精品解析：黑龙江省龙东地区2024-2025学年上学期期中联考八年级数学试卷

2024—2025年八年级上学期综合练习（一） 数学试卷 考生注意： 1．考试时间90分钟 2．全卷共三道大题，总分120分 一、选择题（每题3分，满分27分） 1. 第19届亚运会将于2022年9月在杭州举行，下列历届亚运会会徽是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 以下列长度的各组线段为边，能组成三角形的是（ ） A. 3cm，7cm，4cm B. 2cm，3cm，6cm C. 5cm，6cm，7cm D. 1cm，2cm，3cm 3. 画中边上的高，正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 已知正多边形的一个外角为，则该正多边形的边数是（　　） A. 5 B. 6 C. 8 D. 10 5. 若a，b为等腰的两边，且满足，则的周长为（ ） A. 16 B. 18 C. 20 D. 16或20 6. 通过如下尺规作图，能确定点是边中点的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图是由线段组成的平面图形，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，△中，，点，分别在，上，是的中点．若，，则的长是（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 9. 如图，中，于点的平分线分别交于两点，为的中点，的延长线交于点，连，下列结论：①； ②为等腰三角形；③平分；④，其中正确结论的个数是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每题3分，满分27分） 10. 若点与点关于轴对称，则__． 11. 空调安装在墙上时，一般都会采用如图所示的方法固定，这种固定的方法应用的几何原理是______． 12. 如图， ，请添加一个条件________，可判定． 13. 如图，在等边三角形中，于点，若，则的长为________． 14. 如图，将长方形纸片进行折叠，，为折痕，点A与点，点B与点，点C与点是对应点，若，则的度数为______． 15. 如图，已知，，垂足分别为，相交于点，且平分，那么图中全等三角形共有________对． 16. 已知等腰三角形中，于点D，且，则等腰三角形的底角的度数为______． 17. 如图，锐角△ABC中，BD是其角平分线，M，N分别是线段BD，BC上的动点，，，则的最小值为_________． 18. 如图，的面积为S，延长至点，使得，连接，得到第一个三角形；再延长至点，使得，连接，得到第二个三角形；延长至点，使得，连接，得到第三个三角形，延长至点，使得，连接，得到第四个三角形……重复这样的操作，则第2025个三角形的面积为______． 三、解答题（满分66分） 19. 已知a，b，c为的三边长，化简． 20. 如图①，图②、图③均为的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，点A，B，C均在格点上，请你只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图（保画图痕迹，不要求写出画法）． （1）在图①中，画出的边上的高； （2）在图②中，画出关于直线的轴对称图形； （3）在图③中，在上画出点P，使最小． 21. 已知一个多边形的边数为． （1）若，求这个多边形的内角和． （2）若这个多边形的内角和的比一个四边形的外角和多，求的值． 22. 如图，在△BCD中，BC=4，BD=5． （1）求CD的取值范围； （2）若AE∥BD，∠A=55°，∠BDE=125°，求∠C的度数． 23. 如图，在四边形中，，，，点E是线段上一点，且． （1）求证：； （2）直接写出图中所有的等腰三角形． 24. 如图，在中，，，，动点P，Q同时从A，B两点出发，分别在，边上匀速移动，它们的速度分别为，，当点P到达点B时，P，Q两点同时停止运动，设点P的运动时间为． （1）______，______（用含t的式子表示），______； （2）当t为何值时，为等边三角形？ （3）当t为何值时，为直角三角形？请直接写出t的值． 25. 问题初探：（1）如图1，在等腰直角中，，，将沿着折叠得到，的对应边落在上，点的对应点为，折痕交于点．求证：； 方法迁移：（2）如图2，是的角平分线，．求证：； 问题拓展：（3）如图3，在中，，是的外角的平分线，交的延长线于点．请你直接写出线段，，之间的数量关系． 26. 综合与实践． 积累经验 （1）我们在第十二章《全等三角形》中学习了全等三角形的性质和判定，在一些探究题中经常用以上知识转化角和边，进而解决问题．例如：我们在解决：“如图1，在中，，，线段经过点C，且于点D，于点E，求证：，”这个问题时，只要证明，即可得到解决，请写出证明过程： 类比应用 （2）如图2，在平面直角坐标系中，中，，，点A的坐标为，点C的坐标为，求点B的坐标． 拓展提升 （3）如图3，在平面直角坐标系中，，，点A的坐标为，点C的坐标为，则点B的坐标为____________． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024—2025年八年级上学期综合练习（一） 数学试卷 考生注意： 1．考试时间90分钟 2．全卷共三道大题，总分120分 一、选择题（每题3分，满分27分） 1. 第19届亚运会将于2022年9月在杭州举行，下列历届亚运会会徽是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 【详解】解：选项A、B、C不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形； 选项D能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形； 故选：D． 【点睛】本题考查的是轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合． 2. 以下列长度的各组线段为边，能组成三角形的是（ ） A. 3cm，7cm，4cm B. 2cm，3cm，6cm C. 5cm，6cm，7cm D. 1cm，2cm，3cm 【答案】C 【解析】 【分析】根据三角形的三边关系“任意两边之和＞第三边，任意两边之差＜第三边”，进行分析． 【详解】解：根据三角形的三边关系，得 A、3 cm+ 4 cm =7 cm，不能组成三角形； B、2 cm +3 cm＜6 cm，不能够组成三角形； C、5 cm +6cm＞7cm，能组成三角形； D、1cm+2cm=3cm，不能组成三角形． 故选：C． 【点睛】此题考查了三角形的三边关系．判断能否组成三角形的简便方法是看较小的两个数的和是否＞第三个数． 3. 画中边上的高，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查三角形的高，熟练掌握三角形高的画法是解题的关键；根据三角形的高可进行排除选项． 【详解】解：由题意可知只有D选项符合的边上的高； 故选D． 4. 已知正多边形的一个外角为，则该正多边形的边数是（　　） A. 5 B. 6 C. 8 D. 10 【答案】D 【解析】 【分析】利用多边形的外角和是，正多边形的每个外角都是，即可求出答案． 【详解】解：，所以这个正多边形是正十边形． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了根据多边形的外角和求多边形的边数，熟练掌握多边形的外角和为度是解题的关键． 5. 若a，b为等腰的两边，且满足，则的周长为（ ） A. 16 B. 18 C. 20 D. 16或20 【答案】C 【解析】 【分析】题考查了等腰三角形的性质、非负数的性质及三角形三边关系；解题主要利用了非负数的性质求出a，b的值，分情况讨论求解时要注意利用三角形的三边关系对三边能否组成三角形做出判断． 【详解】解：∵， ∴， 解得， 若4是腰长，则三角形的三边长为4，4，8，不能组成三角形； 若4是底边长，则三角形的三边长为4，8，8，能组成三角形，周长为． 故选C． 6. 通过如下尺规作图，能确定点是边中点的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】作线段的垂直平分线可得线段的中点． 【详解】作线段的垂直平分线可得线段的中点． 由此可知：选项A符合条件， 故选A． 【点睛】本题考查作图﹣复杂作图，解题的关键是熟练掌握五种基本作图． 7. 如图是由线段组成的平面图形，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形外角的性质，如图标记，然后利用三角形的外角性质得，，再利用互为邻补角，即可得答案． 【详解】解：如下图标记， ，， ， 又， ， ， ， 故选C． 8. 如图，△中，，点，分别在，上，是的中点．若，，则的长是（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质．根据已知想到等腰三角形的三线合一，所以连接，可得，再利用等角的余角相等，证明，从而得，即可解答． 【详解】解：连接， ，是的中点， ， ， ，， ， ， ， ， ， 故选：B． 9. 如图，中，于点的平分线分别交于两点，为的中点，的延长线交于点，连，下列结论：①； ②为等腰三角形；③平分；④，其中正确结论的个数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出，，，证明即可判断①，证明，推出即可判断④，证明，得，由直角三角形斜边的中线的性质推出，，即可判断③，根据三角形外角性质求出，证明，即可判断②． 【详解】解：∵，，， ∴，，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，故①正确； 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴，故④正确； 在和中， ， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴平分，故③正确； ∵， ∴， ∴， ∴是等腰三角形，故②正确． 故选：D． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判断，三角形外角性质，三角形内角和定理，直角三角形斜边上中线的性质，等腰三角形的性质和判定，解题的关键是熟练掌握这些性质定理进行证明求解． 二、填空题（每题3分，满分27分） 10. 若点与点关于轴对称，则__． 【答案】0 【解析】 【分析】根据关于y轴对称的点纵坐标相同，横坐标互为相反数得出m、n的值，代入求值即可． 【详解】解：点与点关于轴对称， ，， 解得：，， ， 故答案为：0 【点睛】本题考查了坐标与图形－轴对称变换，熟知关于y轴对称的点纵坐标相同，横坐标互为相反数；关于x轴对称的点横坐标相同，纵坐标互为相反数；是解本题的关键． 11. 空调安装在墙上时，一般都会采用如图所示的方法固定，这种固定的方法应用的几何原理是______． 【答案】三角形的稳定性 【解析】 【分析】本题考查了三角形的稳定性，钉在墙上的方法是构造三角形支架，根据三角形的性质即可得解，熟练掌握三角形的性质是解此题的关键． 【详解】解：这种固定的方法应用的几何原理是三角形的稳定性， 故答案为：三角形的稳定性． 12. 如图， ，请添加一个条件________，可判定． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】添加条件，可根据证明全等． 【详解】解：添加条件：， 则在和中， ， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定，添加一个条件使两个三角形全等，全等三角形的判定方法有：． 13. 如图，在等边三角形中，于点，若，则的长为________． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的性质，垂直平分线的性质，判断是的垂直平分线是解答关键． 根据等边三角形的性质求出的长度，再利用三线合一得到是的垂直平分线来求解． 【详解】解：在等边三角形中，， ． ， 是的垂直平分线， ． 故答案为：4． 14. 如图，将长方形纸片进行折叠，，为折痕，点A与点，点B与点，点C与点是对应点，若，则的度数为______． 【答案】##度 【解析】 【分析】本题考查了折叠的性质，平角的定义，根据折叠的性质可得，，得到，即可求解，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：根据折叠的性质可得： ，， ∴， 又∵， ∴， 故答案为：． 15. 如图，已知，，垂足分别为，相交于点，且平分，那么图中全等三角形共有________对． 【答案】4##四 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定与性质等知识．熟练掌握角平分线的性质，全等三角形的判定与性质是解题的关键．由平分，，可得，证明，则，证明，则，，，，证明，同理，，然后判断作答即可． 【详解】解：∵平分，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴，， ∴，， ∵，，， ∴， 同理，， 综上所述，图中全等三角形共有4对， 故答案为：4． 16. 已知等腰三角形中，于点D，且，则等腰三角形的底角的度数为______． 【答案】或或 【解析】 【分析】本题考查了角所对的直角边等于斜边的一半的性质，等腰三角形的两底角相等的性质，以及三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，难点在于要分情况讨论求解． 作出图形，分①点是顶点时，根据等腰三角形三线合一的性质可得，从而得到，再利用等边对等角的性质可得，然后利用直角三角形两锐角互余求解即可；②点是底角顶点，在外部时，根据直角三角形角所对的直角边等于斜边的一半求出，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求解即可得到底角是，③点是底角顶点，在内部时，根据直角三角形角所对的直角边等于斜边的一半求出，然后再根据等腰三角形两底角相等求解即可． 【详解】解：①如图1，点是顶点时． ∵， ∴， ∵， ∴．   ∵在中，， ∴；   ②如图2，点是底角顶点，且在外部时． ∵， ∴， ∴，   ∴；   ③如图3，点是底角顶点，且在内部时． ∵， ∴， ∴，   ∴；   综上所述，底角的度数为或或． 17. 如图，锐角△ABC中，BD是其角平分线，M，N分别是线段BD，BC上的动点，，，则的最小值为_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了轴对称确定最短路线问题，垂线段最短的性质， 根据平分，得出关于的对称点在角平分线上，作点关于的对称点，根据点到直线的距离，垂线段最短，可得当时，最短，即最小，进而根据三角形面积公式即可求解，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键． 【详解】解：如图，作点关于的对称点， ∴， ∴， 当三点共线，且时，最短，即最小， ∵，， ∴， 则的最小值为， 故答案为：． 18. 如图，的面积为S，延长至点，使得，连接，得到第一个三角形；再延长至点，使得，连接，得到第二个三角形；延长至点，使得，连接，得到第三个三角形，延长至点，使得，连接，得到第四个三角形……重复这样的操作，则第2025个三角形的面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了图形类规律探索，根据图形，找出规律是解题的关键． 根据图形得规律为第个的面积为：，则第2025个三角形的面积即当时，代入即可求解． 【详解】解：由图形得： 其规律为：第一个的面积为：， 第二个的面积为：， 第三个的面积为：， 第四个的面积为：， 第个的面积为：， 则第2025个三角形的面积为：， 故答案为：． 三、解答题（满分66分） 19. 已知a，b，c为的三边长，化简． 【答案】-a+b+c 【解析】 【分析】根据三角形三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，来判定绝对值里的式子的正负值，然后去绝对值进行计算即可． 【详解】解：由三角形三边关系可得：a-b-c＜0，b-c+a＞0，a+b-c＞0， ∴原式=-(a-b-c)-(b-c+a)+(a+b-c) =-a+b+c-b+c-a+a+b-c =-a+b+c． 【点睛】本题主要考查了三角形三边关系，以及绝对值的性质，关键是掌握三角形三角形两边之和大于第三边． 20. 如图①，图②、图③均为的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，点A，B，C均在格点上，请你只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图（保画图痕迹，不要求写出画法）． （1）在图①中，画出的边上的高； （2）在图②中，画出关于直线的轴对称图形； （3）在图③中，在上画出点P，使最小． 【答案】（1） 解：如图①所示，即为所求． （2） 解：如图②所示，即为所求． （3） 解：如图③所示，点P即为所求． 【解析】 【分析】本题考查画高，画中线，轴对称作图．熟练掌握中线平分面积，成轴对称的性质，是解题的关键． （1）根据高线的定义，画出即可； （2）根据找点，描点，连线，画出即可； （3）画点关于的对称点，连接交于点，则点即为所求． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 如图③所示，画点C关于的对称点，连接交于点P，则点P即为所求． 当点P在图中位置时，最小，． 21. 已知一个多边形的边数为． （1）若，求这个多边形的内角和． （2）若这个多边形的内角和的比一个四边形的外角和多，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查多边形内角和公式及外角和，读懂题意，利用多边形内角和公式求角度、按照题意列方程求解即可得到答案，熟记多边形内角和公式及四边形外角和为是解决问题的关键． （1）根据多边形的内角和公式，代值求解即可得到答案； （2）根据多边形内角和公式及四边形外角和为，由题意列方程求解即可得到答案． 【小问1详解】 解：多边形的内角和公式为， ，这个多边形的内角和； 【小问2详解】 解：多边形的内角和公式为，四边形的外角和为， 由题意可得，解得． 22. 如图，在△BCD中，BC=4，BD=5． （1）求CD的取值范围； （2）若AE∥BD，∠A=55°，∠BDE=125°，求∠C的度数． 【答案】（1）1<DC<9；（2）∠C=70°． 【解析】 【分析】(1)根据三角形三边关系进行求解即可得； (2)根据平行线的性质求得∠AEC的度数，继而根据三角形内角和定理即可求得答案. 【详解】(1)在△BCD中，BD-BC<CD<BD+BC， 又∵BC=4，BD=5， ∴5-4<CD<5+4， 即1<DC<9； (2)∵AE∥BD，∠BDE=125°， ∴∠AEC=180°-∠BDE=55°， 又∵∠A+∠C+∠AEC=180°，∠A=55°， ∴∠C=70°． 【点睛】本题考查了三角形三边关系，三角形内角和定理，熟练掌握相关知识是解题的关键. 23. 如图，在四边形中，，，，点E是线段上一点，且． （1）求证：； （2）直接写出图中所有的等腰三角形． 【答案】（1） 解：∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴． （2）图中的等腰三角形有、 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、平行线的性质、等腰三角形的判定等知识点，掌握全等三角形的判定成为解题的关键． （1）根据平行线的性质判定，再由可得，再结合，利用即可证明结论； （2）根据（1）的结论可得，再结合等腰梯形的性质即可确定所有等腰三角形． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵由（1）可得 ∴是等腰三角形， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴是等腰三角形． ∴图中的等腰三角形有、． 24. 如图，在中，，，，动点P，Q同时从A，B两点出发，分别在，边上匀速移动，它们的速度分别为，，当点P到达点B时，P，Q两点同时停止运动，设点P的运动时间为． （1）______，______（用含t的式子表示），______； （2）当t为何值时，为等边三角形？ （3）当t为何值时，为直角三角形？请直接写出t的值． 【答案】（1），t，20 （2） （3）10或16 【解析】 【分析】（1）先利用含30度角的直角三角形的性质可得，再表示，即可； （2）求解，可得时，为等边三角形，可得，再解方程即可； （3）当为直角三角形，①当时，则，②当时，则，再建立方程求解即可． 【小问1详解】 解：在中，，，， ∴， ∵动点P，Q同时从A，B两点出发，分别在，边上匀速移动，它们的速度分别为，， ∴，， ∴． 【小问2详解】 解：在中， ，， ． 当时，为等边三角形． ∴． ∴． 当时，为等边三角形； 【小问3详解】 解：当为直角三角形， ①当时，则， ∴， 即 ． ②当时，则， ∴， 即， ． 即当或时，为直角三角形． 【点睛】本题考查的是含30度角的直角三角形的性质，等边三角形的判定与性质，几何动态问题，掌握等边三角形，直角三角形的基础性质是解本题的关键． 25. 问题初探：（1）如图1，在等腰直角中，，，将沿着折叠得到，的对应边落在上，点的对应点为，折痕交于点．求证：； 方法迁移：（2）如图2，是的角平分线，．求证：； 问题拓展：（3）如图3，在中，，是的外角的平分线，交的延长线于点．请你直接写出线段，，之间的数量关系． 【答案】 （1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 由折叠的性质可得， ，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． （2）证明：如图，在上截取， ∵是的角平分线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． （3）线段，，之间的数量关系为． 【解析】 【分析】（1）由折叠的性质可证三角形全等，可得对应边相等，对应角相等，结合已知，可得等腰直角三角形，等量代换，即可证得结论； （2）在上截取，综合全等三角形的判定和性质，可得，结合已知和三角形外角的性质，可得等腰三角形，等量代换，即可证得结论； （3）在射线上截取，结合角平分线，可证三角形全等，对应边相等，对应角相等，由已知结合三角形外角的性质，可得等腰三角形，等量代换，即可得出线段，，之间的数量关系． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：， 证明：如图，在射线截取，连接， ∵是的外角的平分线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， 设， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 答：线段，，之间的数量关系为． 【点睛】本题考查折叠的性质，全等三角形的判定和性质，角平分线的定义，三角形内角和定理，三角形外角的性质，等腰三角形的判定和性质，解题的关键是正确作出辅助线． 26. 综合与实践． 积累经验 （1）我们在第十二章《全等三角形》中学习了全等三角形的性质和判定，在一些探究题中经常用以上知识转化角和边，进而解决问题．例如：我们在解决：“如图1，在中，，，线段经过点C，且于点D，于点E，求证：，”这个问题时，只要证明，即可得到解决，请写出证明过程： 类比应用 （2）如图2，在平面直角坐标系中，中，，，点A的坐标为，点C的坐标为，求点B的坐标． 拓展提升 （3）如图3，在平面直角坐标系中，，，点A的坐标为，点C的坐标为，则点B的坐标为____________． 【答案】（1）证明：于点D，于点E， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由于点D，于点E可得，由直角三角形的两个锐角互余可得，且，进而可得，利用可证得，然后由全等三角形的性质即可得出结论； （2）过点作轴于点，于是可得，由，可得，，由直角三角形的两个锐角互余可得，且，进而可得，利用可证得，于是可得，，由线段的和差关系可得，进而可得出点B的坐标； （3）过点作轴于点，过点作交的延长线于点，过点作于点，于是可得，由直角三角形的两个锐角互余可得，且，进而可得，利用可证得，于是可得，，由，可得，，，进而可得点B的横坐标，点B的纵坐标，于是得解． 【详解】（1） 略 （2）解：如图，过点作轴于点， ， ，， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， 点B的坐标为； （3）解：如图，过点作轴于点，过点作交的延长线于点，过点作于点， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ，， ，，， 点B的横坐标， 点B的纵坐标， 点B的坐标为， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，直角三角形的两个锐角互余，写出直角坐标系中点的坐标，线段的和与差等知识点，添加适当辅助线构造全等三角形是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $