专题16 圆锥曲线（讲义+练习）-备战2025年高考数学一轮复习《重难点题型•高分突破》（上海专用）

专题16 圆锥曲线（练习） 一、填空题 1．已知椭圆的焦点坐标为，短轴长为4，则椭圆的标准方程为 ． 2．双曲线的右焦点坐标是 ． 3．抛物线的准线到焦点的距离为 4．已知双曲线的左右两个焦点分别是，双曲线上一点满足，则 ． 5．若双曲线的一条渐近线与直线平行，则 ． 6．斜率为1的直线被椭圆截得的弦长为，则直线的方程为 ． 7．已知椭圆的参数方程为，则该椭圆的离心率为 . 8．极坐标系中，点与点，表示同一个点，则 . 9．动点在曲线上移动，则点和定点连线的中点的轨迹方程是 . 10．已知，双曲线的两个焦点为，，若椭圆的两个焦点是线段的三等分点，则该双曲线的渐近线方程为 . 11．已知椭圆的左、右焦点分别为、.若P为椭圆上一点，且，则的面积为 . 12．已知、分别是双曲线的左、右焦点，动点在双曲线的左支上，点为圆上一动点，则的最小值为 . 13．已知点为双曲线右支上一点，分别为双曲线的左､右焦点，为的内心，若成立，则的值为 . 14．已知某椭圆的焦点是，，过点并垂直于x轴的直线与椭圆的一个交点为B，且，椭圆上不同的两点A、C满足条件：，，成等差数列，则弦AC中点的横坐标是 ，设弦AC的垂直平分线的方程为，求m的取值范围是 ． 二、单选题 15．方程表示椭圆的充要条件是（    ） A． B． C． D．或 16．已知双曲线与共焦点，则的渐近线方程为（    ）. A． B． C． D． 17．方程的两个根可分别作为（    ） A．椭圆和双曲线的离心率 B．两双曲线的离心率 C．两椭圆的离心率 D．以上皆错 18．已知直线l经过抛物线的焦点F，交抛物线于M，N两点，若在y轴负半轴上存在一点，使得为钝角，则t的取值范围为（    ） A． B． C． D． 19．已知方程的根大于，则实数满足（    ） A． B． C． D． 20．中国结是一种传统的民间手工艺术，带有浓厚的中华民族文化特色，它有着复杂奇妙的曲线．用数学的眼光思考可以还原成单纯的二维线条，其中的“”形对应着数学曲线中的双纽线．在平面直角坐标系中，把与定点、距离之积等于的动点的轨迹称为伯努利双纽线，记为曲线.关于曲线，有下列两个命题： ①曲线上的点的横坐标的取值范围是； ②若直线与曲线只有一个交点，则实数的取值范围为. 则（    ） A．①为真命题，②为假命题 B．①为假命题，②为真命题 C．①为真命题，②为真命题 D．①为假命题，②为假命题 三、解答题 21．已知双曲线为双曲线上的任意点. (1)求双曲线的两条渐近线方程及渐近线夹角的大小； (2)求证：点到双曲线的两条渐近线的距离的乘积是一个常数. 22．已知点在抛物线：上，点F为的焦点，且．过点F的直线与及圆依次相交于点A，B，C，D，如图． (1)求抛物线的方程及点M的坐标； (2)证明：为定值； 23．如图所示，一隧道内设双行线公路，其截面由长方形的三条边和抛物线的一段构成，为保证安全，要求行驶车辆顶部（设为平顶）与隧道顶部在竖直方向上高度之差至少要有0.5米. (1)以抛物线的顶点为原点O，其对称轴所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系（如图），求该抛物线的方程； (2)经过点C和焦点的直线l与抛物线交于另一点Q，求的值； (3)若行车道总宽度AB为7米，请计算通过隧道的车辆限制高度为多少米（精确到0.1米）？ 24．在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C：（，）的左、右焦点分别为、，是双曲线C上一点，且. (1)求双曲线C的方程； (2)过点P作直线l与双曲线C的两条渐近线分别交于R、S两点.若点P恰为线段RS的中点，求直线l的方程； (3)设斜率为-2的直线l与双曲线C交于A、B两点，点B关于坐标原点的对称点为D.若直线PA、PD的斜率均存在且分别为、，求证：为定值. 25．已知椭圆，设过点的直线交椭圆于M，N两点，交直线于点，点为直线上不同于点的任意一点. (1)椭圆的离心率为，求的值； (2)若，求的取值范围； (3)若，记直线，，的斜率分别为，，，问是否存在，，的某种排列，，（其中，使得，，成等差数列或等比数列？若存在，写出结论，并加以证明；若不存在，说明理由. ( 第 3 页 共 8 页 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题16 圆锥曲线（练习） 一、填空题 1．已知椭圆的焦点坐标为，短轴长为4，则椭圆的标准方程为 ． 【答案】 【分析】根据题意，结合椭圆的几何性质，求得的值，即可求得椭圆的标准方程. 【解析】由椭圆的焦点坐标为，可得， 又由椭圆的短轴长为4，可得，即，则， 所以椭圆的标准方程为. 故答案为：. 2．双曲线的右焦点坐标是 ． 【答案】 【分析】根据双曲线的定义求解. 【解析】因为，所以， 且焦点在x轴上，所以右焦点为. 故答案为：. 3．抛物线的准线到焦点的距离为 【答案】 【分析】根据题意，化为抛物线的标准方程，求得的值，即可得到答案. 【解析】由题意，抛物线可化为，可得， 所以抛物线的准线到焦点的距离为. 故答案为：. 4．已知双曲线的左右两个焦点分别是，双曲线上一点满足，则 ． 【答案】 【分析】首先根据可判断点只能在左支上，再根据双曲线的定义即可得结果. 【解析】在双曲线中，，，，因为， 所以点只能在左支上，则，得， 故答案为：18 5．若双曲线的一条渐近线与直线平行，则 ． 【答案】 【分析】根据双曲线的渐近线为求解即可. 【解析】双曲线的渐近线为， 又因为双曲线的一条渐近线与直线平行， 所以. 故答案为：. 6．斜率为1的直线被椭圆截得的弦长为，则直线的方程为 ． 【答案】 【分析】设直线，联立方程，利用韦达定理结合弦长公式运算求解. 【解析】设直线，直线与椭圆的交点为， 联立方程，消去y得， 则，解得， 可得， 由题意可得：， 解得， 所以直线的方程为. 故答案为：. 7．已知椭圆的参数方程为，则该椭圆的离心率为 . 【答案】/0.6 【分析】根据给定的参数方程求出椭圆的长短半轴长，再利用离心率公式计算作答. 【解析】依题意，椭圆的长半轴长，短半轴长，则该椭圆半焦距， 所以该椭圆的离心率. 故答案为： 8．极坐标系中，点与点，表示同一个点，则 . 【答案】/ 【分析】与点表示同一个点满足，，根据，对赋值即可求解. 【解析】由题，与点表示同一个点满足，， 所以，， 因为，所以当时，， 故答案为： 9．动点在曲线上移动，则点和定点连线的中点的轨迹方程是 . 【答案】 【分析】设，点P和定点连线的中点坐标为，求出坐标之间的关系，结合，即可求得答案. 【解析】设，点P和定点连线的中点坐标为， 则,又，∴， 代入得，， ∴，即点和定点连线的中点的轨迹方程是， 故答案为∶． 10．已知，双曲线的两个焦点为，，若椭圆的两个焦点是线段的三等分点，则该双曲线的渐近线方程为 . 【答案】 【分析】由已知条件求出与的关系，即可得双曲线的渐近线方程. 【解析】由题意可知，双曲线的焦距是椭圆焦距的3倍， 则有，化简得，则有， 所以该双曲线的渐近线方程为. 故答案为： 11．已知椭圆的左、右焦点分别为、.若P为椭圆上一点，且，则的面积为 . 【答案】 【分析】根据椭圆定义确定，结合条件，利用余弦定理求出，进而利用面积公式求出的面积. 【解析】 根据椭圆方程，有，，因为点在椭圆上，所以有 ，， 在中，由余弦定理有 ，所以，所以的面积为： 故答案为： 12．已知、分别是双曲线的左、右焦点，动点在双曲线的左支上，点为圆上一动点，则的最小值为 . 【答案】6 【分析】结合双曲线的定义以及圆的几何性质求得正确答案. 【解析】双曲线，，， 圆的圆心为，半径， 在双曲线的左支上，， 所以， 根据圆的几何性质可知，的最小值是， 所以的最小值是. 故答案为： 13．已知点为双曲线右支上一点，分别为双曲线的左､右焦点，为的内心，若成立，则的值为 . 【答案】/0.8 【分析】由条件结合内心的定义及三角形面积公式可得，再根据双曲线的定义化简可求. 【解析】设的内切圆半径为， 由双曲线的定义得 由题意得， 故， 又双曲线的， 代入上式得：， 故答案为：. 14．已知某椭圆的焦点是，，过点并垂直于x轴的直线与椭圆的一个交点为B，且，椭圆上不同的两点A、C满足条件：，，成等差数列，则弦AC中点的横坐标是 ，设弦AC的垂直平分线的方程为，求m的取值范围是 ． 【答案】 4 【分析】第一问：先求出椭圆方程，再由等差数列的性质及椭圆的焦半径公式求解； 第二问：由点差法求出，即可求解． 【解析】由椭圆的定义及条件知，，得，又， 所以， 得椭圆的方程为， 由点在椭圆上，得， 因为椭圆的右准线方程为：，离心率为：， 设 根据椭圆性质，有， 由成等差数列，得， 由此得出， 设弦的中点为， 则； 由在椭圆上，得，两式相减得，， 得， 将代入上式，得， 得（当时也成立）， 由点在弦的垂直平分线上，得， 所以， 由在线段（与关于轴对称）的内部，得， 得． 故答案为： 【点睛】方法点睛：第一问中，要用要椭圆的焦半径公式：（右焦点对应右准线）求解． 二、单选题 15．方程表示椭圆的充要条件是（    ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】利用椭圆定义与充要条件的定义计算即可得. 【解析】若方程表示椭圆， 则，解得或， 所以方程表示椭圆的充要条是或. 故选：D. 16．已知双曲线与共焦点，则的渐近线方程为（    ）. A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用双曲线的性质计算即可. 【解析】易知，其焦点坐标为， 对于双曲线，可得，其焦点坐标为， 故， 此时，则其渐近线方程为. 故选：D 17．方程的两个根可分别作为（    ） A．椭圆和双曲线的离心率 B．两双曲线的离心率 C．两椭圆的离心率 D．以上皆错 【答案】A 【分析】求出方程的根，根据椭圆和双曲线的离心率取值范围得到. 【解析】由方程解得， ，因为椭圆的离心率为，双曲线的离心率为， 故可以作为双曲线和椭圆的离心率. 故选：A 18．已知直线l经过抛物线的焦点F，交抛物线于M，N两点，若在y轴负半轴上存在一点，使得为钝角，则t的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出点坐标并设出直线l的方程，联立直线l与抛物线方程，利用韦达定理结合向量数量积的坐标表示求解作答. 【解析】抛物线的焦点，显然直线l的斜率存在，设其方程为， 由消去y得：，设，则， ，当且仅当且时取等号， ，，则 ，而存在一点，使得为钝角， 即存在一点，使得，因此，则，即有， 所以t的取值范围为. 故选：A 19．已知方程的根大于，则实数满足（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用换元，令，将问题转化为过定点的直线与抛物线的交点问题，即可求解. 【解析】令，原方程转化为， 问题转化为过定点的直线与实轴在轴上的双曲线的交点的横坐标要大于的问题， 因为直线过，所以只需要保证直线和右支相交，而与左支不相交，即可， 观察图形，可以发现两条渐近线的斜率是临界情况，所以. 故选：A 20．中国结是一种传统的民间手工艺术，带有浓厚的中华民族文化特色，它有着复杂奇妙的曲线．用数学的眼光思考可以还原成单纯的二维线条，其中的“”形对应着数学曲线中的双纽线．在平面直角坐标系中，把与定点、距离之积等于的动点的轨迹称为伯努利双纽线，记为曲线.关于曲线，有下列两个命题： ①曲线上的点的横坐标的取值范围是； ②若直线与曲线只有一个交点，则实数的取值范围为. 则（    ） A．①为真命题，②为假命题 B．①为假命题，②为真命题 C．①为真命题，②为真命题 D．①为假命题，②为假命题 【答案】B 【分析】利用定义求得曲线C的轨迹方程为，由关于的方程有解，求的取值范围判断命题①；先判断得直线与曲线必有一个公共点，再将代入曲线得到无非零解方程，求实数的取值范围判断命题②. 【解析】对于①：由伯努利双纽线的定义可知，曲线C的方程为: ， 化简得， 设，则 方程化为 设上述方程的两个根为,则至少有一个大于等于0 则需有 由于， ，解得， ①为假命题； 对于②：直线与曲线一定有公共点，若直线与曲线只有一个交点， 将代入曲线方程中得，方程无非零解， 即无实数解，故有， 所以，解得或，故②为真命题. 故选：B 【点睛】关键点点睛：本题解决的关键是利用平面轨迹方程的求法求得曲线C的轨迹方程，横坐标的取值范围由方程有解判断，直线与曲线的交点问题一般通过联立方程分析判断. 三、解答题 21．已知双曲线为双曲线上的任意点. (1)求双曲线的两条渐近线方程及渐近线夹角的大小； (2)求证：点到双曲线的两条渐近线的距离的乘积是一个常数. 【答案】(1)答案见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）利用双曲线的性质，结合向量夹角公式或直线的夹角公式计算即可； （2）利用点到直线的距离结合点在双曲线上化简即可. 【解析】（1）双曲线的渐近线方程为和， 法一：在两渐近线上分别取点， 则渐近线的夹角为； 法二：夹角为； （2）设是双曲线上任意一点，由（1）及点到直线的距离公式可知： 该点到两条渐近线的距离分别是和， 为双曲线上的点，点的坐标需要符合双曲线的方程， 即：， 它们的乘积是， 点到双曲线的两条渐线的距离的乘积是一个常数. . 22．已知点在抛物线：上，点F为的焦点，且．过点F的直线与及圆依次相交于点A，B，C，D，如图． (1)求抛物线的方程及点M的坐标； (2)证明：为定值； 【答案】(1)，或 (2)证明过程见解析 【分析】（1）根据抛物线的焦半径公式结合条件即得； （2）求出抛物线的焦点坐标，设直线的方程为，与抛物线方程联立，用一元二次方程根与系数的关系，结合抛物线定义可证明为定值. 【解析】（1）因为点在抛物线：（）上，点为抛物线的焦点，且， 所以：. 所以抛物线的方程为：， 由， 故点坐标为：或. （2）由（1）知：，显然直线的斜率存在，所以设直线方程为：， 由， 设，， 则， 由抛物线的定义得：，， 所以：， 即为定值1. 23．如图所示，一隧道内设双行线公路，其截面由长方形的三条边和抛物线的一段构成，为保证安全，要求行驶车辆顶部（设为平顶）与隧道顶部在竖直方向上高度之差至少要有0.5米. (1)以抛物线的顶点为原点O，其对称轴所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系（如图），求该抛物线的方程； (2)经过点C和焦点的直线l与抛物线交于另一点Q，求的值； (3)若行车道总宽度AB为7米，请计算通过隧道的车辆限制高度为多少米（精确到0.1米）？ 【答案】(1) (2) (3)4.0米 【分析】（1）设该抛物线的方程为，代入点可得答案； （2）直线与抛物线联立求出、可得答案； （3）设车辆高为h，代入抛物线方程可得答案. 【解析】（1）如图所示. 依题意，设该抛物线的方程为， 因为点在抛物线上，所以，， 所以该抛物线的方程为； （2），焦点，，设，，则， 由解得，，， 所以， 则； （3）设车辆高为h，则，故， 代入抛物线方程，得，解得， 所以通过隧道的车辆限制高度为4.0米. 24．在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C：（，）的左、右焦点分别为、，是双曲线C上一点，且. (1)求双曲线C的方程； (2)过点P作直线l与双曲线C的两条渐近线分别交于R、S两点.若点P恰为线段RS的中点，求直线l的方程； (3)设斜率为-2的直线l与双曲线C交于A、B两点，点B关于坐标原点的对称点为D.若直线PA、PD的斜率均存在且分别为、，求证：为定值. 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】（1）代入得到，由得到，联立即可得解； （2）由在直线上，且为中点，解出值即可； （3）设出直线的方程，联立直线与曲线的方程得到，结合题意解出即可. 【解析】（1）因为是双曲线C上一点，所以， 由，所以， 因为，所以， 即，联立解得：， 所以双曲线的方程为：. （2）由（1）知：双曲线的渐近线方程为，由图象可知直线的斜率存在并大于1， 不妨设，，由的方程为：， 将代入得：， 同理，由为中点，则， 所以，解得， 所以直线l的方程为. （3）设，点与点关于原点对称，所以， 设直线的方程为， 由，得， 由可知或， 则， 所以 ， 由题意知：， 所以， 所以为定值. 【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下： （1）设直线方程，设交点坐标为； （2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，注意的判断； （3）列出韦达定理； （4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式； （5）代入韦达定理求解. 25．已知椭圆，设过点的直线交椭圆于M，N两点，交直线于点，点为直线上不同于点的任意一点. (1)椭圆的离心率为，求的值； (2)若，求的取值范围； (3)若，记直线，，的斜率分别为，，，问是否存在，，的某种排列，，（其中，使得，，成等差数列或等比数列？若存在，写出结论，并加以证明；若不存在，说明理由. 【答案】(1) (2) (3)，，或，，成等差数列 【分析】（1）根据题意可得，结合，求得，进而求得； （2）设点，表示出，结合可得，结合可得不等式，即可求得答案； （3）设点，，①若直线斜率为0，直接验证；②直线斜率不为0，设直线，，，则，，，与椭圆方程联立，结合韦达定理求解. 【解析】（1）由题意知，，故， 又离心率，故，于是. （2）设点，其中，且， 则， 由，得， ，，，，，，只需， 又，故， 所以的取值范围是. （3），，或，，成等差数列，证明如下： 若，则，设点，. ①若直线斜率为0，则点，不妨令点，， 则，，，此时，，的任意排列，，均不成等比数列，，，或，，成等差数列. ②直线斜率不为0，设直线，，，则点， 由得，， 故，， 因为，，， 所以 ， 所以，，或，，成等差数列. 综合上述，，，或，，成等差数列. 【点睛】关键点睛：本题第三问与数列进行了综合，关键在于判断出结论，进而证明.先由直线斜率为0时，直接验证，，或，，成等差数列；直线斜率不为0时，结合直线方程联立椭圆方程，利用根与系数的关系结合进行化简验证. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！第 1 页 共 16 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题16 圆锥曲线（讲义） Ⅰ、椭圆 一、椭圆 平面内与两个定点的距离之和等于常数（）的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距，记作，定义用集合语言表示为： 注意：当时，点的轨迹是线段；当时，点的轨迹不存在． 二、椭圆的性质 焦点的位置 焦点在轴上 焦点在轴上 图形 标准方程 统一方程 参数方程 第一定义 到两定点的距离之和等于常数2，即（） 范围 且 且 顶点 、 、 、 、 轴长 长轴长，短轴长 长轴长，短轴长 对称性 关于轴、轴对称，关于原点中心对称 焦点 、 、 焦距 离心率 对于过椭圆上一点的切线方程，只需将椭圆方程中换为，换为可得 焦半径最大值，最小值 常用结论 椭圆的焦点三角形 椭圆上的点P(x0，y0)与两焦点构成的△PF1F2叫做焦点三角形．如图所示，设∠F1PF2＝θ. (1)当P为短轴端点时，θ最大，最大． (2) ＝|PF1||PF2|sin θ＝b2tan ＝c|y0|. (3)|PF1|max＝a＋c，|PF1|min＝a－c. (4)|PF1|·|PF2|≤2＝a2. (5)4c2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cos θ. 三、直线与椭圆 1．直线与椭圆的位置判断 将直线方程与椭圆方程联立，消去y(或x)，得到关于x(或y)的一元二次方程，则直线与椭圆相交⇔Δ>0；直线与椭圆相切⇔Δ＝0；直线与椭圆相离⇔Δ<0. 2．弦长公式 设直线与椭圆的交点坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则|AB|＝|x1－x2|＝ 或|AB|＝|y1－y2|＝，k为直线斜率且k≠0. 常用结论 已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)． (1)通径的长度为. (2)过左焦点的弦AB，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则焦点弦|AB|＝2a＋e(x1＋x2)；过右焦点弦CD，C(x3，y3)，D(x4，y4)，则焦点弦|CD|＝2a－e(x3＋x4)．(e为椭圆的离心率) (3)A1，A2为椭圆的长轴顶点，P是椭圆上异于A1，A2的任一点，则. (4)AB是椭圆的不平行于对称轴的弦，O为原点，M 为AB的中点，则kOM·kAB＝－. (5)过原点的直线交椭圆于A，B两点，P是椭圆上异于A，B的任一点，则kPA·kPB＝－. (6)点P(x0，y0)在椭圆上，过点P的切线方程为＋＝1. Ⅱ、双曲线 一.双曲线的定义 平面内与两个定点F1，F2的距离差的绝对值等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫双曲线.这两个定点叫双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距.其数学表达式：集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数且a>0，c>0. (1)若a<c，则集合P为双曲线； (2)若a＝c，则集合P为两条射线； (3)若a>c，则集合P为空集. 二．双曲线的标准方程和几何性质 标准方程 －＝1(a＞0，b＞0) －＝1(a＞0，b＞0) 性质 图形 焦点 F1(－c，0)，F2(c，0) F1(0，－c)，F2(0，c) 焦距 |F1F2|＝2c 范围 x≤－a或x≥a，y∈R y≤－a或y≥a，x∈R 对称性 对称轴：坐标轴；对称中心：原点 顶点 A1(－a，0)，A2(a，0) A1(0，－a)，A2(0，a) 轴 实轴：线段A1A2，长：2a；虚轴：线段B1B2， 长：2b；实半轴长：a，虚半轴长：b 离心率 e＝∈(1，＋∞) 渐近线 y＝±x y＝±x a，b，c关系 c2＝a2＋b2(c＞a＞0，c＞b＞0) 三.等轴双曲线 实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线，其渐近线方程为y＝±x，离心率为e＝. 四．直线与双曲线的位置关系和弦长 1.判断直线与双曲线交点个数的方法：将直线方程代入双曲线方程，消元，得关于x或y的一元二次方程．当二次项系数等于0时，直线与双曲线相交于某支上一点，这时直线平行于一条渐近线；当二次项系数不等于0时，用判别式Δ来判定． 2.弦长公式 设直线y＝kx＋b与双曲线交于A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝ |x1－x2|＝·. 温馨提示： 一．求标准方程 1.定义法：根据双曲线的定义确定a2，b2的值，再结合焦点位置，求出双曲线方程，即“先定型，再定量” 2.待定系数法：先确定焦点在x轴还是y轴上，设出标准方程，再由条件确定a2，b2的值，即“先定型，再定量”，如果焦点的位置不好确定，可将双曲线的方程设为－＝λ(λ≠0)或mx2－ny2＝1(mn>0)，再根据条件求解． 3.常用设法：①与双曲线－＝1共渐近线的方程可设为－＝λ(λ≠0)； ②若双曲线的渐近线方程为y＝±x，则双曲线的方程可设为－＝λ(λ≠0)． 二.求双曲线离心率或其取值范围的方法 1.直接求出a，c的值，利用离心率公式直接求解. 2.列出含有a，b，c的齐次方程(或不等式)，借助于b2＝a2－c2消去b，转化为含有e的方程(或不等式)求解. 3.双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的渐近线可由－＝0即得两渐近线方程±＝0. 4.双曲线的渐近线的相关结论 (1)若双曲线的渐近线方程为y＝±x(a＞0，b＞0)，即±＝0，则双曲线的方程可设为－＝λ(λ≠0). (2)双曲线的焦点到其渐近线的距离等于虚半轴长b. (3)双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的渐近线y＝±x的斜率k与离心率e的关系：e＝＝. 三.圆锥曲线的焦点三角形的相关结论 (1)焦点三角形：椭圆上的点P(x0，y0)与两焦点构成的△PF1F2叫做焦点三角形，∠F1PF2＝θ，△PF1F2的面积为S，则在椭圆＋＝1(a＞b＞0)中 ①当P为短轴端点时，θ最大. ②S＝|PF1||PF2|·sin θ＝b2tan ＝c|y0|，当|y0|＝b时，即点P为短轴端点时，S取最大值，最大值为bc. ③焦点三角形的周长为2(a＋c). (2)若P是双曲线上不同于实轴两端点的任意一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，则S△PF1F2＝，其中θ为∠F1PF2. Ⅲ、抛物线 1．抛物线的概念 把平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线． 2．抛物线的标准方程和简单几何性质 标准方程 y2＝2px(p>0) y2＝－2px(p>0) x2＝2py(p>0) x2＝－2py(p>0) 图形 范围 x≥0，y∈R x≤0，y∈R y≥0，x∈R y≤0，x∈R 焦点 准线方程 x＝－ x＝ y＝－ y＝ 对称轴 x轴 y轴 顶点 (0,0) 离心率 e＝1 常用结论 抛物线焦点弦的几个常用结论 设AB是过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 (1)x1x2＝，y1y2＝－p2； (2)若A在第一象限，B在第四象限，则|AF|＝，|BF|＝，弦长|AB|＝x1＋x2＋p＝(α为弦AB的倾斜角)； (3)＋＝； (4)以弦AB为直径的圆与准线相切； (5)以AF或BF为直径的圆与y轴相切； (6)过焦点弦的端点的切线互相垂直且交点在准线上； (7)通径：过焦点与对称轴垂直的弦长等于2p. Ⅳ、极坐标系与参数方程 1．极坐标系 在平面内取一个定点O，叫做极点；自极点O引一条射线Ox，叫做极轴；再选一个长度单位，一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系． 设M是平面内任意一点，极点O与点M的距离|OM|叫做点M的极径，记为ρ；以极轴Ox为始边，射线OM为终边的角xOM叫做点M的极角，记为θ，有序数对(ρ，θ)叫做点M的极坐标，记为M(ρ，θ)． 2. 直角坐标与极坐标的互化 把直角坐标系的原点作为极点，x轴正半轴作为极轴，且在两坐标系中取相同的长度单位．设M是平面内的任意一点，它的直角坐标、极坐标分别为(x，y)和(ρ，θ)，则 ，. 3．直线的极坐标方程 (1)直线过极点：θ＝θ0和θ＝π＋θ0； (2)直线过点M(a，0)且垂直于极轴：ρcos θ＝a； (3)直线过M(b，)且平行于极轴：ρsin θ＝b． 4．圆的极坐标方程 (1)圆心在极点，半径为R的圆的极坐标方程为ρ＝R. (2)圆心在极轴上的点(a,0)处，且过极点O的圆的极坐标方程为ρ＝2acos θ. (3)圆心在点处，且过极点O的圆的极坐标方程为ρ＝2asin θ. 5．参数方程和普通方程的互化 (1)曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式，一般地，可以通过消去参数，从参数方程得到普通方程． (2)如果知道变数x，y中的一个与参数t的关系，例如x＝f(t)，把它代入普通方程，求出另一个变数与参数的关系y＝g(t)，那么就是曲线的参数方程，在参数方程与普通方程的互化中，必须使x，y的取值范围保持一致． 6．直线、圆和圆锥曲线的参数方程 名称 普通方程 参数方程 直线 y－y0＝k(x－x0) (t为参数) 圆 (x－x0)2＋(y－y0)2＝R2 (θ为参数且0≤θ≤2π) 椭圆 ＋＝1(a>b>0) (t为参数且0≤t≤2π) 抛物线 y2＝2px(p>0) (t为参数) 双曲线 －＝1(a＞0，b＞0) (θ为参数) ( 第 1 页 共 10 页 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$