，. 设，，则，. 又直线的方程为， 令，得点的纵坐标为，即，同理. 所以 . 综上，为定值，定值为. 【点睛】方法点睛：解决直线与圆锥曲线相交问题的常用步骤： （1）得出直线方程，设交点为，； （2）联立直线与曲线方程，得到关于（或）的一元二次方程； （3）写出韦达定理； （4）将所求问题或题中关系转化为形式； （5）代入韦达定理求解. 20. 已知函数，． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）求的单调区间； （3）当时，若对于任意，不等式恒成立，求a的取值范围． 【答案】（1） （2）答案见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）由导数的意义求出切线的斜率，再把代入原函数求出，最后由点斜式写出直线方程即可； （2）分，和三种情况，求导后令导数为零，解出两个根，再由导数的正负确定单调区间即可； （3）含参数的函数不等式恒成立问题，先由单调性得到，，，解不等式得到参数的范围，再比较参数大小，确定范围即可. 【小问1详解】 因为，所以，， 所以，又， 所以曲线在点处的切线方程为，即． 【小问2详解】 因为，定义域为， 所以． 当时，令，即， 解得，，所以， 当x变化时，，的变化情况如下表所示， 单调递减 极小值 单调递增 极大值 单调递减 此时的单调递减区间为和，单调递增区间为， 当时，，易知时，，，， 此时的单调递减区间为，单调递增区间为， 当时，令，即， 解得，， 若，即时，当x变化时，，的变化情况如下表所示， x 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 此时的单调递增区间为和，单调递减区间为， 若，即时，恒成立，当且仅当时取等号， 此时在上单调递增， 若，即时，当x变化时，，的变化情况如下表所示， 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 此时的单调递增区间为和，单调递减区间为. 【小问3详解】 当，且时，由（2）知，在区间上单调递增，在区间上单调递减， 因为对于任意，不等式恒成立， 所以，，． 所以，得，，得； ，得． 因为，所以， 所以a的取值范围是． 21. 对于一个有穷正整数数列，设其各项为，各项和为，集合中元素的个数为. （1）写出所有满足的数列； （2）对所有满足的数列，求的最小值； （3）对所有满足的数列，求的最大值. 【答案】（1）1，2，1或3，1； （2）7； （3）511566. 【解析】 【分析】(1)由题意可直接列举出数列； (2)由题意可得，分、和分别求的最小值即可得答案； (3)由题意可得数列为的形式，设其中有项为2，有项为1，则有，所以，再利用二次函数的性质求的最大值即可. 【小问1详解】 解：当时，存在一组，满足， 又因为的各项均为正整数，且， 所以，即，且， 当时，满足条件的数列只能是：3,1； 当时，满足条件的数列不存在； 当时，满足条件的数列不存在； 当时，满足条件的数列只有1，2，1； 当时，满足条件的数列不存在； 所以数列： 1，2，1或3,1； 【小问2详解】 解：由题意可知，所以， ①当时，应有数列中各项均不相同，此时有； ②当时，由于数列中各项必有不同的数，进而有. 若，满足上述要求的数列中有四项为1，一项为2，此时，不符合， 所以； ③当时，同②可得； 综上所述，有，同时当为2，2，1，1，1时，， 所以的最小值为7； 【小问3详解】 解：①存在大于1的项，否则此时有； ②,否则将拆分成个1后变大； ③当时，有，否则交换顺序后变为，进一步有， 否则有，此时将改为，并在数列末尾添加一项1，此时变大； ④各项只能为2或1，否则由①②③可得数列中有存在相邻的两项，设此时中有项为2，则将改为2，并在数列末尾添加一项1后，的值至少变为； ⑤由上可得数列为的形式，设其中有项为2，有项为1，则有， 从而有， 由二次函数的性质可得，当且仅当时，最大，为511566. 【点睛】关键点睛：本题考查了有穷数列的前项和及满足集合中元素的个数，属于难点，在解答每一小问时，要紧扣还是一个正整数数列，进行逻辑推理，从而得出结论. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 北京市第一六六中学2024-2025学年第一学期高三期中数学试卷 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 在平面直角坐标系中，角以为始边，终边与单位圆交于点，则 =（ ） A. B. C. D. 3. 下列函数中，是奇函数且在定义域内单调递减的是（ ） A. B. C. D. 4. 已知是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则// D. 若，则 5. 等差数列的首项为1，公差不为0．若成等比数列，则的前5项和为（ ） A. B. C. 5 D. 25 6. 设且,则“”是“”成立的 A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 7. 某同学用“五点法”画函数（，）在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表： 0 0 5 0 根据这些数据，要得到函数的图象，需要将函数的图象（ ） A. 向左平移个单位 B. 向右平移个单位 C. 向左平移个单位 D. 向右平移个单位 8. 如图，已知等腰中， ，，点P是边上的动点，则的值（    ） A. 为定值10 B. 为定值6 C. 不为定值，有最大值10 D. 不为定值，有最小值6 9. 风筝又称为“纸鸢”，由中国古代劳动人民发明于距今2000多年的东周春秋时期，相传墨翟以木头制成木鸟，研制三年而成，是人类最早的风筝起源.如图，是某高一年级学生制作的一个风筝模型的多面体ABCEF，D为AB的中点，四边形EFDC为矩形，且，，，当时，多面体ABCEF的体积为（ ） A. B. C. D. 10. 我们可以用下面的方法在线段上构造出一个特殊的点集：如图，取一条长度为的线段，第次操作，将该线段三等分，去掉中间一段，留下两段；第次操作，将留下的两段分别三等分，各去掉中间一段，留下四段；按照这种规律一直操作下去．若经过次这样的操作后，去掉的所有线段的长度总和大于，则的最小值为（ ） （参考数据：，） A. B. C. D. 二、填空题 11. 函数定义域是____________. 12. 设向量，且，则______. 13. 在中，，，，则_________；为的中点，则的长为_________． 14. 已知函数的部分图象如图，，则=______， ______． 15. 已知函数给出下列四个结论： ①当时，存在最小值； ②当时，存在唯一零点； ③零点个数为，则函数的值域为； ④当时，对任意，，. 其中所有正确结论的序号是______. 16. 如图，在四棱锥中，平面，底面是边长为2的正方形，，为棱的中点， （1）求证：平面； （2）直线与平面所成角的正弦值； （3）点到平面的距离. 17. 在中，已知． （1）求角的大小； （2）若，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在且唯一确定，求的面积． 条件①： ； 条件②：； 条件③：的周长是． 注：如果选择的条件不符合要求，第二问得分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，则按第一个解答计分. 18. 某企业产品利润依据产品等级来确定：其中一等品、二等品、三等品的每一件产品的利润分别为100元、50元、50元．为了解产品各等级的比例，检测员从流水线上随机抽取了100件产品进行等级检测、检测结果如下表： 产品等级 一等品 二等品 三等品 样本数量（件） 50 30 20 （1）从流水线上随机抽取1件产品，估计这件产品是一等品的概率； （2）若从流水线上随机抽取3件产品，这3件产品的利润总额为．求的分布列和数学期望； （3）为了使每件产品的平均利润不低于80元，产品中的一等品率至少是多少？ 19 已知椭圆过点，且． （1）求椭圆ω的方程； （2）设O为原点，过点的直线l与椭圆ω交于P，Q两点，且直线l与x轴不重合，直线AP，AQ分别与y轴交于M，N两点．求证为定值． 20. 已知函数，． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）求的单调区间； （3）当时，若对于任意，不等式恒成立，求a的取值范围． 21. 对于一个有穷正整数数列，设其各项为，各项和为，集合中元素个数为. （1）写出所有满足的数列； （2）对所有满足的数列，求的最小值； （3）对所有满足的数列，求的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$