第3章 勾股定理（7大题型）-【上好课】2024-2025学年八年级数学上册同步精品课堂（苏科版）

第3章 勾股定理重难点复习 思维导图 题型一 以直角三角形三边为边长的面积问题 1．如图所示的是由两个直角三角形和三个正方形组成的图形，其中阴影部分的面积是　　 A．50 B．16 C．25 D．41 2．如图，在四边形中，，分别以四边形的四条边为边向外作四个正方形，面积分别记为，，，．若，，则　　． 3．如图是勾股树衍生图案，它由若干个正方形和直角三角形构成，，，，分别表示其对应正方形的面积，若已知上方左右两端的两个正方形的面积分别是64，9，则的值为　　． 4．如图，△中，分别以这个三角形的三边为边长作正方形，面积分别记为、、．如果，则阴影部分的面积为　　． 题型二 用勾股定理解三角形 1．已知△中，，点在边的延长线上，，则　　 A．16 B．15 C．13 D．12 2．在如图所示的正方形网格中，点，，，，分别是网格线交点，则的度数为　　 A． B． C． D． 3．已知一个直角三角形的两边长分别是3和4，则第三边长的平方是　　． 4．若直角三角形的两直角边分别为10、24，则斜边上的高线长　　． 5．如图，已知四边形中，，，，，，则四边形的面积等于　　． 6．如图，在中，，点是上一点，，若，，则　　． 7．在△中，，，，则△的面积是　　． 8．如图，在中，，，，点为内一点，且，． （1）求的长； （2）求图中阴影部分（四边形ABDC）的面积． 9．如图，在中，、分别是高和角平分线． （1）若，，求的度数； （2）若，，，求证：是直角． 10．如图，在△中，边上的垂直平分线与、分别交于点、，且． （1）求证：； （2）若，，求的长． 题型三 勾股定理的证明及以弦图为背景的计算 1．利用下列图形，能验证勾股定理的图形共有　　 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为，较短直角边长为，若，大正方形的面积为129．则小正方形的边长为　　 A．7 B．8 C．9 D．10 3．如图，四个全等的直角三角形围成正方形和正方形，连接，分别交，于点，．已知，正方形的面积为24，则图中阴影部分的面积之和为　　 A．4 B．4.5 C．4.8 D．5 4．如图是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案，已知大正方形的面积为49，小正方形面积为4，若用，表示直角三角形的两条直角边长，下列四个说法： ①； ②； ③； ④， 其中正确的说法是　　 A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④ 5．如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形构成的大正方形，若直角三角形的两边长分别为3和5，则小正方形的面积为　　． 6．“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为，短直角边长为，若，大正方形的面积为15，则小正方形的面积为　　． 7．用四个全等的直角三角形拼成如图①所示的大正方形，中间也是一个正方形．它是美丽的弦图．其中四个直角三角形的直角边长分别为，，斜边长为． （1）结合图①，求证：； （2）如图②③，将八个全等的直角三角形紧密地拼接成正方形，记正方形、正方形、正方形的面积分别为，，，若，求． 8．我们已经知道，通过不同的方法表示同一图形的面积，可以探求相应的等式，如图①所示，四个形状大小完全相同的直角三角形与中间的小正方形拼成一个大正方形，四个直角三角形的两条直角边长分别为、，斜边长为． （1）图①中大正方形的面积可以用不同的方法表示：　　，　　（用，，表示）；由此我们得到一个等式，请你完成勾股定理的证明过程． （2）通过不同的方法表示同一几何体的体积，也可以探求相应的等式．图②是棱长为的正方体，被如图所示的分割线分成8块．用不同方法计算这个正方体的体积，就可以得到一个等式，这个等式为　　． （3）已知，，利用上面的等式求　　． 题型四 判断是否为直角三角形或勾股数 1．下列几组数中不能作为直角三角形三边长度的是　　 A．3，4，5 B．9，15，12 C．25，7，24 D．64，36，100 2．下列各组数中是勾股数的是　　 A．，， B．1，2，3 C．0.3，0.4，0.5 D．9，40，41 3．已知的三边长分别是、、，则下列条件中，能判断是直角三角形的是　　 A． B． C． D． 4．下列由三条线段、、构成的三角形：①；②，，；③；④，，为大于1的整数），其中能构成直角三角形的是　　 A．①④ B．①②④ C．②③④ D．①②③ 题型五 勾股定理与折叠问题 1．已知，如图长方形中，，，将此长方形折叠，使点与点重合，折痕为，则△的面积为　　 A． B． C． D． 2．如图，在中，，，，是边的中点，是边上一点，连接、．将沿翻折，点落在上的点处，则　　． 题型六 勾股定理与等腰三角形的存在性问题 1．如图，在中，，，，动点从点出发沿射线以的速度移动，设运动的时间为秒，当为等腰三角形时，的取值为　　． 2．如图所示，已知中，，，，点是边上的一个动点，点从点开始沿方向运动，且速度为每秒，设运动的时间为，若是以为腰的等腰三角形，则运动时间　　． 3．如图，在中，，，，动点从点出发，沿线段以每秒2个单位的速度向运动，过点作交所在的直线于点，连接，．设点运动时间为秒．当是等腰三角形时，则　　秒． 题型七 勾股定理的实际应用 1．《九章算术》记载：“今有开门去（读kǔn，门槛的意思）一尺，不合二寸．问门广几何？”题目大意是：如图，推开双门，点和点距离门槛都为1尺（1尺寸），双门间隙的距离为2寸，问门的宽度是多少？计算得的长是　　 A．50.5寸 B．52寸 C．101寸 D．104寸 2．明朝数学家程大位在他的著作《算法统宗》中写了一首计算秋千绳索长度的词，翻译为：如图秋千细索悬挂于点，静止时竖直下垂，点为路板位置，踏板离地高度为一尺（AC=1尺）．将它往前推进一些（EB⊥OC于点，且尺），踏板升高到点位置，此时路板离地五尺（BD=CE=5尺），求秋千绳或的长度． 3．今年，第十五号台风登陆江苏，市接到台风警报时，台风中心位于市正南方向的处，正以的速度沿方向移动．已知市到的距离， （1）台风中心从点移到点经过多长时间？ （2）如果在距台风中心的圆形区域内都将受到台风影响，那么市受到台风影响的时间是多长？ 4．“儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢”．又到了放风筝的最佳时节．某校八年级（1）班的小明和小亮学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高度，他们进行了如下操作：①测得水平距离的长为15米；②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为25米；③牵线放风筝的小明的身高为1.6米． （1）求风筝的垂直高度； （2）如果小明想风筝沿方向下降12米，则他应该往回收线多少米？ 5．如图，学校高的教学楼上有一块高的校训宣传牌，为美化环境，对校训牌进行维护．一辆高的工程车在教学楼前点处，伸长的云梯（云梯最长）刚好接触到的底部点处．问工程车向教学楼方向行驶多少米，长的云梯刚好接触到的顶部点处？ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第3章 勾股定理重难点复习 思维导图 题型一 以直角三角形三边为边长的面积问题 1．如图所示的是由两个直角三角形和三个正方形组成的图形，其中阴影部分的面积是　　 A．50 B．16 C．25 D．41 【详解】解：如图， 由勾股定理可得：， ， 阴影部分的面积． 故本题选：． 2．如图，在四边形中，，分别以四边形的四条边为边向外作四个正方形，面积分别记为，，，．若，，则　　． 【详解】解：如图，连接， 由题意可得：，，，， 在中，由勾股定理可得：， 在中，由勾股定理可得：， ， ． 故本题答案为：86． 3．如图是勾股树衍生图案，它由若干个正方形和直角三角形构成，，，，分别表示其对应正方形的面积，若已知上方左右两端的两个正方形的面积分别是64，9，则的值为　　． 【详解】解：如图， 图案由若干个正方形和直角三角形构成， ，，，． ． 故本题答案为：55． 4．如图，△中，分别以这个三角形的三边为边长作正方形，面积分别记为、、．如果，则阴影部分的面积为　　． 【详解】解：由题意可得：， 在△中，由勾股定理可得：， ， ， ， ， ． 故本题答案为：6． 题型二 用勾股定理解三角形 1．已知△中，，点在边的延长线上，，则　　 A．16 B．15 C．13 D．12 【详解】解：如图，过点作于， ， （三线合一）， 在△中，， 在△中，， ， 即， ． 故本题选：． 2．在如图所示的正方形网格中，点，，，，分别是网格线交点，则的度数为　　 A． B． C． D． 【详解】解：如图，连接、， 由勾股定理可得：，， ，， ， △是等腰直角三角形， ， 在△和△中， ， △△， ， ． 故本题选：． 3．已知一个直角三角形的两边长分别是3和4，则第三边长的平方是　　． 【详解】解：①长为3的边是直角边，长为4的边是斜边时： 第三边长的平方为：； ②长为3、4的边都是直角边时： 第三边的长为：； 综上，第三边的长为：25或7． 故本题答案为：25或7． 4．若直角三角形的两直角边分别为10、24，则斜边上的高线长　　． 【详解】解：由勾股定理可得：斜边长为， 设斜边上的高为， 则，解得：． 故本题答案为：． 5．如图，已知四边形中，，，，，，则四边形的面积等于　　． 【详解】解：如图，连接， ，，， ， 在中，， 是直角三角形， ． 故本题答案为：36． 6．如图，在中，，点是上一点，，若，，则　　． 【详解】解：设，则， 在中，， 在中，， ∴，解得：，即． 故本题答案为：1.4． 7．在△中，，，，则△的面积是　　． 【详解】解：如图，过点作于点， 设， ， ， 在△和△中，，， 由勾股定理可得：， ∴，解得：， ， ， ． 故本题答案为：84． 8．如图，在中，，，，点为内一点，且，． （1）求的长； （2）求图中阴影部分（四边形ABDC）的面积． 【详解】解：（1）在中，， ； （2），，， ， 为直角三角形，且， ， ， ． 9．如图，在中，、分别是高和角平分线． （1）若，，求的度数； （2）若，，，求证：是直角． 【详解】（1）解：平分， ， ， ， ； （2）证明：， ， ，， ， ，， ， ． 10．如图，在△中，边上的垂直平分线与、分别交于点、，且． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【详解】（1）证明：如图，连接， 边上的垂直平分线为， ， ， ， ， ； （2）设，则， 在△中，， ，解得：， ． 题型三 勾股定理的证明及以弦图为背景的计算 1．利用下列图形，能验证勾股定理的图形共有　　 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【详解】解：第一幅图中，大正方形的面积为：， 四个直角三角形的面积和为，中间小正方形的面积为， 大正方形的面积还可以表示为：四个直角三角形的面积与中间小正方形则的面积之和， 即， 第一幅图能利用面积验证勾股定理； 第二幅图中，四边形的面积为：直角梯形的面积减去一个直角三角形的面积， 即， 四边形的面积还可以表为：等腰直角三角形的面积加上一个直角三角形的面积， 即， ， 第二幅图能利用面积验证勾股定理； 第三幅图中，大正方形的面积为：， 大正方形的面积还可以表示为：四个直角三角形的面积加上中间小正方形的面积， 即， ， 第三幅图能利用面积验证勾股定理； 第四幅图中，五边形的面积为：大正方形的面积加上两个直角三角形的面积， 即， 五边形的面积还可以表示为：两个小正方形的面积加上两个直角三角形的面积， 即， ， 第四幅图能利用面积验证勾股定理； 综上，四幅图均可以利用面积验证勾股定理． 故本题选：． 2．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为，较短直角边长为，若，大正方形的面积为129．则小正方形的边长为　　 A．7 B．8 C．9 D．10 【详解】解：直角三角形较长直角边长为，较短直角边长为， 小正方形的边长为， 大正方形的面积为129， ， 大正方形的面积， ， ， ， ，即小正方形的边长为9． 故本题选：． 3．如图，四个全等的直角三角形围成正方形和正方形，连接，分别交，于点，．已知，正方形的面积为24，则图中阴影部分的面积之和为　　 A．4 B．4.5 C．4.8 D．5 【详解】解：， ， 设，则， ， ， 由题意可知：，， ， ， ， ， 阴影部分的面积之和为： ． 故本题选：． 4．如图是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案，已知大正方形的面积为49，小正方形面积为4，若用，表示直角三角形的两条直角边长，下列四个说法： ①； ②； ③； ④， 其中正确的说法是　　 A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④ 【详解】解：如图， 正方形的面积为49， ， 是直角三角形， 由勾股定理可得：，故①正确； 正方形的面积为4， ， ，故②正确； 由图可知：四个直角三角形的面积与小正方形的面积之和为大正方形的面积， ，即，故③错误； 由可得：， ， ∴，整理得：，故④错误； 综上，正确的是①②． 故本题选：． 5．如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形构成的大正方形，若直角三角形的两边长分别为3和5，则小正方形的面积为　　． 【详解】解：分两种情况： ①5为斜边时， 由勾股定理可得：另一直角边长， 小正方形的边长， 小正方形的面积； ②3和5为两条直角边长时， 小正方形的边长， 小正方形的面积； 综上，小正方形的面积为1或4． 故本题答案为：1或4． 6．“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为，短直角边长为，若，大正方形的面积为15，则小正方形的面积为　　． 【详解】解：设大正方形的边长为， 则， ， ，解得：， 小正方形的面积是：． 故本题答案为：6． 7．用四个全等的直角三角形拼成如图①所示的大正方形，中间也是一个正方形．它是美丽的弦图．其中四个直角三角形的直角边长分别为，，斜边长为． （1）结合图①，求证：； （2）如图②③，将八个全等的直角三角形紧密地拼接成正方形，记正方形、正方形、正方形的面积分别为，，，若，求． 【详解】（1）证明：， ， ∴， ； （2）解：设正方形的面积为，其他八个全等三角形的面积为， ， ，，， ， ， ． 8．我们已经知道，通过不同的方法表示同一图形的面积，可以探求相应的等式，如图①所示，四个形状大小完全相同的直角三角形与中间的小正方形拼成一个大正方形，四个直角三角形的两条直角边长分别为、，斜边长为． （1）图①中大正方形的面积可以用不同的方法表示：　　，　　（用，，表示）；由此我们得到一个等式，请你完成勾股定理的证明过程． （2）通过不同的方法表示同一几何体的体积，也可以探求相应的等式．图②是棱长为的正方体，被如图所示的分割线分成8块．用不同方法计算这个正方体的体积，就可以得到一个等式，这个等式为　　． （3）已知，，利用上面的等式求　　． 【详解】（1）证明：图中阴影部分小正方形的边长可表示为， 图中大正方形的面积为或， ， ， 故本题答案为：，； （2）解：图形的体积为：或， ， ， 故本题答案为：； （3）解：，，， ，解得：， 故本题答案为：40． 题型四 判断是否为直角三角形或勾股数 1．下列几组数中不能作为直角三角形三边长度的是　　 A．3，4，5 B．9，15，12 C．25，7，24 D．64，36，100 【详解】解：、，符合勾股定理的逆定理，能作为直角三角形三边长度； 、，符合勾股定理的逆定理，能作为直角三角形三边长度； 、，符合勾股定理的逆定理，能作为直角三角形三边长度； 、，不符合三角形三边关系，不能作为三角形三边长度． 故本题选：． 2．下列各组数中是勾股数的是　　 A．，， B．1，2，3 C．0.3，0.4，0.5 D．9，40，41 【详解】解：、，，不是正整数，不是勾股数，不合题意； 、，，2，3不是勾股数，不合题意； 、0.3，0.4，0.5不是整数，不是勾股数，不合题意； 、，、40、41是勾股数，符合题意． 故本题选：． 3．已知的三边长分别是、、，则下列条件中，能判断是直角三角形的是　　 A． B． C． D． 【详解】解：．， ， ， 是直角三角形，故符合题意； ．， 设，，， ，， ， 不是直角三角形，故不合题意； ．，， ， 不是直角三角形，故不合题意； ．， 设，则，， ， ， ， ， 不是直角三角形，故不合题意． 故本题选：． 4．下列由三条线段、、构成的三角形：①；②，，；③；④，，为大于1的整数），其中能构成直角三角形的是　　 A．①④ B．①②④ C．②③④ D．①②③ 【详解】解：①，， ， ， 能构成直角三角形； ②，， ， 能构成直角三角形； ③，， ， 不能构成直角三角形； ④，， ， 能构成直角三角形； 综上，能构成直角三角形的是①②④． 故本题选：． 题型五 勾股定理与折叠问题 1．已知，如图长方形中，，，将此长方形折叠，使点与点重合，折痕为，则△的面积为　　 A． B． C． D． 【详解】解：将此长方形折叠，使点与点重合， ， ， ， 由勾股定理可知：， ，解得：， △的面积为． 故本题选：． 2．如图，在中，，，，是边的中点，是边上一点，连接、．将沿翻折，点落在上的点处，则　　． 【详解】解：，，，是边的中点， ， ， 将沿翻折，点落在上的点处， ，，， ，， 设，则，， 在中，由勾股定理可得：，解得：， ． 故本题答案为：． 题型六 勾股定理与等腰三角形的存在性问题 1．如图，在中，，，，动点从点出发沿射线以的速度移动，设运动的时间为秒，当为等腰三角形时，的取值为　　． 【详解】解：在中，， ， ①当时，如图1，； ②当时，如图2，，； ③当时，如图3，，，， 在中，， ∴，解得：； 综上，当为等腰三角形时，或或． 故本题答案为：或或． 2．如图所示，已知中，，，，点是边上的一个动点，点从点开始沿方向运动，且速度为每秒，设运动的时间为，若是以为腰的等腰三角形，则运动时间　　． 【详解】解：，，， ， ， 如图1，， ； 如图2，， ， ； 如图3，， 过点作于，则， ， ， ， 由勾股定可得：， ， ； 综上，的值是或或． 故本题答案为：或或． 3．如图，在中，，，，动点从点出发，沿线段以每秒2个单位的速度向运动，过点作交所在的直线于点，连接，．设点运动时间为秒．当是等腰三角形时，则　　秒． 【详解】解：在中，，，， 由勾股定理可得：， ①当时，， ， ； ②当时，， 则， ， 即，解得：， 由勾股定理可得：， ； ③当时， ，， ， 由勾股定理可得：， ，，， ， ， ， ； 综上，是等腰三角形时，的值为5或或4． 故本题答案为：5或或4． 题型七 勾股定理的实际应用 1．《九章算术》记载：“今有开门去（读kǔn，门槛的意思）一尺，不合二寸．问门广几何？”题目大意是：如图，推开双门，点和点距离门槛都为1尺（1尺寸），双门间隙的距离为2寸，问门的宽度是多少？计算得的长是　　 A．50.5寸 B．52寸 C．101寸 D．104寸 【详解】解：如图，取的中点，过作于， 由题意可得：，寸，寸， 设寸，则（寸）， 寸， 在中，， 即，解得：， ， 寸． 故本题选：． 2．明朝数学家程大位在他的著作《算法统宗》中写了一首计算秋千绳索长度的词，翻译为：如图秋千细索悬挂于点，静止时竖直下垂，点为路板位置，踏板离地高度为一尺（AC=1尺）．将它往前推进一些（EB⊥OC于点，且尺），踏板升高到点位置，此时路板离地五尺（BD=CE=5尺），求秋千绳或的长度． 【详解】解：设尺， 四边形是矩形， 尺， 在中，，，， ， ， 的长度为尺． 3．今年，第十五号台风登陆江苏，市接到台风警报时，台风中心位于市正南方向的处，正以的速度沿方向移动．已知市到的距离， （1）台风中心从点移到点经过多长时间？ （2）如果在距台风中心的圆形区域内都将受到台风影响，那么市受到台风影响的时间是多长？ 【详解】解：（1）由题意可得：在△中，， ， （小时）， 答：台风中心从点移到点需要6小时； （2）如图，以为圆心，以为半径画弧，交于、， 则市在点开始受到影响，离开点恰好不受影响， 由题意可知：， 在△中，， ，， ， ， （小时）， 市受台风影响的时间为3.75小时． 4．“儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢”．又到了放风筝的最佳时节．某校八年级（1）班的小明和小亮学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高度，他们进行了如下操作：①测得水平距离的长为15米；②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为25米；③牵线放风筝的小明的身高为1.6米． （1）求风筝的垂直高度； （2）如果小明想风筝沿方向下降12米，则他应该往回收线多少米？ 【详解】解：（1）在△中， 由勾股定理可得：， ∴（负值舍去）， ∴（米）， 答：风筝的高度为21.6米； （2）如图， 由题意可得：， ， （米）， （米）， 他应该往回收线8米． 5．如图，学校高的教学楼上有一块高的校训宣传牌，为美化环境，对校训牌进行维护．一辆高的工程车在教学楼前点处，伸长的云梯（云梯最长）刚好接触到的底部点处．问工程车向教学楼方向行驶多少米，长的云梯刚好接触到的顶部点处？ 【详解】解：如图，过点作交于点， 由题意可得：，， 在中，由勾股定理得：， 设，则， 在中，由勾股定理可得：， 即，解得：， 答：工程车向教学楼方向行驶5米，长的云梯刚好接触到的顶部点处． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$