第四章：幂函数、指数函数和对数函数知识归纳与题型突破（24类题型清单）-2024-2025学年高一数学单元速记•巧练（湘教版2019必修第一册）

第四章：幂函数、指数函数和对数函数 知识点1 实数指数幂 1、有理数指数幂 （1）n次方根的定义与性质 ①定义：一般地，如果，那么x叫做a的n次方根，其中，且． ②n次方根的表示： 当n是奇数时，，的值仅有一个，记为； 当n是偶数，时，的有两个值，且互为相反数，记为；时，不存在； 负数没有偶次方根（负数的偶次方根无意义）； 0的任何次方根都是0，记作． （2）根式的定义与性质 ①定义：式子叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数． ②性质：（，且）： a； （3）分数指数幂 ①正分数指数幂：规定： ②负分数指数幂：规定： ③性质：0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义． （4）有理数指数幂的运算性质 ①． ②． ③． 2、无理数指数幂 （1）无理数指数幂的概念：它是一个确定的实数，它是有理数指数幂无限逼近的结果．定义了无理数指数幂后，幂的指数就由原来的有理数范围扩充到了实数范围． （2）定义：给定任意正数，对任意实数，的次幂，叫作底数，叫作指数． （3）幂运算基本不等式 ①对任意的正数和正数，若，则；若，则； ②对任意的负数和正数，若，则；若，则． 知识点2 幂函数 1、幂函数 （1）幂函数的定义：一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数． （2）幂函数的特征：①xα的系数是1；②xα的底数x是自变量；③xα的指数α为常数． 只有满足这三个条件，才是幂函数．对于形如y＝(2x)α，y＝2x5，y＝xα＋6等的函数都不是幂函数． 2、常见幂函数的图象与性质 函数 定义域 值域 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 非奇非偶函数 奇函数 单调性 增函数 在上递增，在上递减 增函数 增函数 在和上递减 过定点 点 3、一般幂函数的图象与性质 （1）所有的幂函数在(0，＋∞)上都有定义，并且图象都过点(1,1)； （2）如果α＞0，那么幂函数的图象过原点，并且在区间[0，＋∞)上单调递增； （3）如果α＜0，那么幂函数的图象在区间(0，＋∞)上单调递减， 在第一象限内，当x从右边趋向于原点时，图象在y轴右方无限接近y轴， 当x从原点趋向于＋∞时，图象在x轴上方无限接近x轴； （4）在上，随幂指数的逐渐增大，图象越来越靠近y轴． 知识点3 指数函数 1、指数函数的概念：一般地，函数（且）叫做指数函数，其中指数是自变量，定义域是，是指数函数的底数． 2、指数爆炸、指数增长与指数衰减 （1）指数爆炸：当底数时，指数函数值随自变量的增长而增大，底数较大时指数函数值增长速度惊人，被称为指数爆炸． （2）指数增长：在经济学或其他学科中，当某个量在一个既定的时间周期中，其增长百分比是一个常量时，这个量就被描述为指数式增长，也称指数增长． （3）指数衰减：当底数满足时，指数函数值随自变量的增长而缩小以至无限接近于0，叫作指数衰减．指数衰减的特点是：在一个既定的时间周期中，其缩小百分比是一个常量． 3、指数函数的图象与性质 1、指数函数的图象与性质 图象 性质 定义域 值域 过定点 单调性 在上是增函数 在上是减函数 奇偶性 非奇非偶函数 4、指数函数的底数对图象的影响 函数，，和，，的图象如图所示． （1）当且时，底数越大，图象越“陡”； 当且时，底数越小，图象越“陡”． （2）在轴右侧，图象从上到下相应的底数由大变小，即“底数大图象高”； 在轴左侧，图象从上到下相应的底数由小变大，即“底数大图象低”． 知识点4 对数 1、对数的概念 （1）对数的概念：如果（且），那么数叫做以为底N的对数，记作，其中叫作对数的底数，N叫作对数的真数． （2）对数与底数的关系 ①； ②； ③底的对数为1，即；1的对数为0，即． （3）常用对数与自然对数 名称 定义 记法 常用对数 以10为底的对数叫做常用对数 自然对数 以无理数为底的对数称为自然对数 2、对数运算法则：,且， （1）； （2）； （3） 3、对数的换底公式 （1）换底公式：(a＞0，且a1；c＞0，且c1；b＞0)． （2）可用换底公式证明以下结论： ①； ②； ③； ④； ⑤. 知识点5 对数函数 1、对数函数的概念：函数（，且）叫做对数函数，其中x是自变量，定义域为． 2、对数函数的图象与性质 a＞1 0＜a＜1 图象 性质 定义域 (0，＋∞) 值域 R 过定点 过定点(1，0)，即x＝1时，y＝0 函数值的变化 当0＜x＜1时，y＜0； 当x＞1时，y＞0 当0＜x＜1时，y＞0； 当x＞1时，y＜0 单调性 是(0，＋∞)上的增函数 是(0，＋∞)上的减函数 3、反函数 （1）反函数的概念：指数函数和对数函数互为反函数．指数函数的定义域是对数函数的值域，指数函数的值域是对数函数的定义域，两者图象关于直线．一般地，若与互为反函数，则它们的图象关于直线对称． （2）反函数的性质 ①并非任意一个函数都有反函数，只有定义域和值域满足“一一对应”的函数才有反函数． ②一般来说，单调函数都有反函数，且单调函数的反函数与原函数有相同的单调性． ③若一个奇函数存在反函数，则它的反函数也是奇函数． 4、底数对对数函数图象的影响 （1）底数a与1的大小关系决定了对数函数图象的“升降”：当时，图象呈上升趋势；当时，图象呈下降趋势； （2）函数与（，且）的图象关于轴对称； （3）底数的大小决定了图象相对位置的高低：无论还是，在第一象限内，自左向右，图象对应的对数函数的底数逐渐变大． 知识点6 函数与方程 1、方程的根与函数的零点 （1）函数零点的概念：对于一般函数，我们把使的实数叫做函数的零点．即函数的零点就是使函数值为零的自变量的值． （2）函数的零点与方程的解的关系：函数的零点就是方程的实数解，也就是函数的图象与轴的公共点的横坐标．所以方程有实数根函数的图象与轴有交点函数有零点． 2、零点存在定理：如果函数在区间上的图象是一条连续不断的曲线，且，那么，函数在区间内至少有一个零点，即存在，使得，这个也就是方程的解． 3、计算函数零点的二分法 （1）二分法的定义：对于区间上图象连续不断且的函数，通过不断把它的零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到近似值的方法． （2）用二分法求函数近似零点的步骤：给定精确度， ①确定零点的初始区间，验证； ②求区间的中点； ③计算，进一步确定零点所在的区间： 若（此时），则就是函数的零点； 若（此时），则令； 若（此时），则令. ④判断是否达到精确度：若，则得到零点近似值（或）；否则重复（2）~（4） 【注意】初始区间的确定要包含函数的变号零点． 知识点7 函数模型及其应用 1、几种函数增长快慢的比较 （1）当时，指数函数是增函数，并且当越大时，其函数值的增长就越快； 当时，对数函数是增函数，并且当越小时，其函数值的增长就越快； 当，时，幂函数也是增函数，并且当时，越大，其函数值的增长就越快； 当时，一次函数是增函数，并且当越大时，其函数值的增长就越快． （2）在区间上，，，总会存在一个，当时，就有．只要自变量足够大，幂函数的增长比一次函数快，而一次函数的增长比幂函数增长快． 2、函数模型及解题步骤 （1）数学建模的概念：把现实世界中的实际问题加以提炼，抽象为数学模型，求出模型的解，验证模型的合理性，并用该数学模型所提供的解来解释现实问题，数学知识的这一应用过程称为数学建模． （2）数学建模的步骤通常是： ①正确理解并简化实际问题：了解问题的实际背景，明确其实际意义，掌握对象的各种信息．根据实际对象的特征和建模的目的，对问题进行必要的简化，并用精确的语言提出一些恰当的假设； ②建立数学模型：在上述基础上，利用适当的数学工具来刻画各变量之间的数学关系，建立相应的数学结构； ③求得数学问题的解； ④将求解时分析计算的结果与实际情形进行比较，验证模型的准确性、合理性和适用性． 题型一 指数运算化简与求值 【例1】（23-24高一上·重庆沙坪坝·期中）计算： . 【变式1-1】（24-25高一上·江苏泰州·月考） ． 【变式1-2】（23-24高一上·陕西咸阳·月考）计算下列各式： (1)； (2)，其中，. 【变式1-3】（23-24高一上·天津·期中）（1）求值： ； （2）求值：； （3）化简：. 题型二 含有附加条件的求值问题 【例2】（24-25高一上·江苏南京·期中）已知，则（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】（24-25高一上·广东广州·月考）已知，则 ． 【变式2-2】（24-25高一上·辽宁·月考）已知实数满足：，则 . 【变式2-3】（24-25高一上·上海·期中）已知，那么等于 . 题型三 幂函数的定义域与值域 【例3】（23-24高一上·山西吕梁·月考）已知幂函数的图象过点，则的定义域为（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】（23-24高一上·广东广州·期中）幂函数图象过点，则的定义域为（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】（23-24高一下·辽宁·月考）函数的值域为 . 【变式3-3】（23-24高一上·四川成都·月考）下列函数中，值域为的是（    ） A． B． C． D． 题型四 幂函数的图象及应用 【例4】（23-24高一上·河南郑州·月考）函数，和的图像都通过同一个点，则该点坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】（24-25高一上·甘肃庆阳·月考）幂函数的图象大致为（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】（23-24高一上·河南南阳·月考）幂函数的图象如图，则将的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【变式4-3】（23-24高一上·河北沧州·期中）（多选）已知函数的图象可能为（    ） A． B． C． D． 题型五 幂函数的性质的综合应用 【例5】（24-25高一上·江西上饶·月考）幂函数在上是减函数，则的值为 ． 【变式5-1】（23-24高一上·宁夏·期中）（多选）已知幂函数的图象经过点，则（    ） A．的定义域为 B．的值域为 C．是偶函数 D．的单调增区间为 【变式5-2】（23-24高一上·辽宁·月考）已知幂函数的图象过点. (1)求实数的值； (2)设函数，用定义证明：在上单调递减. 【变式5-3】（23-24高一上·河北石家庄·期中）已知幂函数，其中，满足： ①在区间上单调递增； ②对任意的，都有. 求同时满足条件①②的幂函数的解析式，并求时的值域. 题型六 指数函数的图象及应用 【例6】（23-24高一上·广东江门·期末）已知函数（，且）的图象恒过定点 ，则 的坐标为 . 【变式6-1】（23-24高一上·河北邯郸·期中）（多选）若函数的图象过第一，三，四象限，则（    ） A． B． C． D． 【变式6-2】（23-24高一上·山东济南·月考）在同一直角坐标系中，函数，的部分图象可能是（    ） A． B． C． D． 【变式6-3】（23-24高一上·河南南阳·月考）四个指数函数，，的图象如图所示，则下列结论正确的是（    ） A．图象①，②，③，④对应的函数依次为，，和 B．图象①，②，③，④对应的函数依次为，，和 C．图象①，②，③，④对应的函数依次为，，和 D．图象①，②，③，④对应的函数依次为，，和 题型七 指数复合型函数的定义域和值域 【例7】（24-25高一上·福建福州·月考）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【变式7-1】（23-24高一上·陕西榆林·月考）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【变式7-2】（23-24高一上陕西西安·月考）函数 的值域为（ ） A． B． C． D． 【变式7-3】（24-25高一上·湖南常德·月考）已知函数，若，则的最大值和最小值分别是（    ） A． B． C． D．3，1 题型八 指数函数的单调性及应用 【例8】（23-24高一上·宁夏吴忠·月考）函数的单调递减区间是（    ） A． B． C． D． 【变式8-1】（23-24高一上·山东泰安·月考）函数的单调递增区间为 . 【变式8-2】（23-24高一下·云南·月考）函数在区间上单调递减，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式8-3】（23-24高一上·重庆·月考）若函数的单调递增区间为，且函数的单调递减区间为，则实数 . 题型九 指数复合型函数的奇偶性 【例9】（23-24高一上·山东日照·月考）已知函数是偶函数，则实数m的值是（    ） A．2 B．1 C． D． 【变式9-1】（23-24高一下·浙江杭州·期末）已知是偶函数，则（    ） A． B． C．1 D．2 【变式9-2】（23-24高一上·河南开封·月考）已知a为正实数，且函数是奇函数．则的值域为 ． 【变式9-3】（23-24高一上·辽宁沈阳·月考）（多选）已知函数，则（    ） A．为偶函数 B．为偶函数 C．为奇函数 D．为非奇非偶函数 题型十 与指数有关的复合函数综合 【例10】（23-24高一上·湖北武汉·月考）已知函数. (1)若，求不等式的解集； (2)若时，不等式恒成立，求的取值范围. 【变式10-1】（23-24高一下·湖南张家界·月考）已知函数为奇函数． (1)求的值； (2)判断函数的单调性，并加以证明； (3)若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围． 【变式10-2】（24-25高一上·吉林长春·期中）已知偶函数和奇函数的定义域均为，且． (1)求函数和的解析式； (2)若，不等式恒成立，求实数的取值范围． 【变式10-3】（23-24高一上·甘肃武威·月考）已知函数. (1)若，求的值域； (2)若，存在实数，，当的定义域为时，的值域为，求实数的取值范围. 题型十一 指数与对数综合运算 【例11】（23-24高一上·湖南长沙·月考）化简： . 【变式11-1】（23-24高一上·广东佛山·月考）计算 . 【变式11-2】（23-24高一上·山东临沂·月考）化简求值（需要写出计算过程） (1). (2). 【变式11-3】（24-25高一上·河北保定·月考）对下列式子求值： (1) (2) 题型十二 对数换底公式的应用 【例12】（23-24高一下·云南曲靖·月考）若，则（    ） A． B． C． D． 【变式12-1】（24-25高一上·河北保定·月考）已知，，则用，表示 【变式12-2】（24-25高一上·江苏泰州·月考）求值： ． 【变式12-3】（24-25高一上·江西上饶·月考）已知，则= 题型十三 对数型复合函数的定义域和值域 【例13】（23-24高一上·湖北孝感·月考）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【变式13-1】（23-24高一上·陕西汉中·月考）函数的定义域为 ． 【变式13-2】（23-24高一上·广西·月考）函数的值域为 . 【变式13-3】（23-24高一上·湖北武汉·月考）函数值域为 . 题型十四 对数函数的图象及应用 【例14】（23-24高一上·贵州黔南·月考）已知函数（且）的图象经过定点P，则点P的坐标是 . 【变式14-1】（23-24高一上·江西南昌·月考）若，则函数的图像不经过第 象限. 【变式14-2】（23-24高一下·湖南衡阳·月考）（多选）如图为函数的图象，其中m，n为常数，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式14-3】（23-24高一上·宁夏银川·月考）（多选）已知且，函数在同一坐标系中的图象不可能是（    ） A． B． C． D． 题型十五 对数型函数单调性与奇偶性 【例15】（23-24高一下·山西大同·月考）函数的单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 【变式15-1】（23-24高一上·山东临沂·月考）若函数在区间内单调递增，则的取值范围 . 【变式15-2】（23-24高一下·云南红河·月考）已知函数，记． (1)求函数的定义域； (2)判断函数的奇偶性，并说明理由； 【变式15-3】（23-24高一上·辽宁沈阳·月考）已知为偶函数， (1)求的值； (2)指出并证明在的单调性． 题型十六 对数型函数的综合应用 【例16】（23-24高一上·陕西西安·月考）已知函数. (1)判断函数的奇偶性，并证明你的结论； (2)若对于恒成立，求实数m的范围. 【变式16-1】（23-24高一上·山东日照·月考）已知函数． (1)若，求方程的解集； (2)若函数的最小值为，求实数a的值． 【变式16-2】（23-24高一上·广东汕尾·期末）已知函数． (1)求函数的定义域； (2)若恒成立，求实数k的取值范围． 【变式16-3】（23-24高一上·江苏徐州·月考）已知函数. (1)求函数的定义域和的值域. (2)证明：为偶函数并判断的单调性和奇偶性. (3)求关于的不等式的解集. 题型十七 判断零点所在区间或求参数 【例17】（23-24高一上·海南海口·期末）函数的零点一定位于下列的哪个区间（    ） A． B． C． D． 【变式17-1】（23-24高一上·广东广州·期末）函数的零点所在的一个区间是（    ） A． B． C． D． 【变式17-2】（23-24高一上·重庆·月考）函数的零点所在区间为（    ） A． B． C． D． 【变式17-3】（23-24高一下·江苏扬州·月考）已知函数的零点在区间内，，则的值为（    ） A．－2 B．－1 C．0 D．1 题型十八 求函数的零点或方程的根 【例18】（23-24高一下·广西南宁·月考）已知分段函数，则方程的解的个数是（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【变式18-1】（23-24高一上·江苏扬州·月考）函数的零点个数是（    ） A． B． C． D． 【变式18-2】（23-24高一下·广东汕尾·月考）已知函数则的零点个数为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【变式18-3】（23-24高一下·湖南长沙·月考）已知函数，则关于方程的根个数不可能是（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 题型十九 根据零点的个数求参数范围 【例19】（23-24高一上·山东菏泽·月考）已知函数，若关于的方程有两个不等的实数根，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式19-1】（23-24高一上·河南洛阳·月考）若函数有两个零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式19-2】（23-24高一下·江苏南京·月考）已知函数，若函数在上有两个零点，则实数的取值范围是 . 【变式19-3】（23-24高一上·新疆乌鲁木齐·月考）设，若有三个不同的零点，则实数的取值范围是 . 题型二十 二次函数的零点分布问题 【例20】（24-25高一上·浙江宁波·月考）若函数在内恰有一个零点，则实数的取值范围是 ． 【变式20-1】（24-25高一上·河北衡水·月考）若关于的方程至少有一个负实根，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式20-2】（24-25高一上·贵州贵阳·月考）（多选）关于的方程至少有一个正的实根，则的取值可以是（    ） A． B． C． D． 【变式20-3】（24-25高一上·江苏盐城·月考）已知二次函数与x轴有两个交点，一个大于1，一个小于1，则m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 题型二十一 用二分法求方程的近似解 【例21】（23-24高一上·陕西西安·月考）多选下列函数图象与轴均有交点，其中能用二分法求函数零点近似值的有（    ） A． B． C． D． 【变式21-1】（23-24高一上·重庆黔江·月考）已知方程的根在区间上，第一次用二分法求其近似解时，其根所在区间应取为 ． 【变式21-2】（23-24高一上·浙江丽水·月考）用二分法求函数在区间上的零点，要求精确度为0.01时，所需二分区间的次数最少为（ ） A．5 B．6 C．7 D．8 【变式21-3】（23-24高一上·福建龙岩·月考）（多选）某同学求函数的零点时，用计算器算得部分函数值如表所示： 则方程的近似解（精确度0.1）可取为（   ） A．2.62 B．2.56 C．2.531 D．2.75 题型二十二 已知函数模型解决实际问题 【例22】（24-25高一上·河南南阳·月考）记某飞行器的最大速度，若不变，当的值为时，对应的的值分别为，且，则与的关系为（    ） A． B． C．若，则；若，则 D．若，则；若，则 【变式22-1】（23-24高一上·湖南长沙·月考）中国茶文化源远流传，博大精深，茶水的口感与茶叶的类型和水的温度有关，某种绿茶用的水泡制，再等到茶水温度降至时饮用，可以产生最佳口感．为了控制水温，某研究小组联想到牛顿提出的物体在常温下的温度变化冷却规律：设物体的初始温度是，经过后的温度是，则，其中表示环境温度，表示半衰期．该研究小组经过测量得到，刚泡好的绿茶水温度是，放在的室温中，以后茶水的温度是，在上述条件下，大约需要放置多长时间能达到最佳饮用口感？（结果精确到0.1，参考数据，）（    ） A． B． C． D． 【变式22-2】（23-24高一上·湖北咸宁·月考）中国的5G技术领先世界，5G技术的数学原理之一便是著名的香农公式：．它表示在受噪音干扰的信道中，最大信息传递速度C取决于信道带宽W，信道内信号的平均功率S，信道内部的高斯噪声功率N的大小，其中叫作信噪比．当信噪比比较大时，公式中真数里面的1可以忽略不计．按照香农公式，若带宽W不变，信噪比从1000提升到12000，则C比原来大约增加了（    ）．(附：) A．32% B．43% C．36% D．68% 【变式22-3】（23-24高一上·江苏·期末）生物入侵是指生物由原生存地侵入到另一个新的环境，从而对入侵地的生态系统造成危害的现象，若某入侵物种的个体平均繁殖数量为，一年四季均可繁殖，繁殖间隔为相邻两代间繁殖所需的平均时间．在物种入侵初期，可用对数模型（为常数）来描述该物种累计繁殖数量与入侵时间（单位：天）之间的对应关系，且，在物种入侵初期，基于现有数据得出．据此估计该物种累计繁殖数量是初始累计繁殖数量的倍所需要的时间为（    ）天．（结果保留一位小数．参考数据：） A．19.5 B．20.5 C．18.5 D．19 题型二十三 图表型函数的实际应用问题 【例23】（23-24高一上·广西河池·月考）（多选）图1是某景点的游客人数（万人）与收支差额（十万元）（门票销售额减去投人的成本费用）的函数图象，为提高收入，景点采取了两种措施，图2和图3中的虚线为采取了两种措施后的图象，则下列说法正确的是（    ） A．图1中点A的实际意义表示该景点的投入的成本费用为10万元 B．图1中点B的实际意义表示当游客人数约为1.5万人时，该景点的收支恰好平衡 C．图2景点实行的措施是降低门票的售价 D．图3景点实行的措施是减少投入的成本费用 【变式23-1】（24-25高一上·浙江宁波·月考）学校某研究性学习小组在对学生上课注意力集中情况的研究调查中，发现其在40分钟的一节课中，注意力指数与听课时间（单位：分钟）之间的关系满足如图所示的图象，当时，图象是二次函数的一部分，顶点为，听课时间为12分钟与听课时间为8分钟的的注意力指数都为78，听课时间为4分钟的注意力指数为62；当时，图象是线段，其中． (1)求关于的函数解析式； (2)根据专家研究，当注意力指数大于62时，学习效果最佳，要使学生学习效果最佳，教师安排核心内容应在什么时间段？ 【变式23-2】（23-24高一上·重庆·期中）党的二十大报告明确要求继续深化国有企业改革，培育具有全球竞争力的世界一流企业.某企业抓住机遇推进生产改革，现在准备从单一产品转为生产、两种产品，根据市场调查与市场预测，生产产品的利润与投资成正比，其关系如图①；生产产品的利润与投资的算术平方根成正比，其关系如图②（注：所示图中的横坐标表示投资金额，单位为万元）． (1)分别求出生产、两种产品的利润表示为投资的函数关系式； (2)该企业已筹集到12万元资金，并全部投入、两种产品的生产，问：怎样分配这12万元资金，才能使企业获得最大利润，最大利润是多少？ 【变式23-3】（23-24高一上·湖南长沙·月考）学校某研究性学习小组在对学生上课时注意力集中情况的调查研究中，发现在40min的一节课中，学生的注意力指数y与听课时间x（单位：min）之间的关系满足如图所示的图象．当时，图象是二次函数图象的一部分，其中顶点，点，当时，图象是线段BC，其中点． (1)当时，求注意力指数y与听课时间x的函数关系式； (2)根据专家研究，当注意力指数大于62时，学习效果最佳．要使得学生学习效果最佳，求老师安排核心内容的时间段（结果用区间表示）． 题型二十四 函数模型的探究应用 【例24】（23-24高一上·广东揭阳·月考）为践行“绿水青山，就是金山银山”，我省决定净化练江上游水域的水质．省环保局于2018年年底在练江上游水域投入一些蒲草，这些蒲草在水中的蔓延速度越来越快，2019年2月底测得蒲草覆盖面积为，2019年3月底测得蒲草覆盖面积为，蒲草覆盖面积（单位：）与月份（单位：月）的关系有两个函数模型与可供选择． (1)分别求出两个函数模型的解析式； (2)若2018年年底测得蒲草覆盖面积为，从上述两个函数模型中选择更合适的一个模型，试估算至少到哪一年的几月底蒲草覆盖面积能超过？ （参考数据：，） 【变式24-1】（23-24高一下·湖北·月考）学校为了鼓励学生课余时间积极参加体育锻炼，需要制定一个课余锻炼考核评分制度，建立一个每天得分与当天锻炼时间（单位：分钟，）的函数关系式，要求如下： （i）函数的图象接近图示； （ii）每天锻炼时间为0分钟时，当天得分为0分； （iii）每天锻炼时间为9分钟时，当天得分为6分； （iiii）每天得分最多不超过12分. 现有以下三个函数模型供选择： ①；②；③. (1)请根据函数图像性质，结合题设条件，从中选择一个最合适的函数模型并求出解析式； (2)若学校要求每天的得分不少于9分，求每天至少锻炼多少分钟？ （参考值：） 【变式24-2】（23-24高一上·宁夏银川·期末）为践行“绿水青山，就是金山银山”的理念，我省决定净化闽江上游水域的水质省环保局于年年底在闽江上游水域投入一些蒲草，这些蒲草在水中的蔓延速度越来越快，年月底测得蒲草覆盖面积为，年月底测得蒲草覆盖面积为，蒲草覆盖面积单位：与月份单位：月的关系有两个函数模型与可供选择． (1)分别求出两个函数模型的解析式； (2)若年年底测得蒲草覆盖面积为，从上述两个函数模型中选择更合适的一个模型，说明理由，并估算至少到哪一年的几月底蒲草覆盖面积能达到？参考数据： 【变式24-3】（23-24高一上·福建厦门·月考）生物爱好者甲对某一水域的某种生物在自然生长环境下的总量进行监测. 第一次监测时的总量为（单位：吨），此时开始计时，时间用（单位：月）表示. 甲经过一段时间的监测得到一组如下表的数据： 月 吨 为了研究该生物总量与时间的关系，甲通过研究发现可以用以下的两种函数模型来表达与的变化关系： ①；②且. (1)请根据表中提供的前列数据确定第一个函数模型的解析式； (2)根据第列数据，选出其中一个与监测数据差距较小的函数模型；甲发现总量由翻一番时经过了个月，根据你选择的函数模型，若总量再翻一番时还需要经过多少个月？（参考数据：，） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！24 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第四章：幂函数、指数函数和对数函数 知识点1 实数指数幂 1、有理数指数幂 （1）n次方根的定义与性质 ①定义：一般地，如果，那么x叫做a的n次方根，其中，且． ②n次方根的表示： 当n是奇数时，，的值仅有一个，记为； 当n是偶数，时，的有两个值，且互为相反数，记为；时，不存在； 负数没有偶次方根（负数的偶次方根无意义）； 0的任何次方根都是0，记作． （2）根式的定义与性质 ①定义：式子叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数． ②性质：（，且）： a； （3）分数指数幂 ①正分数指数幂：规定： ②负分数指数幂：规定： ③性质：0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义． （4）有理数指数幂的运算性质 ①． ②． ③． 2、无理数指数幂 （1）无理数指数幂的概念：它是一个确定的实数，它是有理数指数幂无限逼近的结果．定义了无理数指数幂后，幂的指数就由原来的有理数范围扩充到了实数范围． （2）定义：给定任意正数，对任意实数，的次幂，叫作底数，叫作指数． （3）幂运算基本不等式 ①对任意的正数和正数，若，则；若，则； ②对任意的负数和正数，若，则；若，则． 知识点2 幂函数 1、幂函数 （1）幂函数的定义：一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数． （2）幂函数的特征：①xα的系数是1；②xα的底数x是自变量；③xα的指数α为常数． 只有满足这三个条件，才是幂函数．对于形如y＝(2x)α，y＝2x5，y＝xα＋6等的函数都不是幂函数． 2、常见幂函数的图象与性质 函数 定义域 值域 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 非奇非偶函数 奇函数 单调性 增函数 在上递增，在上递减 增函数 增函数 在和上递减 过定点 点 3、一般幂函数的图象与性质 （1）所有的幂函数在(0，＋∞)上都有定义，并且图象都过点(1,1)； （2）如果α＞0，那么幂函数的图象过原点，并且在区间[0，＋∞)上单调递增； （3）如果α＜0，那么幂函数的图象在区间(0，＋∞)上单调递减， 在第一象限内，当x从右边趋向于原点时，图象在y轴右方无限接近y轴， 当x从原点趋向于＋∞时，图象在x轴上方无限接近x轴； （4）在上，随幂指数的逐渐增大，图象越来越靠近y轴． 知识点3 指数函数 1、指数函数的概念：一般地，函数（且）叫做指数函数，其中指数是自变量，定义域是，是指数函数的底数． 2、指数爆炸、指数增长与指数衰减 （1）指数爆炸：当底数时，指数函数值随自变量的增长而增大，底数较大时指数函数值增长速度惊人，被称为指数爆炸． （2）指数增长：在经济学或其他学科中，当某个量在一个既定的时间周期中，其增长百分比是一个常量时，这个量就被描述为指数式增长，也称指数增长． （3）指数衰减：当底数满足时，指数函数值随自变量的增长而缩小以至无限接近于0，叫作指数衰减．指数衰减的特点是：在一个既定的时间周期中，其缩小百分比是一个常量． 3、指数函数的图象与性质 1、指数函数的图象与性质 图象 性质 定义域 值域 过定点 单调性 在上是增函数 在上是减函数 奇偶性 非奇非偶函数 4、指数函数的底数对图象的影响 函数，，和，，的图象如图所示． （1）当且时，底数越大，图象越“陡”； 当且时，底数越小，图象越“陡”． （2）在轴右侧，图象从上到下相应的底数由大变小，即“底数大图象高”； 在轴左侧，图象从上到下相应的底数由小变大，即“底数大图象低”． 知识点4 对数 1、对数的概念 （1）对数的概念：如果（且），那么数叫做以为底N的对数，记作，其中叫作对数的底数，N叫作对数的真数． （2）对数与底数的关系 ①； ②； ③底的对数为1，即；1的对数为0，即． （3）常用对数与自然对数 名称 定义 记法 常用对数 以10为底的对数叫做常用对数 自然对数 以无理数为底的对数称为自然对数 2、对数运算法则：,且， （1）； （2）； （3） 3、对数的换底公式 （1）换底公式：(a＞0，且a1；c＞0，且c1；b＞0)． （2）可用换底公式证明以下结论： ①； ②； ③； ④； ⑤. 知识点5 对数函数 1、对数函数的概念：函数（，且）叫做对数函数，其中x是自变量，定义域为． 2、对数函数的图象与性质 a＞1 0＜a＜1 图象 性质 定义域 (0，＋∞) 值域 R 过定点 过定点(1，0)，即x＝1时，y＝0 函数值的变化 当0＜x＜1时，y＜0； 当x＞1时，y＞0 当0＜x＜1时，y＞0； 当x＞1时，y＜0 单调性 是(0，＋∞)上的增函数 是(0，＋∞)上的减函数 3、反函数 （1）反函数的概念：指数函数和对数函数互为反函数．指数函数的定义域是对数函数的值域，指数函数的值域是对数函数的定义域，两者图象关于直线．一般地，若与互为反函数，则它们的图象关于直线对称． （2）反函数的性质 ①并非任意一个函数都有反函数，只有定义域和值域满足“一一对应”的函数才有反函数． ②一般来说，单调函数都有反函数，且单调函数的反函数与原函数有相同的单调性． ③若一个奇函数存在反函数，则它的反函数也是奇函数． 4、底数对对数函数图象的影响 （1）底数a与1的大小关系决定了对数函数图象的“升降”：当时，图象呈上升趋势；当时，图象呈下降趋势； （2）函数与（，且）的图象关于轴对称； （3）底数的大小决定了图象相对位置的高低：无论还是，在第一象限内，自左向右，图象对应的对数函数的底数逐渐变大． 知识点6 函数与方程 1、方程的根与函数的零点 （1）函数零点的概念：对于一般函数，我们把使的实数叫做函数的零点．即函数的零点就是使函数值为零的自变量的值． （2）函数的零点与方程的解的关系：函数的零点就是方程的实数解，也就是函数的图象与轴的公共点的横坐标．所以方程有实数根函数的图象与轴有交点函数有零点． 2、零点存在定理：如果函数在区间上的图象是一条连续不断的曲线，且，那么，函数在区间内至少有一个零点，即存在，使得，这个也就是方程的解． 3、计算函数零点的二分法 （1）二分法的定义：对于区间上图象连续不断且的函数，通过不断把它的零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到近似值的方法． （2）用二分法求函数近似零点的步骤：给定精确度， ①确定零点的初始区间，验证； ②求区间的中点； ③计算，进一步确定零点所在的区间： 若（此时），则就是函数的零点； 若（此时），则令； 若（此时），则令. ④判断是否达到精确度：若，则得到零点近似值（或）；否则重复（2）~（4） 【注意】初始区间的确定要包含函数的变号零点． 知识点7 函数模型及其应用 1、几种函数增长快慢的比较 （1）当时，指数函数是增函数，并且当越大时，其函数值的增长就越快； 当时，对数函数是增函数，并且当越小时，其函数值的增长就越快； 当，时，幂函数也是增函数，并且当时，越大，其函数值的增长就越快； 当时，一次函数是增函数，并且当越大时，其函数值的增长就越快． （2）在区间上，，，总会存在一个，当时，就有．只要自变量足够大，幂函数的增长比一次函数快，而一次函数的增长比幂函数增长快． 2、函数模型及解题步骤 （1）数学建模的概念：把现实世界中的实际问题加以提炼，抽象为数学模型，求出模型的解，验证模型的合理性，并用该数学模型所提供的解来解释现实问题，数学知识的这一应用过程称为数学建模． （2）数学建模的步骤通常是： ①正确理解并简化实际问题：了解问题的实际背景，明确其实际意义，掌握对象的各种信息．根据实际对象的特征和建模的目的，对问题进行必要的简化，并用精确的语言提出一些恰当的假设； ②建立数学模型：在上述基础上，利用适当的数学工具来刻画各变量之间的数学关系，建立相应的数学结构； ③求得数学问题的解； ④将求解时分析计算的结果与实际情形进行比较，验证模型的准确性、合理性和适用性． 题型一 指数运算化简与求值 【例1】（23-24高一上·重庆沙坪坝·期中）计算： . 【答案】 【解析】. 【变式1-1】（24-25高一上·江苏泰州·月考） ． 【答案】 【解析】原式. 【变式1-2】（23-24高一上·陕西咸阳·月考）计算下列各式： (1)； (2)，其中，. 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）由； （2）由. 【变式1-3】（23-24高一上·天津·期中）（1）求值： ； （2）求值：； （3）化简：. 【答案】（1）2；（2）；（3） 【解析】（1） ； （2） ； （3）. 题型二 含有附加条件的求值问题 【例2】（24-25高一上·江苏南京·期中）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由得，即， 故， 故 故.故选：C 【变式2-1】（24-25高一上·广东广州·月考）已知，则 ． 【答案】11 【解析】因为，所以，， 两边平方得， 故. 【变式2-2】（24-25高一上·辽宁·月考）已知实数满足：，则 . 【答案】 【解析】. 【变式2-3】（24-25高一上·上海·期中）已知，那么等于 . 【答案】 【解析】由， 因为，则， 故，即得. 故答案为：. 题型三 幂函数的定义域与值域 【例3】（23-24高一上·山西吕梁·月考）已知幂函数的图象过点，则的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】是幂函数，设，将代入解析式， 得，解得，故，则， 故，解得故选：B 【变式3-1】（23-24高一上·广东广州·期中）幂函数图象过点，则的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设幂函数为，则，故，， 则的定义域为， 故满足，解得.故选：A 【变式3-2】（23-24高一下·辽宁·月考）函数的值域为 . 【答案】 【解析】由幂函数性质可知在上单调递增， 又易知为偶函数， 所以当时，可知在上单调递减，可得. 故答案为： 【变式3-3】（23-24高一上·四川成都·月考）下列函数中，值域为的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由已知值域为，故A错误； 时，等号成立， 所以的值域是，B错误； 因为定义域为， ，函数值域为，故C正确； ，，，所以，故D错误.故选：C. 题型四 幂函数的图象及应用 【例4】（23-24高一上·河南郑州·月考）函数，和的图像都通过同一个点，则该点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】根据幂函数的定义可知，函数，与均为幂函数， 因为幂函数图像所过定点为，所以可得这三个函数图像均过点.故选：C 【变式4-1】（24-25高一上·甘肃庆阳·月考）幂函数的图象大致为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由函数，可得函数的定义域为，关于原点对称， 且，所以函数为偶函数， 所以函数的图象关于轴对称， 又由幂函数的性质得，当时，函数单调递增， 结合选项，选项B符合题意.故选：B. 【变式4-2】（23-24高一上·河南南阳·月考）幂函数的图象如图，则将的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】对于幂函数，若函数在上单调递增，则，若函数在上单调递减，则， 所以， 当时，若的图象在的上方，则，若的图象在的下方，则， 所以， 因为当时，指数越大，图象越高，所以， 综上，，故选：B 【变式4-3】（23-24高一上·河北沧州·期中）（多选）已知函数的图象可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【解析】AD选项，可以看出函数为偶函数，且在上单调递减， 故，此时在上恒成立，A错误，D正确. 当时，，选项D符合． 当时，的定义域为， B选项，可以看出且为偶数，当时，满足要求，选项B正确． C选项，当时，满足，选项C正确．故选：BCD 题型五 幂函数的性质的综合应用 【例5】（24-25高一上·江西上饶·月考）幂函数在上是减函数，则的值为 ． 【答案】 【解析】由题意可得，解得：, 所以. 故答案为： 【变式5-1】（23-24高一上·宁夏·期中）（多选）已知幂函数的图象经过点，则（    ） A．的定义域为 B．的值域为 C．是偶函数 D．的单调增区间为 【答案】ABD 【解析】设，则，可得，则， 对于A选项，对于函数，有，则函数的定义域为，A对； 对于B选项，，则函数的值域为，B对； 对于C选项，函数的定义域为，定义域不关于原点对称， 所以，函数为非奇非偶函数，C错； 对于D选项，的单调增区间为，D对.故选：ABD. 【变式5-2】（23-24高一上·辽宁·月考）已知幂函数的图象过点. (1)求实数的值； (2)设函数，用定义证明：在上单调递减. 【答案】(1)；(2)证明见解析. 【解析】（1）由函数是幂函数，得，解得， 当时，函数的定义域为，显然此函数图象不可能过点，即不符合题意， 当时，函数的定义域为，显然此函数图象可以过点， 所以，函数，. （2）由（1）知，函数，则函数， ，， 由，得，且，因此， 即有，则， 所以函数在上单调递减. 【变式5-3】（23-24高一上·河北石家庄·期中）已知幂函数，其中，满足： ①在区间上单调递增； ②对任意的，都有. 求同时满足条件①②的幂函数的解析式，并求时的值域. 【答案】，值域为 【解析】因幂函数在区间为增函数， 则，即， 解得：， 又因，所以或， 当时，为偶函数，不满足； 当时，为奇函数，满足；故， 当时，， 即函数的值域. 题型六 指数函数的图象及应用 【例6】（23-24高一上·广东江门·期末）已知函数（，且）的图象恒过定点 ，则 的坐标为 . 【答案】 【解析】由函数可知，当时，， 即函数图象恒过点. 故答案为： 【变式6-1】（23-24高一上·河北邯郸·期中）（多选）若函数的图象过第一，三，四象限，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【解析】由题意可知：函数大致图象如下图所示， 若，则的图象必过第二象限，不符合题意，所以． 当时，要使的图象过第一、三、四象限，，解得．故选：BC． 【变式6-2】（23-24高一上·山东济南·月考）在同一直角坐标系中，函数，的部分图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】对于A和B，指数函数过定点，且递增，则， 所以幂函数递增，且增加的越来越快，故A不符合，B不符合； 对于C和D，指数函数过定点，且递减，则， 所以幂函数递增，且增加的越来越慢，故C符合，D不符合.故选：C. 【变式6-3】（23-24高一上·河南南阳·月考）四个指数函数，，的图象如图所示，则下列结论正确的是（    ） A．图象①，②，③，④对应的函数依次为，，和 B．图象①，②，③，④对应的函数依次为，，和 C．图象①，②，③，④对应的函数依次为，，和 D．图象①，②，③，④对应的函数依次为，，和 【答案】D 【解析】当时，， 所以图象①，②，③，④对应的函数依次为，，和，故选:D. 题型七 指数复合型函数的定义域和值域 【例7】（24-25高一上·福建福州·月考）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由函数有意义，则满足，即，解得， 所以函数的定义域为.故选：C. 【变式7-1】（23-24高一上·陕西榆林·月考）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意可知，，解得且； 故该函数定义域为.故选：B. 【变式7-2】（23-24高一上陕西西安·月考）函数 的值域为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为， 那么可知 ， 而函数在上是增函数，故有：， 所以: ，故C项正确故选：C. 【变式7-3】（24-25高一上·湖南常德·月考）已知函数，若，则的最大值和最小值分别是（    ） A． B． C． D．3，1 【答案】B 【解析】由，得到，令， 则，对称轴， 当时，取得最大值，最大值为， 当时，取得最小值，最小值为， 所以的最大值和最小值分别是.故选：B． 题型八 指数函数的单调性及应用 【例8】（23-24高一上·宁夏吴忠·月考）函数的单调递减区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】对于，其开口向上，对称轴为， 所以在上单调递减，在上单调递增， 又在上单调递增， 所以的单调递减区间为.故选：A. 【变式8-1】（23-24高一上·山东泰安·月考）函数的单调递增区间为 . 【答案】/ 【解析】由，令，则， 因为为增函数，的增区间为， 所以的单调递增区间为. 故答案为： 【变式8-2】（23-24高一下·云南·月考）函数在区间上单调递减，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】令，， 显然在上单调递增，且的值域为， 又， 所以在上单调递减，在上单调递增， 令，解得， 由复合函数的单调性可得在上单调递减，在上单调递增， 因为函数在区间上单调递减，所以， 即的取值范围为.故选：A 【变式8-3】（23-24高一上·重庆·月考）若函数的单调递增区间为，且函数的单调递减区间为，则实数 . 【答案】1 【解析】根据函数的单调递增区间为， 所以对称轴，即，所以， 根据同增异减原理，函数的单调递减区间为函数的递增区间， 的递增区间为，所以， 故答案为：1 题型九 指数复合型函数的奇偶性 【例9】（23-24高一上·山东日照·月考）已知函数是偶函数，则实数m的值是（    ） A．2 B．1 C． D． 【答案】D 【解析】函数的定义域为， 由函数是偶函数，得，即， 而，则，解得， 所以实数m的值是.故选：D 【变式9-1】（23-24高一下·浙江杭州·期末）已知是偶函数，则（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】B 【解析】由得：，解得，. 当时，，定义域为，关于原点对称， 故符合题意，故选：B. 【变式9-2】（23-24高一上·河南开封·月考）已知a为正实数，且函数是奇函数．则的值域为 ． 【答案】 【解析】由题意，解得， 故，经检验，符合题意， 又，故，，故. 故答案为： 【变式9-3】（23-24高一上·辽宁沈阳·月考）（多选）已知函数，则（    ） A．为偶函数 B．为偶函数 C．为奇函数 D．为非奇非偶函数 【答案】BD 【解析】函数，， 令，，， 所以为非奇非偶函数，故A错误； ，令，， 所以为偶函数，故B正确； ，令，， ，所以为非奇非偶函数，故C错误； ，令，， ，所以为非奇非偶函数，故D正确.故选：BD 题型十 与指数有关的复合函数综合 【例10】（23-24高一上·湖北武汉·月考）已知函数. (1)若，求不等式的解集； (2)若时，不等式恒成立，求的取值范围. 【答案】(1)；(2). 【解析】（1）当时，可得， 由，得，可得，解得， 因此，当时，不等式的解集为； （2）因为，即，， 当，则，可得，可得， 而，则，解得，因此，实数的取值范围是. 【变式10-1】（23-24高一下·湖南张家界·月考）已知函数为奇函数． (1)求的值； (2)判断函数的单调性，并加以证明； (3)若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)；(2)函数在定义域上单调递增，证明见解析；(3) 【解析】（1）对任意的，，则函数的定义域为， 则，解得，此时，， 所以，， 所以，当时，函数为奇函数. （2）由（1）知：， 则函数在定义域上单调递增，证明如下： 设任意的，则 因为，则，则， 又，，所以，，即， 所以，函数在定义域上单调递增. （3）因为不等式对任意的恒成立， 所以，对任意的恒成立， 因为函数为上的奇函数，且为增函数，则， 则对任意的恒成立，所以，，解得. 因此，实数的取值范围是. 【变式10-2】（24-25高一上·吉林长春·期中）已知偶函数和奇函数的定义域均为，且． (1)求函数和的解析式； (2)若，不等式恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）由题，，则有， 又因为偶函数和奇函数，所以， 所以联立，解得. （2）因为， 由， 可得，即， 令， 因为，当且仅当，即时等号成立， 所以， 又因为，所以， 所以，即恒成立，其中， 令，， 则函数在时恒成立， 当，即时，在单调递增，所以，符合题意； 当，即时，函数在对称轴处取得最小值，则， 则，即，解得， 又因为，所以， 综上，，所以的取值范围是. 【变式10-3】（23-24高一上·甘肃武威·月考）已知函数. (1)若，求的值域； (2)若，存在实数，，当的定义域为时，的值域为，求实数的取值范围. 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）若则，令， 令，二次函数开口向上，对称轴为， 所以当时， 所以的值域为； （2）因为，所以在上单调递增， 所以当的定义域为时，的值域为， 即， 即在上有两个不同的实数解， 即在上有两个不同的实数解， 令，所以在上有两个不同的实数解， 所以，解得， 所以实数的取值范围为. 题型十一 指数与对数综合运算 【例11】（23-24高一上·湖南长沙·月考）化简： . 【答案】4 【解析】. 故答案为：4 【变式11-1】（23-24高一上·广东佛山·月考）计算 . 【答案】 【解析】 . 故答案为： 【变式11-2】（23-24高一上·山东临沂·月考）化简求值（需要写出计算过程） (1). (2). 【答案】(1)4；(2) 【解析】（1）原式 （2）原式 【变式11-3】（24-25高一上·河北保定·月考）对下列式子求值： (1) (2) 【答案】(1)4；(2)7 【解析】（1）原式. （2）原式. 题型十二 对数换底公式的应用 【例12】（23-24高一下·云南曲靖·月考）若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为，所以， 所以．故选：C． 【变式12-1】（24-25高一上·河北保定·月考）已知，，则用，表示 【答案】 【解析】由，，可得， 又由. 故答案为：. 【变式12-2】（24-25高一上·江苏泰州·月考）求值： ． 【答案】216 【解析】设，则， ，故， 因此 ，故， 因此， 故答案为：216 【变式12-3】（24-25高一上·江西上饶·月考）已知，则= 【答案】1 【解析】由于，故， 故， 则. 故答案为：1 题型十三 对数型复合函数的定义域和值域 【例13】（23-24高一上·湖北孝感·月考）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】令，则．故选：C． 【变式13-1】（23-24高一上·陕西汉中·月考）函数的定义域为 ． 【答案】 【解析】要使原函数有意义，则，即． 因为为减函数，所以，解得：. 所以原函数的定义域为． 故答案为: 【变式13-2】（23-24高一上·广西·月考）函数的值域为 . 【答案】 【解析】由，得， 令，则， 因为，， 所以，因为函数在上单调递增， 所以，所以函数的值域为. 故答案为： 【变式13-3】（23-24高一上·湖北武汉·月考）函数值域为 . 【答案】 【解析】函数的定义域为， ， 当且仅当，即时等号成立，故值域为. 故答案为：. 题型十四 对数函数的图象及应用 【例14】（23-24高一上·贵州黔南·月考）已知函数（且）的图象经过定点P，则点P的坐标是 . 【答案】 【解析】因为，所以令，解得，所以， 即函数（且）的图象经过定点. 故答案为：. 【变式14-1】（23-24高一上·江西南昌·月考）若，则函数的图像不经过第 象限. 【答案】四 【解析】函数的定义域为， 由于，所以函数在区间上单调递增， 函数的图像过点，且在上单调递增， 函数的图像向左平移个单位得到函数的图像， 所以函数的图像不经过第四象限. 故答案为：四 【变式14-2】（23-24高一下·湖南衡阳·月考）（多选）如图为函数的图象，其中m，n为常数，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【解析】由函数图象可得在上单调递减，所以， 又时，，即，故A，D正确.故选：AD. 【变式14-3】（23-24高一上·宁夏银川·月考）（多选）已知且，函数在同一坐标系中的图象不可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【解析】当时，单调递减，单调递增， 与轴交点的纵坐标大于，ABCD均不满足； 当时，单调递增，单调递减， 与轴交点的纵坐标介于和之间，可知只有B满足.故选：ACD. 题型十五 对数型函数单调性与奇偶性 【例15】（23-24高一下·山西大同·月考）函数的单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】对于函数，令，即，解得， 所以函数的定义域为， 又，所以在上单调递减，在上单调递增， 函数在定义域上单调递增， 所以的单调递增区间为，单调递减区间为.故选：A 【变式15-1】（23-24高一上·山东临沂·月考）若函数在区间内单调递增，则的取值范围 . 【答案】 【解析】令， 因为单调递减，所以单调递减，故, 又因为， 所以，所以. 故答案为：. 【变式15-2】（23-24高一下·云南红河·月考）已知函数，记． (1)求函数的定义域； (2)判断函数的奇偶性，并说明理由； 【答案】(1)；(2)为奇函数，理由见解析. 【解析】（1）， 由得：， 所以函数的定义域为：. （2）由（1）知函数的定义域为：，， ，， 所以为奇函数. 【变式15-3】（23-24高一上·辽宁沈阳·月考）已知为偶函数， (1)求的值； (2)指出并证明在的单调性． 【答案】(1)2；(2)函数在单调递增，证明见解析 【解析】（1）为偶函数，即， ，故，，； （2），其在单调递增， 下面给出证明： ，， 其中，， 故，则， 故，即，在单调递增． 题型十六 对数型函数的综合应用 【例16】（23-24高一上·陕西西安·月考）已知函数. (1)判断函数的奇偶性，并证明你的结论； (2)若对于恒成立，求实数m的范围. 【答案】(1)奇函数；见解析；(2) 【解析】（1）判断函数为奇函数. 由函数, 知即或， 且， 故函数为奇函数. （2）， 时，为增函数，故为增函数， 所以， 若对于恒成立，则. 【变式16-1】（23-24高一上·山东日照·月考）已知函数． (1)若，求方程的解集； (2)若函数的最小值为，求实数a的值． 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）， 当时，， 则即，整理得， 解得或，则或. 所以方程的解集为. （2），，令，， 则，，对称轴为， 当即时，，解得，不合题意舍去； 当即时，，解得，不合题意舍去； 当即时，，解得. 所以实数的值为. 【变式16-2】（23-24高一上·广东汕尾·期末）已知函数． (1)求函数的定义域； (2)若恒成立，求实数k的取值范围． 【答案】(1)；(2)． 【解析】（1）函数有意义， 则有，解得， 所以函数的定义域为. （2）， 因为，当且仅当，即时等号成立， 则有，所以． 由恒成立，得， 所以实数k的取值范围是． 【变式16-3】（23-24高一上·江苏徐州·月考）已知函数. (1)求函数的定义域和的值域. (2)证明：为偶函数并判断的单调性和奇偶性. (3)求关于的不等式的解集. 【答案】(1)定义域为，值域为； (2)证明见解析，的递减区间是，非奇非偶函数； (3)答案见解析. 【解析】（1）在函数中，，解得， 所以函数的定义域为； 函数，而，，因此， 所以函数的值域为. （2）由（1）知，函数的定义域为，， 所以函数是偶函数； 函数的定义域为，函数在上单调递减， 所以函数的单调递减区间是， 由于在函数的定义域内，而2不在函数的定义域内，即定义域关于0不对称， 所以函数是非奇非偶函数. （3）当时，， 不等式， 当时，，即，而，解得， 当时，，而，解得， 所以当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为. 题型十七 判断零点所在区间或求参数 【例17】（23-24高一上·海南海口·期末）函数的零点一定位于下列的哪个区间（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为函数,是连续单调函数， 且， ∴函数的零点一定位于区间.故选:C． 【变式17-1】（23-24高一上·广东广州·期末）函数的零点所在的一个区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意，，函数在定义域上单调递增， ，， ，， ∴零点所在的一个区间是,故选：D. 【变式17-2】（23-24高一上·重庆·月考）函数的零点所在区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】函数是定义域上的增函数， 又，，所以， 所以函数的零点所在区间为.故选：B. 【变式17-3】（23-24高一下·江苏扬州·月考）已知函数的零点在区间内，，则的值为（    ） A．－2 B．－1 C．0 D．1 【答案】B 【解析】因为函数定义域为，且在上单调递增， 且，，即， 由零点存在定理可得，的零点区间为，所以.故选：B 题型十八 求函数的零点或方程的根 【例18】（23-24高一下·广西南宁·月考）已知分段函数，则方程的解的个数是（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【解析】函数，由，得或， 解得或，解得， 所以方程有3个解.故选：B 【变式18-1】（23-24高一上·江苏扬州·月考）函数的零点个数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】当时，，解得或； 当时，，解得； 综上所述：函数共有3个零点.故选：C 【变式18-2】（23-24高一下·广东汕尾·月考）已知函数则的零点个数为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【解析】作出函数的大致图象如图所示， 由解得，由解得或，. 令，得， 得或或， 结合图象可知： 当时，有1个解；当时有2个解； 当时，由于，所以有个解， 故的零点个数为6.故选：C 【变式18-3】（23-24高一下·湖南长沙·月考）已知函数，则关于方程的根个数不可能是（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【解析】作出函数的图象，如图所示： 将原问题转化为直线（过定点）与函数的图象交点的个数， 由图可知，当时，直线与函数的图象只有一个交点； 当时，直线与函数的图象没有交点； 当时，直线与函数的图象有三个交点； 所以直线与函数的图象不可能有两个交点．故选：C． 题型十九 根据零点的个数求参数范围 【例19】（23-24高一上·山东菏泽·月考）已知函数，若关于的方程有两个不等的实数根，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】画出函数与的图象，如图所示： 由图可知.故选：B. 【变式19-1】（23-24高一上·河南洛阳·月考）若函数有两个零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】函数有两个零点，即与的图象有两个交点， 令，作出与的大致图象如图所示， 由图可知，则， 故实数的取值范围是.故选：D. 【变式19-2】（23-24高一下·江苏南京·月考）已知函数，若函数在上有两个零点，则实数的取值范围是 . 【答案】 【解析】当时，单调递增，， 当时，单调递增，， 因为在上有两个零点，所以，解得， 故答案为：. 【变式19-3】（23-24高一上·新疆乌鲁木齐·月考）设，若有三个不同的零点，则实数的取值范围是 . 【答案】 【解析】由题设与有三个交点， 而在、上递增，在上递减， 且在上值域为，在上值域为， 由的解析式可得其函数图象大致如下， 由图知：时，与有三个交点. 故答案为： 题型二十 二次函数的零点分布问题 【例20】（24-25高一上·浙江宁波·月考）若函数在内恰有一个零点，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【解析】当时，，解得，符合题意，则； 当时，二次函数的判别式为：， 若，即时，函数的零点为，符合题意，则； 当，即时，由，解得且， 则且； 当时，，方程另一根，当时， ，方程中一根，则或， 所以实数a的取值范围为. 故答案为： 【变式20-1】（24-25高一上·河北衡水·月考）若关于的方程至少有一个负实根，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】当时，方程为，有一个负根， 当时，为一元二次方程， 关于的方程至少有一个负根，设根为，， 当时，即时，方程为，解得，满足题意， 当，即时，且时， 若有一个负根，则，解得， 若有两个负根，则，解得， 综上所述，则实数的取值范围是，故选：C． 【变式20-2】（24-25高一上·贵州贵阳·月考）（多选）关于的方程至少有一个正的实根，则的取值可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【解析】（1）当时，方程为，解得，方程有一正实根； （2）当时，方程的根不为. ①当方程有一正实根一负实根时，，解得. ②当方程有两正实根时，，解得. 综上，的取值范围为.故选：ABC. 【变式20-3】（24-25高一上·江苏盐城·月考）已知二次函数与x轴有两个交点，一个大于1，一个小于1，则m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】对于二次函数， 当时，， 因为二次函数与x轴有两个交点，一个大于1，一个小于1， 当，即时，则，解得； 当，即时，则，不等式无解. 综上所述：m的取值范围是.故选：B 题型二十一 用二分法求方程的近似解 【例21】（23-24高一上·陕西西安·月考）多选下列函数图象与轴均有交点，其中能用二分法求函数零点近似值的有（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【解析】根据二分法的定义，知函数在区间上的图象连续不断，且， 即函数的零点是变号零点，才能将区间一分为二，逐步得到零点的近似值． 对于A，因为零点左右两侧的函数值不变号，所以不能用二分法求函数零点的近似值，故A错误． 对于BCD，三个函数图象均符合二分法求函数零点近似值的条件，故BCD正确；故选：BCD. 【变式21-1】（23-24高一上·重庆黔江·月考）已知方程的根在区间上，第一次用二分法求其近似解时，其根所在区间应取为 ． 【答案】 【解析】令，因为在定义域内单调递增， 且，，， 因为，所以第一次用二分法求其近似解时，根所在区间应取. 故答案为： 【变式21-2】（23-24高一上·浙江丽水·月考）用二分法求函数在区间上的零点，要求精确度为0.01时，所需二分区间的次数最少为（ ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【解析】因为开区间的长度等于，每经这一次操作，区间长度变为原来的一半， 所以经过次操作后，区间长度变为， 令，解得，且，故所需二分区间的次数最少为6.故选：B. 【变式21-3】（23-24高一上·福建龙岩·月考）（多选）某同学求函数的零点时，用计算器算得部分函数值如表所示： 则方程的近似解（精确度0.1）可取为（   ） A．2.62 B．2.56 C．2.531 D．2.75 【答案】BC 【解析】因为函数在其定义域内单调递增， 结合表格中数据： 可知方程的近似解所在区间可以是 根据区间的长度计算分别为， 根据精确度为，可知方程的近似解在区间上， 根据精确度为的要求，可在区间上任选一个值作为该方程的近似解,故选：BC. 题型二十二 已知函数模型解决实际问题 【例22】（24-25高一上·河南南阳·月考）记某飞行器的最大速度，若不变，当的值为时，对应的的值分别为，且，则与的关系为（    ） A． B． C．若，则；若，则 D．若，则；若，则 【答案】D 【解析】由条件可得，所以由. 若，则， 根据指数函数的单调性，为增函数，所以，则； 若，则， 根据数函数的单调性，为减函数， 所以，则.故选：D 【变式22-1】（23-24高一上·湖南长沙·月考）中国茶文化源远流传，博大精深，茶水的口感与茶叶的类型和水的温度有关，某种绿茶用的水泡制，再等到茶水温度降至时饮用，可以产生最佳口感．为了控制水温，某研究小组联想到牛顿提出的物体在常温下的温度变化冷却规律：设物体的初始温度是，经过后的温度是，则，其中表示环境温度，表示半衰期．该研究小组经过测量得到，刚泡好的绿茶水温度是，放在的室温中，以后茶水的温度是，在上述条件下，大约需要放置多长时间能达到最佳饮用口感？（结果精确到0.1，参考数据，）（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意可得方程组： ，由①式化简可得：，代入②式， 所以， 大约需要放置能达到最佳饮用口感．故选：A． 【变式22-2】（23-24高一上·湖北咸宁·月考）中国的5G技术领先世界，5G技术的数学原理之一便是著名的香农公式：．它表示在受噪音干扰的信道中，最大信息传递速度C取决于信道带宽W，信道内信号的平均功率S，信道内部的高斯噪声功率N的大小，其中叫作信噪比．当信噪比比较大时，公式中真数里面的1可以忽略不计．按照香农公式，若带宽W不变，信噪比从1000提升到12000，则C比原来大约增加了（    ）．(附：) A．32% B．43% C．36% D．68% 【答案】C 【解析】当时，最大信息传递速度为， 当时，最大信息传递速度为， 所以比原来增加了 ，故选：C. 【变式22-3】（23-24高一上·江苏·期末）生物入侵是指生物由原生存地侵入到另一个新的环境，从而对入侵地的生态系统造成危害的现象，若某入侵物种的个体平均繁殖数量为，一年四季均可繁殖，繁殖间隔为相邻两代间繁殖所需的平均时间．在物种入侵初期，可用对数模型（为常数）来描述该物种累计繁殖数量与入侵时间（单位：天）之间的对应关系，且，在物种入侵初期，基于现有数据得出．据此估计该物种累计繁殖数量是初始累计繁殖数量的倍所需要的时间为（    ）天．（结果保留一位小数．参考数据：） A．19.5 B．20.5 C．18.5 D．19 【答案】A 【解析】因为，，，所以，解得， 设初始时间为，初始累计繁殖数量为，累计繁殖数量是初始累计繁殖数量的倍的时间为， 则（天．故选：A. 题型二十三 图表型函数的实际应用问题 【例23】（23-24高一上·广西河池·月考）（多选）图1是某景点的游客人数（万人）与收支差额（十万元）（门票销售额减去投人的成本费用）的函数图象，为提高收入，景点采取了两种措施，图2和图3中的虚线为采取了两种措施后的图象，则下列说法正确的是（    ） A．图1中点A的实际意义表示该景点的投入的成本费用为10万元 B．图1中点B的实际意义表示当游客人数约为1.5万人时，该景点的收支恰好平衡 C．图2景点实行的措施是降低门票的售价 D．图3景点实行的措施是减少投入的成本费用 【答案】ABD 【解析】A：图1中A的实际意义表示游乐场的投入成本为10万元，正确； B：图1中B的实际意义表示当游客人数为1.5万人时，游乐场的收支恰好平衡，正确； C：图2游乐场实行的措施是提高门票的售价，错误； D：图3游乐场实行的措施是减少投入的成本费用，正确.故选：ABD 【变式23-1】（24-25高一上·浙江宁波·月考）学校某研究性学习小组在对学生上课注意力集中情况的研究调查中，发现其在40分钟的一节课中，注意力指数与听课时间（单位：分钟）之间的关系满足如图所示的图象，当时，图象是二次函数的一部分，顶点为，听课时间为12分钟与听课时间为8分钟的的注意力指数都为78，听课时间为4分钟的注意力指数为62；当时，图象是线段，其中． (1)求关于的函数解析式； (2)根据专家研究，当注意力指数大于62时，学习效果最佳，要使学生学习效果最佳，教师安排核心内容应在什么时间段？ 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）由于听课时间为12分钟与听课时间为8分钟的的注意力指数都为78， ，所以顶点的横坐标为， 当时，设， 将代入上式得， 解得，所以， 当时，设，将代入上式得： ，解得，所以. 所以. （2）当时，， 当时，， 综上所述，老师在时段内安排核心内容，能使得学生学习效果最佳． 【变式23-2】（23-24高一上·重庆·期中）党的二十大报告明确要求继续深化国有企业改革，培育具有全球竞争力的世界一流企业.某企业抓住机遇推进生产改革，现在准备从单一产品转为生产、两种产品，根据市场调查与市场预测，生产产品的利润与投资成正比，其关系如图①；生产产品的利润与投资的算术平方根成正比，其关系如图②（注：所示图中的横坐标表示投资金额，单位为万元）． (1)分别求出生产、两种产品的利润表示为投资的函数关系式； (2)该企业已筹集到12万元资金，并全部投入、两种产品的生产，问：怎样分配这12万元资金，才能使企业获得最大利润，最大利润是多少？ 【答案】(1)，； (2)产品投入万元，产品投入万元，才能使企业获得最大利润，最大利润是万元. 【解析】（1）设投资为万元，产品的利润为万元，产品的利润为万元 由题设，， 由图知，故，又，所以． 从而，． （2）设产品投入万元，则产品投入万元，设企业利润为万元， 则， 令，则，所以， 当时，，此时. 故产品投入万元，产品投入万元，才能使企业获得最大利润，最大利润是万元. 【变式23-3】（23-24高一上·湖南长沙·月考）学校某研究性学习小组在对学生上课时注意力集中情况的调查研究中，发现在40min的一节课中，学生的注意力指数y与听课时间x（单位：min）之间的关系满足如图所示的图象．当时，图象是二次函数图象的一部分，其中顶点，点，当时，图象是线段BC，其中点． (1)当时，求注意力指数y与听课时间x的函数关系式； (2)根据专家研究，当注意力指数大于62时，学习效果最佳．要使得学生学习效果最佳，求老师安排核心内容的时间段（结果用区间表示）． 【答案】(1)； (2)在时段内安排核心内容，能使得学生学习效果最佳，理由见解析. 【解析】（1）当时，设，而点在该二次函数图象上， 则，解得， 所以所求函数关系为. （2）当时，设，由线段过点、， 得，解得，则， 依题意，，则由（1）得，当时，或当时，， 解得或，因此， 所以老师就在时段内安排核心内容，能使得学生学习效果最佳. 题型二十四 函数模型的探究应用 【例24】（23-24高一上·广东揭阳·月考）为践行“绿水青山，就是金山银山”，我省决定净化练江上游水域的水质．省环保局于2018年年底在练江上游水域投入一些蒲草，这些蒲草在水中的蔓延速度越来越快，2019年2月底测得蒲草覆盖面积为，2019年3月底测得蒲草覆盖面积为，蒲草覆盖面积（单位：）与月份（单位：月）的关系有两个函数模型与可供选择． (1)分别求出两个函数模型的解析式； (2)若2018年年底测得蒲草覆盖面积为，从上述两个函数模型中选择更合适的一个模型，试估算至少到哪一年的几月底蒲草覆盖面积能超过？ （参考数据：，） 【答案】(1)，；(2)2020年2月 【解析】（1）若选择模型， 将分别代入得：，解得，， 故函数模型为， 若选择模型， 将分别代入得：，解得，， 故函数模型为． （2）把代入可得，， 把代入可得，， ， 选择函数模型更合适， 令，可得， 两边取对数可得，， ， 故蒲草至少到2020年2月底覆盖面积能超过 【变式24-1】（23-24高一下·湖北·月考）学校为了鼓励学生课余时间积极参加体育锻炼，需要制定一个课余锻炼考核评分制度，建立一个每天得分与当天锻炼时间（单位：分钟，）的函数关系式，要求如下： （i）函数的图象接近图示； （ii）每天锻炼时间为0分钟时，当天得分为0分； （iii）每天锻炼时间为9分钟时，当天得分为6分； （iiii）每天得分最多不超过12分. 现有以下三个函数模型供选择： ①；②；③. (1)请根据函数图像性质，结合题设条件，从中选择一个最合适的函数模型并求出解析式； (2)若学校要求每天的得分不少于9分，求每天至少锻炼多少分钟？ （参考值：） 【答案】(1)选择③，；(2)29.25. 【解析】（1）模型①，由图象过点， 得，解得，    ，在原点附近增长速度先快后慢，不符合； 模型②为爆炸增长型函数，不符合， 故选模型③. 由题知，，解得， 所以. （2）由（1）知，， 令，得，解得， 所以，若每天的得分不少于9分，至少每天要锻炼29.25分钟. 【变式24-2】（23-24高一上·宁夏银川·期末）为践行“绿水青山，就是金山银山”的理念，我省决定净化闽江上游水域的水质省环保局于年年底在闽江上游水域投入一些蒲草，这些蒲草在水中的蔓延速度越来越快，年月底测得蒲草覆盖面积为，年月底测得蒲草覆盖面积为，蒲草覆盖面积单位：与月份单位：月的关系有两个函数模型与可供选择． (1)分别求出两个函数模型的解析式； (2)若年年底测得蒲草覆盖面积为，从上述两个函数模型中选择更合适的一个模型，说明理由，并估算至少到哪一年的几月底蒲草覆盖面积能达到？参考数据： 【答案】(1)；(2)年 【解析】（1）若选择模型， 则，解得， 故函数模型为． 若选择模型， 则，解得，， 故函数模型为． （2）把代入，可得， 把代入，可得，可知与相差比较大， 故选择模型更合适． 令，可得， 两边取对数可得， 即， 所以， 至少到年月底蒲草覆盖面积能达到． 【变式24-3】（23-24高一上·福建厦门·月考）生物爱好者甲对某一水域的某种生物在自然生长环境下的总量进行监测. 第一次监测时的总量为（单位：吨），此时开始计时，时间用（单位：月）表示. 甲经过一段时间的监测得到一组如下表的数据： 月 吨 为了研究该生物总量与时间的关系，甲通过研究发现可以用以下的两种函数模型来表达与的变化关系： ①；②且. (1)请根据表中提供的前列数据确定第一个函数模型的解析式； (2)根据第列数据，选出其中一个与监测数据差距较小的函数模型；甲发现总量由翻一番时经过了个月，根据你选择的函数模型，若总量再翻一番时还需要经过多少个月？（参考数据：，） 【答案】(1) (2)第二个模型与监测数据差距较小；总量再翻一番时还需要经过个月 【解析】（1）将前列数据代入第一个函数模型得：，解得：， 第一个函数模型的解析式为：. （2）将前列数据代入第二个函数模型得：，解得：， 第二个函数模型的解析式为：； 将代入第一个函数模型得：；代入第二个函数模型得：； 将代入第一个函数模型得：； 代入第二个函数模型得：； 根据第列数据，第二个模型与监测数据差距较小； 总量翻一番时，，此时； 若总量再翻一番，则，由得：，， ，总量再翻一番时还需要经过个月. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！24 学科网（北京）股份有限公司 $$