精品解析：吉林省长春汽车经济技术开发区 2024-2025学年九年级上学期10月期中考试数学试题

2024-2025学年第一学期核心素养调研九年级数学学科 本试卷包括三道大题，共24道小题，共6页．全卷满分120分，考试时间为120分钟．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码准确粘贴在条形码区域内． 2．答题时，考生务必按照考试要求在答题卡上的指定区域内作答，在草稿纸、试卷上答题无效． 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1. 点A在数轴上的位置如图所示，将点A向右移动3个单位长度得到点，则点表示的数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查数轴，掌握数轴上点平移规律：左减右加是解题的关键． 根据数轴上点平移规律：左减右加，直接求取即可得到答案． 【详解】解：由题意可得， ∵点A向右移动3个单位长度得到点B， ∴点B代表的数字是：， 故选：B． 2. 近几年全国各省市都在发展旅游业，据文旅部数据中心统计，今年长春市“十一”黄金周期间游客接待量约为1230万人次，将“1230万”这个数字用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查科学记数法表示较大的数．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同． 【详解】解：将“1230万”这个数字用科学记数法表示为． 故选：A． 3. 下列图形中不是位似图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题主要考查了位似图形，正确把握位似图形的定义是解题关键．根据位似图形的定义，如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，那么这样的两个图形叫作位似图形，根据位似图形的定义逐项判断即可得出答案． 【详解】解：、是位似图形，故本选项不符合题意； 、是位似图形，故本选项不符合题意； 、是位似图形，故本选项不符合题意； 、不是位似图形，故本选项符合题意； 故选：． 4. 某中学校园文化艺术节歌唱比赛有15名同学参赛，得分前8名的同学进入决赛，经过角逐，这15名同学的得分各不相同，小明知道自己的得分后，要判断自己能否进入决赛，还需要知道这15名同学得分的（ ） A. 平均数 B. 方差 C. 众数 D. 中位数 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了中位数的知识，熟练掌握中位数的定义是解题关键．根据中位数的定义分析判断即可． 【详解】解：15个不同的成绩按从小到大排序后，中位数及中位数之后的共有8个数，故只要知道自己的成绩和中位数，就可以知道是否进入决赛． 故选：D． 5. “立身以立学为先，立学以读书为本”为了鼓励全民阅读，某校图书馆开展阅读活动，自阅读活动开展以来，进馆阅读人次逐月增加，第一个月进馆260人次，第三个月进馆540人次，若进馆人次的月增长率相同，求进馆人次的月增长率．设进馆人次的月增长率为，依题意可列方程（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用．设进馆人次的月增长率为，根据题意列出方程即可． 【详解】解：设进馆人次的月增长率为， 由题意得，， 故选：A． 6. 为倡导全民健身，某小区在公共活动区域安装了健身器材，其中跷跷板很受欢迎．如图，点为跷跷板中点，支柱垂直于地面，垂足为，，跷跷板的一端落到地面时与地面的夹角，则点离地面的距离是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，相似三角形的判定与性质，解直角三角形等知识．求出，过点B作垂直底面于点D，判断出是的中位线，再根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得，即可得到答案． 【详解】解：由题意可得，， 在中，， 如图，过点B作垂直底面于点D， ， ， ∴， ∴， 点O为跷跷板的中点， ∴， 是的中位线， ， 故选：D． 7. 东方美学钟爱“白银分割”．日常生活中随处可以见到“白银分割”的身影，比如日常用到的纸（图①），对折后得到两个全等的纸并与纸相似（图②），则图中纸长与宽的比值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了相似多边形的性质，设纸长与宽分别为，则纸长与宽分别为，由题意得，据此即可求解； 【详解】解：设纸长与宽分别为， 则纸长与宽分别为， ∵对折后得到两个全等的纸并与纸相似， ∴， 即：， ∴， ∴， 故选：C 8. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴、轴分别交于、两点，与函数的图象相交于点，若，则的值为（ ） A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是反比例函数的图象和性质、一次函数的图象和性质、相似三角形的判定和性质．． 求出，过点C作轴于点D，则，证明，则，得到，则得到，然后代入反比例函数解析式求即可． 【详解】解：当时，，当时，，解得， ∵一次函数的图象与轴、轴分别交于、两点， ∴， ∴ ∵， ∴， 过点C作轴于点D，则， ∵， ∴ ∴， ∴ ∴ ∴， 把代入得，， 解得 故选：D． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 9. 整式的二次项系数是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了多项式的项、项数或次数，一个多项式中，次数最高的项的次数，叫做这个多项式的次数；多项式的项数就是多项式中包含的单项式的个数．据此即可求解． 【详解】解：由题意得：整式的二次项系数是， 故答案为： 10. 一元二次方程根的判别式的值是____________． 【答案】 【解析】 【分析】直接根据求解即可． 【详解】解：一元二次方程， ∵， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，熟知一元二次方程的判别式为是解本题的关键． 11. 如图，以点为位似中心的四边形和四边形面积比为，若，则的长为________． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查的是位似变换，根据相似多边形的面积的比等于相似比的平方计算即可． 【详解】解：∵四边形和四边形面积比为， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：4． 12. 一个小球在如图所示的地板上自由滚动，并随机停在某块方砖上，如果每一块方砖除颜色外完全相同，那么小球最终停留在白色方砖上的概率是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查几何概率的求法．根据几何概率的求法：最终停留在白色的方砖上的概率就是白色区域的面积与总面积的比值． 【详解】解：设每块方砖的边长为1，这个图形的总面积为9，白色方砖的面积为5，因此白色方砖占整体的， 所以小球最终停留在白色方砖上的概率是， 故答案为：． 13. 据欧几里得的《原本》记载，形如的方程的图解法是：画，使，，，再在斜边上截取，则该方程的一个正根是线段的长．当，时，的长为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，把，代入原方程，然后解方程即可得到答案． 【详解】解：把，代入中得：， 解得或， ∵该方程的一个正根是线段的长， ∴， 故答案为：． 14. 如图，在中，，，，点是的中点，连接，分别交、于点、．给出下面四个结论： ①； ②； ③和是以点为位似中心的位似图形； ④． 上述结论中，所有正确结论的序号是________． 【答案】①② 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，直角三角形斜边中线的性质，勾股定理，位似图形的性质．由斜边中线的性质，可判断①；由斜边中线的性质，求得，得到，证明，可判断②；利用勾股定理求得斜边的长，证明和，利用相似三角形的性质求得的长，推出，可判断③；求得的值，据此可判断③④． 【详解】解：∵，点是的中点， ∴，故①说法正确； ∵，点是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，故②说法正确； ∵，， ∴， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴，即， ∴，，， ∵， ∴，即， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴和不是以点为位似中心的位似图形，故③说法错误； ∵， ∴， ∵， ∴，故④说法错误， 综上，正确的有①②． 故答案为：①②． 三、解答题（本大题共10小题，共78分） 15. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了零指数幂、负整数指数幂，特殊角的三角函数值，先计算特殊角的三角函数值，零指数幂，负整数指数幂，最后合并即可，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解： ． 16. 解方程： （1）． （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法并灵活运用是解答的关键． （1）利用因式分解法解方程即可； （2）利用配方法解方程即可． 【小问1详解】 解：， 或， ∴，． 【小问2详解】 解：， ， ， ， ∴，． 17. “十一”期间，我校（1）班学生通过抽取卡片的方式决定去三个场馆中的两个场馆进行锻炼．三个场馆分别用字母、、表示．现把分别印有、、的三张卡片（除字母外，其余都相同）背面朝上，洗匀放好．从中随机抽取一张（不放回），再从中随机抽取一张．请用列表或画树状图的方法，求抽到的两张卡片恰好是和的概率． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查列表法与树状图法．列表得出所有等可能的结果数以及抽到的两张卡片编号恰好是和的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【详解】解：树状图如下： 一共有6种等可能结果，其中抽到的两张卡片恰好是和的有2种． ∴（抽到的两张卡片恰好是和）． 18. 如图，，相交于点，． （1）求证：； （2）已知，，的面积为50，求的面积． 【答案】（1） 证明：∵，又， ∴； （2） 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质． （1）对顶角相等，结合，即可得出； （2）根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ∵， ∴， ∴， 解得． 所以的面积为． 19. 图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，其顶点称为格点，的顶点均在格点上．按要求完成下列问题，在给定的网格中作图，作图时要求只用无刻度的直尺，保留作图痕迹． （1）图①中，点是的中点，在边上确定一点，连接，使． （2）图②中，在边上确定一点，连接，使． （3）图③中，在边上确定一点，连接，使． 【答案】（1） 如图，点E即为所求作的点． （2） 如图，点F即为所求． （3） 如图，点M即为所求作的点． 【解析】 【分析】（1）取的中点，连接即可； （2）取格点M连接，交于点F，则点F即为所求； （3）取格点G、H，连接，交于一点，该点即为所求作的点． 【小问1详解】 解：∵在和中， ∴， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵，点是的中点， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：连接交于点Q，连接， 根据解析（2）可知：此时， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∴点Q为的中点， ∴垂直平分， ∴， ∴， 根据解析（2）可知：， ∴． 【点睛】本题主要考查了格点作图，三角形相似的判定和性质，三角形全等的判定和性质，平行四边形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，线段垂直平分线的性质，解题的关键是熟练掌握格点的特点和相关的判定和性质． 20. 随着科技的不断进步，人工智能（）正逐渐渗透到我们的生活和工作．从家庭助手到自动驾驶汽车，再到智能医疗，的应用前景广阔且充满无限可能．某人工智能科技体验馆在十一假期间为学生们制订了丰富多彩的体验活动，团体票收费标准为：如果人数不超过10人，人均费用为240元；如果人数超过10人，每增加1人，人均费用降低5元，但人均旅游费用不得低于170元． （1）若有14人参加旅游，人均费用是________元． （2）某兴趣小组的学生们去参加体验活动，团体票的费用共3600元，求参加活动的学生人数． 【答案】（1）220 （2）参加活动的学生人数为18人 【解析】 【分析】本题主要考查了有理数混合运算以及一元二次方程的应用，理解题意，弄清数量关系是解题关键． （1）根据“如果人数超过10人，每增加1人，人均费用降低5元”列式求解即可； （2）设参加活动的学生人数为x人，根据题意列出关于x的一元二次方程，求解并对结果进行分析，即可获得答案． 【小问1详解】 解：根据题意，若有14人参加旅游时， 人均费用为：元． 故答案为：220； 【小问2详解】 解：设参加活动的学生人数为人， 由题意得，． 解得，． 当时，（元），符合题意． 当时，（元）， ∵不符合题意， ∴舍去． 答：参加活动的学生人数为18人． 21. 图①是一款可调节椅背的沙发椅，它可以减轻使用者的脊椎压力．图②是它的侧面示意图，椅背，将椅背角度从调节到（即，）时，分别过点、作于点，于点，求水平方向增加的距离长．（结果精确到；参考数据：，，，） 【答案】水平方向增加的距离长为． 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用．在与中，利用三角函数的定义列式计算即可求解． 【详解】解：由题意得：， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， 在与中， ， ， ∴ ． 答：水平方向增加的距离长为． 22. 模型思想是一种数学的思考方法，是运用数学的语言和方法，通过抽象、简化而建立，能近似刻画并解决实际问题，以下是某数学小组应用模型思想解决数学问题的过程． 【模型探究】 探究1．如图①，点是中上的一点，且，过点作交的延长线于点，则________． 探究2．如图②，在中，，．，交于点、．求证：． 【模型应用】 如图③，点为正方形边的中点，连接，作，交于点，连接，分别交、于点、，若，则 ． 【答案】探究1：； 探究2：证明：∵在中，，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 探究3： 【解析】 【分析】探究1：证明，得出，根据，求出结果即可； 探究2：证明，得出，，即可证明； 探究3：根据勾股定理求出，，证明，得出，求出，，证明，得出，代入数据求出结果即可． 【详解】探究1：解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴； 探究2：略 探究3：∵四边形为正方形， ∴，。，， ∴， ∵点E为的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了三角形相似的判定和性质，勾股定理，正方形的性质，等腰三角形的性质，解题的关键是数形结合，熟练掌握三角形相似的判定方法． 23. 如图，中，，．动点、分别从点、同时出发，点以每1个单位长度的速度沿向终点运动，点沿折线向终点运动，在上的速度为每秒2个单位长度，在上的速度为每秒3个单位长度，连结．设点的运动时间为． （1）用含的代数式表示的长． （2）求点到边的距离． （3）________． （4）当时，以为对角线作矩形，且点在边上，当时，求的值． 【答案】（1）当时，；当时，； （2） （3） （4）当时，；当时，． 【解析】 【分析】（1）分两种情况讨论，当和时，根据题意分别列式即可； （2）过点作于点，利用等腰三角形的性质结合勾股定理即可求解； （3）在中，利用余弦函数的定义求解即可； （4）分①当时，由余弦函数的定义求得，由等腰三角形的判定和性质求得，得到，解方程即可；②当时，推出，利用平行线分线段成比例定理列式求解即可． 【小问1详解】 解：当时，； 当时，； 【小问2详解】 解：过点作于点， ，且， ∴， 在中，由勾股定理得： ； 【小问3详解】 解：在中，，， ∴； 【小问4详解】 解：①当时，在矩形中， ∴， 在中，， ∵， ∴， ∴， 当时，， ∴， ∴， ∴； ②当时，若，则， ∴， ∵， ∴， ∴, 即， ∴． 【点睛】本题考查了余弦函数，平行线分线段成比例定理，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，解一元一次方程．分类讨论是解题的关键． 24. 在平面直角坐标系中，直线与直线相交于点，点是线上的动点，且横坐标为． （1）若时，求点的坐标． （2）当点与点重合时，求直线的解析式． （3）当点与点不重合时，过点作轴和直线的垂线，分别交直线于点、，过点作轴交直线于点，连结． ________． 以和为边作，若时，直接写出的值． 【答案】（1）； （2）； （3）；或． 【解析】 【分析】（）由题意得，联立，即可求解； （）由题意得点的坐标为，将代入即可求解； （）根据题意作法可求得点，，则，，由勾股定理得得，再求出，则有，然后根据正切的定义即可求解； 由得，，根据和为边作，， 然后通过平行四边形面积公式得出，然后求出的值即可． 【小问1详解】 解：当时，， 联立，解得：， ∴点的坐标为； 【小问2详解】 解：∵点的横坐标为，且点与点重合， ∴点的坐标为； 将代入得：， 解得：， ∴直线的解析式为； 【小问3详解】 解：如图， ∵点是线上的动点，且横坐标为，轴， ∴点横坐标为， ∵点在直线上， ∴， ∴点， ∵点纵坐标相同， ∴， ∴，， ∴在中，由勾股定理得：， ∵， ∴解析式为， 联立，解得， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； 由得，， ∵和为边作，， ∴， ∴，整理得：， ∴或， 解得：或， 【点睛】本题考查了一次函数的性质，勾股定理，解直角三角形，两点间的距离，解二元一次方程组，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年第一学期核心素养调研九年级数学学科 本试卷包括三道大题，共24道小题，共6页．全卷满分120分，考试时间为120分钟．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码准确粘贴在条形码区域内． 2．答题时，考生务必按照考试要求在答题卡上的指定区域内作答，在草稿纸、试卷上答题无效． 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1. 点A在数轴上的位置如图所示，将点A向右移动3个单位长度得到点，则点表示的数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 2. 近几年全国各省市都在发展旅游业，据文旅部数据中心统计，今年长春市“十一”黄金周期间游客接待量约为1230万人次，将“1230万”这个数字用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 下列图形中不是位似图形的是（ ） A. B. C. D. 4. 某中学校园文化艺术节歌唱比赛有15名同学参赛，得分前8名的同学进入决赛，经过角逐，这15名同学的得分各不相同，小明知道自己的得分后，要判断自己能否进入决赛，还需要知道这15名同学得分的（ ） A. 平均数 B. 方差 C. 众数 D. 中位数 5. “立身以立学为先，立学以读书为本”为了鼓励全民阅读，某校图书馆开展阅读活动，自阅读活动开展以来，进馆阅读人次逐月增加，第一个月进馆260人次，第三个月进馆540人次，若进馆人次的月增长率相同，求进馆人次的月增长率．设进馆人次的月增长率为，依题意可列方程（ ） A. B. C. D. 6. 为倡导全民健身，某小区在公共活动区域安装了健身器材，其中跷跷板很受欢迎．如图，点为跷跷板中点，支柱垂直于地面，垂足为，，跷跷板的一端落到地面时与地面的夹角，则点离地面的距离是（ ） A. B. C. D. 7. 东方美学钟爱“白银分割”．日常生活中随处可以见到“白银分割”的身影，比如日常用到的纸（图①），对折后得到两个全等的纸并与纸相似（图②），则图中纸长与宽的比值为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴、轴分别交于、两点，与函数的图象相交于点，若，则的值为（ ） A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 9. 整式的二次项系数是________． 10. 一元二次方程根的判别式的值是____________． 11. 如图，以点为位似中心的四边形和四边形面积比为，若，则的长为________． 12. 一个小球在如图所示的地板上自由滚动，并随机停在某块方砖上，如果每一块方砖除颜色外完全相同，那么小球最终停留在白色方砖上的概率是________． 13. 据欧几里得的《原本》记载，形如的方程的图解法是：画，使，，，再在斜边上截取，则该方程的一个正根是线段的长．当，时，的长为________． 14. 如图，在中，，，，点是的中点，连接，分别交、于点、．给出下面四个结论： ①； ②； ③和是以点为位似中心的位似图形； ④． 上述结论中，所有正确结论的序号是________． 三、解答题（本大题共10小题，共78分） 15. 计算：． 16. 解方程： （1）． （2）． 17. “十一”期间，我校（1）班学生通过抽取卡片的方式决定去三个场馆中的两个场馆进行锻炼．三个场馆分别用字母、、表示．现把分别印有、、的三张卡片（除字母外，其余都相同）背面朝上，洗匀放好．从中随机抽取一张（不放回），再从中随机抽取一张．请用列表或画树状图的方法，求抽到的两张卡片恰好是和的概率． 18. 如图，，相交于点，． （1）求证：； （2）已知，，的面积为50，求的面积． 19. 图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，其顶点称为格点，的顶点均在格点上．按要求完成下列问题，在给定的网格中作图，作图时要求只用无刻度的直尺，保留作图痕迹． （1）图①中，点是的中点，在边上确定一点，连接，使． （2）图②中，在边上确定一点，连接，使． （3）图③中，在边上确定一点，连接，使． 20. 随着科技的不断进步，人工智能（）正逐渐渗透到我们的生活和工作．从家庭助手到自动驾驶汽车，再到智能医疗，的应用前景广阔且充满无限可能．某人工智能科技体验馆在十一假期间为学生们制订了丰富多彩的体验活动，团体票收费标准为：如果人数不超过10人，人均费用为240元；如果人数超过10人，每增加1人，人均费用降低5元，但人均旅游费用不得低于170元． （1）若有14人参加旅游，人均费用是________元． （2）某兴趣小组的学生们去参加体验活动，团体票的费用共3600元，求参加活动的学生人数． 21. 图①是一款可调节椅背的沙发椅，它可以减轻使用者的脊椎压力．图②是它的侧面示意图，椅背，将椅背角度从调节到（即，）时，分别过点、作于点，于点，求水平方向增加的距离长．（结果精确到；参考数据：，，，） 22. 模型思想是一种数学的思考方法，是运用数学的语言和方法，通过抽象、简化而建立，能近似刻画并解决实际问题，以下是某数学小组应用模型思想解决数学问题的过程． 【模型探究】 探究1．如图①，点是中上的一点，且，过点作交的延长线于点，则________． 探究2．如图②，在中，，．，交于点、．求证：． 【模型应用】 如图③，点为正方形边的中点，连接，作，交于点，连接，分别交、于点、，若，则 ． 23. 如图，中，，．动点、分别从点、同时出发，点以每1个单位长度的速度沿向终点运动，点沿折线向终点运动，在上的速度为每秒2个单位长度，在上的速度为每秒3个单位长度，连结．设点的运动时间为． （1）用含的代数式表示的长． （2）求点到边的距离． （3）________． （4）当时，以为对角线作矩形，且点在边上，当时，求的值． 24. 在平面直角坐标系中，直线与直线相交于点，点是线上的动点，且横坐标为． （1）若时，求点的坐标． （2）当点与点重合时，求直线的解析式． （3）当点与点不重合时，过点作轴和直线的垂线，分别交直线于点、，过点作轴交直线于点，连结． ________． 以和为边作，若时，直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $