安徽省六安市裕安区新世纪中学2024-2025学年高二上学期9月月考数学试卷（B班）

试卷第 1页，共 3页 六安市裕安区新世纪中学高二年级 9 月份月考数学 B 班试卷 必修第一册第五章 1-5 节 一、单选题（每题 5分总计 40 分） 1．下列命题中正确的是（ ） A．终边重合的两个角相等 B．锐角是第一象限的角 C．第二象限的角是钝角 D．小于 90°的角都是锐角 2．与 30°角的终边关于 x轴对称的角的集合为 A． | 360 30 ,x x k k Z     B． | 360 30 ,x x k k Z     C． | 360 150 ,x x k k Z     D． | 360 210 ,x x k k Z     3．函数 cos , [0, 2 ]y x x    的图象与 cos , [0, 2 ]y x x   的图象（ ） A．关于 x轴对称 B．关于原点对称 C．关于原点和 x轴对称 D．关于 y轴对称 4．已知 4cos 5 x  ，则 cos2x的值为（ ） A． 7 25  B． 3 5 C． 1 5 D． 7 25 5．若  tan π 2   ，则 2sin cos sin cos        （ ） A．5 B．0 C． 4 D．1 6．在 ABCV ， 120C  ， 1tan tan 3 A B  ，则 tan tanA B 的值为（ ） A． 4 3 3 B． 2 3 3 C． 3 3 4 D． 3 3 2 7．已知α， (0,π)  ，且 3cos 5   ， 5sin( ) 13    ，则 cos  （ ） A． 56 65 B． 16 65 C． 33 65 D． 63 65 8．若 π 4sin 12 5       ，则 5πcos 2 6       （ ） A． 12 25  B． 7 25  C． 7 25 D． 12  25 二、多选题（每题 6分，多选或选错不得分，选对部分答部分分，总计 18 分） 9．圆的一条弦的长等于半径，则这条弦所对的圆周角的弧度数为（ ） A． π 6 B． π 3 C． 2π 3 D． 5π 6 10．下列选项中，值为 14 的有（ ） 试卷第 2页，共 3页 A． sin 75 sin15  B． sin18 sin54  C． sin56 sin 4 cos56 cos4       D． 2 1 tan 22.5 2 1 tan 22.5    11．函数 2sin cos 3 cos 3y x x x   的图象的一个对称中心为（ ） A． π 3, 3 2        B． 5π 3, 6 2        C． 2π 3, 3 2        D． 2 , 3 3 π     三、填空题（每空 5分总计 15 分） 12．化简 πcos 2       13．已知角 终边上有一点  1,2P ，则 π πcos tan(π ) sin 2 2 3πcos cos(π ) 2                             . 14．在����中， C 是钝角，设 sinx C ， sin siny A B  ， cos cosz A B  ，则 x、 y、 z的大小关系是. 四、解答题 15（本题 13分）．已知扇形的弧所对的圆心角为 54o，且半径为10cm．求该扇形的弧长和面 积． 16（第一小题 7分，第二小题 8分总计 15分）．如图，平面直角坐标系 xOy中，角 的终边 OT与单位圆交于点 3 4, 5 5 T      . (1)求 sin , tan  的值； (2)求         πtan 2π sin 2π sin 2 cos π sin 5π                的值. 17（第一小题 7分，第二小题 8分总计 15分）．已知 sin cos 3 sin cos        ，计算下列各式的值. (1) tan ； 试卷第 3页，共 3页 (2) 2sin 2sin cos   . 18（第一小题 8分，第二小题 9分总计 17分）． （1）化简 2 1 2sin 40 cos 40 sin 40 1 sin 40        ； （2）求证： 1 sin 2 1 tan cos 2 1 tan         . 19（第一小题 8分，第二小题 9分总计 17分）． （1）化简： 1 3 sin10 cos10   . （2）已知 ,  都是锐角，  4 5sin ,cos 5 13      ，求 sin  的值. 答案第 1页，共 6页 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B B A D D B A C AD ABD 题号 11 答案 AB 1．B 【分析】根据象限角的定义以及终边相同的角，可得答案. 【详解】对于 A，终边相同的角可表示为  2 π Zk k    ，故 A错误； 对于 B，锐角的取值范围为 π0 2       ， ，故 B正确； 对于 C，第二象限角的取值范围为  π 2 π, π 2 π Z 2 k k k       ，故 C错误； 对于 D，锐角的取值范围为 π0 2       ， ，其 π 90 2  ，则0 90 ，但 0不是锐角，故 D错误. 故选：B. 2．B 【解析】先分析与 30°角的终边关于 x轴对称的角中绝对值最小的角,再根据角度的周期性分 析即可. 【详解】与30角的终边关于 x轴对称的角中绝对值最小的角为 30  ,又角度旋转一周即360 后与原角度重合,故与30角的终边关于 x轴对称的角为 | 360 30 ,x x k k Z     . 故选：B 【点睛】本题主要考查了终边相等的角的集合,属于基础题. 3．A 【详解】函数 cos , [0, 2 ]y x x    的图象与 cos , [0, 2 ]y x x   的图象关于 x轴对称， 故 B、C、D错误，A正确 故选;A 4．D 【分析】直接根据二倍角的余弦公式运算即可. 【详解】因为 4cos 5 x  ， 2 16 7cos2 2cos 1 2 1 25 25 x x      ， 故选：D. 5．D 答案第 2页，共 6页 【分析】由诱导公式以及商数关系求解即可. 【详解】    tan π tan π tan 2        ，则 2sin cos 2 tan 1 1 sin cos tan 1             . 故选：D 6．B 【分析】根据两角和正切公式的变形可求出. 【详解】因为 tan tantan( ) 1 tan tan A BA B A B     , 所以 tan tan 3tan( ) tan (tan tan )1 21 3 A BC C A B        , 即 2 3tan tan 3 A B  ， 故选：B 【点睛】本题主要考查了两角和的正切公式，诱导公式，属于中档题. 7．A 【分析】根据角的变换        ，再根据两角差的余弦公式，以及同角三角函数基本 关系式，即可求解. 【详解】由  0, π  ， ，且 3cos 0 5    ，则 π0, 2       ，则 4sin 5  = . 则 ππ, 2          ，由 5sin( ) 13    ，则 π0, 2         ，   12cos 13    ，      cos cos cos cos sin sin                  3 12 4 5 56 5 13 5 13 65      . 故选：A 8．C 【分析】根据诱导公式以及二倍角公式即可代入求解. 【详解】 2 25π 5π π π 4 7cos 2 cos 2 π cos 2 1 2sin 1 2 6 6 6 12 5 25                                                   故选：C 9．AD 答案第 3页，共 6页 【分析】根据圆弧所对的圆周角是圆心角的一半，计算即可得出结果. 【详解】设这条弦所对的圆周角为 ， 则其圆心角为 2 或 2π 2 ，由于弦长等于半径， 所以可得 π2 3   或 π2π 2 3   ， 解得 π 6   或 5π 6   . 故选：AD 10．ABD 【分析】由三角恒等变换以及诱导公式逐一验算即可求解. 【详解】A选项： 1 1sin 75 sin15 sin15 cos15 sin30 2 4         ； B选项： 1 1sin36 sin54 sin36 cos36sin18 cos18 sin54 2 2sin18 sin54 cos18 cos18 cos18               1 sin 72 14 cos18 4     ； C选项：     3 1sin56 cos56 sin56sin56 sin 60 56sin56 sin 4 2 2 cos56 cos4 cos56 cos 60 56 1 3cos56 cos56 sin56 2 2                           1 3sin56 cos56 32 2 33 3sin56 cos56 2 2         ； D选项：因为 2 2 tan 22.5tan 45 1 1 tan 22.5       ，可得 2 1 tan 22.5 12 1 tan 22.5 4     ； 故选：ABD. 11．AB 【分析】利用二倍角公式和辅助角公式化简函数解析式，然后根据正弦函数的性质求对称中 心即可. 【详解】因为 2 1 3 3 π 3sin cos 3 cos 3 sin 2 cos 2 sin 2 2 2 2 3 2 y x x x x x x             ， 令 π2 π 3 x k  ， Zk ，解得 π π 6 2 kx    ， Zk ， 答案第 4页，共 6页 即函数的对称中心为 π π 3, 6 2 2 k         ， Zk ， 当 1k  时为 π 3, 3 2        ，所以 π 3, 3 2        是函数的一个对称中心， 当 2k  时为 5π 3, 6 2        ，所以 5π 3, 6 2        是函数的一个对称中心. 故选：AB. 12． sin 【分析】根据诱导公式即可得到答案. 【详解】 πcos sin 2         . 故答案为： sin . 13． 5 【分析】先根据三角函数的定义求出 tan ，再利用诱导公式化简，结合商数关系即可得解. 【详解】∵角 终边上有一点  1,2P ，∴ tan 2  ， ∴   π πcos tan(π ) sin sin tan cos2 2 3π sin coscos cos π 2                                  2tan 1 4 1 5 tan 1 2 1             ． 故答案为： 5 ． 14． x y z  【分析】由三角形的三边关系结合正弦定理可得出 x与 y的大小关系，由正弦函数的单调性 可得出 y、 z的大小关系，由此可得出 x、 y、 z的大小关系. 【详解】在����中，设内角A、 B、C的对边分别为 a、b、 c，则 c a b  ， 由正弦定理得 sin sin sinC A B  ，则 x y ， 由于C为钝角，则0 2 A B    ，所以， 0 2 2 A B     ， 正弦函数   sinf t t 在 0, 2 t      时单调递增，则 sin sin cos 2 A B B       ， 同理可得 sin cosB A ，所以， sin sin cos cosA B A B   ，即 y z . 因此， x y z  . 答案第 5页，共 6页 故答案为： x y z  . 【点睛】本题考查三角形中三角函数值的大小比较，涉及三角形三边关系以及正弦函数的单 调性的应用，考查推理能力，属于中等题. 15．弧长：3π(cm)；面积： 215π(cm ) 【分析】先将角度转化成弧度，然后根据弧长公式面积公式求解. 【详解】 3π54 10  ,根据弧长公式，弧长为： 3π 10 3π(cm) 10   ，面积为 2 1 3π 10 15π(cm ) 2    16．(1) 4 4sin , tan 5 3    (2) 4 3  【分析】（1）利用三角函数的定义即可求值； （2）根据诱导公式求值化简即可. 【详解】（1）由三角函数的定义知： 3 4cos ,sin 5 5    ， 所以 sin 4tan cos 3     . （2）由题化简原式得：    tan sin cos tan sin cos 4tan cos sin cos sin 3                     . 17．(1)2 (2)0 【分析】（1）（2）根据齐次式以及弦切互化即可求解. 【详解】（1） sin cos 3 sin cos        ，化简得 4cos 2sin  ， sintan 2 cos      . （2） 2 2 2 2 2 2 2 2 sin 2sin cos tan 2tan 2 2 2sin 2sin cos 0 sin cos tan 1 2 1                       . 18．（1） 1 ；（2）见解析. 【分析】（1）利用  21 2sin 40 cos 40 sin 40 cos 40      化简即可，注意 cos40 sin 40   . （2）利用二倍角公式、同角的三角函数基本关系式化简即可证明. 答案第 6页，共 6页 【详解】（1）原式 sin 40 cos40 cos40 sin 40 1 sin 40 cos40 sin 40 cos40             ； （2）证明：左边      2 2 2 sin cos1 2sin cos cos sin cos sin cos sin                sin1sin cos 1 tancos sincos sin 1 tan1 cos                 右边， 所以原等式成立. 【点睛】三角函数的化简求值问题，可以从四个角度去分析：（1）看函数名的差异；（2）看 结构的差异，比如 sin cos , sin cos , sin 2     四个代数式，只要知道其中一个值，就可求 出其余三个；（3）看角的差异；（4）看次数的差异．对应的方法是：弦切互化法、辅助角公 式（或公式的逆用）、角的分拆与整合（用已知的角表示未知的角）、升幂降幂法． 19．（1） 4；（2） 16 65 【分析】（1）通分，然后用辅助角公式计算即可； （2）先通过角的范围求出  cos ,sin   ，再通过  sin sin      ，利用两角差的正 弦公式计算即可. 【详解】（1）    2 sin30 cos10 30 sin10 2sin 30 101 3 cos10 sin10 41sin10 cos10 sin10 cos10 sin10 cos10 c sin 20 o3 2 s                     ； （2）因为 ,  都是锐角，则0     ， 又   5cos 0 13     ， 0 2      ，    2 2cos 1 sin ,sin 13 12cos 5 13               ，      sin sin sin cos cos sin                 12 3 5 4 16 13 5 13 5 65     