精品解析：吉林省长春市朝阳区吉林省实验中学2024-2025学年九年级上学期期中考试数学试题

2024-2025学年度上学期九年级期中考试 数学试卷 本试卷包括三道大题，共6页．全卷满分为120分．考试时间为120分钟． 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码准确粘贴在条形码区域内． 2．答题时，考生务必按照考试要求在答题卡上的指定区域内作答，在草稿纸、试卷上答题无效． 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1. 下列实数中，平方最大的数是（ ） A. 3 B. C. D. 2. “长征是宣言书，长征是宣传队，长征是播种机”，二万五千里长征是中国历史上的伟大壮举，也是人类史上的奇迹，将25000用科学记数法可表示为（ ） A. B. C. D. 3. 下列四种化学仪器的示意图中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 4. 甲、乙、丙、丁四名运动员参加射击项目选拔赛，每人10次射击成绩的平均数（单位：环）和方差如下表所示： 甲 乙 丙 丁 9.9 9.5 8.2 8.5 0.09 0.65 0.16 2.85 根据表中数据，从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，应该选择（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 5. 如图，是半圆O的直径，C为半圆O上一点，以点B为圆心，适当长为半径画弧，交于点M，交于点N，分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点D，画射线，连接．若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，某停车场入口的栏杆从水平位置绕点旋转到的位置．已知米，若栏杆的旋转角，则栏杆端点上升的垂直距离为（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 7. 如图，在⊙O中，点A是的中点，∠ADC＝24°，则∠AOB的度数是（　　） A. 24° B. 26° C. 48° D. 66° 8. 把多个用电器连接在同一个插线板上，同时使用一段时间后，插线板的电源线会明显发热，存在安全隐患．数学兴趣小组对这种现象进行研究，得到时长一定时，插线板电源线中的电流I与使用电器的总功率P的函数图象（如图1），插线板电源线产生的热量Q与I的函数图象（如图2）．下列结论中错误的是（ ） A. 当时， B. Q随I的增大而增大 C. I每增加1A，Q的增加量相同 D. P越大，插线板电源线产生的热量Q越多 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 9. 因式分解：__________ 10. 抛物线的顶点坐标为___________． 11. 如图，在中，弦的长为8，圆心O到的距离，则的半径长为___________． 12. 若抛物线（是常数）与轴没有交点，则的取值范围是________． 13. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴相交于点，，点的坐标为，若点在抛物线上，则的长为______． 14. 函数（a、b、c为常数，）与的图象如图所示，给出下面4个结论： ①； ②； ③； ④当时，． 上述结论中、所有正确结论的序号是______． 三、解答题（本大题共10小题，共78分） 15. 计算： 16. 某校一年级开设人数相同的A，B，C三个班级，甲、乙两位学生是该校一年级新生，开学初学校对所有一年级新生进行电脑随机分班． （1）“学生甲分到A班”的概率是______； （2）请用画树状图法或列表法，求甲、乙两位新生分到同一个班的概率． 17. 如图，正方形的顶点A在抛物线上，顶点在x轴的正半轴上，且点B的坐标为． （1）求点D的坐标； （2）将抛物线沿x轴向右平移，使平移后的抛物线经过点D，平移后抛物线的表达式为___________． 18. 如图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，其顶点称为格点，的顶点均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求作图，保留作图痕迹． （1）网格中的形状是________； （2）在图①中确定一点D，连结、，使与全等： （3）在图②中的边上确定一点E，连结，使： （4）在图③中的边上确定一点P，在边BC上确定一点Q，连结，使，且相似比为1：2． 19. 国家航天局消息：神舟十四号载人飞船返回舱在东风着陆场成功着陆，标志着神舟十四号载人飞行任务取得圆满成功．某中学科技兴趣小组为了解本校学生对航天科技的关注程度，在该校内进行了随机调查统计，将调查结果分为不关注、关注、比较关注、非常关注四类，回收、整理好全部调查问卷后，得到下列不完整的统计图： （1）此次调查中接受调查的学生人数为__________名； （2）补全条形统计图； （3）该校共有900名学生，根据调查结果估计该校“关注”，“比较关注”及“非常关注”航天科技的学生共多少名？ 20. 如图，在四边形中，是的中点，，交于点，，. （1）求证：四边形为平行四边形； （2）若，，，求的长. 21. 小明和小丽在跑步机上慢跑锻炼．小明先跑，10分钟后小丽才开始跑，小丽跑步时中间休息了两次．跑步机上C档比B档快40米/分钟，B档比A档快40米/分钟．小明与小丽的跑步相关信息如表所示，跑步累计里程s（米）与跑步时间t（分钟）的函数关系如图所示． 时间 里程分段 速度档 跑步里程 小明 不分段 A档 1000米 小丽 第一段 B档 1800米 第一次休息 第二段 B档 1200米 第二次休息 第三段 C档 1600米 （1）A档速度为___________米/分钟，B档速度为___________米/分钟，C档速度为___________米/分钟； （2）求小丽第三段跑步s与t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围； （3）小丽第二次休息后，在a分钟时两人跑步累计里程相等，直接写出a的值； 22. 【探索发现】在一次折纸活动中，小亮同学选用了矩形纸张，即如图①所示的矩形．他先通过对折找到边的中点E，再将沿着直线翻折得到，连接，小亮猜想． 【问题解决】小亮对上面的猜想进行了证明，下面是部分证明过程： 证明：点E为边的中点， ， 沿着直线翻折得到， ， ， ． 请你补全余下的证明过程． 【结论应用】 （1）如图①，在【探索发现】的基础上，若，的面积为6，则矩形的面积为___________； （2）如图②，在【探索发现】的基础上，过点作交线段于点F．若，则矩形的周长为___________． 23. 如图，在中，，点P为边上的点，当点P不与点重合时，过点P在上方作，以为邻边作． （1）边的长为___________；点C到边的距离为___________； （2）当点F落在边上时，求的值； （3）设线段与边交于点M，线段与边交于点N．当时，求的值； （4）连接，沿直线将剪开，当剪开的两部分可以拼成一个不重叠无缝隙的三角形时，直接写出的值． 24. 在平面直角坐标系中，抛物线（b为常数）与x轴交于点和点B，与y轴交于点C．点Q是抛物线上一点，其横坐标为m． （1）求抛物线对应的函数表达式； （2）当点Q到x轴的距离是点C到x轴距离的2倍时，求点Q的坐标； （3）抛物线上任意两点，求m的取值范围； （4）点Q与点B之间的部分（不包括两点）记为图象G．点，点，连接，线段与图象G只有一个公共点时，直接写出m的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年度上学期九年级期中考试 数学试卷 本试卷包括三道大题，共6页．全卷满分为120分．考试时间为120分钟． 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码准确粘贴在条形码区域内． 2．答题时，考生务必按照考试要求在答题卡上的指定区域内作答，在草稿纸、试卷上答题无效． 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1. 下列实数中，平方最大的数是（ ） A. 3 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是实数的大小比较，乘方运算，先分别计算各数的乘方，再比较大小即可. 【详解】解：∵，，，， 而， ∴平方最大的数是3； 故选A 2. “长征是宣言书，长征是宣传队，长征是播种机”，二万五千里长征是中国历史上的伟大壮举，也是人类史上的奇迹，将25000用科学记数法可表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题主要考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正整数． 【详解】解：将25000用科学记数法可表示为， 故选：C． 3. 下列四种化学仪器的示意图中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了轴对称图形的概念，根据概念逐一判断即可，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线(成轴）对称，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； 、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； 、是轴对称图形，故本选项符合题意； 、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； 故选：． 4. 甲、乙、丙、丁四名运动员参加射击项目选拔赛，每人10次射击成绩的平均数（单位：环）和方差如下表所示： 甲 乙 丙 丁 9.9 9.5 8.2 8.5 0.09 0.65 0.16 2.85 根据表中数据，从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，应该选择（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查根据平均数和方差作决策，重点考查方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．结合表中数据，先找出平均数最大的运动员；再根据方差的意义，找出方差最小的运动员即可． 【详解】解：由表中数据可知，射击成绩的平均数最大的是甲，射击成绩方差最小的也是甲， 从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，应该选择甲， 故选：A． 5. 如图，是半圆O的直径，C为半圆O上一点，以点B为圆心，适当长为半径画弧，交于点M，交于点N，分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点D，画射线，连接．若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查尺规作图，圆周角定理，熟练掌握角平分线的作图步骤以及圆周角定理是解答本题的关键．由圆周角定理得到，由直角三角形的性质得到，根据角平分线的定义即可求得答案． 【详解】解：是半圆的直径， ， ， ， 由题意得，为的平分线， ． 故选：． 6. 如图，某停车场入口的栏杆从水平位置绕点旋转到的位置．已知米，若栏杆的旋转角，则栏杆端点上升的垂直距离为（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】A 【解析】 【分析】过点A′作A′H⊥AB于H，由题意得OA′=OA=4米，根据求出答案． 【详解】解：如图，过点A′作A′H⊥AB于H， 由题意得OA′=OA=4米， 在Rt△OA′H中，∠A′OH＝47°，， ∴栏杆端点A上升的垂直距离米， 故选：A． 【点睛】此题考查解直角三角形的实际应用，正确理解题意构建直角三角形是解题的关键． 7. 如图，在⊙O中，点A是的中点，∠ADC＝24°，则∠AOB的度数是（　　） A. 24° B. 26° C. 48° D. 66° 【答案】C 【解析】 【分析】直接利用圆周角求解． 【详解】解：∵点A是的中点， ∴， ∴∠AOB=2∠ADC=2×24°=48°． 故选：C． 【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半． 8. 把多个用电器连接在同一个插线板上，同时使用一段时间后，插线板的电源线会明显发热，存在安全隐患．数学兴趣小组对这种现象进行研究，得到时长一定时，插线板电源线中的电流I与使用电器的总功率P的函数图象（如图1），插线板电源线产生的热量Q与I的函数图象（如图2）．下列结论中错误的是（ ） A. 当时， B. Q随I的增大而增大 C. I每增加1A，Q的增加量相同 D. P越大，插线板电源线产生的热量Q越多 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了函数的图象，准确从图中获取信息，并逐项判定即可． 【详解】解∶根据图1知：当时，，故选项A正确，但不符合题意； 根据图2知：Q随I的增大而增大，故选项B正确，但不符合题意； 根据图2知：Q随I的增大而增大，但前小半段增加的幅度小，后面增加的幅度大，故选项C错误，符合题意； 根据图1知：I随P的增大而增大，又Q随I的增大而增大，则P越大，插线板电源线产生的热量Q越多，故选项D正确，但不符合题意； 故选：C． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 9. 因式分解：__________ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了提公因式法因式分解，先提公因式是解题的关键． 【详解】解：． 故答案为：． 10. 抛物线的顶点坐标为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象性质，解答本题的关键是会将函数解析式化为顶点式． 将抛物线解析式化为顶点式，即可得到该抛物线的顶点坐标． 【详解】解：抛物线， 该抛物线的顶点坐标为， 故答案为：． 11. 如图，在中，弦的长为8，圆心O到的距离，则的半径长为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查垂径定理，勾股定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 过点O作于E，连接，利用垂径定理，勾股定理求解即可． 【详解】解：过点O作于E，连接，如图， ， ， ， ． 故答案为：． 12. 若抛物线（是常数）与轴没有交点，则的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了抛物线与x轴的交点问题，掌握抛物线与x轴没有交点与没有实数根是解题的关键． 由抛物线与x轴没有交点，运用根的判别式列出关于c的一元一次不等式求解即可． 【详解】解：∵抛物线与x轴没有交点， ∴没有实数根， ∴，． 故答案为：． 13. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴相交于点，，点的坐标为，若点在抛物线上，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了待定系数求二次函数的解析式，二次函数的性质，熟练求解二次函数的解析式是解题的关键．先利用待定系数法求得抛物线，再令，得，解得或，从而即可得解． 【详解】解：把点，点代入抛物线得， ， 解得， ∴抛物线， 令，得， 解得或， ∴， ∴； 故答案为：． 14. 函数（a、b、c为常数，）与的图象如图所示，给出下面4个结论： ①； ②； ③； ④当时，． 上述结论中、所有正确结论的序号是______． 【答案】①③④ 【解析】 【分析】此题主要考查了图象与二次函数系数之间的关系，二次函数 系数符号由抛物线开口方向、对称轴和抛物线与y轴的交点、抛物线与x轴交点的个数确定. 由抛物线的开口方向判断的符号，由抛物线与y轴的交点判断的符号，然后根据对称轴及抛物线与轴无交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断. 【详解】①由图象可知：抛物线与轴无交点，即 故此选项正确； ②由图象可知：抛物线过点，即当时, 故此选项错误； ③由图象可知：二次函数抛物线的图象过点和， 当时, 当 时, ， ， 故③正确； ④由图象可知，当 时，抛物线在直线的下方, 即当时, ， 故此选项正确； 故答案为: ①③④. 三、解答题（本大题共10小题，共78分） 15. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了实数的运算，特殊角的三角函数值，熟练掌握知识点是解题的关键． 依次根据零指数幂，二次根式的性质，特殊角的三角函数值，绝对值的意义化简计算即可． 【详解】解：原式 ． 16. 某校一年级开设人数相同的A，B，C三个班级，甲、乙两位学生是该校一年级新生，开学初学校对所有一年级新生进行电脑随机分班． （1）“学生甲分到A班”的概率是______； （2）请用画树状图法或列表法，求甲、乙两位新生分到同一个班的概率． 【答案】（1） （2）甲、乙两位新生分到同一个班的概率为． 【解析】 【分析】本题考查的是求简单事件的概率和两步操作事件的概率，用表格或树状图表示出总结果数是解答此类问题的关键． （1）根据概率公式计算可得； （2）用画树状图列出所有的等可能结果，从中确定符合事件的结果，根据概率公式计算可得． 【小问1详解】 解：有A，B，C三个班级，“学生甲分到A班”有一种情况， 则“学生甲分到A班”的概率是， 故答案为：； 【小问2详解】 解：画树状图如图： 共有9个等可能的结果，甲、乙两位新生分到同一个班的有3种情况， ∴甲、乙两位新生分到同一个班的概率为． 17. 如图，正方形的顶点A在抛物线上，顶点在x轴的正半轴上，且点B的坐标为． （1）求点D的坐标； （2）将抛物线沿x轴向右平移，使平移后的抛物线经过点D，平移后抛物线的表达式为___________． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】此题主要考查了二次函数图象的平移以及待定系数法求二次函数解析式，正方形的性质，正确得出各点坐标是解题关键． （1）根据题意得出点坐标，进而得出点坐标； （2）设平移后抛物线解析式为，把点代入求出答案． 【小问1详解】 解：，点在抛物线上， ， 又正方形中，， ； 【小问2详解】 解：设抛物线沿x轴向右平移后抛物线解析式为：，把代入得： 则， 解得：，， 平移后抛物线解析式为：或． 故答案为：或． 18. 如图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，其顶点称为格点，的顶点均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求作图，保留作图痕迹． （1）网格中的形状是________； （2）在图①中确定一点D，连结、，使与全等： （3）在图②中的边上确定一点E，连结，使： （4）在图③中的边上确定一点P，在边BC上确定一点Q，连结，使，且相似比为1：2． 【答案】（1）直角三角形 （2） 点D即为所求作，使与全等： （3） 如图所示，点E即为所作，且使：     （4） 如图，点P，Q即为所求，使得，且相似比为1：2．     【解析】 【分析】（1）运用勾股定理分别计算出AB，AC，BC的长，再运用勾股定理逆定理进行判断即可得到结论； （2）作出点A关于BC的对称点D，连接BD，CD即可得出与全等： （3）过点A作AE⊥BC于点E，则可知： （4）作出以AB为斜边的等腰直角三角形，作出斜边上的高，交AB于点P，交BC于点Q，则点P，Q即为所求． 【小问1详解】 ∵ ∴, ∴是直角三角形， 故答案为：直角三角形； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 【小问4详解】 略 【点睛】本题主要考查了勾股定理，勾股定理逆定理，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定，相似三角形的判定，熟练掌握相关定理是解答本题的关键． 19. 国家航天局消息：神舟十四号载人飞船返回舱在东风着陆场成功着陆，标志着神舟十四号载人飞行任务取得圆满成功．某中学科技兴趣小组为了解本校学生对航天科技的关注程度，在该校内进行了随机调查统计，将调查结果分为不关注、关注、比较关注、非常关注四类，回收、整理好全部调查问卷后，得到下列不完整的统计图： （1）此次调查中接受调查的学生人数为__________名； （2）补全条形统计图； （3）该校共有900名学生，根据调查结果估计该校“关注”，“比较关注”及“非常关注”航天科技的学生共多少名？ 【答案】（1） （2） 补全条形统计图如下： （3）该校“关注”，“比较关注”及“非常关注”航天科技的学生有名 【解析】 【分析】本题考查了条形统计图和扇形统计图信息关联、利用样本估计总体，画条形统计图，熟练利用样本评估总体的方法是解题的关键． （1）根据调查结果中关注类学生有人，占扇形图的，即可求得此次调查中接受调查的学生人数； （2）由（1）和条形统计图可求得调查结果中非常关注类学生人数，再补全条形统计图即可； （3）先求出样本中“关注”，“比较关注”及“非常关注”类学生占比，再乘以学生总数即可． 【小问1详解】 解：由图可知：调查结果中关注类学生有人，占扇形图的， 故此次调查中接受调查的学生人数为名， 故答案为：； 【小问2详解】 解：由（1）和条形统计图可得：调查结果中非常关注类学生有（人）； 【小问3详解】 解：由条形统计图可得：调查结果中“关注”，“比较关注”及“非常关注”类学生占比为：， 该校“关注”，“比较关注”及“非常关注”航天科技的学生有名． 20. 如图，在四边形中，是的中点，，交于点，，. （1）求证：四边形为平行四边形； （2）若，，，求的长. 【答案】（1） 证明：∵是的中点，， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形； （2） 【解析】 【分析】（1）根据三角形的中位线定理得到，而，即可求证； （2）解求得，由三角形的中位线定理和平行四边形的性质得到，最后对运用勾股定理即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴， 在中，，， ∴， ∵是的中点， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴， ∴在中，由勾股定理得． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质，三角形的中位线定理，解直角三角形，勾股定理，熟练掌握知识点是解决本题的关键． 21. 小明和小丽在跑步机上慢跑锻炼．小明先跑，10分钟后小丽才开始跑，小丽跑步时中间休息了两次．跑步机上C档比B档快40米/分钟，B档比A档快40米/分钟．小明与小丽的跑步相关信息如表所示，跑步累计里程s（米）与跑步时间t（分钟）的函数关系如图所示． 时间 里程分段 速度档 跑步里程 小明 不分段 A档 1000米 小丽 第一段 B档 1800米 第一次休息 第二段 B档 1200米 第二次休息 第三段 C档 1600米 （1）A档速度为___________米/分钟，B档速度为___________米/分钟，C档速度为___________米/分钟； （2）求小丽第三段跑步s与t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围； （3）小丽第二次休息后，在a分钟时两人跑步累计里程相等，直接写出a的值； 【答案】（1）80米/分、120米/分、160米/分 （2）；自变量t的取值范围为 （3） 【解析】 【分析】本题主要考查一次函数的应用，读懂图中的数据是解题的关键． （1）由小明的跑步里程及时间可得档速度，再根据档比档快40米分、档比档快40米分，即可得出答案； （2）用待定系数法求解即可； （3）由题意可得，此时小丽在跑第三段，所跑时间为（分），可得方程，求解即可． 【小问1详解】 解：由题意可知，档速度为（米/分）， 则档速度为（米/分）， 档速度为（米/分）， 答：，，各档速度80米/分、120米/分、160米/分． 故答案为：80米/分、120米/分、160米/分． 【小问2详解】 解：∵小丽第三段跑步时间为（分）， ∴小丽第三段开始跑步的时间为（分）， 设小丽第三段跑步s与t的函数关系式为， 把，分别代入，得 ，解得： ∴小丽第三段跑步s与t的函数关系式为， 自变量t的取值范围为． 【小问3详解】 解：小丽第二次休息后，在分钟时两人跑步累计里程相等， 此时小丽在跑第三段，所跑时间为（分， ， ． 22. 【探索发现】在一次折纸活动中，小亮同学选用了矩形纸张，即如图①所示的矩形．他先通过对折找到边的中点E，再将沿着直线翻折得到，连接，小亮猜想． 【问题解决】小亮对上面的猜想进行了证明，下面是部分证明过程： 证明：点E为边的中点， ， 沿着直线翻折得到， ， ， ． 请你补全余下的证明过程． 【结论应用】 （1）如图①，在【探索发现】的基础上，若，的面积为6，则矩形的面积为___________； （2）如图②，在【探索发现】的基础上，过点作交线段于点F．若，则矩形的周长为___________． 【答案】 〖问题解决〗证明：点E为边的中点， ， 沿着直线翻折得到， ， ， ， 翻折， ， ， ， ． 〖结论应用〗（1）40 （2） 【解析】 【分析】〖问题解决〗由折叠的性质可得出结论； 〖结论应用〗（1）连接交于点，设，则，证明，由相似三角形的性质得出，证明，得出，求出三角形的面积，则可得出答案； （2）连接交于点，证明，由相似三角形的性质得出，求出的长，则可求出的长． 【详解】〖问题解决〗略 〖结论应用〗（1）解：连接交于点， 设，则， 为的中点，， ， ， ，， ， 又， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ． 故答案为：40； （2）连接交于点， ， ， ， ， ， 又， ， 设， 由（1）知，， ， ， ， 舍去）， ， ， ， 矩形的周长为． 故答案为：． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了折叠的性质，矩形的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，熟练掌握矩形的性质和翻折变换的性质是解题的关键． 23. 如图，在中，，点P为边上的点，当点P不与点重合时，过点P在上方作，以为邻边作． （1）边的长为___________；点C到边的距离为___________； （2）当点F落在边上时，求的值； （3）设线段与边交于点M，线段与边交于点N．当时，求的值； （4）连接，沿直线将剪开，当剪开的两部分可以拼成一个不重叠无缝隙的三角形时，直接写出的值． 【答案】（1）25；12 （2） （3）11 （4）1或25或9 【解析】 【分析】（1）由勾股定理可得，如图，过点作于，利用，即可求得答案； （2）如图，过点作于，先证明，可得，再利用等腰三角形的判定和性质得出，得出，即可求得答案； （3）如图，过点作于，由，可得，求得，，利用等腰三角形性质可得，，再由，可得，即，求得，即可得出答案； （4）分三种情况：①当经过的中点时，②当经过的中点时，③当经过点时，分别利用相似三角形的判定和性质即可． 【小问1详解】 解：，，， ； 如图，过点作于， ， ， ； 故答案为：25；12． 【小问2详解】 解：当点落在边上时，如图，过点作于， 四边形是平行四边形， ，，，， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 【小问3详解】 解：如图，过点作于， ，， ， ，即， ，， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ，， ， ，即， 解得：． 【小问4详解】 解：沿直线将剪开的两部分可以拼成一个不重叠无缝隙的三角形， 必定经过的中点或的中点或点， ①当经过的中点时，如图，过点作于，延长交于，延长交于， 是的中点， ， ， ， ， ， 此时沿直线将剪开的两部分可以拼成一个不重叠无缝隙的三角形， ，， ，即， ， ∵ ∴设， 由（3）可知，， ∵， ， ， 四边形是矩形， ，， ， ， ， ，， ， ，即， 解得：； ∴， ②当经过的中点时，如图，过点作于，交于， 由①知：，，，，， 是的中点， ， ，， ， ，即， ，， ，， ， ， ，即， 解得：， ∴； ③当经过点时，如图， ， ， ， 解得：， 综上所述，AP的值为1或25或9． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了平行四边形性质，矩形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等，解题关键是添加辅助线构造全等三角形和相似三角形． 24. 在平面直角坐标系中，抛物线（b为常数）与x轴交于点和点B，与y轴交于点C．点Q是抛物线上一点，其横坐标为m． （1）求抛物线对应的函数表达式； （2）当点Q到x轴的距离是点C到x轴距离的2倍时，求点Q的坐标； （3）抛物线上任意两点，求m的取值范围； （4）点Q与点B之间的部分（不包括两点）记为图象G．点，点，连接，线段与图象G只有一个公共点时，直接写出m的取值范围． 【答案】（1） （2）或 （3） （4）或 【解析】 【分析】（1）直接把把代入求出b值即可求解． （2）先求出点的坐标，得到点C到x轴距离为3，设点，再根据点Q到x轴的距离是点C到x轴距离的2倍得，代入解析式，求解即可． （3）根据，得抛物线的对称轴为直线，抛物线开口向下，在时y随x增大而减小，当点M、N在对称轴右侧时，得；当点M在对称轴左侧，点N在对称轴右侧时，由点M到对称轴的距离比点N到对称轴的距离小，得，分别求解即可． （4）设直线与抛物线交于点G、H，求得，，分类讨论，点F与点G重合，点E与点G重合；或点F与点H重合以及点E与点H重合两种临界状态，即可求解． 【小问1详解】 解：把代入，得 ， 解得：， ∴抛物线对应的函数表达式为． 【小问2详解】 解：令，则， ∴， ∴点C到x轴距离为3， 设点， 当点Q到x轴的距离是点C到x轴距离的2倍时， ， ∴或， 把代入，得 ，即， ∵， ∴方程无解； 把代入，得 ，即， 解得：，， ∴点Q的坐标或． 【小问3详解】 解：∵， ∴抛物线的对称轴为直线， 又， ∴抛物线开口向下，在时y随x增大而减小， ∵抛物线上任意两点， 当点M、N在对称轴右侧时， ∴， 解得：， 当点M在对称轴左侧，点N在对称轴右侧时， ∴点M到对称轴的距离比点N到对称轴的距离小， ∴ 解得：， 综上，当时，抛物线上任意两点． 【小问4详解】 解：如图，设直线与抛物线交于点G、H， 把代入，得， 解得：，， ∴，， 当点F与点G重合时，如图： 此时， 解得： 当点E与点G重合时，与点也重合，如图， 此时， ∴满足条件，； 当点F与点H重合时，如图： 此时，解得：， 当点E与点H重合时，此时与点Q也重合，如图： 此时, ∴满足条件： 综上所述：线段与图象G只有一个公共点时，或． 【点睛】本题考查待定系数法求抛物线的解析式，抛物线的图象性质，抛物线与直线的交点问题，此题属二次函数综合题目，熟练掌握二次函数图象性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $