数形结合思想讲义-2025届高三数学二轮复习

一　数形结合思想 数形结合思想，就是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的思想．数形结合思想的应用包括以下两个方面：(1)“以形助数”，把某些抽象的数学问题直观化、生动化，能够变抽象思维为形象思维，揭示数学问题的本质；(2)“以数定形”，把直观图形数量化，使形更加精确． 方法一　利用数形结合求解函数与方程、不等式问题 利用函数图象可直观研究函数的性质，求解与函数有关的方程、不等式问题． 例1　已知函数f(x)是定义域为R的奇函数，且满足f(x)＝－|log2(－x)|，x<0，若函数y＝f(x)－a有两个零点，其中0<a<1，分别记为x1，x2(x1<x2)，则4x1＋x2的取值范围是(　　) A．[4，5) B．(4，5)　 C． D． 解析：B　当x>0时，－x<0， 故f(x)＝－f(－x)＝|log2x|， 即f(x)＝y＝f(x)－a＝0，即f(x)＝a，0<a<1， 根据图象知：<x1<1<x2<2，且－ln x1＝ln x2，则x1x2＝1，4x1＋x2＝4x1＋，函数y＝4x＋在上单调递增，故4x1＋∈(4，5)． 方程的根可通过构造函数，转化为两函数的交点横坐标；不等式f(x)<g(x)可转化为函数y＝f(x)与y＝g(x)图象的位置关系． 方法二　利用数学概念、表达式的几何意义求解最值、范围问题 向量、复数、圆锥曲线等数学概念具有明显的几何意义，可利用图形观察求解有关问题． 例2　已知复数z满足|z＋i|＝1，则|z＋1|的最大值为(　　) A． B．2 C．＋1 D．3 解析：C　设z＝a＋bi，a，b∈R，因为|z＋i|＝|a＋(b＋1)i|＝1， 所以a2＋(b＋1)2＝1，因为|z＋1|＝|a＋1＋bi|＝， 所以|z＋1|相当于圆a2＋(b＋1)2＝1上的点到点(－1，0)距离， 所以 ＋1. 应用几何意义法解决问题需要熟悉常见的几何结构的代数形式，主要有：①比值(可考虑直线的斜率)；②二元一次式(可考虑直线的截距)；③根式分式(可考虑点到直线的距离)；④根式(可考虑两点间的距离)． 方法三　利用数形结合解决几何动态问题 对一些几何动态中的代数求解问题，可以结合各个变量的形成过程，找出其中的相互关系求解． 例3　已知点F是双曲线C1：－x2＝1的上焦点，M是C1下支上的一点，点N是圆C2：x2＋y2－4x＋3＝0上一点，则|MF|＋|MN|的最小值是(　　) A．7 B．6 C．5 D．4－1 解析：B　由圆C2：x2＋y2－4x＋3＝0可化为(x－2)2＋y2＝1，则C2(2，0)，半径为1，如图， 设F1是C1的下焦点，则 由双曲线定义可得|MF|－|MF1|＝4， 所以|MF|＋|MN|＝|MF1|＋|MN|＋4≥|C2F1|－1＋4＝6， 当且仅当C2，N，F1，M四点共线时，取得最小值，即|MF|＋|MN|的最小值是6. 几何图形有关的最值问题，通常是利用函数的观点，建立函数解析式求解，但一味地强调函数观点，有时使思维陷入僵局，此时若能合理利用圆锥曲线的定义，以形助数，会使问题变得特别简单． 学科网（北京）股份有限公司 $$