双曲线专题练-2025届高三数学一轮复习

双曲线--2025届高中数学一轮复习高频考点专题练 一、选择题 1．椭圆与双曲线有相同的焦点，，记椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，则下列关系式一定正确的是( ) A. B. C. D. 2．双曲线的实轴长是虚轴长的3倍，则m的值为( ) A.9 B. C. D. 3．如果椭圆的离心率为，那么双曲线的离心率为( ) A. B. C. D.2 4．不过原点的直线（，）与双曲线（，）交于A，B两点，M为AB的中点，O为坐标原点.若直线OM的斜率小于，则双曲线E的离心率的取值范围为( ) A. B. C. D. 5．已知双曲线方程为，则双曲线的渐近线方程为( ) A. B. C.当时，；当时， D.当时，；当时， 6．直线l过圆的圆心，且与圆相交于A，B两点，P为双曲线右支上的一个动点，则的最小值为( ) A. B.1 C.2 D.0 7．已知双曲线（，）与直线有交点，则双曲线离心率的取值范围为( ) A. B. C. D. 8．中心在原点，实轴在x轴上，一个焦点在直线上的等轴双曲线的方程是( ) A. B. C. D. 9．设，分别为双曲线（，）的左、右焦点，双曲线上存在一点P，使得，，则双曲线的离心率为( ) A. B. C. D.3 10．已知双曲线（，）.若存在过右焦点F的直线与双曲线C相交于A，B两点，且，则双曲线离心率的最小值为( ) A. B. C.2 D. 二、填空题 11．已知双曲线的离心率为,则该双曲线的渐近线为__________. 12．在平面直角坐标系中,若中心在坐标原点上的双曲线的一条准线方程为,且它的一个顶点与抛物线的焦点重合,则该双曲线的渐近线方程为_____________. 13．已知双曲线的一条渐近线为，则双曲线的离心率为________. 14．已知双曲线（，）的左、右焦点分别为，.点A在C上，点B在y轴上，，，则C的离心率为__________. 三、解答题 15．对于求解方程的正整数解（）的问题，循环构造是一种常用且有效地构造方法.例如已知是方程q的一组正整数解，则，将代入等式右边，得，变形得：，于是构造出方程q的另一组解，重复上述过程，可以得到其他正整数解.进一步地，若取初始解时满足最小，则依次重复上述过程可以得到方程q的所有正整数解.已知双曲线（，）的离心率为，实轴长为2. (1)求双曲线E的标准方程； (2)方程的所有正整数解为，且数列单调递增. ①求证：始终是4的整数倍； ②将看作点，试问的面积是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由. 参考答案 1．答案：D 解析：由椭圆与双曲线焦点相同，即参数c相同，则，，又， 则，所以，D正确； 若，则，此时解得，不符合要求，A不正确； 若，则，不符合要求，B不正确； 若，则，解得，，故C可能成立，但不一定成立，C不正确.故选D. 2．答案：C 解析：由双曲线，可得，且，，因为双曲线的实轴长是虚轴长的3倍，可得，即，解得.故选C. 3．答案：A 解析：由已知椭圆的离心率为，得，.双曲线的离心率. 4．答案：B 解析：设点，则有， 两式作差得，即，设，则有，，又，，代入整理得，即.由题意知，因为，所以，，又，所以，解得，即，则.故选B. 5．答案：A 解析：方法一：方程表示双曲线，. 若，方程化为，此时，，渐近线方程为； 若，方程化为，此时，，渐近线方程为. 综上所述，双曲线的渐近线方程为. 故选A. 方法二：将等式右边的常数换为0，即，化简得，故选A. 6．答案：D 解析：圆，圆心，半径为1. 设，， 则，函数的图象的对称轴为直线，开口向上，又，所以当时，取最小值，最小值为.故选D. 7．答案：C 解析：双曲线的一条渐近线方程为，由题意得，所以双曲线的离心率. 8．答案：A 解析：在方程中，令，得，等轴双曲线的一个焦点坐标为，，，故选A. 9．答案：B 解析：根据双曲线的定义可得，则.由已知可得.两式作差得.又，所以，即，得，两边平方得，即，即，则，所以双曲线的离心率，故选B. 10．答案：C 解析：因为过右焦点的直线与双曲线C相交于A，B两点，且，所以直线与双曲线相交只能是点A在双曲线的左支上，点B在双曲线的右支上.由双曲线的对称性，不妨设点A，B均在x轴上方，如图所示. 设，，右焦点.因为，所以，即.由图可知，，，所以，，故，即，所以，即离心率，当且仅当点A，B分别为双曲线的左、右顶点时等号成立.故选C. 11．答案： 解析：双曲线的离心率为,可得：,解, 所以双曲线方程为：,所以该双曲线的渐近线为. 12．答案： 解析：因为抛物线的焦点为,所以.又, 所以,.而双曲线的渐近线方程为,即. 13．答案： 解析：根据双曲线的渐近线的方程知即，所以此双曲线的离心率. 14．答案： 解析：法一：建立如图所示的坐标系，依题意设，，. 由，得.又，且，，则，所以. 又点A在双曲线C上，则，整理得， 将，代入，得，即，解得或（舍去），故. 法二：由得，设，则，. 由双曲线的对称性可得，由双曲线的定义可得. 设，则，所以，解得，所以，.在中，由余弦定理可得，即，可得. 15．答案：(1)； (2)①证明见解析；②是定值. 解析：（1）由题意知解得，则， 故双曲线E的标准方程为. （2）①方法一：由得，其中是方程的一组正整数解，则， 在循环构造中，对任意正整数k，由，是正整数，第k组解中的为二项式的展开式中不含的部分，为二项式的展开式中含的部分， 注意到二项式的展开式中不含的部分与二项式的展开式中不含的部分相同， 二项式的展开式中含的部分与二项式的展开式中含的部分互为相反数，于是由二项式定理有 ，，从而， 于是对任意的正整数， ， 因为是正整数，所以是4的整数倍. 方法二： 在循环构造中，对任意正整数k，由，是正整数，第k组解中的为二项式的展开式中不含的部分，为二项式的展开式中含的部分； 第组解中的为二项式的展开式中不含的部分，为二项式的展开式中含的部分， 故， 于是， ， 即， 由得，， 代入得， 整理得，即. 因为是正整数，所以是4的整数倍. ②，，设，的夹角为， 则的面积 ， 由得，， 代入得，， 由得，从而， 故，， . ，，，，即， 代入得， 于是的面积为定值. 学科网（北京）股份有限公司 $$