专题17 计数原理（讲义+练习）-备战2025年高考数学一轮复习《重难点题型•高分突破》（上海专用）

专题17 计数原理（练习） 一、填空题 1．名男生和名女生站成一排照相，则男生站在一起的概率为 ． 2．四名男生和两名女生排成一排，要求两位女生不相邻，则不同排法的种数是 .（结果用数字作答） 3．电视台在电视剧开播前连续播放5个不同的广告，其中3个商业广告2个公益广告，现要求2个公益广告不能连续播放，则不同的播放方式共有 种. 4．7个人站成一排，如果甲、乙2人必须站在两端，有 种排法. 5．2023年杭州亚运会需招募志愿者，现从某高校的5名志愿者中任意选出3名，分别担任语言服务、人员引导、应急救助工作，其中甲不能担任语言服务工作，则不同的选法共有 种.（结果用数值表示） 6．有8名学生排成一排，甲､乙相邻的排法种数为 ，甲不在排头，乙不在排尾的排法种数为 .（用数字作答） 7．至少通过一个正方体的3条棱中点的平面个数为 ． 8．10个相同的小球放到6个不同的盒子里，每个盒子里至少放一个小球，则不同的放法有 种. 9．某兴趣小组有10名学生，若从10名学生中选取3人，则选取的3人中恰有1名女生的概率为，且女生人数超过1人，现在将10名学生排成一排，其中男生不相邻，且男生的左右相对顺序固定，则共有 种不同的站队方法. 10．某校开展“全员导师制”．有2名导师可供5位学生选择，若每位学生必须也只能选取一名导师且每位导师最多只能被3位学生选择，则不同的选择方案共有 种（用数字作答）． 11．4名志愿者全部分到3所学校支教，要求每所学校至少有1名志愿者，则不同的分法共有 种. 12．支足球队进行三轮淘汰赛角逐出冠军，赛前进行随机抽签来确定赛程表，赛程安排方式如下：确定第一轮4场比赛的分组，再确定第一轮的4支胜者队伍在第二轮2场比赛的分组，最后确定第二轮的2支胜者队伍进行第三轮比赛.注意：进行比赛的两支队伍不计顺序，每轮各场比赛不计顺序，赛程表赛前一次性完成制定(与具体每场比赛的胜者是谁无关).则赛程表有 种. 13．某小组共有4名男生，和3名女生.若选一名男生和一名女生分别担任组长和干事，共有 种不同的结果. 14． 展开式中的系数为 . 15．的展开式中只有第六项的系数最大，则 . 16．若展开式中的系数为272，则实数 ． 17．已知，则中正数的个数为 . 18．设集合A是由所有满足下面两个条件的有序数组构成：①；②；则集合A中的元素共有 个. 二、单选题 19．教学大楼共有4层，每层有东西两个楼梯，由1层到4层共有（    ）种走法． A．8 B．4 C．16 D．2 20．在200件产品中有3件次品，任取5件，其中至少有2件次品的取法种数是（    ） A． B． C． D． 21．设，它等于下式中的（    ） A． B． C． D． 22．如图，从1开始出发，一次移动是指：从某一格开始只能移动到邻近的一格，并且总是向右或向上或右下移动，而一条移动路线由若干次移动构成，如从1移动到11：1→2→3→5→7→8→9→10→11就是一条移动路线．从1移动到数字的不同路线条数记为，从1移动到11的事件中，跳过数字的概率记为，则下列结论正确的是（    ） ①，②，③，④． A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 三、解答题 23．（1）解不等式； （2）解方程. 24．已知的二项展开式中所有项的二项式系数之和为， (1)求的值； (2)求展开式的所有有理项(指数为整数)，并指明是第几项． 25．现某学校共有34人自愿组成数学建模社团，其中高一年级13人，高二年级12人,高三年级9人. (1)选其中一人为负责人，共有多少种不同的选法？ (2)每个年级选一名组长，有多少种不同的选法？ (3)选两人作为社团发言人,这两人需要来自不同的年级，有多少种不同的选法？ 26．12月31日是某校艺术节总汇演之日，当天会进行隆重的文艺演出，已知高一，高二，高三分别选送了4，3，2个节目，现回答以下问题：（用排列组合数列式，并计算出结果） (1)为了活跃气氛，学校会把20个荧光手环发给台下的12名家长代表，每位家长至少一根，共计有多少种分配方案； (2)若高一的节目彼此都不相邻，高三的节目必须相邻，共计有多少种出场顺序； (3)演出结束后，学校安排甲、乙等9位志愿者打扫A，B，C三个区域的卫生，每个区域至少需要2名志愿者，则共有多少种安排方式？甲、乙打扫同一个区域的概率是多少？ 27．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，为了纪念他，人们把函数（）称为高斯函数，其中表示不超过x的最大整数. 已知：，（，） (1)若，，，求的值； (2)若，，，求证：； (3)设，求S除以2023的余数. ( 第 3 页 共 8 页 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题17 计数原理（练习） 一、填空题 1．名男生和名女生站成一排照相，则男生站在一起的概率为 ． 【答案】/ 【分析】根据排列以及古典概型概率计算公式求得正确答案. 【解析】名男生和名女生站成一排照相，基本事件有种， 其中男生站一起的事件有种， 所以男生站在一起的概率为. 故答案为： 2．四名男生和两名女生排成一排，要求两位女生不相邻，则不同排法的种数是 .（结果用数字作答） 【答案】 【分析】利用插空法，先排男生再排女生求解即可. 【解析】先排男生，再将女生排到5个空位里，有种情况. 故答案为： 3．电视台在电视剧开播前连续播放5个不同的广告，其中3个商业广告2个公益广告，现要求2个公益广告不能连续播放，则不同的播放方式共有 种. 【答案】 【分析】不相邻的问题利用插空法求解即可. 【解析】先将3个商业广告排好，有种， 再将2个公益广告插入个空中，有种， 所以不同的播放方式共有种. 故答案为：. 4．7个人站成一排，如果甲、乙2人必须站在两端，有 种排法. 【答案】240 【分析】根据排列与分步乘法计数原理相关知识，先排特殊位置，再排其他位置即可. 【解析】先排甲和乙，有种排法， 再排其他5人，有种排法， 根据分步乘法计数原理，共有种排法. 故答案为：240 5．2023年杭州亚运会需招募志愿者，现从某高校的5名志愿者中任意选出3名，分别担任语言服务、人员引导、应急救助工作，其中甲不能担任语言服务工作，则不同的选法共有 种.（结果用数值表示） 【答案】48 【分析】先从除甲外的4人选1人担任语言服务工作，然后从剩下的4人中选2人分别去担任人员引导和应急救助工作即可. 【解析】由题意可知，先从除甲外的4人选1人担任语言服务工作，有种方法， 然后从剩下的4人中选2人分别去担任人员引导和应急救助工作，有种方法， 所以由分步乘法原理可知不同的选法共有种， 故答案为：48 6．有8名学生排成一排，甲､乙相邻的排法种数为 ，甲不在排头，乙不在排尾的排法种数为 .（用数字作答） 【答案】 10080 30960 【分析】（1）把甲乙两人捆绑在一起看作一个复合元素，再和另外6人全排列； （2）可采用间接法得到； 【解析】（1）把甲乙两人捆绑在一起看作一个复合元素，再和另外6人全排列，故有种情况； （2）利用间接法，用总的情况数减去甲在排头、乙在排尾的情况数，再加上甲在排头同时乙在排尾的情况，故有种情况 故答案为：10080；30960 7．至少通过一个正方体的3条棱中点的平面个数为 ． 【答案】81 【分析】利用间接法，根据共面的条件，分析出重复的平面，即可求解. 【解析】共有12条棱，即有12个中点，根据任意3点不共线，故可得个平面， 其中，过4个中点的平面有：正方体的6个面，正方体的3个中截面，与面对角线和棱平行的面有个，共有个， 过6个中点的平面有4个， 所以重复的有个平面， 所以满足条件的平面有个. 故答案为： 【点睛】关键点睛：本题的关键是利用空间想象能力，将过4个点和过6个点的平面中与过3个点的平面重复的找出来. 8．10个相同的小球放到6个不同的盒子里，每个盒子里至少放一个小球，则不同的放法有 种. 【答案】126 【分析】由隔板法，将10个小球排成一排，中间插入5个隔板，即可求得不同的放法. 【解析】由隔板法，将10个小球排成一排，除去两端中间插入5个不相邻的隔板，此时9个空中选5个空放隔板，将10个球分成六份，再将六份装入六个盒子中即可，不同的放法有种. 故答案为：126. 9．某兴趣小组有10名学生，若从10名学生中选取3人，则选取的3人中恰有1名女生的概率为，且女生人数超过1人，现在将10名学生排成一排，其中男生不相邻，且男生的左右相对顺序固定，则共有 种不同的站队方法. 【答案】25200 【分析】由已知得10名学生中，有女生6人，男生4人，再利用插空法求解即可. 【解析】设10名学生中，有女生人，男生人， 则10名学生中选取3人，恰有1名女生的概率， 整理得：，即 因式分解可得：， 解得：或（舍去）或（舍去） 所以10名学生中，有女生6人，男生4人， 将6名女生排成一排有种方法，再将4名男生插到7个空中有种方法， 因为男生的左右相对顺序固定，而4名男生排成一排有种方法， 所以一共有， 故答案为：25200 10．某校开展“全员导师制”．有2名导师可供5位学生选择，若每位学生必须也只能选取一名导师且每位导师最多只能被3位学生选择，则不同的选择方案共有 种（用数字作答）． 【答案】20 【分析】先分为两组，再利用全排列知识求解. 【解析】由题意得，5位学生中有3位学生选取同一名导师， 先将5人分为2组，一组3人，一组2人，再将2组对应两名导师， 故有种方案. 故答案为：20 11．4名志愿者全部分到3所学校支教，要求每所学校至少有1名志愿者，则不同的分法共有 种. 【答案】36 【分析】先选两名志愿者看成一个整体，再与剩余志愿者一起排列，结合分步乘法计数原理运算求解. 【解析】先选两名志愿者看成一个整体，共有种， 再与剩余志愿者一起排列，共有种， 所以不同的分法共有种. 故答案为：36. 12．支足球队进行三轮淘汰赛角逐出冠军，赛前进行随机抽签来确定赛程表，赛程安排方式如下：确定第一轮4场比赛的分组，再确定第一轮的4支胜者队伍在第二轮2场比赛的分组，最后确定第二轮的2支胜者队伍进行第三轮比赛.注意：进行比赛的两支队伍不计顺序，每轮各场比赛不计顺序，赛程表赛前一次性完成制定(与具体每场比赛的胜者是谁无关).则赛程表有 种. 【答案】 【分析】分别确定第一轮比赛，第二轮比赛，第三轮比赛安排方案数，再由分步乘法计数原理确定总的方法数. 【解析】由已知可得第一轮比赛的安排方法数为，即种安排方法， 第二轮比赛的安排方法数为，即3种安排方法， 第三轮比赛的安排方法数为1， 由分步乘法计数原理可得所有的安排方法数为315； 故答案为：315. 13．某小组共有4名男生，和3名女生.若选一名男生和一名女生分别担任组长和干事，共有 种不同的结果. 【答案】24 【分析】根据题意结合分步乘法计数原理分析求解. 【解析】因为4名男生选一名男生共有4种不同的结果； 3名女生选一名女生共有3种不同的结果； 一名男生和一名女生分别担任组长和干事共有2种不同的方法， 根据分步乘法计数原理可知：共有种不同的结果. 故答案为：24. 14． 展开式中的系数为 . 【答案】15 【分析】根据给定条件，利用二项式定理直接求出结果. 【解析】 展开式中令的项为， 所以 展开式中的系数为15. 故答案为：15 15．的展开式中只有第六项的系数最大，则 . 【答案】10 【分析】利用二项展开通项公式分析得的展开式中只有第六项的二项式系数最大，从而得解. 【解析】因为的展开通项公式为， 所以的展开式中项的系数为该项对应的二项式系数， 因为的展开式中只有第六项的系数最大， 所以的展开式中只有第六项的二项式系数最大， 则的展开式中一共有11项，所以. 故答案为：10. 16．若展开式中的系数为272，则实数 ． 【答案】3或－1 【分析】首先求出为二项式的展开式的通项公式，然后结合多项式的乘法运算即可求出展开式中的系数，然后列出方程求解即可. 【解析】因为， 又因为二项式的展开式的通项公式为， 所以展开式中的系数为 ， 解得：或， 故答案为：3或－1 17．已知，则中正数的个数为 . 【答案】1518 【分析】根据二项展开式的通项可得，讨论的奇偶性，结合分析求解即可. 【解析】二项式的通项为， 二项式的通项为， 所以，， 若，则有： 当为奇数时，此时，即， 则，可得， 又因为为奇数，所以的最小值取为1013；从1013到2023共计506个奇数， 当为偶数时，此时，符合题意；中，共计1012个偶数 综上所述：中正数的个数为 故答案为：1518. 18．设集合A是由所有满足下面两个条件的有序数组构成：①；②；则集合A中的元素共有 个. 【答案】232 【分析】从条件②入手分类讨论，应用排列组合知识即可得到有序数组的个数即可. 【解析】当时，有五个数是0， 另一个数为1或，这样有个； 当时，中有四个数是0， 另两个数为两个1或两个或一个1和一个， 这样有个； 当时，中有三个数是0， 另三个数为三个1或三个或一个1和两个或两个1和一个， 这样有个； 综上集合A中的元素共有232个. 故答案为：232 二、单选题 19．教学大楼共有4层，每层有东西两个楼梯，由1层到4层共有（    ）种走法． A．8 B．4 C．16 D．2 【答案】A 【分析】由分步计数原理可得. 【解析】由1层到4层分步：由1层到2层，由2层到3层，由3层到4层，每步都有东西两个楼梯种方法可选. 由分步乘法计数原理可得，由1层到4层共种走法. 故选：A. 20．在200件产品中有3件次品，任取5件，其中至少有2件次品的取法种数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意知，至少有2件次品包含两类情况，再利用分类分步计数原理计算即可. 【解析】根据题意可知，至少2件次品包含两类： 2件次品，3件正品，共种抽法， 3件次品，2件正品，共种抽法， 由分类计数原理得，抽法共有种， 或利用间接法种． 故选：D． 21．设，它等于下式中的（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二项式展开式的特征即可求解. 【解析】， 故选：C 22．如图，从1开始出发，一次移动是指：从某一格开始只能移动到邻近的一格，并且总是向右或向上或右下移动，而一条移动路线由若干次移动构成，如从1移动到11：1→2→3→5→7→8→9→10→11就是一条移动路线．从1移动到数字的不同路线条数记为，从1移动到11的事件中，跳过数字的概率记为，则下列结论正确的是（    ） ①，②，③，④． A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 【答案】A 【分析】根据题意分析，不难得到，按照规律写出各项，即可判断①，②正确；对于③，结合树状图，考虑对立事件所包含的样本点数，利用古典概型概率公式计算即得，同法求出即可判断. 【解析】由题意可知， 则，， 则①正确；显然，故②正确； 因为，经过数字5的路线共有条. 理由:如上树状图所示，分别计算1-5的路线共有5条，5-11的路线共有13条， 利用分步乘法计数原理可得，过数字5的路线共有条. 则，故③正确； 同理可得即有，故④错误. 故选:A． 三、解答题 23．（1）解不等式； （2）解方程. 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）利用组合数的性质可得答案； （2）利用组合数性质、排列数公式计算可得答案. 【解析】（1）根据组合数公式，原不等式可化为.化简可得. 进一步变形为. 根据阶乘的性质，则. 约分后得到，解这个不等式得. 又因为且（组合数中的取值范围要求），即且， 综合可得或，故不等式解集为. （2）原方程可化为，即， ∴，∴， ∴，解得或，经检验：是原方程的解. 故方程解集为 24．已知的二项展开式中所有项的二项式系数之和为， (1)求的值； (2)求展开式的所有有理项(指数为整数)，并指明是第几项． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由二项式系数和公式可得答案； （2）求出的通项，利用的指数为整数可得答案. 【解析】（1）的二项展开式中所有项的二项式系数之和， 所以. （2）， 因此时，有理项为， 有理项是第一项和第七项. 25．现某学校共有34人自愿组成数学建模社团，其中高一年级13人，高二年级12人,高三年级9人. (1)选其中一人为负责人，共有多少种不同的选法？ (2)每个年级选一名组长，有多少种不同的选法？ (3)选两人作为社团发言人,这两人需要来自不同的年级，有多少种不同的选法？ 【答案】（1）34；（2）1404；（3）381. 【分析】（1）用分类计数原理，分3种情况讨论，①选出的是高一学生，②选出的是高二学生，③选出的是高三学生，由各年级的人数易得各种情况的选法数目，由分类计数原理，相加可得答案； （2）用分步计数原理，分3步进行，先从高一学生中选出1人，再从高二学生中选出1人，最后从高三学生中选出1人，根据各年级的人数易得每一步的选法数目，由分步计数原理，相乘可得答案； （3）用分类计数原理，分3种情况讨论，①若选出的是高一、高二学生，②若选出的是高一、高三学生，③若选出的是高二、高三学生，先计算各种情况的选法数目，由分类计数原理，相加可得答案． 【解析】（1）根据题意，选其中一人为负责人，有3种情况， 若选出的是高一学生，有13种情况， 若选出的是高二学生，有12种情况， 若选出的是高三学生，有9种情况， 由分类计数原理可得，共有12+13+9＝34种选法． （2）根据题意，从高一学生中选出1人，有13种情况； 从高二学生中选出1人，有12种情况； 从高三学生中选出1人，有9种情况； 由分步计数原理，可得共有12×13×9＝1404种选法． （3）根据题意，分三种情况讨论： 若选出的是高一、高二学生，有12×13＝156种情况， 若选出的是高一、高三学生，有13×9＝117种情况， 若选出的是高二、高三学生，有12×9＝108种情况， 由分类计数原理可得，共有156+117+108＝381种选法． 【点睛】本题考查分步计数原理与分类计数原理的运用，解题的关键要合理的对事件分类或分步． 26．12月31日是某校艺术节总汇演之日，当天会进行隆重的文艺演出，已知高一，高二，高三分别选送了4，3，2个节目，现回答以下问题：（用排列组合数列式，并计算出结果） (1)为了活跃气氛，学校会把20个荧光手环发给台下的12名家长代表，每位家长至少一根，共计有多少种分配方案； (2)若高一的节目彼此都不相邻，高三的节目必须相邻，共计有多少种出场顺序； (3)演出结束后，学校安排甲、乙等9位志愿者打扫A，B，C三个区域的卫生，每个区域至少需要2名志愿者，则共有多少种安排方式？甲、乙打扫同一个区域的概率是多少？ 【答案】(1) (2) (3)11508， 【分析】（1）由题意根据隔板法求解； （2）根据相邻与不相邻问题可用捆绑法与插空法求解； （3）分别按分类求解，再按不同分组求出甲乙在一组的种数，由古典概型求解. 【解析】（1）利用隔板法：. （2）根据捆绑、插空：高三2个节目视作1个节目，与高二3个节目全排列， 再把高一的4个节目插入所成的5个空中的4个，所以共有 . （3）①.若按2，2，5分组，则有：种， ②.若按2，3，4分组，则有：种， ③.若按3，3，3分组，则有：种， 故共有种安排方式. 若按2，2，5分组，甲、乙在同一组的安排方式有种， 若按2，3，4分组，甲、乙在同一组的安排方式有    种， 若按3，3，3分组，甲、乙在同一组的安排方式有=420种， 故甲、乙在同一组的概率为. 27．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，为了纪念他，人们把函数（）称为高斯函数，其中表示不超过x的最大整数. 已知：，（，） (1)若，，，求的值； (2)若，，，求证：； (3)设，求S除以2023的余数. 【答案】(1) (2)见解析 (3)1011 【分析】（1）将展开，由题意可得，即可求出的值； （2）计算，结合即可证明. （3）先求得每项除以2023的余数，求每项除以2023的余数时，分奇偶项进行讨论，余数求和后再求除以2023的余数即可. 【解析】（1）因为，， 所以当时，， 而， 因为，，， 所以,. （2）因为，，，， 则 . 故. （3）， 又， 则， 又， 所以 ， 所以当， ， 其除以2023的余数为， 当时， ， 其除以2023的余数2022和3， 当且时， ， 其除以2023的余数为， 当时， ， 其除以2023的余数为， 除以2023的余数为除以2023的余数， 即除以2023的余数， 又 其除以2023的余数为1011. 【点睛】关键点睛：本题第三问的关键一是分奇偶项进行讨论，特别是偶数项时，最后两项求得结果与前面项，求得结果不同，要分开讨论；二是余数求和后要再除以2023二次求余. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！第 1 页 共 16 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题17 计数原理（讲义） 一、分类加法计数原理与分步乘法计数原理 1.分类加法计数原理 完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法.那么完成这件事共有N＝m＋n种不同的方法. 2.分步乘法计数原理 完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m×n种不同的方法. 3.分类加法和分步乘法计数原理，区别在于：分类加法计数原理针对“分类”问题，其中各种方法相互独立，用其中任何一种方法都可以做完这件事；分步乘法计数原理针对“分步”问题，各个步骤中的方法相互依存，只有各个步骤都完成了才算完成这件事. 常用结论： 分类加法计数原理与分步乘法计数原理是解决排列组合问题的基础，并贯穿其始终. (1)分类加法计数原理中，完成一件事的方法属于其中一类，并且只属于其中一类. (2)分步乘法计数原理中，各个步骤中的方法相互依存，步与步之间“相互独立，分步完成”. 二、排列与组合 1.排列与组合的概念 名称 定义 排列 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素 并按照一定的顺序排成一列，叫做从n个元素中取出m个元素的一个排列 组合 作为一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合 2.排列数与组合数 (1)从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号P表示. (2)从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号C表示. 3.排列数、组合数的公式及性质 公式 (1)P＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)＝. (2)C＝＝ ＝(n，m∈N*，且m≤n).特别地C＝1 性质 (1)0！＝1；P＝n！. (2)C＝C；C＝C＋C 1.解受条件限制的排列、组合题，通常有直接法(合理分类)和间接法(排除法).分类时标准应统一，避免出现重复或遗漏. 2.对于分配问题，一般先分组、再分配，注意平均分组与不平均分组的区别，避免重复或遗漏. 三、二项式定理 1.二项式定理 (1)二项式定理：(a＋b)n＝Can＋Can－1b＋…＋Can－kbk＋…＋Cbn(n∈N*)； (2)通项公式：Tk＋1＝Can－kbk，它表示第k＋1项； (3)二项式系数：二项展开式中各项的系数C，C，…，C. 2.二项式系数的性质 性质 性质描述 对称性 与首末等距离的两个二项式系数相等，即C＝C 增减性 二项式系数C 当k＜(n∈N*)时，是递增的 当k＞(n∈N*)时，是递减的 二项式 系数最大值 当n为偶数时，中间的一项取得最大值 当n为奇数时，中间的两项与相等且取得最大值 3.各二项式系数和 (1)(a＋b)n展开式的各二项式系数和：C＋C＋C＋…＋C＝2n. (2)奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和，即C＋C＋C＋…＝C＋C＋C＋…＝2n－1. 常用结论： (a＋b)n的展开式形式上的特点 (1)项数为n＋1. (2)各项的次数都等于二项式的幂指数n，即a与b的指数的和为n. (3)字母a按降幂排列，从第一项开始，次数由n逐项减1直到零；字母b按升幂排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到n. (4)二项式系数从C，C，一直到C，C. ( 第 1 页 共 10 页 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$