第一章 直角三角形的边角关系（压轴专练）（九大题型）-2024-2025学年九年级数学下册单元速记·巧练（北师大版）

第一章 直角三角形的边角关系（压轴专练）（九大题型） 题型1：解答证明题 1．如图，在矩形中，E为边上一点，平分，F为的中点，连接，，过点E作分别交，于G，H两点． (1)求证：； (2)求证：； (3)设，与相交于点M ，求． 2．已知边长为的正方形的对角线交于点，边所在的直线上有两个动点、，，和交于点． (1)如图1，当点运动到线段上时，和交于点，求的值； (2)在（1）的条件下，当时，求的长； (3)如图2，图3，若所在直线与所在直线交于点，所在直线与所在直线交于点，和的数量关系和位置关系为______，当点为的三等分点时，______． 题型2：旋转问题 3．如图，在中，，，点为的中点，连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，且交线段于点，的平分线交于点． (1)如图1，若，则线段与的数量关系是　　，＝　　； (2)如图2，在（1）的条件下，过点作交于点，连接，．求的值； (3)如图3，若，，过点作交于点，连接，，请求出的值（用含的式子表示）． 4．如图，在等腰直角中，，，点E为的中点，，将线段绕点E顺时针旋转，连接、；点D为中点，连接，直线与直线交于点N． (1)如图1，若，，求的长； (2)连接并延长至点M，使，连接． ①如图2，若，求证：； ②如图3，当点G、F、B共线时，，连接，，请直接写出的值． 5．在数学综合与实践活动课上，小红以“矩形的旋转”为主题开展探究活动． (1)操作判断 小红将两个完全相同的矩形纸和拼成“”形图案，如图①．试判断：的形状为______． (2)深入探究 小红在保持矩形不动的条件下，将矩形绕点旋转，若，． 探究一：①若矩形绕点顺时针旋转，当点恰好落在的延长线上时，设与相交于点，如图②，求的面积． 探究二：②若矩形绕点逆时针旋转，边与边交于点，连接，当时，如图③．请直接写出的值． 题型3：翻折问题 6．中，，点D在边上，连接，将绕点D顺时针旋转至，且点E落在直线上． (1)如图1，若，点E是线段的中点，若，求的长． (2)如图2，若，点M是线段的中点，连接、，求证：． (3)如图3，若，，同一平面内将沿着翻折得到，使得点P落在下方，连接，过点P做交于点H，点C关于的对称点为点，连接，，当最大时，直接写出的面积． 7．在综合与实践课上，王老师以“等腰直角三角形的折叠”为主题开展数学活动． (1)操作验算 如图1，是等腰直角三角形纸片，，D为上一点，．甲同学沿对折，使点C的对应点落在射线上，折痕分别交射线、射线于点E、点F． ①求的值，②若，求、的值； (2)迁移探究 如图2，是等腰直角三角形纸片，，D为线段上任意一点．乙同学沿对折，使点C的对应点落在射线上，折痕分别交射线、射线于点E、点F． 探究与的数量关系，并说明理由； (3)拓展应用 如图3，是等腰直角三角形纸片，，丙同学在取点D，使，沿对折，使点C的对应点落在射线上，折痕交线段于点E，连结，求证：． 8．折纸是富有趣味和有意义的一项活动，折纸中隐含着数学知识与思想方法，深入探究折纸，可以用数学的眼光发现，用数学的思维思考，用数学的语言描述，提升同学们的综合素养． (1)如图1，一张等边三角形纸片，点D是边上一动点，将沿翻折，点C的对应点为E．若，，求线段的长； (2)如图2，一张正方形纸片，，M是的中点，将四边形沿翻折得到四边形，连接，求线段的长； (3)如图3，一张菱形纸片，，点E是边上一动点，将沿翻折得到，射线与直线交于点M，若，，请直接写出线段的长． 题型4：动点问题 9．如图①，在矩形中，，，点E是边上一点，且．动点F在线段上运动，连结，过点F作，使点G和点C在直线两侧且，连结． (1)______； (2)如图②，连结，求证：； (3)求线段的最小值． (4)直接写出动点F在线段上从点C运动到点D过程中，所扫过的面积． 题型5：定值问题 10．如图，在菱形中，，为对角线，点E是边延长线上的任意一点，连结交于点F，平分交于点G． (1)求证； (2)若，求的值． (3)若，当的大小发生变化时，在上找一点T，使为定值，说明理由． 11．如图1，平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为，点C的坐标为，过点C作，垂足为点D，连接． (1)当时，求的长； (2)的大小是否为定值，如果是，求；如果不是，请说明理由； (3)坐标平面内有一点，且满足，求E点的坐标（用m的代数式表示）． 题型6：解直角三角形与平面坐标系 12．图1，在平面直角坐标系中，的直角边在轴的正半轴上，且，斜边，点为线段上一动点． (1)请直接写出点的坐标； (2)若动点满足，求此时点的坐标； (3)如图2，若点为线段的中点，连接，以为折痕，在平面内将折叠，点的对应点为，当时，求此时点的坐标； (4)如图3，若为线段上一点，且，连接，将线段绕点顺时针方向旋转得线段，连接，当取最小值时，请直接写出的最小值和此时线段扫过的面积． 13．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，直线过点，与轴交于点，，点是线段上一点（不与重合）． (1)求直线的解析式； (2)作于，于，连接． ①若与相似，求点的坐标； ②取的中点，直接写出周长的最小值． 题型7：最值问题 14．在中，，． (1)如图1，点D在上，于点D，连接，若，，，求线段的长； (2)如图2，点D在内部，连接，F是的中点，连接，若，求证：； (3)如图3，A点关于直线的对称点为，连接，点D是内部一动点且，若，当线段最短时，直接写出的面积． 15．如图，在中，． (1)如图1，为边的中点，连接，过点作于点，交于点，连接，若，，求的面积； (2)如图2，，、分别为、边上的点，且，连接交于点，若为的中点，连接、，猜想线段和之间存在的数量关系，并证明你的猜想； (3)如图3，为平面内一点，若，连接，以为边向上构造等边，连接并延长至点使，当最短时，请直接写出的值． 题型8：方程问题 16．如图在四边形中，，动点M从B点出发沿线段以每秒2个单位长度的速度向终点C运动；动点N同时从C点出发沿线段以每秒1个单位长度的速度向终点D运动．设运动的时间为t秒．    (1)的长为____________； (2)当时，求t的值； (3)试探究：t为何值时，为等腰三角形； (4)直接写出是锐角三角形时t持续的时长． 题型9：情景探究题 17．【问题呈现】如图①，点分别在正方形 的边上，试判断之间的数量关系．小聪同学延长至点，使 ，连接，可证，进而得到，从而得出之间的数量关系为_______．（不需要证明） 【类比引申】如图②，四边形中， ，，，点分别在边 上，请回答当与 满足什么关系时，仍有【问题呈现】中之间的数量关系，并给出证明． 【探究应用】如图③，在四边形中， ，，，， 点分别在线段上，且，，直接写出线段的长． 18．【探究发现】（1）如图1， 正方形中，E，F分别是，的中点， 连接，交于点 G， 证明： 【类比迁移】（2）如图2， 正方形中， E， F分别是边，上的点， 且 连接，交于点G．在上取一点H， 使 连接，， 证明： 【拓展应用】（3）如图3， E， H是菱形边，上的点， 连接， 点G在上， 连接， ，， 且，，，，，求的长及 的值． 19．【操作与思考】 （1）如图1，在正方形中，点E，F分别为，边上的点，且，且绕点A顺时针旋转得到，画出，并证明； 【尝试与应用】 （2）如图2，正方形边长为8，点E，F分别为，边上的点，．交于M，求证； 【拓展与创新】 （3）如图3，矩形中，，，点E，F分别为，边上的点，，交于M．若，直接写出的长． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第一章 直角三角形的边角关系（压轴专练）（九大题型） 题型1：解答证明题 1．如图，在矩形中，E为边上一点，平分，F为的中点，连接，，过点E作分别交，于G，H两点． (1)求证：； (2)求证：； (3)设，与相交于点M ，求． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）根据平行线的性质以及角平分线的定义即可得到，进而得到； （2）连接，根据等腰三角形的性质得出，再根据直角三角形斜边上中线的性质得出，再根据判定，即可得出，据此可得； （3）过取的中点，连接，与交于点，过点作于点，设，，则，，，，，由（2）中的，则为直角三角形，由勾股定理得：，中位线定理可知，求出，，再求出，因此的值． 【解析】（1）证明：∵四边形为矩形， ∴， ∴， ∴平分， ∴， ∴， ∴； （2）证明：连接，如图所示： ∵，F为的中点， ∴， ∴， 在矩形中，，， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∴； （3）解：过取的中点，连接，与交于点，过点作于点，如图所示： 设，， ∴，，， 在中，由勾股定理得：， ∵F为的中点， ∴， ∵， 由勾股定理得：， ∵F为的中点，点为的中点， ∴，， ∴， ∴， ∴ 解得：， ∵，，即，， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了矩形的性质，平行线的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，锐角三角函数值，相似三角形的判定与性质，熟练掌握矩形的性质锐角三角函数的求法是解题的关键． 2．已知边长为的正方形的对角线交于点，边所在的直线上有两个动点、，，和交于点． (1)如图1，当点运动到线段上时，和交于点，求的值； (2)在（1）的条件下，当时，求的长； (3)如图2，图3，若所在直线与所在直线交于点，所在直线与所在直线交于点，和的数量关系和位置关系为______，当点为的三等分点时，______． 【答案】(1)； (2)； (3)，；或． 【分析】（1）由正方形的性质可知，由等式的性质即可得，结合正方形性质和勾股定理求得，证明可得到答案； （2）先证明，计算出的长度，由的值，可得出的长度，最后算出的长度； （3）证明，由相似比以及可得为等腰直角三角形从而得解；当，利用得出、的长度，再通过为等腰直角三角形，得到，最后用勾股定理计算出；当时，同上可得． 【解析】（1）解；四边形为正方形， 平分，， ， ， ， ； 四边形为正方形，边长为， ，，，， ，， ， ∵， 又，，， ， ， ； （2）解：∵， ∴，， ， （已证） ， ； （3）解：如图，，， ，， ， ， ， ， ， 在中，，作， 不妨设，， ，， ，， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， 是等腰直角三角形， ，， 如图，同理可证为等腰直角三角形，，， 当时，， ， ，， ，，， ， ， ， 为等腰直角三角形，， ，， ， 同理可得：当时，，且相似比为，，， ，， ∴， ． 故答案为：，；或． 【点睛】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，等腰直角三角形的判定与性质，解直角三角形的相关计算，熟知正方形的性质与等腰直角三角形的性质的解题的关键． 题型2：旋转问题 3．如图，在中，，，点为的中点，连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，且交线段于点，的平分线交于点． (1)如图1，若，则线段与的数量关系是　　，＝　　； (2)如图2，在（1）的条件下，过点作交于点，连接，．求的值； (3)如图3，若，，过点作交于点，连接，，请求出的值（用含的式子表示）． 【答案】(1)； (2) (3) 【分析】（1）根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半可以得到，根据旋转的性质可以得到，则；又在中，含的直角三角形边之间的关系可得结论； （2）由，得，又，则四边形是菱形，又，可得结论：菱形是正方形；由题意可得，，，则，又，，所以； （3）过点作于点，由，得，所以，又，，，所以． 【解析】（1）解：在中，，点为的中点， ， ， ，是等边三角形， ， ， ， ． 线段绕点顺时针旋转得到线段， ， 故答案为：；． （2）解：由（1）可知，，，， ，， ， ， ，， ， ， 平分，， ， ， ， ， ， 四边形是菱形， ， 菱形是正方形． ，， ， ，， ， ， ，， ． （3）解：如图3，过点作于点， ， ， 是等边三角形，， ，， ，， ， ， 在中，，，， ，， ， ， ，， ， ， ， ， 平分，， ， ， ，， ， ， ，， ， ． 【点睛】本题主要考查相似三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，含的直角三角形的边角关系，正方形的性质与判定，旋转的性质，三角形内角和等内容，得到是解题关键． 4．如图，在等腰直角中，，，点E为的中点，，将线段绕点E顺时针旋转，连接、；点D为中点，连接，直线与直线交于点N． (1)如图1，若，，求的长； (2)连接并延长至点M，使，连接． ①如图2，若，求证：； ②如图3，当点G、F、B共线时，，连接，，请直接写出的值． 【答案】(1)3 (2)①证明见解析  ② 【分析】（1）连接，过点E作于J．求出，再求出，即可得解； （2）①连接，．先证明四边形是正方形，得出，设，则，求出，的长，即可得解；②可以假设，．则再求出，证明，即可得解． 【解析】（1）解：如图1中，连接，过点E作于J． ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴． （2）解：①如图2中，连接，． ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴E，G，N，F四点共圆， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形， ∴， 设，则， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． ②如图3中， ∵， ∴可以假设，．则， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质、旋转变换，正方形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、解直角三角形等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 5．在数学综合与实践活动课上，小红以“矩形的旋转”为主题开展探究活动． (1)操作判断 小红将两个完全相同的矩形纸和拼成“”形图案，如图①．试判断：的形状为______． (2)深入探究 小红在保持矩形不动的条件下，将矩形绕点旋转，若，． 探究一：①若矩形绕点顺时针旋转，当点恰好落在的延长线上时，设与相交于点，如图②，求的面积． 探究二：②若矩形绕点逆时针旋转，边与边交于点，连接，当时，如图③．请直接写出的值． 【答案】(1)等腰直角三角形 (2)探究一：；探究二： 【分析】（）正确，可得，，进而可得，据此即可求解； （）探究一：证明可得，又由三线合一可得，得到，在利用勾股定理可得，最后根据三角形的面积公式计算即可求解； 探究二：由补角性质可得，即可得，进而由平行线的性质得到，即到，得到，即得到，得到，进而由平行线的性质得到，即得，最后求出即可求解． 【解析】（1）解：∵四边形和是两个完全相同的矩形， ∴，，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴为等腰直角三角形， 故答案为：等腰直角三角形； （2）解：探究一：∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴， 在中，， ∴， 解得， ∴， ∴的面积； 探究二：∵，， ∴， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 即． 【点睛】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定，等腰三角形的判定和性质，平行线的性质，勾股定理，三角形函数，旋转的性质，掌握以上知识点是解题的关键． 题型3：翻折问题 6．中，，点D在边上，连接，将绕点D顺时针旋转至，且点E落在直线上． (1)如图1，若，点E是线段的中点，若，求的长． (2)如图2，若，点M是线段的中点，连接、，求证：． (3)如图3，若，，同一平面内将沿着翻折得到，使得点P落在下方，连接，过点P做交于点H，点C关于的对称点为点，连接，，当最大时，直接写出的面积． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】（1）作于，于，则四边形是矩形，得到，由等腰三角形的性质可得，由题意得出，推出、为等腰直角三角形，再由等腰直角三角形的性质计算得出，结合题意得出，求出，即可得解； （2）连接，延长到点，使得，连接、、，设交于，证明四边形是平行四边形，得出，，由题意得出为等边三角形，得到，，证明为等边三角形，得出，由旋转的性质可得，由等边对等角得出，推出，先证明，得出，再证明，得出，最后由等腰三角形的性质即可得证； （3）以为圆心，为半径作，过点作交于，连接交于，则为等腰直角三角形，证明出，由轴对称的性质得出，得到，则，推出的值最大时，的值最大，过点作于，则为等腰直角三角形，推出当的值最大时，的值最大，连接，由三角形三边关系可得：，推出当、、三点在同一直线上时，即时，的值最大，令交于，则，根据等腰直角三角形的性质求出，由题意得出为等边三角形，得到，连接，作于，则，由勾股定理得出，再由三角形面积公式计算即可得解． 【解析】（1）解：如图，作于，于， ， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴、为等腰直角三角形， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵为中点， ∴， ∴， ∴； （2）证明：如图，连接，延长到点，使得，连接、、，设交于， ， ∵点M是线段的中点， ∴， ∵， ∴ 四边形是平行四边形， ∴，， ∵，， ∴为等边三角形， ∴，， ∵， ∴，， ∴为等边三角形， ∴， 由旋转的性质可得， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）解：如图，以为圆心，为半径作，过点作交于，连接交于， ， ∵，， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵点C关于的对称点为点， ∴， ∴， ∴， ∴的值最大时，的值最大， 过点作于， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴当的值最大时，的值最大， 连接，由三角形三边关系可得：， ∴当、、三点在同一直线上时，即时，的值最大， 令交于，则， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴，， ∴ ∴， 同理可得为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴为等边三角形， ∴， 连接，作于，则， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、矩形的判定与性质、解直角三角形、等边三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 7．在综合与实践课上，王老师以“等腰直角三角形的折叠”为主题开展数学活动． (1)操作验算 如图1，是等腰直角三角形纸片，，D为上一点，．甲同学沿对折，使点C的对应点落在射线上，折痕分别交射线、射线于点E、点F． ①求的值，②若，求、的值； (2)迁移探究 如图2，是等腰直角三角形纸片，，D为线段上任意一点．乙同学沿对折，使点C的对应点落在射线上，折痕分别交射线、射线于点E、点F． 探究与的数量关系，并说明理由； (3)拓展应用 如图3，是等腰直角三角形纸片，，丙同学在取点D，使，沿对折，使点C的对应点落在射线上，折痕交线段于点E，连结，求证：． 【答案】(1)①；②， (2)，理由见解析 (3)见解析 【分析】本题主要考查了等腰直角三角形的性质，相似三角形的性质与判定，折叠的性质 ，三角形函数等知识点， （1）①先得出，得到；②过点D作交于点G，，,，； （2）过点D作交于点H，交于点K，，，得出，根据，得出，再根据，，得出；（3）过点A作的平行线交的延长线于点M，根据，得出，得到，再证明，得到，，得到，得出； 掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键． 【解析】（1）①由题意得：， ∵， ∴， ∴； ②过点D作交于点G， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴； （2），理由如下： 过点D作交于点H，交于点K， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ， ∴， ∵， ∴， ∵ 又∵， ∴； （3）过点A作的平行线交的延长线于点M， ∵，由（2）可得， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴，， 在和中， , ∴， ∴， ∴． 8．折纸是富有趣味和有意义的一项活动，折纸中隐含着数学知识与思想方法，深入探究折纸，可以用数学的眼光发现，用数学的思维思考，用数学的语言描述，提升同学们的综合素养． (1)如图1，一张等边三角形纸片，点D是边上一动点，将沿翻折，点C的对应点为E．若，，求线段的长； (2)如图2，一张正方形纸片，，M是的中点，将四边形沿翻折得到四边形，连接，求线段的长； (3)如图3，一张菱形纸片，，点E是边上一动点，将沿翻折得到，射线与直线交于点M，若，，请直接写出线段的长． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）过点作于点，由折叠知，，则，由为等边三角形得，解即可； （2）过点作交于点，可证明，而，则，设，则，，在中，由勾股定理得，，解得：，则，在中，由勾股定理得； （3）当点在延长线上时，连接，过点作的垂线，垂足为，过点作于点，则，先证明，再证明，最后证明，则，设，则，，在中，，，，由勾股定理得，，在中，由勾股定理得，，解得：；当点在线段上时，同理． 【解析】（1）解：过点作于点， 由折叠知， ∵， ∴， ∴， ∵为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴，由勾股定理得，为等腰直角三角形， ∴， ∴； （2）解：过点作交于点， ∵四边形是正方形， ∴， 由折叠得，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵点为中点， ∴， ∴， 设，则，， 在中，由勾股定理得，， 解得：， ∴， ∴在中，由勾股定理得，； （3）解：当点在延长线上时， 连接，过点作的垂线，垂足为，过点作于点，则， ∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴为等边三角形，， ∴，， 由翻折得，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴， 设，则，， 在中，， ∴， ∴同上可求，， 由勾股定理得，， 在中，由勾股定理得， 解得：； 当点在线段上时， 同上可得：， 设，则，，， 在中，由勾股定理得， 解得：． 综上所述，线段的长为或． 【点睛】本题考查了正方形的性质，等边三角形的判定与性质，解直角三角形，勾股定理，菱形的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握知识点，正确添加辅助线是解题的关键． 题型4：动点问题 9．如图①，在矩形中，，，点E是边上一点，且．动点F在线段上运动，连结，过点F作，使点G和点C在直线两侧且，连结． (1)______； (2)如图②，连结，求证：； (3)求线段的最小值． (4)直接写出动点F在线段上从点C运动到点D过程中，所扫过的面积． 【答案】(1) (2)见解析 (3) (4) 【分析】对于（1），根据特殊角的三角函数值可得角的度数； 对于（2），结合已知条件可求出，即可得，再根据“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”得出答案； 对于（3），先作，延长交的延长线于点K，可得，进而得出，可得，再根据勾股定理求出，由垂线段性质可知当时得出最小值，然后根据相似三角形的对应边成比例得出答案； 对于（4），在运动过程中扫过的面积是，再根据三角形的面积公式计算即可． 【解析】（1）在中，， ∴． 故答案为：； （2）∵四边形是矩形， ∴. ∵， ∴． 在中，， ∴， ∴， 即． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴； （3）如图所示，过点G作，交延长线于点H，延长交的延长线于点K， ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， 即． 在中， ∴， 即， ∴． 在中，． 根据垂线段最短，可知当时，最小值为， ∴， ∴， ∴， 即， ∴． 所以线段的最小值为． （4）如图所示，由题意可知点在射线上运动，点从点出发，到与点重合时结束，所扫过的面积是， 在中，， ∴， 所以． 【点睛】本题主要考查了特殊角的三角函数值，相似三角形的性质和判定，勾股定理，垂线段最短，作出辅助线构造相似三角形是解题的关键． 题型5：定值问题 10．如图，在菱形中，，为对角线，点E是边延长线上的任意一点，连结交于点F，平分交于点G． (1)求证； (2)若，求的值． (3)若，当的大小发生变化时，在上找一点T，使为定值，说明理由． 【答案】(1)见解析 (2) (3)见解析 【分析】（1）根据菱形的性质和平分，可得，即可证明； （2）连接交于点，交于点，根据勾股定理求出，由证明，则，所以，再由得，可由，得，可求得，进而求出； （3）过点作，交于点，则为定值，连接交于点，交于点，由可知，当的大小发生变化时，始终都有，由得，，所以，同理可得，再证明，利用相似的性质即可求出． 【解析】（1）证明：四边形是菱形， ， 平分， ， ； （2）解：连接交于点，交于点， 四边形是菱形， ，，，， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ； （3）解：如图，过点作，交于点，则T为所求，为定值，理由如下： ， 当的大小发生变化时，始终都有， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 为定值． 【点睛】本题考查菱形的性质，三角函数，平行线分线段成比例定理，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键． 11．如图1，平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为，点C的坐标为，过点C作，垂足为点D，连接． (1)当时，求的长； (2)的大小是否为定值，如果是，求；如果不是，请说明理由； (3)坐标平面内有一点，且满足，求E点的坐标（用m的代数式表示）． 【答案】(1) (2)是定值， (3) 【分析】（1）连接，证明，得到，再证明，列出比例式进行求解即可； （2）根据，得到，得到的角度不变，求出的正弦值即可； （3）易得轴，过点作于点，利用等角转换，结合锐角三角函数，分别表示出的长，利用，列出方程求出，即可． 【解析】（1）解：连接，如图： ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； （2）的大小是定值，理由如下： 由（1）知：， ∴， ∵的大小为定值， ∴的大小是定值， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）∵，， ∴轴， ∵，， ∴， ∴点在第二象限， 过点作于点，如图，则：， ∵轴， ∴， ∴， ， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查坐标与图形，勾股定理，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识点，熟练掌握相关知识点，利用数形结合的思想，进行求解，是解题的关键． 题型6：解直角三角形与平面坐标系 12．图1，在平面直角坐标系中，的直角边在轴的正半轴上，且，斜边，点为线段上一动点． (1)请直接写出点的坐标； (2)若动点满足，求此时点的坐标； (3)如图2，若点为线段的中点，连接，以为折痕，在平面内将折叠，点的对应点为，当时，求此时点的坐标； (4)如图3，若为线段上一点，且，连接，将线段绕点顺时针方向旋转得线段，连接，当取最小值时，请直接写出的最小值和此时线段扫过的面积． 【答案】(1) (2) (3) (4)的最小值为4， 【分析】（1）利用勾股定理求出即可； （2）如图1中，过点作于点．设，构建方程求出，再利用相似三角形的性质求出即可； （3）如图2中，设交于点．利用相似三角形的性质求出，再求出，可得结论； （4）如图3中，以为边向右作等边，连接，延长交轴于点，过点作于点．于点，过点作于．证明，推出，推出点在直线上运动，当点与重合时，的值最小． 【解析】（1）解：如图1中，在中，，，， ， ； （2）解：如图1中，过点作于点． ， ， 设， ，， ， ， ， ，， ， ， ， ， ； （3）解：如图2中，设交于点． ，， ， ， 由翻折的性质可知， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ，； （4）解：如图3中，以为边向右作等边，连接，延长交轴于点，过点作于点．于点，过点作于． ， ， ，， ， ， 点在直线上运动，当点与重合时，的值最小， ，， ， 四边形是矩形， ，， ，， ，， ， ， ， ， ， 的最小值为4， ，， 是等边三角形， ，即， 线段扫过的面积． 【点睛】本题属于三角形综合题，考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题． 13．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，直线过点，与轴交于点，，点是线段上一点（不与重合）． (1)求直线的解析式； (2)作于，于，连接． ①若与相似，求点的坐标； ②取的中点，直接写出周长的最小值． 【答案】(1) (2)①与相似，点的坐标为或；② 【分析】（1）根据一次函数与坐标轴的交点的计算方法可得，根据，可得，运用待定系数法即可求解； （2）①根据解直角三角形的计算方法可得，，，四边形是矩形，设，根据含角的直角三角形的性质可得，，，根据相似三角形的判定方法，分类讨论：当时，；当时，；结合含角的直角三角形的性质即可求解；②根据题意，四边形是矩形，对角线的交点即为的中点，分别取的中点，连接，则是的中位线，，则有的中点在线段上，作点关于的对称点，连接，当点三点共线时，的值最小，则的周长最小，根据点坐标即中点坐标的计算方法可得，，，则有，由勾股定理可得，由此即可求解． 【解析】（1）解：直线与轴交于点，与轴交于点， 令，则，令，则， ∴， ∴， ∵， ∴，则， ∵直线过点，与轴交于点， ∴， 解得，， ∴直线的解析式为：； （2）解：①∵， ∴，且， ∴， ∴， ∴，， ∵于，于， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， 如图所示， 设， ∴， 在中，，则，， 在中，，， ∵， ∴当时，， ∴，即， 解得，， ∴； 当时，，如图所示， ，即， 解得，， ∴； 综上所述，与相似，点的坐标为或； ②如图所示， 连接， ∵四边形是矩形， ∴对角线的交点即为的中点， 分别取的中点，连接，则是的中位线，， ∴的中点在线段上， 作点关于的对称点，连接， ∴， ∴的周长为， 当点三点共线时，的值最小，则的周长最小， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴出周长的最小值． 【点睛】本题主要考查待定系数法求一次函数解析式，相似三角形的判定和性质，解直角三角形的计算，含角的直角三角形的性质，中位线的判定和性质，矩形的判定和性质，勾股定理求最短路径的计算，掌握一次函数与几何图形的综合，相似三角形的判定和性质，解直角三角形的相关计算方法是解题的关键． 题型7：最值问题 14．在中，，． (1)如图1，点D在上，于点D，连接，若，，，求线段的长； (2)如图2，点D在内部，连接，F是的中点，连接，若，求证：； (3)如图3，A点关于直线的对称点为，连接，点D是内部一动点且，若，当线段最短时，直接写出的面积． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）如图1中，过点E作，交延长线于点Q，则四边形是矩形，解直角三角形求出即可解决问题； （2）如图2中，在上取一点M，使得，并且延长至点H，使，连接．利用全等三角形的性质证明，再证明即可解决问题； （3）如图3中，取的中点F，连接，过点F作于T．解直角三角形求出，，判断出当，D，F共线时，的值最小，此时，过点作于R，求出即可解决问题． 【解析】（1）解：如图1中，过点E作，交延长线于点Q，则四边形是矩形， ∴，． 在中，， ∴， 在中，， ∴， 在中，； （2）如图2中，在上取一点M，使得，并且延长至点H，使，连接． 在和中， ， ∴， ∴， ∵F是的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 又∵是的外角， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）如图3中，取的中点F，连接，过点F作于T． ∵，若， ∴． ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴ ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴当，D，F共线时，的值最小，此时， 过点作于R， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了矩形的判定与性质，解直角三角形，等腰直角三角形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形或全等三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题． 15．如图，在中，． (1)如图1，为边的中点，连接，过点作于点，交于点，连接，若，，求的面积； (2)如图2，，、分别为、边上的点，且，连接交于点，若为的中点，连接、，猜想线段和之间存在的数量关系，并证明你的猜想； (3)如图3，为平面内一点，若，连接，以为边向上构造等边，连接并延长至点使，当最短时，请直接写出的值． 【答案】(1)3 (2)；证明见解析 (3)． 【分析】（1）根据等腰三角形的性质得到，，求得，得到，根据三角函数的定义得到，求得，根据三角形的面积公式即可得到结论． （2）如图，在上截取，把绕着点顺时针旋转得到，延长交于，连接，根据等边三角形的性质得到，，根据全等三角形的性质得到，根据旋转的性质得到，，，，求得，根据全等三角形的性质得到，求得； （3）如图，把线段绕着点逆时针旋转得到线段，连接，，设的中点为，连接，根据等边三角形的性质得到，，得到，，根据全等三角形的性质得到，求得，根据等边三角形的性质得到，，求得，当点在线段上时，有最小值，最小值为，得到，，于是得到结论． 【解析】（1）解：，为边的中点， ，， ， ， ， ， ，， ， ，， ， ； ； （2）解：； 证明：如图2，在上截取， 把绕着点顺时针旋转得到，延长交于，连接， ，， 是等边三角形， ，， 在与中， ， ， ， ， 把绕着点顺时针旋转得到， ，，，， 是等边三角形， ，， ， ， 在与中， ， ∴， ∴，， ∴， ∵， ， ， ，为的中点， ， ； （3）解：； 如图3，把线段绕着点逆时针旋转得到线段，连接，，设的中点为，连接， 是等边三角形， ，， 以为边向上构造等边三角形， ，， ， ， ， ， ， ，， 点在以为圆心，2为半径的圆上， 是等边三角形，为的中点， ，， ， 当点在线段上时，有最小值，最小值为， ，为的中点时， ，， ， 的最小值为，， ， ． 【点睛】本题是三角形的综合题，考查了全等三角形的判定和性质，三角函数的定义，勾股定理，等边三角形的判定和性质，正确地作出辅助线是解题的关键． 题型8：方程问题 16．如图在四边形中，，动点M从B点出发沿线段以每秒2个单位长度的速度向终点C运动；动点N同时从C点出发沿线段以每秒1个单位长度的速度向终点D运动．设运动的时间为t秒．    (1)的长为____________； (2)当时，求t的值； (3)试探究：t为何值时，为等腰三角形； (4)直接写出是锐角三角形时t持续的时长． 【答案】(1) (2) (3)或或 (4)秒 【分析】（1）作，可推出四边形是矩形得分别在直角三角形求出即可求解； （2）作可得四边形是平行四边形，推出，；结合可得，推出，即可求解； （3）分类讨论时时，三种情况即可求解； （4）求出两种临界状态、下的的值即可求解； 【解析】（1）解：作，如图所示：    则， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴ ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴ （2）解：作交于点G，如图所示：    ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得： （3）解：时：      即：， 解得：； 时：作，    则， ∵， ∴， ∴， 即：， 解得：； 时：作，    则， ∵， ∴， ∴， 即：； 解得：； 综上所述：当或或时，为等腰三角形 （4）解：由（1）可知：， 当时，如图所示：   ， 解得：； 当时，如图所示：   ， 解得：； ∵点M从点B运动到图6中点M的位置的过程中；点M从图6中点M的位置运动到图7中点M的位置的过程中，是锐角三角形；点M从图7中点M的位置继续向点C运动时，， ∴是锐角三角形时t持续的时长为：秒 【点睛】本题考查了几何动点问题，涉及了相似三角形的性质与判定，解直角三角形，矩形的性质与判定，平行四边形的性质与判定，勾股定理，等腰三角形的定义和性质等等，利用分类讨论的所学求解是解题的关键． 题型9：情景探究题 17．【问题呈现】如图①，点分别在正方形 的边上，试判断之间的数量关系．小聪同学延长至点，使 ，连接，可证，进而得到，从而得出之间的数量关系为_______．（不需要证明） 【类比引申】如图②，四边形中， ，，，点分别在边 上，请回答当与 满足什么关系时，仍有【问题呈现】中之间的数量关系，并给出证明． 【探究应用】如图③，在四边形中， ，，，， 点分别在线段上，且，，直接写出线段的长． 【答案】问题星现：；类比引申：当时，仍有，证明见解析；探究应用：． 【分析】问题呈现：延长至点，使 ，连接，由正方形的性质得，，则，而，即可证明，得，，再由，推导出，即可证明，即得； 类比引申：当时，．如图②，延长到点，使，连接，先证明，得，，可推导，再证明，即得； 探究应用：延长到点，使，由，，得，可证明是等边三角形，得，进而得是等边三角形，延长交于点，则，，即得，，得到，即可得，进而得，即可得到． 【解析】解：问题星现：． 证明：如图①，延长至点，使 ，连接， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：； 类比引申：当时，仍有． 证明：如图②，延长到点，使，连接， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 探究应用：如图③，延长到点，使， ∵， ∴， ∵，，， ∴，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴是等边三角形， 延长交于点，则， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，补角性质，等边三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，解直角三角形，正确作出所需要的辅助线是解题的关键． 18．【探究发现】（1）如图1， 正方形中，E，F分别是，的中点， 连接，交于点 G， 证明： 【类比迁移】（2）如图2， 正方形中， E， F分别是边，上的点， 且 连接，交于点G．在上取一点H， 使 连接，， 证明： 【拓展应用】（3）如图3， E， H是菱形边，上的点， 连接， 点G在上， 连接， ，， 且，，，，，求的长及 的值． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）， 【分析】（1）先证明得到，从而可得到，即可得出结论； （2）先证明，得到，从而可证明得到，再由，，得到，继而证明，即可由相似三角形的性质得出结论； （3）先证明得到，，从而得到，，即，从而证得，得到，则，即可求得的长；再连接，过点H作于M，交延长线于N，然后证明得到，，再证明得到，则，即，求得，最后在中，由余弦定义即可求解． 【解析】（1）证明：∵正方形， ∴，， ∵E，F分别是，的中点， ∴，， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ （2）证明：∵正方形， ∴，， 在与中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴ （3）解：∵菱形， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴，即， ∴， ∴， ∵，，，， ∴， ∴； 连接，过点H作于M，交延长线于N，如图3， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵于M，交延长线于N， ∴， 在与中， ， ∴， ∴，， 在与中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 即． 【点睛】本题考查正方形的性质，菱形的性质，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，四边形内角和等于360度，求角的余弦值等知识，综合性强，为压轴题．在解（3）时正确作出辅助线构造全等三角形是关键． 19．【操作与思考】 （1）如图1，在正方形中，点E，F分别为，边上的点，且，且绕点A顺时针旋转得到，画出，并证明； 【尝试与应用】 （2）如图2，正方形边长为8，点E，F分别为，边上的点，．交于M，求证； 【拓展与创新】 （3）如图3，矩形中，，，点E，F分别为，边上的点，，交于M．若，直接写出的长． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3） 【分析】（1），由旋转性质可知，再证明，可得，由此证明结论； （2）延长到G，使得，连接，证明，得到，，，．过点F作，交的延长线于点N，得到，． 证明，结合正切函数证明即可解题． （3）模仿（2），延长到G，使得，连接，过点F作，交的延长线于点N，构造，再证明，可得，再延长交于点K，结合，证明，列出比例式计算即可． 【解析】（1）∵绕点A顺时针旋转得到，如图， ∴，， ∴，， ∵， ∴，即， 又∵， ∴， ∴， ∴， （2）①延长到G，使得，连接， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∴． 过点F作，交的延长线于点N， ∴，． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． ∴． ∴． ∵， ∴． （3）延长到G，使得，连接 ∴， ∵矩形ABCD中，，，， ∴， ， ∴， ∴，， ∴，． 过点F作，交的延长线于点N， ∴，． ∵， ∴．， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴． ∴． 延长交于点K， ∵， ∴， ∴． ∵四边形是矩形，，， ∴，， ∴， ∴， 整理，得， 解方程，得（不合题意舍去）， 综上所述，的长为． 【点睛】本题考查了四边形与全等三角形、相似三角形的综合，解题关键是通过旋转构造全等三角形或相似三角形，转化线段关系． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$