安徽省六安市裕安区新世纪中学2024-2025学年高二上学期9月月考数学试卷（A班）

试卷第 1页，共 5页 六安市新世纪中学高二年级 A 班九月份月考数学试卷 必修第二册第六章---第八章 一、单选题（每题 5分共 40 分） 1．i是虚数单位，复数 2 i1 2i    （ ） A． 1 B．1 C． i D． i 2．已知  2,4a    ，  1,1b   ，则  a a b      （ ） A．6 B． 6 C．18 D． 18 3．如图，四边形 ABCD的斜二测直观图为平行四边形 A B C D   ，已知 πA O BO O E C E D E              ，则该图形的面积为（ ） A． 24π B． 2π C． 22π D． 4π 4．马剑馒头在我市很有名，吃起来松软有韧劲，特别受欢迎.某马剑镇馒头商家为了将马剑 馒头销往全国，学习了“小罐茶”的销售经验，决定走少而精的售卖方式，争取让马剑馒头走 上高端路线，定制了如图所示由底面圆半径为 4cm的圆柱体和球冠（球的一部分，球心与 圆柱底面圆心重合）组成的单独包装盒（包装盒总高度为 5cm），请你帮忙计算包装盒的表 面积（ ）（单位：平方厘米，球冠的表面积公式为 2πS Rh ，其中 R为球冠对应球体的半 径，h为球冠的高） A．36π B． 40π C． 44π D．60π 5．设m n､ 是两条不同的直线，  ､ ､ 是三个不同的平面.下列命题中正确的命题是（ ） A．若 ,     ，则 ∥  B．若m∥ , ∥  ，则m∥  C．若m∥ ,n n∥ ，则m∥ D．若 ∥ , ,m n    ，则m∥ n 6．空间四边形 ABCD中， 2AD BC  ， E， F 分别是 AB，CD的中点， 3EF ，则异 面直线 AD， BC所成的角为（ ） 试卷第 2页，共 5页 A．30° B．60° C．90° D．120° 7．如图，AB圆的直径，点 C在圆上，PA⊥平面 ABC，则图中直角三角形的个数是（ ） A．4 B．3 C．2 D．1 8．如图，圆锥底面半径为 3，母线 12PA  ， 2 3 AB AP   ，一只蚂蚁从 A点出发，沿圆锥侧 面绕行一周，到达 B点，最短路线长度为（ ） A．6 7 B．16 C． 4 10 D．12 二、多选题（每题 6分，选错多选不得分，选对部分答部分分，共 18 分） 9．下列结论正确的是（ ） A．一个平面内有且只有一对不共线的向量可作为表示该平面内所有向量的基底 B．互为相反向量的两个向量的模相等 C．方向相同的两个向量，向量的模越大，则向量越大 试卷第 3页，共 5页 D．向量 a与b  共线存在不全为零的实数 1 2,  ，使 1 2 0a b     10．已知 、 表示不同的平面，m、 n表示不同的直线，则下列命题中正确的有（ ） A．若m  ，m  ，则  B．若m  ， n  ，则 //m n C．若 //m n， n  ，  ，则 / /m  D．若 / /m  ， //n  且  ，则 //m n 11．如图，在四棱锥 P ABCD 中，底面 ABCD是正方形，侧面 PAD为等边三角形， 2PA  ， 平面 PAD 平面 ABCD，点 M在线段 PC上运动（不含端点），则下列说法正确的是（ ） A． AB与 PC是异面直线 B．平面 PAD 平面 PCD C．存在点 M使得 BD AM D．存在点 M使得 BM ‖平面 PAD 三、填空题（每空 5分共 15 分） 12．若复数 z满足 (3 4i 7 i) z   ，则 z对应的点位于第 象限. 13．长方体的表面积是 24，它过同一个顶点的三条棱长之和为 6，则它的体对角线长是 . 14．如图为一正方体的平面展开图，在这个正方体中，有下列四个命题： ① / /AC EB； ② AC与DG成 60°角； ③DG与MN成异面直线且DG MN ； ④若 NB与平面 ABCD所成角为 ，则 3sin 3   ． 其中正确的序号是 ． 四、解答题（满分 77 分） 15．（第一问 6 分，第二问 7 分共 13 分） （1）化简    6 4 5 2 3 7a a b a b a b              ； 试卷第 4页，共 5页 （2）把满足3 2x y a     ， 4 3x y b     的向量 x  、 y  用a  、b  表示出来. 16．(第一问 7分，第二问 8分共 15分） 已知复数     21 i 3 1 i 2 i z      ． (1)求复数 z； (2)若 2 1 iz az b    ，求实数 a，b的值． 17．(第一问 7分，第二问 8分共 15分） 某广场内设置了一些石凳供大家休息，这些石 凳是由正方体截去八个一样的四面体得到的，如图所示，若被截正方体的棱长是 60cm． (1)求石凳的体积； (2)为了美观工人准备将石凳的表面进行粉刷，已知每平方米造价 50元，请问粉刷一个石凳 需要多少钱？ 18．(第一问 8分，第二问 9分共 17分） 如图，在正方体 1 1 1 1ABCD ABC D 中，M 为 1DD 的中点. (1)求证： 1 //BD 平面 AMC； (2)若N为 1CC 的中点，求证：平面 //AMC 平面 1BND . 19．(第一问 7分，第二问 10分共 17分） 如图，在三棱柱 1 1 1ABC ABC 中，底面 ABC中 角 B为直角， 1 1AA AB  ，侧面 1 1ABB A 底面 ABC . 试卷第 5页，共 5页 (1)求证： 1 1AB AC ； (2)当 1 2A B  ，直线 1AC与平面 ABC所成角为30o时， （i）求证：平面 ABC 平面 1 1AACC； （ii）求二面角 1B AC A  的正弦值. 答案第 1页，共 11页 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C C A D D B A C BD AB 题号 11 答案 AB 1．C 【分析】借助复数的运算法则计算即可得. 【详解】       2 i 1 2i2 i 2 5i 2 i 1 2i 1 2i 1 2i 5            . 故选：C. 2．C 【分析】利用向量线性运算与数量积运算的坐标表示即可得解. 【详解】因为  2,4a    ，  1,1b   ，则  3,3a b     ， 所以    2 3 4 3 18a a b           . 故选：C. 3．A 【分析】利用斜二测画法得到原图矩形 ABCD中， 2πAB BC  为正方形，从而求出面积. 【详解】平行四边形 A B C D   ，由斜二测画法得，在原图矩形 ABCD中， 2πAB BC  ， ABCD为正方形，故该图形的面积为 22π 2π 4π  ． 故选：A. 4．D 【分析】求出球冠的高，可得圆柱的高，根据圆柱的侧面积公式以及底面圆面积以及球冠的 面积公式即可求得答案. 【详解】如图，由题意知包装盒总高度为5cm，即球冠所在球的半径为 5OC R  ， 答案第 2页，共 11页 圆柱底面圆的半径为 4O A r   ，设球冠的高为 cmO C h  ， 则 2 2 2OA OO OA   ，即 2 2 25 (5 ) 4 , 2h h     或 8 5h   （舍去）， 故圆柱高为5 2 3(cm)  ， 故包装盒的表面积为 22π 4 3 π 4 2π 5 2 60π        ， 故选：D 5．D 【分析】根据题意，由空间中直线与平面的位置关系，对选项逐一判断，即可得到结果. 【详解】若 ,     ，则 与 相交或平行，故 A错误； 若m∥ , ∥  ，则m∥  或m  ，故 B错误； 若m∥ ,n n∥ ，则m∥ 或m  ，故 C错误； 若 ∥ , ,m n    ，则m∥ n，故 D错误； 故选：D 6．B 【解析】取 AC中点 G，连接 EG、FG，可知∠EGF或其补角即为异面直线 AD，BC所成的 角，在△EFG中，由余弦定理可得 cos∠EGF，结合角的范围可得答案． 【详解】取 AC中点 G，连接 EG、FG， 由三角形中位线的知识可知：EG 1 2  BC，FG 1 2  AD， ∴∠EGF或其补角即为异面直线 AD，BC所成的角， 在△EFG中，cos∠EGF 2 2 2 2 2 21 1 ( 3) 1 2 2 1 1 2 EG FG EF EG FG             ， ∴∠EGF＝120°，由异面直线所成角的范围可知应取其补角 60°， 故选：B． 答案第 3页，共 11页 【点睛】本题考查异面直线所成的角，涉及解三角形的应用，属中档题． 7．A 【分析】根据 AB是圆O的直径，得出 ABCV 是直角三角形；PA 平面 ABC，得出 PAC 、 PAB 是直角三角形； BC 平面 PAC，得出 PBC△ 是直角三角形，即可得结论. 【详解】 AB 是圆O的直径， AC BC  ， ABC 是直角三角形； 又 PA 平面 ABC， , ,AC AB BC 平面 ABC PA AB  ， PA AC ，PA BC ； PAC△ 、 PAB 是直角三角形； 又 , ,AC PA A AC PA  平面 PAC， BC 平面 PAC，PC 面 PAC， BC PC  ， PBC△ 是直角三角形； 四面体 P ABC 的四个面中，直角三角形有 4个． 故选：A． 8．C 【分析】把圆锥侧面沿母线 PA剪开，展在同一平面内，再利用两点间距离最短求出结果. 【详解】把圆锥侧面沿母线 PA剪开，展在同一平面内得扇形 APA，连接 AB，如图， 答案第 4页，共 11页 令扇形 APA圆心角大小为 ，则12 2π 3   ，解得 π 2   ， 在Rt PAB△ 中， 1 4 3 PB PA  ，则 2 2 2 24 12 4 10AB PB PA     ， 所以一只蚂蚁从 A点出发，沿圆锥侧面绕行一周，到达 B点，最短路线长度为 4 10 . 故选：C 9．BD 【分析】根据基底的定义即可判断 A；根据相反向量的定义即可判断 B；根据向量的定义即 可判断 C；根据共线向量的定义即可判断 D. 【详解】对于 A，由平面基底的概念可知， 只要不共线的任何两个向量都可以作为平面的一组基底向量，故 A错误； 对于 B，方向相反模模相等的两个向量为相反向量，故 B正确； 对于 C，向量不能比较大小，故 C错误； 对于 D，向量 a与b  共线存在不全为零的实数 1 2,  ，使 1 2 0a b     ，故 D正确. 故选：BD. 10．AB 【分析】利用面面垂直的判定可判断 A选项；利用线面垂直的性质可判断 B选项；根据已 知条件判断线面、线线位置关系，可判断 CD选项. 【详解】对于 A选项，若m  ，m  ，则  ，A对； 对于 B选项，若m  ，n  ，则 //m n，B对； 对于 C选项，若 //m n， n  ，则m  ，因为  ，则m  或 / /m  ，C错； 对于 D选项，若 / /m  ， //n 且  ，则m、 n平行、相交或异面，D错. 故选：AB. 11．AB 【分析】对于 A，根据异面直线的定义分析判断，对于 B，根据面面垂直的性质可得线面垂 直，再利用面面垂直的判定分析判断，对于 C，利用反证法分析判断，对于 D，根据线面平 答案第 5页，共 11页 行的判定定理分析判断. 【详解】对于 A，因为 AB 平面 ABCD，PC与平面 ABCD相交于点C，而点C不在直线 AB 上， 所以 AB与 PC是异面直线，所以 A正确， 对于 B，因为底面 ABCD是正方形，所以 AD CD ， 因为平面 PAD 平面 ABCD，平面PAD平面 ABCD AD ，CD 平面 ABCD， 所以CD 平面 PAD，因为CD 平面 PCD，所以平面 PAD 平面 PCD，所以 B正确， 对于 C，取 AD的中点G，连接 , ,GC PG BD，因为侧面 PAD为等边三角形，所以 PG AD ， 因为平面 PAD 平面 ABCD，平面PAD平面 ABCD AD ，PG 平面 PAD， 所以 PG 平面 ABCD，因为 BD 平面 ABCD，所以 PG BD ， 假设 BD AM ，因为BD AC ， AC AM A  ， ,AC AM 平面 PAC， 所以 BD 平面 PAC，因为PA平面 PAC，所以 BD PA ， 因为 PG BD ， PG PA P ， ,PG PA平面 PAG， 所以 BD 平面 PAG，因为 AD 平面 PAG，所以BD AD ， 这与四边形 ABCD是正方形相矛盾，所以 BD AM 不成立，所以 C错误， 对于 D，因为四边形 ABCD是正方形，所以 BC ‖ AD，因为 AD 平面 PAD，BC 平面 PAD， 所以 BC ‖平面 PAD，所以当点M 与点C重合时，才有 BM ‖平面 PAD， 因为点 M在线段 PC上运动（不含端点），所以不存在点 M使得 BM ‖平面 PAD，所以 D错 误. 故选：AB 12．四 【分析】根据给定条件，利用复数的除法求出 z即可得解. 【详解】依题意， 7 i (7 i)(3 4i) 25 25i 1 i 3 4i (3 4i)(3 4i) 25 z            ， 所以复数 z对应的点 (1, 1) 位于第四象限. 故答案为：四 答案第 6页，共 11页 13． 2 3 【分析】设出长宽高，表示出表面积和棱长之和，得到关系式即可求解. 【详解】设长方体的长、宽、高分别为 a，b，c， 则  2 24 6 ab bc ac a b c         ，可得 2 2 2 12a b c   ， 所以长方体的体对角线为 2 2 2 2 3a b c   . 故答案为： 2 3 14．②④ 【分析】首先还原几何体，再根据线线的位置关系，判断选项. 【详解】将正方体纸盒展开图还原成正方体，如图知 AC与 EB是异面直线，直线不平行， 故①错误； 连接 AF 、 FC ,将DG平移到 AF ，则 AC与DG所成角 FAC , FAC 为等边三角形，即可 60FAC   ,故②正确； 连接 BG ,将MN平移到 BD，则MN与DG所成角 GDB , GDB△ 为等边三角形，同理 ,DG MN 成60o角，故③错误； ND 平面 ABCD， NB与平面 ABCD所成角为 NBD   ， 3sin , 3 ,sin 3 ND NB ND NB     故④正确. 故答案为:②④ 15．（1）13 7a b  ；（2） 3 2x a b    ， 4 3y a b    . 【分析】（1）去括号，合并同类项即可得出结果； （2）建立方程组 3 2 4 3 x y a x y b           ，解出 x  和 y  即可. 答案第 7页，共 11页 【详解】（1）原式  6 6 14 7 13 7a a b a b a b       r r r r r r r； （2）由已知得 3 2 , 4 3 , x y a x y b            ① ② ， ① 3 ② 2 得 3 2x a b  r r r ，① 4 ② 3 得 4 3y a b  ur r r ， 因此， 3 2x a b  r r r ， 4 3y a b  ur r r . 【点睛】本题考查向量加减法的运算律，同时也考查了方程思想的应用，考查计算能力，属 于基础题. 16．(1)1 i (2) 3, 4. a b     【分析】（1）根据复数乘方和除法法则计算； （2）根据复数相等列方程，解方程即可. 【详解】（1）   3 i 2 i2i 3 3i 3 i 1 i 2 i 2 i 5 z             ． （2）把 1 iz   代入 2 1 iz az b    ，得    21 i 1 i 1 ia b      ， 整理得  2 i 1 ia b a     ，所以 1 2 1 a b a       ，解得 3 4 a b     . 17．(1) 3180000cm (2)  54 18 3 元 【分析】（1）计算出正方体的体积减去 8个小正三棱锥的体积，得到答案； （2）计算出石凳的表面积，从而求出粉刷一个石凳的钱数. 【详解】（1）正方体的体积为 3360 216000cm ， 石凳的体积为正方体的体积减去 8个正三棱锥的体积，其中一个小正三棱锥的三条侧棱边长 为30cm， 故一个小正三棱锥的体积为 321 1 30 30 4 c5 2 m00 3     ， 故石凳的体积为 3216000 4500 8 c180 m000   . 答案第 8页，共 11页 （2）石凳的表面由 6个正方形和 8个正三角形组成，其中正方形和正三角形的边长均为 30 2cm， 则石凳的表面积为    2 216 30 2 30 2 30 2 sin 60 8 3600 3 10800 cm2       ， 则粉刷一个石凳需要  3600 3 10800 50 54 18 310000     元. 18．(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）构造三角形的中位线，可得线线平行，再利用线面平行的判定定理可得线面平 行. （2）寻找线面平行，根据面面平行的判定定理证明面面平行. 【详解】（1）如图：连接 BD，设 AC BD O ，连接 OM， ∵在正方体 1 1 1 1ABCD ABC D 中，四边形 ABCD是正方形， O 是 BD中点， M 是 1DD 的中点， 1//OM BD ， 1BD  平面 AMC，OM 平面 AMC， 1 //BD 平面 AMC . （2）如图：连接 1D N ，NB， NQ 为 1CC 的中点，M 为 1DD 的中点， 1CN DM  ，又 1//CN DM ， 答案第 9页，共 11页 ∴四边形 1CNDM 为平行四边形， 1 //D N CM ， 又 MC  平面 AMC， 1D N  平面 AMC， 1 //D N 平面 AMC 由（1）知 1 //BD 平面 AMC， 1 1 1BD D N D  ， 1BD 平面 1BND ， 1D N 平面 1BND ， ∴平面 //AMC 平面 1BND . 19．(1)证明见解析 (2)（i）证明见解析；（ii） 6 3 【分析】（1）先求证 BC 平面 1 1ABB A，进而得 1BC AB ，接着由 1 1ABB A是菱形得 1 1AB A B ， 从而得 1AB 平面 1ABC，进而得证 1 1AB AC . （2）（i）求证 1AA 平面 ABC即可由面面垂直的判定定理得证平面 1 1ACC A 平面 ABC； （ii）分别作 BD AC 交 AC于D，作 1DE AC 交 1AC于 E，连接 BE，进而得 1AC 平面 BDE，从而得 BED 是二面角 1B AC A  的平面角，接着由等面积法求出 BD和 BE即可由 sin BDBED BE   得解. 【详解】（1）因为 90ABC  ，所以 AB BC ， 因为平面 1 1ABB A 平面 ABC，平面 1 1ABB A 平面 ABC AB ， BC 平面 ABC， 所以 BC 平面 1 1ABB A ， 因为 1AB 平面 1 1ABB A ，所以 1BC AB ， 由三棱柱性质得四边形 1 1ABB A 是平行四边形，又因为 1AA AB ， 所以 1 1ABB A 是菱形，所以 1 1AB A B ， 因为 1 1AB BC B ， 1A B、 BC 平面 1ABC，所以 1AB 平面 1ABC， 因为 1AC 平面 1ABC，所以 1 1AB AC . （2）（i）当 1 2A B  时，因为 1 1AA AB  ， 所以 2 2 2 1 1AA AB A B  ，所以 1AA AB ， 答案第 10页，共 11页 由（1） BC 平面 1 1ABB A， 1AA 平面 1 1ABB A，所以 1AA BC ， 因为 AB BC B  ， AB、 BC 平面 ABC，所以 1AA 平面 ABC， 因为 1AA 平面 1 1ACC A ，所以平面 1 1ACC A 平面 ABC； （ii）因为 1AA 平面 ABC， AC 平面 ABC， 所以直线 1AC与平面 ABC所成的角为 1ACA ，所以 1 30ACA  ， 因为 1 1AA AB  ，且 1 2A B  ， 1 2AC  ， 3AC  ，故 2BC  ， 作 BD AC 交 AC于D， 因为平面 1 1ACC A 平面 ABC，平面 1 1ACC A 平面 ABC AC ， BD 平面 ABC， 所以 BD 平面 1 1ACC A ，又 1AC 平面 1 1ACC A ，所以 1BD AC ， 作 1DE AC 交 1AC于 E，连接 BE， 因为 BD DE D ， BD、DE 平面 BDE，所以 1AC 平面 BDE， 因为 BE 平面 BDE，所以 1AC BE ， 所以 BED 是二面角 1B AC A  的平面角， 因为 AC BD AB BC   即 3 1 2BD   ，所以 6 3 BD  ， 因为 1 1AC BE AB BC   即 2 2 2BE   ，所以 1BE  ， 所以 6sin 3 BDBED BE    ， 所以二面角 1B AC A  的正弦值为 6 3 . 【点睛】思路点睛：本题在求二面角 1B AC A  时采用的方法是定义法，通过作 BD AC 交 AC于D和作 1DE AC 交 1AC于 E，从而作出二面角 1B AC A  的棱 1AC的垂面，进而得到 答案第 11页，共 11页 二面角 1B AC A  的平面角 BED ，再由等面积法求出BD和 BE即可得解.