专题5.1 认识方程（3大知识点9类题型）（知识梳理与题型分类讲解）-2024-2025学年七年级数学上册基础知识专项突破讲与练（北师大版）

专题5.1 方程（3大知识点9类题型）（知识梳理与题型分类讲解） 第一部分【知识点归纳】 【知识点1】方程的有关概念 1．定义：含有未知数的等式叫做方程. 【要点提示】判断一个式子是不是方程，只需看两点：一.是等式；二.是含有未知数． 2．方程的解：使方程左右两边的值相等的未知数的值，叫做方程的解. 【要点提示】判断一个数（或一组数）是否是某方程的解，只需看两点：①.它（或它们）是方程中未知数的值； ②将它（或它们）分别代入方程的左边和右边，若左边等于右边，则它们是方程的解，否则不是． 3．解方程：求方程的解的过程叫做解方程. 4．方程的两个特征：（1）.方程是等式；（2）.方程中必须含有字母（或未知数）. 【知识点2】一元一次方程的有关概念 定义：只含有一个未知数（元），并且未知数的次数都是1，这样的方程叫做一元一次方程. 【要点提示】“元”是指未知数，“次”是指未知数的次数，一元一次方程满足条件： ①首先是一个方程;②其次是必须只含有一个未知数;③未知数的指数是1;④分母中不含有未知数． 【知识点3】等式的性质 1．等式的概念：用符号“=”来表示相等关系的式子叫做等式. 2．等式的性质： 　　等式的性质1：等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等.即： 　　如果，那么 (为一个数或一个式子) . 　　等式的性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等. 即：如果，则；如果则 【要点提示】 （1）根据等式的两条性质，对等式进行变形，等式两边必须同时进行完全相同的变形； (2) 等式性质1中，强调的是整式，如果在等式两边同加的不是整式，那么变形后的等式不一定成立 （3）等式的性质2中等式两边都除以同一个数时，这个除数不能为零． 考点与题型目录 【考点一】从算式到方程 【题型1】方程的判断.........................................................2 【题型2】列方程.............................................................2 【题型3】方程的解...........................................................3 【题型4】一元一次方程的定义.................................................3 【考点二】等式的性质 【题型5】等式变形的判断.....................................................3 【题型6】利用等式的变形成“含的代数式表示的形式”.......................4 【题型7】利用等式的性质解方程...............................................4 【考点三】直通中考与拓展延伸 【题型8】直通中考..........................................................4 【题型9】拓展延伸..........................................................5 第二部分【题型展示与方法点拨】 【题型1】方程的判断 【例1】（2024七年级上·全国·专题练习）下面式子中，是方程的是______；①；②；③；④． 【变式1】（24-25九年级上·全国·单元测试）下列各式，，（a，b为已知数），，中，方程有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式2】在①；②；③；④中，是方程的是 ．（填序号即可） 【题型2】列方程 【例2】（21-22七年级上·陕西渭南·阶段练习）用方程表示下列语句所表示的相等关系： （1）七年级学生人数为n，其中男生占，女生有人； （2）一种商品每件的进价为a元，售价为进价的倍，现每件又降价元，现售价为每件元． 【变式1】（23-24七年级上·山东德州·阶段练习）把一些图书分给某班学生，如果每人分3本，则余20本；如果每人分4本，则缺25本．设有名学生，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 【变式2】一个长方形场地的周长为米，长比宽的倍少米．如果设这个场地的宽为米，那么可以列出方程为 ． 【题型3】方程的解 【例3】（24-25七年级上·全国·课后作业）检验下列方程后面小括号内的数是否为相应方程的解 (1)； (2)． 【变式1】（24-25九年级上·重庆·阶段练习）关于x的一元二次方程的一个解是，则（    ） A．2025 B．2024 C．2023 D．2022 【变式2】阅读材料：整体代值是数学中常用的方法．例如“已知，求代数式的值．”可以这样解：．根据阅读材料，解决问题：若是关于x的一元一次方程的解，则代数式的值是 ． 【题型4】一元一次方程的定义 【例4】（22-23七年级上·黑龙江佳木斯·期末）已知是关于x的一元一次方程，求m的值． 【变式1】（24-25七年级上·全国·单元测试）下列各式：①；②；③；④；⑤．其中，一元一次方程有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式2】若关于的方程是一元一次方程，则的值为 ． 【题型5】等式变形的判断 【例5】（23-24七年级上·江苏泰州·期末）小明在学习了等式的基本性质后，对等式进行变形，得出“”的错误结论，但他找不到错误原因，聪明的你能帮助他找到原因吗？小明的具体过程如表所示： 将等式变形 两边同时加，得（第①步） 两边同时除以，得（第②步） （1）第______步等式变形产生错误； （2）请分析产生错误的原因，写出等式正确变形过程，求出的值． 【变式1】（23-24七年级下·重庆沙坪坝·开学考试）下列等式变形不正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【变式2】若，则 ． 【题型6】利用等式的变形成“含的代数式表示的形式” 【例6】（20-21六年级上·山东泰安·课后作业）能否从等式得到，为什么？反过来，能否从得到，为什么？ 【变式1】（23-24七年级下·云南德宏·期末）由可以得到用x表示y的式子为（   ） A． B． C． D． 【变式2】由方程可得到用x表示y的式子是 ． 【题型7】利用等式的性质解方程 【例7】（24-25六年级上·黑龙江绥化·阶段练习）解方程 (1) (2) (3) 【变式1】（23-24六年级上·山东威海·期末）整式的值随取值的变化而变化，下表是当取不同值时对应的整式的值，则关于的方程的解为（    ） 0 1 2 3 0 4 8 A． B． C． D． 【变式2】利用等式性质解方程： (1)； (2)； (3)． 第三部分【直通中考与拓展延伸】 【题型8】直通中考 【例1】（2024·贵州·中考真题）小红学习了等式的性质后，在甲、乙两台天平的左右两边分别放入“■”“●”“▲”三种物体，如图所示，天平都保持平衡．若设“■”与“●”的质量分别为x，y，则下列关系式正确的是（    ） A． B． C． D． 【例2】（2021·山东日照·中考真题）关于的方程（、为实数且），恰好是该方程的根，则的值为 ． 【题型9】拓展延伸 【例1】已知是非零整数，关于的方程是一元一次方程，求的值． 【例2】已知关于的方程，当，为何值时： (1)方程有唯一解； (2)方程有无数个解； (3)方程无解． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题5.1 方程（3大知识点9类题型）（知识梳理与题型分类讲解） 第一部分【知识点归纳】 【知识点1】方程的有关概念 1．定义：含有未知数的等式叫做方程. 【要点提示】判断一个式子是不是方程，只需看两点：一.是等式；二.是含有未知数． 2．方程的解：使方程左右两边的值相等的未知数的值，叫做方程的解. 【要点提示】判断一个数（或一组数）是否是某方程的解，只需看两点：①.它（或它们）是方程中未知数的值； ②将它（或它们）分别代入方程的左边和右边，若左边等于右边，则它们是方程的解，否则不是． 3．解方程：求方程的解的过程叫做解方程. 4．方程的两个特征：（1）.方程是等式；（2）.方程中必须含有字母（或未知数）. 【知识点2】一元一次方程的有关概念 定义：只含有一个未知数（元），并且未知数的次数都是1，这样的方程叫做一元一次方程. 【要点提示】“元”是指未知数，“次”是指未知数的次数，一元一次方程满足条件： ①首先是一个方程;②其次是必须只含有一个未知数;③未知数的指数是1;④分母中不含有未知数． 【知识点3】等式的性质 1．等式的概念：用符号“=”来表示相等关系的式子叫做等式. 2．等式的性质： 　　等式的性质1：等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等.即： 　　如果，那么 (为一个数或一个式子) . 　　等式的性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等. 即：如果，则；如果则 【要点提示】 （1）根据等式的两条性质，对等式进行变形，等式两边必须同时进行完全相同的变形； (2) 等式性质1中，强调的是整式，如果在等式两边同加的不是整式，那么变形后的等式不一定成立 （3）等式的性质2中等式两边都除以同一个数时，这个除数不能为零． 考点与题型目录 【考点一】从算式到方程 【题型1】方程的判断.........................................................2 【题型2】列方程.............................................................3 【题型3】方程的解...........................................................4 【题型4】一元一次方程的定义.................................................5 【考点二】等式的性质 【题型5】等式变形的判断.....................................................7 【题型6】利用等式的变形成“含的代数式表示的形式”.......................8 【题型7】利用等式的性质解方程...............................................9 【考点三】直通中考与拓展延伸 【题型8】直通中考..........................................................11 【题型9】拓展延伸..........................................................12 第二部分【题型展示与方法点拨】 【题型1】方程的判断 【例1】（2024七年级上·全国·专题练习）下面式子中，是方程的是______；①；②；③；④． 【答案】①④ 【分析】本题考查了方程的概念．含有未知数的等式叫作方程，据此判断即可． 解：①，④符合方程的概念，是方程． ②不是等式，③不含未知数，都不是方程． 故答案为：①④． 【变式1】（24-25九年级上·全国·单元测试）下列各式，，（a，b为已知数），，中，方程有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了方程的定义，含有未知数的等式叫做方程．根据方程的定义可以解答． 解：，，，这3个式子即是等式又含有未知数，都是方程． 不是等式，因而不是方程． （a，b为已知数）不含未知数，所以不是方程． 故有3个式子是方程． 故选：C． 【变式2】（23-24七年级下·全国·课后作业）在①；②；③；④中，是方程的是 ．（填序号即可） 【答案】②④/④② 【分析】本题考查了方程的定义，解决本题的关键是对概念的理解．根据含有未知数的等式是方程求解即可． 解：在①；②；③；④中， 是方程的是②④． 故答案为：②④． 【题型2】列方程 【例2】（21-22七年级上·陕西渭南·阶段练习）用方程表示下列语句所表示的相等关系： (1)七年级学生人数为n，其中男生占，女生有人； (2)一种商品每件的进价为a元，售价为进价的倍，现每件又降价元，现售价为每件元． 【答案】(1)；(2) 【分析】（1）根据题意，男生人数为，也可以表示为，因此列出方程即可； （2）根据题意，售价为，现售价为，因为现售价为每件元，即可列出方程． 解：（1）根据题意， （2）根据题意， ， 【点拨】本题考查了列一元一次方程等知识内容，正确理解并列出等价的方程是解题的关键． 【变式1】（23-24七年级上·山东德州·阶段练习）把一些图书分给某班学生，如果每人分3本，则余20本；如果每人分4本，则缺25本．设有名学生，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据图书的数量不变，列出等量关系式，即可求解， 本题考查了列一元一次方程，解题的关系式：根据图书数量不变，列出等量关系式． 解：根据题意得：， 故选：． 【变式2】（22-23七年级下·广东河源·开学考试）一个长方形场地的周长为米，长比宽的倍少米．如果设这个场地的宽为米，那么可以列出方程为 ． 【答案】 【分析】设这个场地的宽为米，则长为米，然后根据长方形的周长公式即可解答． 解：设这个场地的宽为米，则长为米， 由题意可得：． 故答案为． 【点拨】本题主要考查了列一元一次方程，审清题意、设出未知数、明确等量关系是解答本题的关键． 【题型3】方程的解 【例3】（24-25七年级上·全国·课后作业）检验下列方程后面小括号内的数是否为相应方程的解 (1)； (2)． 【答案】(1)是； (2)否. 【分析】本题主要考查了方程的解，解题的关键是掌握使方程两边相等的未知数的值是方程的解． （1）将分别代入方程两边，再比较两边，若相等，则是该方程的解，否则不是； （2）将分别代入方程两边，再比较两边，若相等，则是该方程的解，否则不是． 解：（1）当时， 左边， 右边， 左边右边， ∴是该方程的解． （2）解：当时， 左边， 右边， 左边右边， ∴不是方程的解． 【变式1】（24-25九年级上·重庆·阶段练习）关于x的一元二次方程的一个解是，则（    ） A．2025 B．2024 C．2023 D．2022 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的解的概念，使方程两边成立的未知数的值叫方程的解． 利用一元二次方程解的定义得到，然后再对所求代数式变形，最后整体代入计算即可． 解：∵关于x的一元二次方程的一个解是， ∴，即， ∴． 故选A． 【变式2】（24-25七年级上·全国·单元测试）阅读材料：整体代值是数学中常用的方法．例如“已知，求代数式的值．”可以这样解：．根据阅读材料，解决问题：若是关于x的一元一次方程的解，则代数式的值是 ． 【答案】7 【分析】本题主要考查了一元一次方程的解的定义，代数式求值，先根据一元一次方程解的定义是使方程左右两边相等的未知数的值得到，再根据进行求解即可． 解：∵是关于x的一元一次方程的解， ∴， ∴， 故答案为：7． 【题型4】一元一次方程的定义 【例4】（22-23七年级上·黑龙江佳木斯·期末）已知是关于x的一元一次方程，求m的值． 【答案】 【分析】本题考查一元一次方程的定义，根据只含有一个未知数（元），且未知数的次数是1，这样的方程叫一元一次方程，据此解答即可． 解：∵方程为关于x的一元一次方程， ∴项的系数为0．且x的系数不为0， ，即， 解得：， ， ， ． ∴． 【变式1】（24-25七年级上·全国·单元测试）下列各式：①；②；③；④；⑤．其中，一元一次方程有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】本题考查的是一元一次方程的定义，掌握一元一次方程的定义是解题的关键．根据一元一次方程的定义进行判定． 解：①是二元一次方程，不符合题意； ②是一元二次方程，不符合题意； ③是一元一次方程，符合题意； ④是分式方程，不符合题意； ⑤是代数式，不是方程，不符合题意． 故选：A． 【变式2】（23-24七年级上·全国·单元测试）若关于的方程是一元一次方程，则的值为 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了一元一次方程的一般形式，只含有一个未知数，且未知数的指数是1，一次项系数不是0，这是这类题目考查的重点．根据一元一次方程的一般形式即可判定有种情况，分别讨论①当且时，②当且时，③当时是否满足该方程为一元一次方程即可． 解：关于的方程是一元一次方程， 可考虑三种情况， ①当且时， 即且， 则，解得：， 此时，故排除； ②当且时， 即且， ，符合条件； ③当即时， ，符合条件； 综上：的值为或， 故答案为：或． 【题型5】等式变形的判断 【例5】（23-24七年级上·江苏泰州·期末）小明在学习了等式的基本性质后，对等式进行变形，得出“”的错误结论，但他找不到错误原因，聪明的你能帮助他找到原因吗？小明的具体过程如表所示： 将等式变形 两边同时加，得（第①步） 两边同时除以，得（第②步） (1)第______步等式变形产生错误； (2)请分析产生错误的原因，写出等式正确变形过程，求出的值． 【答案】(1)；(2)产生错误的原因：等式两边同时除以字母时，没有考虑字母是否为；的值为． 【分析】（）根据等式的性质可知错误发生在第步； （）根据等式的基本性质即可解答； 本题考查了等式的基本性质，掌握等式的基本性质是解题的关键． 解：（1）第步等式变形产生错误， 故答案为：； （2）产生错误的原因：等式两边同时除以字母时，没有考虑字母是否为． 正确过程： 两边同时加，得， 两边同时减，得， 两边同时除以，得． 【变式1】（23-24七年级下·重庆沙坪坝·开学考试）下列等式变形不正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】本题考查了等式的性质，等式的两边加或都减同一个数，结果仍是等式；等式两边都成一或除以同一个不为0的数，结果仍是等式．据此进行解答即可． 解：A、若，则，变形正确，不符合题意； B、若，则，变形正确，不符合题意； C、若，则，变形正确，不符合题意； D、若，当时，无意义，变形错误，符合题意； 故选：D． 【变式2】（23-24七年级上·内蒙古呼和浩特·阶段练习）若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了等式的性质，根据等式的性质即可求解，解题的关键是熟记等式性质：等式两边加同一个数（或式子）结果仍得等式；性质：等式两边乘同一个数或除以一个不为零的数，结果仍得等式． 解：， ， ， 故答案为：． 【题型6】利用等式的变形成“含的代数式表示的形式” 【例6】（20-21六年级上·山东泰安·课后作业）能否从等式得到，为什么？反过来，能否从得到，为什么？ 【分析】根据等式的性质解答即可． 解；不能从等式（2a-1）x=3a+5中得到理由是：2a-1=0时，无意义； 能从中得到（2a-1）x=3a+5，理由是：方程得两边都乘以（2a-1）． 【点拨】本题考查了等式的性质，等式的两边都乘以或除以同一个不为零的整式，结果仍是等式． 【变式1】（23-24七年级下·云南德宏·期末）由可以得到用x表示y的式子为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据等式的性质，恒等变形即可得到答案． 本题考查等式的性质，读懂题意，按要求恒等变形是解决问题的关键． 解：由，得， 故选：B． 【变式2】由方程可得到用x表示y的式子是 ． 【答案】 【分析】本题考查了等式的性质，熟练掌握性质，正确变形是解题的关键． 根据等式的性质计算判断即可． 解：由方程可得到， 故答案为：． 【题型7】利用等式的性质解方程 【例7】（24-25六年级上·黑龙江绥化·阶段练习）解方程 (1) (2) (3) 【答案】(1); (2); (3) 【分析】此题考查了解方程，熟练掌握等式的性质是解题的关键． （1）由题意得到，再两边同除以即可得到答案； （2）方程两边同除以得到，两边都减去10即可得到答案； （3）方程两边都乘以得到，两边都除以即可得到答案． 解：（1） ∴ 则 解得． （2） ∴ 则 解得． （3） 则 ∴ ∴ 解得． 【变式1】（23-24六年级上·山东威海·期末）整式的值随取值的变化而变化，下表是当取不同值时对应的整式的值，则关于的方程的解为（    ） 0 1 2 3 0 4 8 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元一次方程的解的定义，等式的性质等知识．根据表格得到当时，，再根据等式性质进行变形即可求解． 解：由表格得当时，， 等式两边同乘，得， 所以关于的方程的解为． 故选：A． 【变式2】（2023七年级·全国·专题练习）利用等式性质解方程： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)； (2)；(3). 【分析】（1）根据等式的性质：等式两边同时加上或者减去同一个整式，等式仍然成立；等式两边同时乘或除以同一个不为0的整式，等式仍然成立，变形求得x的值即可； （2）根据等式的性质：等式两边同时加上或者减去同一个整式，等式仍然成立；等式两边同时乘或除以同一个不为0的整式，等式仍然成立，变形求得x的值即可； （3）根据等式的性质：等式两边同时加上或者减去同一个整式，等式仍然成立；等式两边同时乘或除以同一个不为0的整式，等式仍然成立，变形求得a的值即可． 解：（1）， 方程两边同时加2，得：，即：， 方程两边同时加，得：，即：， 方程两边同时除以12，得：，即：； （2）解：， 方程两边同时减1，得：，即：， 方程两边同时减x，得：，即：， 方程两边同时除以2，得：，即：； （3）解：， 方程两边同时加3，得：，即：， 方程两边同时乘2，得：，即：． 【点拨】本题考查由等式的性质解方程．掌握等式的性质：等式两边同时加上或者减去同一个整式，等式仍然成立；等式两边同时乘或除以同一个不为0的整式，等式仍然成立是解题关键． 第三部分【直通中考与拓展延伸】 【题型8】直通中考 【例1】（2024·贵州·中考真题）小红学习了等式的性质后，在甲、乙两台天平的左右两边分别放入“■”“●”“▲”三种物体，如图所示，天平都保持平衡．若设“■”与“●”的质量分别为x，y，则下列关系式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查等式的性质，设“▲”的质量为a，根据题意列出等式，，然后化简代入即可解题． 解：设“▲”的质量为a， 由甲图可得，即， 由乙图可得，即， ∴， 故选C． 【例2】（2021·山东日照·中考真题）关于的方程（、为实数且），恰好是该方程的根，则的值为 ． 【答案】-2 【分析】根据方程的解的概念，将代入原方程，然后利用等式的性质求解． 解：由题意可得， 把代入原方程可得：， 等式左右两边同时除以，可得：， 即， 故答案为：． 【点拨】本题考查方程的解的概念及等式的性质，理解方程的解的定义，掌握等式的基本性质是解题关键． 【题型9】拓展延伸 【例1】（2024七年级上·北京·专题练习）已知是非零整数，关于的方程是一元一次方程，求的值． 【答案】4或或1 【分析】本题主要考查了一元一次方程的一般形式，只含有一个未知数，未知数的指数是1，一次项系数不是0，这是这类题目考查的重点．分情况讨论，（1），，（2），，根据一元一次方程的定义求得、的值． 解：分两种情况： （1），， 当时，，此时； 当时，，此时； （2），， 解得，，； 当时，，即； 当时，由原方程，得，不符合题意． 【例2】（23-24七年级下·吉林长春·阶段练习）已知关于的方程，当，为何值时： (1)方程有唯一解；(2)方程有无数个解；(3)方程无解． 【答案】(1)；(2)；(3). 【分析】此题考查了一元一次方程的解； （1）方程移项合并，根据有唯一解确定出条件即可； （2）根据方程有无数解确定出条件即可； （3）根据方程无解确定出条件即可． 解：（1）∵ ∴ ∴当时，即，方程有唯一解 （2）∵方程有无数个解， ∴，即 （3）∵方程无解， ∴， ∴ 1 学科网（北京）股份有限公司 $$