专题4.1 等式与方程（2大知识点8类题型）（知识梳理与题型分类讲解）-2024-2025学年七年级数学上册基础知识专项突破讲与练（苏科版）

专题4.1 方程（2大知识点8类题型）（知识梳理与题型分类讲解） 第一部分【知识点归纳】 【知识点1】方程的有关概念 1．定义：含有未知数的等式叫做方程. 【要点提示】判断一个式子是不是方程，只需看两点：一.是等式；二.是含有未知数． 2．方程的解：使方程左右两边的值相等的未知数的值，叫做方程的解. 【要点提示】判断一个数（或一组数）是否是某方程的解，只需看两点：①.它（或它们）是方程中未知数的值； ②将它（或它们）分别代入方程的左边和右边，若左边等于右边，则它们是方程的解，否则不是． 3．解方程：求方程的解的过程叫做解方程. 4．方程的两个特征：（1）.方程是等式；（2）.方程中必须含有字母（或未知数）. 【知识点2】等式的性质 1．等式的概念：用符号“=”来表示相等关系的式子叫做等式. 2．等式的性质： 　　等式的性质1：等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等.即： 　　如果，那么 (为一个数或一个式子) . 　　等式的性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等. 即：如果，则；如果则 【要点提示】 （1）根据等式的两条性质，对等式进行变形，等式两边必须同时进行完全相同的变形； (2) 等式性质1中，强调的是整式，如果在等式两边同加的不是整式，那么变形后的等式不一定成立 （3）等式的性质2中等式两边都除以同一个数时，这个除数不能为零． 考点与题型目录 【考点一】从算式到方程 【题型1】方程的判断.........................................................2 【题型2】列方程.............................................................2 【题型3】方程的解...........................................................3 【考点二】等式的性质 【题型4】等式变形的判断.....................................................3 【题型5】利用等式的变形成“含的代数式表示的形式”.......................3 【题型6】利用等式的性质解方程...............................................4 【考点三】直通中考与拓展延伸 【题型7】直通中考..........................................................4 【题型8】拓展延伸..........................................................4 第二部分【题型展示与方法点拨】 【题型1】方程的判断 【例1】（2024七年级上·全国·专题练习）下面式子中，是方程的是______；①；②；③；④． 【变式1】（23-24六年级下·全国·假期作业）已知下列式子：．其中方程的个数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【变式2】（2024七年级上·江苏·专题练习）下列关于x的方程：①；②；③；④；⑤；⑥．其中，整式方程有 ． 【题型2】列方程 【例2】（21-22七年级上·陕西渭南·阶段练习）用方程表示下列语句所表示的相等关系： （1）七年级学生人数为n，其中男生占，女生有人； （2）一种商品每件的进价为a元，售价为进价的倍，现每件又降价元，现售价为每件元． 【变式1】（22-23七年级上·浙江温州·期末）学校体育组有学生41人参加了篮球队或足球队，其中只参加篮球队的学生人数是只参加足球队的学生人数的1.5倍，两队都参加的有8人，设参加足球队的学生人数有x人，则下列方程中正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24八年级上·陕西咸阳·期中）蛋白质和碳水化合物是我们日常饮食中的两个重要组成部分，它们都是身体所需的营养素，能够为我们提供能量，一瓶牛奶的营养成分中，碳水化合物含量是蛋白质的倍，碳水化合物，蛋白质与脂肪的含量共．设蛋白质的含量为，脂肪的含量为，可列出方程为 ． 【题型3】方程的解 【例3】（24-25七年级上·全国·课后作业）检验下列方程后面小括号内的数是否为相应方程的解 (1)； (2)． 【变式1】（24-25七年级上·全国·期末）已知是关于的方程的解，则代数式的值是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25七年级上·全国·期末）有一个一元一次方程：■，其中“■”表示一个被污染的常数．答案注明方程的解是，这个被污染的常数应是 ． 【题型4】等式变形的判断 【例5】（23-24七年级上·江苏泰州·期末）小明在学习了等式的基本性质后，对等式进行变形，得出“”的错误结论，但他找不到错误原因，聪明的你能帮助他找到原因吗？小明的具体过程如表所示： 将等式变形 两边同时加，得（第①步） 两边同时除以，得（第②步） （1）第______步等式变形产生错误； （2）请分析产生错误的原因，写出等式正确变形过程，求出的值． 【变式1】（23-24七年级上·天津·期中）下列说法错误的是（　　） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【变式2】（24-25九年级上·全国·课后作业）下列等式变形：①若，则；②若，则；③若，则；④若，则；⑤若，则．其中一定正确的是 （填序号）． 【题型5】利用等式的变形成“含的代数式表示的形式” 【例6】（20-21六年级上·山东泰安·课后作业）能否从等式得到，为什么？反过来，能否从得到，为什么？ 【变式1】（23-24七年级上·全国·单元测试）把方程写成用含的代数式表示的形式，得（    ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24六年级下·全国·单元测试）将方程变形为用含的式子表示，那么 ； 【题型6】利用等式的性质解方程 【例7】（24-25六年级上·黑龙江绥化·阶段练习）解方程 (1) (2) (3) 【变式1】（23-24七年级下·四川资阳·阶段练习）方程变形正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24七年级上·江苏徐州·阶段练习）整式的值随取值的变化而变化，下表是当取不同值时对应的整式的值：则关于的方程的解为 ．   第三部分【直通中考与拓展延伸】 【题型7】直通中考 【例1】（2024·贵州·中考真题）小红学习了等式的性质后，在甲、乙两台天平的左右两边分别放入“■”“●”“▲”三种物体，如图所示，天平都保持平衡．若设“■”与“●”的质量分别为x，y，则下列关系式正确的是（    ） A． B． C． D． 【例2】（2021·山东日照·中考真题）关于的方程（、为实数且），恰好是该方程的根，则的值为 ． 【题型8】拓展延伸 【例1】（24-25七年级上·全国·期中）已知a，b为定值，关于x的方程，无论k为何值，它的解总是1，则 ． 【例2】（22-23七年级上·广东·单元测试）已知关于的方程的两个解是； 又已知关于的方程的两个解是； 又已知关于的方程的两个解是； ， 小王认真分析和研究上述方程的特征，提出了如下的猜想． 关于的方程的两个解是；并且小王在老师的帮助下完成了严谨的证明（证明过程略）．小王非常高兴，他向同学提出如下的问题． （1）关于的方程的两个解是 和 ； （2）已知关于的方程，则的两个解是多少？ 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题4.1 方程（2大知识点8类题型）（知识梳理与题型分类讲解） 第一部分【知识点归纳】 【知识点1】方程的有关概念 1．定义：含有未知数的等式叫做方程. 【要点提示】判断一个式子是不是方程，只需看两点：一.是等式；二.是含有未知数． 2．方程的解：使方程左右两边的值相等的未知数的值，叫做方程的解. 【要点提示】判断一个数（或一组数）是否是某方程的解，只需看两点：①.它（或它们）是方程中未知数的值； ②将它（或它们）分别代入方程的左边和右边，若左边等于右边，则它们是方程的解，否则不是． 3．解方程：求方程的解的过程叫做解方程. 4．方程的两个特征：（1）.方程是等式；（2）.方程中必须含有字母（或未知数）. 【知识点2】等式的性质 1．等式的概念：用符号“=”来表示相等关系的式子叫做等式. 2．等式的性质： 　　等式的性质1：等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等.即： 　　如果，那么 (为一个数或一个式子) . 　　等式的性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等. 即：如果，则；如果则 【要点提示】 （1）根据等式的两条性质，对等式进行变形，等式两边必须同时进行完全相同的变形； (2) 等式性质1中，强调的是整式，如果在等式两边同加的不是整式，那么变形后的等式不一定成立 （3）等式的性质2中等式两边都除以同一个数时，这个除数不能为零． 考点与题型目录 【考点一】从算式到方程 【题型1】方程的判断.........................................................2 【题型2】列方程.............................................................3 【题型3】方程的解...........................................................4 【考点二】等式的性质 【题型4】等式变形的判断.....................................................5 【题型5】利用等式的变形成“含的代数式表示的形式”.......................7 【题型6】利用等式的性质解方程...............................................8 【考点三】直通中考与拓展延伸 【题型7】直通中考..........................................................10 【题型8】拓展延伸..........................................................11 第二部分【题型展示与方法点拨】 【题型1】方程的判断 【例1】（2024七年级上·全国·专题练习）下面式子中，是方程的是______；①；②；③；④． 【答案】①④ 【分析】本题考查了方程的概念．含有未知数的等式叫作方程，据此判断即可． 解：①，④符合方程的概念，是方程． ②不是等式，③不含未知数，都不是方程． 故答案为：①④． 【变式1】（23-24六年级下·全国·假期作业）已知下列式子：．其中方程的个数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】本题考查的是方程的定义，根据方程的定义对各选项进行逐一分析即可． 解：不是等式，所以它不是方程； 是等式，但其中不含未知数，所以它不是方程； 不是等式，所以它不是方程； 都具备方程的两个条件，所以都是方程． 故选：C． 【变式2】（2024七年级上·江苏·专题练习）下列关于x的方程：①；②；③；④；⑤；⑥．其中，整式方程有 ． 【答案】②③④⑥ 【分析】本题考查了整式方程的定义，判断一个方程是否为整式方程，要看分母中是否含有未知数（注意：仅仅是字母不行，必须是表示未知数的字母）．根据整式方程的定义：分母中不含未知数的方程叫做整式方程进行判断． 解：②0，③，④，⑥的分母中不含未知数，是整式方程；① 和⑤分母中含未知数，是分式方程． 故答案为：②③④⑥． 【题型2】列方程 【例2】（21-22七年级上·陕西渭南·阶段练习）用方程表示下列语句所表示的相等关系： (1)七年级学生人数为n，其中男生占，女生有人； (2)一种商品每件的进价为a元，售价为进价的倍，现每件又降价元，现售价为每件元． 【答案】(1)；(2) 【分析】（1）根据题意，男生人数为，也可以表示为，因此列出方程即可； （2）根据题意，售价为，现售价为，因为现售价为每件元，即可列出方程． 解：（1）根据题意， （2）根据题意， ， 【点拨】本题考查了列一元一次方程等知识内容，正确理解并列出等价的方程是解题的关键． 【变式1】（22-23七年级上·浙江温州·期末）学校体育组有学生41人参加了篮球队或足球队，其中只参加篮球队的学生人数是只参加足球队的学生人数的1.5倍，两队都参加的有8人，设参加足球队的学生人数有x人，则下列方程中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设参加足球队的学生人数有x人，则只参加足球队的人数有人，只参加篮球队的人数有人，再根据体育组有学生41人参加了篮球队或足球队即可解答． 解：设参加足球队学生人数有x人，则只参加足球队的人数有人，只参加篮球队人数有人 根据体育组有学生41人参加了篮球队或足球队可得：． 故选D． 【点拨】本题主要考查了列一元一次方程，审清题意、确定只参加篮球的人数和“参加篮球队人数=只参加篮球人数+两队都参加的人数”是解答本题的关键． 【变式2】（23-24八年级上·陕西咸阳·期中）蛋白质和碳水化合物是我们日常饮食中的两个重要组成部分，它们都是身体所需的营养素，能够为我们提供能量，一瓶牛奶的营养成分中，碳水化合物含量是蛋白质的倍，碳水化合物，蛋白质与脂肪的含量共．设蛋白质的含量为，脂肪的含量为，可列出方程为 ． 【答案】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程，根据碳水化合物、蛋白质与脂肪的含量共列方程，解题的关键是读懂题意，找出合适的等量关系，列出方程． 解：设蛋白质的含量为，脂肪的含量为，则碳水化合物含量为，依题意可列方程，， 故答案为：． 【题型3】方程的解 【例3】（24-25七年级上·全国·课后作业）检验下列方程后面小括号内的数是否为相应方程的解 (1)； (2)． 【答案】(1)是； (2)否. 【分析】本题主要考查了方程的解，解题的关键是掌握使方程两边相等的未知数的值是方程的解． （1）将分别代入方程两边，再比较两边，若相等，则是该方程的解，否则不是； （2）将分别代入方程两边，再比较两边，若相等，则是该方程的解，否则不是． 解：（1）当时， 左边， 右边， 左边右边， ∴是该方程的解． （2）解：当时， 左边， 右边， 左边右边， ∴不是方程的解． 【变式1】（24-25七年级上·全国·期末）已知是关于的方程的解，则代数式的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了方程的解，代数式求值，把代入方程可得，再代入代数式计算即可求解，掌握方程解的定义是解题的关键． 解：∵是关于的方程的解， ∴， ∴， ∴， 故选：． 【变式2】（24-25七年级上·全国·期末）有一个一元一次方程：■，其中“■”表示一个被污染的常数．答案注明方程的解是，这个被污染的常数应是 ． 【答案】3 【分析】本题考查了一元一次方程的解，利用方程的解满足方程得出关于x的方程是解题关键． 根据方程的解满足方程，可得关于x的方程，根据解方程，可得答案． 解：设常数为x，由题意，得 解得， 故答案为：3． 【题型4】等式变形的判断 【例5】（23-24七年级上·江苏泰州·期末）小明在学习了等式的基本性质后，对等式进行变形，得出“”的错误结论，但他找不到错误原因，聪明的你能帮助他找到原因吗？小明的具体过程如表所示： 将等式变形 两边同时加，得（第①步） 两边同时除以，得（第②步） (1)第______步等式变形产生错误； (2)请分析产生错误的原因，写出等式正确变形过程，求出的值． 【答案】(1)；(2)产生错误的原因：等式两边同时除以字母时，没有考虑字母是否为；的值为． 【分析】（）根据等式的性质可知错误发生在第步； （）根据等式的基本性质即可解答； 本题考查了等式的基本性质，掌握等式的基本性质是解题的关键． 解：（1）第步等式变形产生错误， 故答案为：； （2）产生错误的原因：等式两边同时除以字母时，没有考虑字母是否为． 正确过程： 两边同时加，得， 两边同时减，得， 两边同时除以，得． 【变式1】（23-24七年级上·天津·期中）下列说法错误的是（　　） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】B 【分析】本题考查了等式的基本性质，根据等式的基本性质逐项判断即可求解，掌握等式的基本性质是解题的关键． 解：、∵，根据等式的基本性质：“等式两边同时除以同一个不为的数，两边仍然相等”可得， ∴正确，不符合题意； 、∵，当时，根据等式的基本性质：“等式两边同时除以同一个不为的数，两边仍然相等”，可得；当时，，可得， ∴或， ∴错误，符合题意； 、∵，根据等式的基本性质：“等式两边减去同一个数，两边仍然相等”，可得， ∴正确，不符合题意； 、∵，根据等式的基本性质：“等式两边乘以同一个数，两边仍然相等”，可得， ∴正确，不符合题意； 故选：． 【变式2】（24-25九年级上·全国·课后作业）下列等式变形：①若，则；②若，则；③若，则；④若，则；⑤若，则．其中一定正确的是 （填序号）． 【答案】①④⑤ 解：①若，则，变形正确；②若，则，原变形不正确；③若，则，原变形不正确；④若，则，变形正确；⑤若，则，变形正确． 【题型5】利用等式的变形成“含的代数式表示的形式” 【例6】（20-21六年级上·山东泰安·课后作业）能否从等式得到，为什么？反过来，能否从得到，为什么？ 【分析】根据等式的性质解答即可． 解；不能从等式（2a-1）x=3a+5中得到理由是：2a-1=0时，无意义； 能从中得到（2a-1）x=3a+5，理由是：方程得两边都乘以（2a-1）． 【点拨】本题考查了等式的性质，等式的两边都乘以或除以同一个不为零的整式，结果仍是等式． 【变式1】（23-24七年级上·全国·单元测试）把方程写成用含的代数式表示的形式，得（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了等式的性质，把x看作已知数，根据等式的性质变形即可． 解：∵， ∴， ∴． 故选：C． 【变式2】（23-24六年级下·全国·单元测试）将方程变形为用含的式子表示，那么 ； 【答案】 【分析】本题考查了等式的性质，根据等式的性质运算即可，掌握等式的性质是解题的关键． 解：， ∴， ∴， 故答案为：． 【题型6】利用等式的性质解方程 【例7】（24-25六年级上·黑龙江绥化·阶段练习）解方程 (1) (2) (3) 【答案】(1); (2); (3) 【分析】此题考查了解方程，熟练掌握等式的性质是解题的关键． （1）由题意得到，再两边同除以即可得到答案； （2）方程两边同除以得到，两边都减去10即可得到答案； （3）方程两边都乘以得到，两边都除以即可得到答案． 解：（1） ∴ 则 解得． （2） ∴ 则 解得． （3） 则 ∴ ∴ 解得． 【变式1】（23-24七年级下·四川资阳·阶段练习）方程变形正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了等式的变形．熟练掌握等式的基本性质，代数式的变形，是解决问题的关键． 根据等式的基本性质，去分母，去括号等变形，分析各选项，即可作出判断． 解：A．两边都乘以24得，， ∴本选项变形正确； B．通分，相乘得，， ∴本选项变形错误； C．去括号得，， ∴本选项变形错误； D．两边都乘以12得，， ∴本选项变形错误． 故选：A． 【变式2】（23-24七年级上·江苏徐州·阶段练习）整式的值随取值的变化而变化，下表是当取不同值时对应的整式的值：则关于的方程的解为 ．   【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的解的定义，等式的性质等知识，根据表格得到当时，，再根据等式性质进行变形即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 解：由表格得当时，， 等式两边同乘，得， 所以关于的方程的解为， 故答案为：． 第三部分【直通中考与拓展延伸】 【题型7】直通中考 【例1】（2024·贵州·中考真题）小红学习了等式的性质后，在甲、乙两台天平的左右两边分别放入“■”“●”“▲”三种物体，如图所示，天平都保持平衡．若设“■”与“●”的质量分别为x，y，则下列关系式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查等式的性质，设“▲”的质量为a，根据题意列出等式，，然后化简代入即可解题． 解：设“▲”的质量为a， 由甲图可得，即， 由乙图可得，即， ∴， 故选C． 【例2】（2021·山东日照·中考真题）关于的方程（、为实数且），恰好是该方程的根，则的值为 ． 【答案】-2 【分析】根据方程的解的概念，将代入原方程，然后利用等式的性质求解． 解：由题意可得， 把代入原方程可得：， 等式左右两边同时除以，可得：， 即， 故答案为：． 【点拨】本题考查方程的解的概念及等式的性质，理解方程的解的定义，掌握等式的基本性质是解题关键． 【题型8】拓展延伸 【例1】（24-25七年级上·全国·期中）已知a，b为定值，关于x的方程，无论k为何值，它的解总是1，则 ． 【答案】/ 【分析】本题考查方程解的定义，熟练运用方程解的定义及由k可以取任何值得到a和b的值是解题的关键．把代入已知等式，得到，整理为的形式，令，由此求得，进而求得a、b的值，代入求值即可． 解：把代入方程，得： ，即， 整理得：， 无论k为何值，它的解总是1， ，， 解得：，， 则， 故答案为：． 【例2】（22-23七年级上·广东·单元测试）已知关于的方程的两个解是； 又已知关于的方程的两个解是； 又已知关于的方程的两个解是； ， 小王认真分析和研究上述方程的特征，提出了如下的猜想． 关于的方程的两个解是；并且小王在老师的帮助下完成了严谨的证明（证明过程略）．小王非常高兴，他向同学提出如下的问题． (1)关于的方程的两个解是 和 ； (2)已知关于的方程，则的两个解是多少？ 【答案】(1)11， (2)， 【分析】（1）根据规律可直接得到答案； （2）将原方程进行变形，变成即可得到答案． 解：（1）∵关于的方程的两个解是， ∴方程的两个解是，， 故答案为：，； （2）∵， ∴， ∴， ∴，， ∴，． 【点拨】本题考查方程的解，解题的关键是将方程进行正确的变形，根据方程的定义求出方程的解． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$