专题15 直线与圆的方程（讲义+练习）-备战2025年高考数学一轮复习《重难点题型•高分突破》（上海专用）

专题15 直线与圆的方程（练习） 一、填空题 1．经过点、两点的直线的倾斜角为 . 2．已知直线的倾斜角比直线的倾斜角小，则的斜率为 ． 3．若直线的倾斜角为且在轴上的截距为，则直线的一般方程是 . 4．已知直线l：，绕着它与x轴的交点逆时针旋转90°，得到直线，则直线的点法式方程为 . 5．直线：，：它们的夹角为 6．若直线与直线所成角的余弦值为，则实数 . 7．直线经过的定点坐标为 . 8．已知为任意实数，直线的倾斜角的范围是 . 9．经过点且与圆相切的直线方程为 . 10．已知直线与圆相交于、两点，则的值为 . 11．已知圆：和圆：的公共弦所在直线经过原点，则实数a的值为 ． 12．直线与曲线有两个不同的交点，则实数b的取值范围是 ． 13．已知点，点是直线上的动点，则的最大值为 . 14．如图，已知直线与轴和轴分别交于点，，从点射出的光线经直线反射后再射到轴上，最后经轴反射后又回到点，则光线所经过的路程是 . 15．设点是：上的动点，点是直线：上的动点，记，则的最小值是 ． 16．已知点和圆上两个不同的点，，满足，是弦的中点， 给出下列四个结论： ①的最小值是4； ②点的轨迹是一个圆； ③若点，点，则存在点，使得； ④△面积的最大值是． 其中所有正确结论的序号是 ． 二、单选题 17．直线和直线互相垂直，则实数的值为（    ） A． B． C．或 D．或 18．点与圆上任意一点连线的中点的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 19．圆：与圆：的公切线有且仅有（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 20．唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在位置为，若将军从点处出发，河岸线所在直线方程为，则“将军饮马”的最短总路程为（    ） A． B．5 C． D． 21．在平面直角坐标系中，圆，若曲线上存在四个点，过动点作圆的两条切线，为切点，满足，则k的值不可能为（    ） A． B． C． D． 22．已知动圆的方程为，其中为常数，，有下列两个命题： ①存在，使圆与圆相切； ②对任意，直线上都存在点，圆上都存在两点、，使.则（    ） A．①②都为真命题 B．①为真命题，②为假命题 C．①为假命题，②为真命题 D．①②都为假命题 三、解答题 23．已知直线，直线． (1)若，求实数的值； (2)若，求实数的值． 24．已知直线l：及点． (1)求与直线l有相同的方向向量，且经过点A的直线的点法式方程； (2)求与直线l垂直，且经过点A的直线的点法式方程． 25．已知直线，圆 (1)证明直线与圆恒相交； (2)若是圆上任意一点，求的取值范围． 26．规定：在桌面上，用母球击打目标球，使目标球运动，球的位置是指球心的位置，球A是指该球的球心点A．两球碰撞后，目标球在两球的球心所确定的直线上运动，目标球的运动方向是指目标球被母球击打时，母球球心所指向目标球球心的方向．所有的球都简化为平面上半径为1的圆，且母球与目标球有公共点时，目标球就开始运动，在桌面上建立平面直角坐标系，解决下列问题： (1)如图1，设母球A的位置为，目标球B的位置为，要使目标球B向处运动，求母球A的球心运动的直线方程； (2)如图2，若母球A的位置为，目标球B的位置为，让母球A击打目标球B后，能否使目标球B向处运动？ 27．已知圆和圆. (1)若圆与圆相交，求的取值范围； (2)若直线与圆交于，两点，且，求实数的值； (3)若，设为平面上的点，且满足：存在过点的无穷多对互相垂直的直线和，它们分别与圆和圆相交，且直线被圆截得的弦长与直线被圆截得的弦长相等，试求所有满足条件的点的坐标. ( 第 3 页 共 8 页 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题15 直线与圆的方程（练习） 一、填空题 1．经过点、两点的直线的倾斜角为 . 【答案】 【分析】根据两点的坐标求得斜率，结合倾斜角与斜率的关系，可得答案. 【解析】由题意可得直线的斜率，则，解得. 故答案为：. 2．已知直线的倾斜角比直线的倾斜角小，则的斜率为 ． 【答案】 【分析】根据直线方程求出直线斜率为，由此确定直线倾斜角，结合已知条件求得直线倾斜角为，由此即可求得直线的斜率. 【解析】由直线方程：得的倾斜角为， 所以的倾斜角为，即的斜率为. 故答案为：. 3．若直线的倾斜角为且在轴上的截距为，则直线的一般方程是 . 【答案】 【分析】根据题意，求得直线的斜率，结合点斜式方程，即可求解. 【解析】由直线的倾斜角为，可得直线的斜率为， 又由直线在轴上的截距为，所以直线方程为，即. 故答案为：. 4．已知直线l：，绕着它与x轴的交点逆时针旋转90°，得到直线，则直线的点法式方程为 . 【答案】 【分析】由已知可得直线过点，且与直线垂直，根据直线方程，求出的法向量，即可得出结论. 【解析】设直线与轴的交点为，则． 直线的一个法向量是，它是直线的一个方向向量， 所以的一个法向量是，且过点， 所以直线的点法向式方程为. 故答案为：. 5．直线：，：它们的夹角为 【答案】 【分析】直接利用夹角公式得到答案. 【解析】设两条直线的斜率为的斜率为， 这两条直线的夹角为，则， 由两条直线的夹角公式得，所以. 故答案为：. 6．若直线与直线所成角的余弦值为，则实数 . 【答案】 【分析】先求两直线的斜率,求出两直线的所成角的正切，把所成角的余弦值转为正切值，得到关于的关系式,即可求出的值. 【解析】设直线与直线所成角为, 则, 若两直线垂直不合题意,所以, 两直线的斜率存在且分别为, ,解得. 故答案为: 【点睛】本题考查两直线的夹角公式,注意判断直线的斜率是否存在,考查计算能力,属于基础题. 7．直线经过的定点坐标为 . 【答案】 【分析】把方程化为关于的等式，然后由恒等式知识求解． 【解析】已知直线方程化为， 由得，所以直线过定点． 故答案为：． 8．已知为任意实数，直线的倾斜角的范围是 . 【答案】 【分析】根据余弦函数性质求出斜率范围，然后利用正切函数性质求解可得. 【解析】记直线的倾斜角为，则， 因为，所以，则， 所以. 故答案为： 9．经过点且与圆相切的直线方程为 . 【答案】或 【分析】分斜率存在和不存在两种情况讨论，切线斜率存在时，利用圆心到直线的距离等于半径计算可求得直线斜率，即可求得切线方程. 【解析】由题意知，圆心坐标为，半径为5， 当过点的直线斜率不存在时，直线方程为，符合题意； 当过点的直线斜率存在时，设直线方程为， 即， 依题意有，解得， 此时直线方程为，即， 所以所求切线的方程为或. 故答案为：或. 10．已知直线与圆相交于、两点，则的值为 . 【答案】4 【分析】联立直线与圆的方程求A、B的坐标，再由向量数量积的坐标表示即可求. 【解析】由题意，联立，有，解得，， 若，则，则. 故答案为：4. 11．已知圆：和圆：的公共弦所在直线经过原点，则实数a的值为 ． 【答案】6 【分析】将两圆方程作差，得两圆的公共弦所在的方程，即可求解． 【解析】解：将两圆方程联立，得：， 得， 两式相减，得：， 则两圆的公共弦所在的方程为：， 因为公共弦所在的直线经过原点， 所以：， 得， 故答案为：6 12．直线与曲线有两个不同的交点，则实数b的取值范围是 ． 【答案】 【分析】首先判断曲线表示的曲线，再利用数形结合表示直线与曲线有两个交点时，参数的取值范围. 【解析】由可得，整理可得，其中， 所以曲线表示圆的下半圆， 如图所示．当直线与曲线相切时， 由图可知，，且有，解得． 当直线过点时，则有． 由图可知，当时，直线与曲线有两个不同的交点． 故答案为： 13．已知点，点是直线上的动点，则的最大值为 . 【答案】 【分析】求出关于的对称点，作出辅助线，当三点共线时，取得最大值，求出最大值. 【解析】设点关于的对称点为， 则，解得，故， 由对称性可知，， 当可组成三角形时，根据三角形三边关系得到， 连接并延长，交于点，则此时， 即当三点共线时，取得最大值， 最大值为. 故答案为： 14．如图，已知直线与轴和轴分别交于点，，从点射出的光线经直线反射后再射到轴上，最后经轴反射后又回到点，则光线所经过的路程是 . 【答案】 【分析】作出点关于直线的对称点，点关于轴的对称点C，从而将题目问题转化为求解. 【解析】如图， 点关于直线的对称点为，则，即， 解得，即点关于直线的对称点为，又点关于轴的对称点为， 则光线所经过的路程为. 故答案为： 15．设点是：上的动点，点是直线：上的动点，记，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】设，将转化成探求线段长最值问题求解作答. 【解析】如图，过：上一点作轴交直线于点， 过直线：上的动点作交直线于点，    依题意，设，显然圆C与直线l相离， 则可得：， 因为直线：的斜率为，所以， ， 其中锐角由确定， 所以的最小值是. 故答案为： 【点睛】思路点睛：涉及图形上的点变化引起的线段长度、图形面积等问题，若点的运动与某角的变化相关，可以设此角为自变量，借助三角函数解决. 16．已知点和圆上两个不同的点，，满足，是弦的中点， 给出下列四个结论： ①的最小值是4； ②点的轨迹是一个圆； ③若点，点，则存在点，使得； ④△面积的最大值是． 其中所有正确结论的序号是 ． 【答案】①②④ 【分析】①可以通过设出圆的参数方程，进行求解；②设出，找到等量关系，建立方程，求出点的轨迹方程，即可说明；③转化为两圆是否有交点，说明是否存在点；④当斜率分别为1和-1时，且点P，M在y轴左侧，此时△面积最大，求出最大值. 【解析】点在圆上，设，则，当时，取得最小值，最小值为4，①正确； 设点，则由题意得：，则，整理得：，所以点的轨迹是一个圆，②正确； 为以为直径的圆，圆心为，半径为1，方程为：，下面判断此圆与点的轨迹方程是否有交点，由于，两圆相离，故不存在点，使得，③错误； 当斜率分别为1和-1时，且点P，M在y轴左侧，此时△为等腰直角三角形，面积最大，此时，，④正确. 故答案为：①②④ 【点睛】轨迹方程问题，一般处理思路，直接法，定义法，相关点法以及交轨法，要能结合题目特征选择合适的方法进行求解. 二、单选题 17．直线和直线互相垂直，则实数的值为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】B 【分析】由两直线互相垂直，直接列方程求解即可. 【解析】因为直线和直线互相垂直， 所以，解得， 故选：B 18．点与圆上任意一点连线的中点的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设圆上任意一点为，中点为，由中点坐标公式可求得，代入圆的方程即可求得轨迹方程． 【解析】解：设圆上任意一点为，中点为， 则，可得， 代入得， 化简得． 故选：D． 19．圆：与圆：的公切线有且仅有（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 【答案】B 【分析】将两圆方程化为标准方程，通过两圆的圆心距及半径关系，判断两圆的位置关系即可求解． 【解析】解：圆，则圆心，半径， 圆，则圆心，半径， 得两圆的圆心距为：， 则， 得两圆相交，得两圆的公切线有且仅有2条． 故选：B 20．唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在位置为，若将军从点处出发，河岸线所在直线方程为，则“将军饮马”的最短总路程为（    ） A． B．5 C． D． 【答案】A 【分析】设关于的对称点为，列方程求对称点坐标，再应用两点距离公式求“将军饮马”的最短总路程. 【解析】设关于的对称点为， 所以，可得，即对称点为，又 所以“将军饮马”的最短总路程为. 故选：A 21．在平面直角坐标系中，圆，若曲线上存在四个点，过动点作圆的两条切线，为切点，满足，则k的值不可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先设出，利用求出在以原点为圆心，半径为2的圆上，数形结合转化为且只需原点到直线的距离小于半径2即可，用点到距离公式列出不等式，求出的取值范围可得答案. 【解析】设，连接，设， 则，，所以， 又， 所以， 令，则有，解得：或， 因为在单位圆外，所以舍去， 即在以原点为圆心，半径为2的圆上， 因为曲线上存在四个点， 即与圆有4个交点，且过点， 结合图象可知，且只需原点到直线的距离小于半径2即可， 所以，解得：或（舍去）.， 所以、、都符合. 故选：D. 【点睛】关键点点睛：数形结合的思想对于求解函数零点或交点个数问题经常使用，要能抓住一些不变量，比如本题中的直线方程过定点. 22．已知动圆的方程为，其中为常数，，有下列两个命题： ①存在，使圆与圆相切； ②对任意，直线上都存在点，圆上都存在两点、，使.则（    ） A．①②都为真命题 B．①为真命题，②为假命题 C．①为假命题，②为真命题 D．①②都为假命题 【答案】C 【分析】对于①，求得两圆的圆心距与两圆的半径，可得两圆总相交，可判断①；对于②，当与圆相切时，可得，可判断②. 【解析】由，可得圆心，半径为， 由，可得，半径， 由，所以， 所以两圆相交，故不存在，使圆与圆相切， 故①为假命题； 因为，所以直线过点， 当与圆相切时，可得，所以， 所以对任意，直线上都存在点， 圆上都存在两点、，使.故②正确. 故选：C. 【点睛】方法点睛：判断圆与圆的位置关系，常常求得两圆圆心之间的距离，并与半径和差之间的关系判断. 三、解答题 23．已知直线，直线． (1)若，求实数的值； (2)若，求实数的值． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1），，若，则，求出参数后，需代入验证，排除两直线重合的情况； （2），，若，则，由此求参数即可. 【解析】（1）因为，所以， 整理得：，即：，解得：或， 当时，， ，即，符合题意； 当时，，即， ，即，此时与重合，不符合题意. 所以. （2）因为，所以， 整理得：，即：，解得：或， 所以或. 24．已知直线l：及点． (1)求与直线l有相同的方向向量，且经过点A的直线的点法式方程； (2)求与直线l垂直，且经过点A的直线的点法式方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先求出直线的一个法向量，再由平行关系写出所求直线的点法式方程； （2）先求出直线的一个法向量，再由垂直关系找到所求直线的法向量，从而得解. 【解析】（1）直线的一个法向量为． 由题意，得所求直线与直线平行，故是所求直线的一个法向量． 又所求直线过点， 所以所求直线的点法式方程为． （2）因为直线的一个法向量为， 故所求直线的一个法向量为，又所求直线过点， 所以所求直线的点法式方程为． 25．已知直线，圆 (1)证明直线与圆恒相交； (2)若是圆上任意一点，求的取值范围． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据题意求直线过定点，并证明该定点在圆内，即可证明直线与圆恒相交； （2）设，根据直线与圆的位置关系分析运算. 【解析】（1）由直线得， 令，解得， 所以直线过定点， 圆圆心为，半径为5， ∵，即A在圆内， 所以直线与圆总相交. （2）设，即为直线， ∵该直线和圆有公共点， 则圆心到直线的距离，解得， 所以的取值范围是． 26．规定：在桌面上，用母球击打目标球，使目标球运动，球的位置是指球心的位置，球A是指该球的球心点A．两球碰撞后，目标球在两球的球心所确定的直线上运动，目标球的运动方向是指目标球被母球击打时，母球球心所指向目标球球心的方向．所有的球都简化为平面上半径为1的圆，且母球与目标球有公共点时，目标球就开始运动，在桌面上建立平面直角坐标系，解决下列问题： (1)如图1，设母球A的位置为，目标球B的位置为，要使目标球B向处运动，求母球A的球心运动的直线方程； (2)如图2，若母球A的位置为，目标球B的位置为，让母球A击打目标球B后，能否使目标球B向处运动？ 【答案】(1)； (2)不能使目标球B向C（8，－4）处运动． 【分析】（1）依题意，结合图形，先求得直线方程，则母球在碰撞前时的球心在直线上，且，由此求得点坐标，即得球心运动的直线方程； （2）先假设可以使目标球B向C（8，－4）处运动，则需使母球在运动到点处前不与目标球发生接触，故就要计算点到直线的距离，看是否一直比2大，经计算得出为锐角，故可推断母球在到达点前会与球发生接触. 【解析】（1）                           如图1，点所在的直线方程为， 可知A，B两球碰撞时，球A的球心在直线上，且在第一象限， 设A，B两球碰撞时，球A的球心坐标为，此时，则 解得，，即A，B两球碰撞时，球A的球心坐标， 所以母球A的球心运动的直线方程为，即； （2）                           假设能使目标球B向处运动，则由（1）知球A需运动到处，且到达A'处前不与目标球B接触． 如图2，设与x轴的交点为．因为的斜率为－1，所以． 因为AA'的斜率为，所以．所以为锐角． 过点B作于点E，因为，所以， 所以球A的球心还未到直线BC上时，就会与目标球B接触，所以不能使目标球B向处运动． 27．已知圆和圆. (1)若圆与圆相交，求的取值范围； (2)若直线与圆交于，两点，且，求实数的值； (3)若，设为平面上的点，且满足：存在过点的无穷多对互相垂直的直线和，它们分别与圆和圆相交，且直线被圆截得的弦长与直线被圆截得的弦长相等，试求所有满足条件的点的坐标. 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）由圆的一般方程得到圆的标准方程进而得到圆心和半径，根据两圆相交得到，进而得到的取值范围； （2）设，，联立圆与直线的方程，由有两个交点得到的取值范围，由韦达定理得到和，代入，解出的值； （3）设，由分别写出与的方程，根据弦长和半径相等得到圆心到直线的距离相等，再根据有无数多条直线，得到关于的方程有无数多组解，从而解出，即得到的坐标. 【解析】（1）圆的标准方程为，则圆心，， 圆的标准方程为，则圆心， ， 圆与圆相交，，即，解得， 的取值范围. （2）已知直线与圆交于，两点，设，， 联立，得， 所以，得 ， 解得，因为，所以. （3） 设点坐标为，直线、的方程分别为：，， 即：，， 因为直线被圆截得的弦长与直线被圆截得的弦长相等且两圆半径相等， 由垂径定理得，圆心到直线与直线的距离相等． 故有：， 化简得：或， 因为存在过点的无穷多对互相垂直的直线和， 所以关于的方程有无穷多解，从而有或， 解得或， 所以点P坐标为或． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！第 1 页 共 16 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题15 直线与圆的方程（讲义） 一、直线的方程 1.直线的倾斜角 (1)定义：当直线l与x轴相交时，我们以x轴为基准，x轴正向与直线l向上的方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角； (2)规定：当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°； (3)范围：直线的倾斜角α的取值范围是{α|0°≤α<180°}. 2.直线的斜率 (1)定义：我们把一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k表示，即k＝tan__α. (2)计算公式 ①经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率k＝. ②设P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(其中x1≠x2)是直线l上的两点，则向量＝(x2－x1，y2－y1)以及与它平行的向量都是直线的方向向量.若直线l的斜率为k，它的一个方向向量的坐标为(x，y)，则k＝. 3.直线方程的五种形式 名称 几何条件 方程 适用条件 斜截式 纵截距、斜率 y＝kx＋b 与x轴不垂直的直线 点斜式 过一点、斜率 y－y0＝k(x－x0) 两点式 过两点 ＝ 与两坐标轴均不垂直的直线 截距式 纵、横截距 ＋＝1 不过原点且与两坐标轴均不垂直的直线 一般式 Ax＋By＋C＝0 (A2＋B2≠0) 所有直线 点法（向）式 已知直线过点，一个法向量为， 则直线的点法（向）式方程为：； 常用结论： 1.直线的倾斜角α和斜率k之间的对应关系： α 0 0<α< <α<π k 0 k>0 不存在 k<0 2.截距和距离的不同之处 “截距”是直线与坐标轴交点的坐标值，它可正，可负，也可以是零，而“距离”是一个非负数. 二、两条直线的位置关系 1.两条直线平行与垂直的判定 (1)两条直线平行 对于两条不重合的直线l1，l2，其斜率分别为k1，k2，则有l1∥l2⇔k1＝k2.特别地，当直线l1，l2的斜率都不存在时，l1与l2平行. (2)两条直线垂直 如果两条直线l1，l2斜率都存在，设为k1，k2，则l1⊥l2⇔k1·k2＝－1，当一条直线斜率为零，另一条直线斜率不存在时，两条直线垂直. 2.直线的交点与直线的方程组成的方程组的解的关系 (1)两直线的交点 点P的坐标既满足直线l1的方程A1x＋B1y＋C1＝0，也满足直线l2的方程A2x＋B2y＋C2＝0，即点P的坐标是方程组的解，解这个方程组就可以得到这两条直线的交点坐标. (2)两直线的位置关系 方程组的解 一组 无数组 无解 直线l1与l2的公共点的个数 一个 无数个 零个 直线l1与l2的位置关系 相交 重合 平行 3.距离公式 (1)两点间的距离公式 平面上任意两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式为|P1P2|＝. 特别地，原点O(0，0)与任一点P(x，y)的距离|OP|＝. (2)点到直线的距离公式 平面上任意一点P0(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝. (3)两条平行线间的距离公式 一般地，两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0间的距离d＝. 4.对称问题 (1)点P(x0，y0)关于点A(a，b)的对称点为P′(2a－x0，2b－y0). (2)设点P(x0，y0)关于直线y＝kx＋b的对称点为P′(x′，y′)，则有可求出x′，y′. 常用结论： 1.“直线A1x＋B1y＋C1＝0，A2x＋B2y＋C2＝0平行”的充要条件是“A1B2＝A2B1且A1C2≠A2C1”，“两直线垂直”的充要条件是“A1A2＋B1B2”＝0. 2.讨论两直线的位置关系时应考虑直线的斜率是否存在. 三、圆的方程 1.圆的定义和圆的方程 定义 圆是平面上到定点的距离等于定长的点的集合 方 程 标准 (x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0) 圆心C(a，b) 半径为r 一般 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0 (D2＋E2－4F＞0) 充要条件：D2＋E2－4F＞0 圆心坐标： 半径r＝ 2.点与圆的位置关系 平面上的一点M(x0，y0)与圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2之间存在着下列关系： (1)|MC|＞r⇔M在圆外，即(x0－a)2＋(y0－b)2＞r2⇔M在圆外； (2)|MC|＝r⇔M在圆上，即(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2⇔M在圆上； (3)|MC|＜r⇔M在圆内，即(x0－a)2＋(y0－b)2＜r2⇔M在圆内. 常用结论： 1.圆心在坐标原点，半径为r的圆的方程为x2＋y2＝r2. 2.以A(x1，y1)，B(x2，y2)为直径端点的圆的方程为(x－x1)·(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0. 四、直线与圆、圆与圆的位置关系 1.直线与圆的位置关系 设圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2，直线l：Ax＋By＋C＝0，圆心C(a，b)到直线l的距离为d，由消去y(或x)，得到关于x(或y)的一元二次方程，其判别式为Δ. 位置关系 相离 相切 相交 图形 量化 方程观点 Δ<0 Δ＝0 Δ>0 几何观点 d>r d＝r d<r 2.圆与圆的位置关系 已知两圆C1：(x－x1)2＋(y－y1)2＝r， C2：(x－x2)2＋(y－y2)2＝r， 则圆心距d＝|C1C2|＝. 则两圆C1，C2有以下位置关系： 位置关系 外离 内含 相交 内切 外切 圆心距 与半径 的关系 d>r1＋r2 d<|r1－r2| |r1－2|<d<r1＋r2 d＝|r1－r2| d＝r1＋r2 图示 公切线条数 4 0 2 1 3 常用结论： 1.圆的切线方程常用结论 (1)过圆x2＋y2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为x0x＋y0y＝r2. (2)过圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2. (3)过圆x2＋y2＝r2外一点M(x0，y0)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为x0x＋y0y＝r2. 2.直线被圆截得的弦长的求法 (1)几何法：运用弦心距d、半径r和弦长的一半构成的直角三角形，计算弦长|AB|＝2. (2)代数法：设直线y＝kx＋m与圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0相交于点M，N，将直线方程代入圆的方程中，消去y，得关于x的一元二次方程，求出xM＋xN和xM·xN，则|MN|＝·. ( 第 1 页 共 10 页 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$